Расстояние от точки (xM;yM) до начала координат можно найти по формуле расстояние между точками.
Подставив в формулу
координаты точек M(xM;yM) и O(0;0)
получаем формулу для нахождения расстояния от точки M до начала отсчёта — точки O:
Пример 1.
Найти расстояние от точки F(-5; 12) до начала координат.
Решение:
Ответ: 13.
Эту же формулу можно получить, руководствуясь непосредственно геометрическими соображениями.
Из прямоугольного треугольника OMM1 по теореме Пифагора
OM1 =xM, MM1 =yM,
Пример 2.
На координатной плоскости отмечена точка A. Найти расстояние от точки A до начала координат.
Решение:
Координаты точки C — xC =4, yC=3.
Ответ: 5.
В прямоугольной системе координат построим прямоугольный параллелепипед так, чтобы оси координат совпали с его ребрами и точка В была одной из его вершин. Согласно рисунку
Расстояния от точки В до осей координат — это диагонали: ВА1 — до оси Ох; ВС1 — до оси Оу; BD
— до оси Oz.
Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.
Приступая к решению задач по теме «Расстояние между двумя точками на плоскости», учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.
Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ), выполняется по формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2), где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.
Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(хМ; уМ), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(хМ2 + уМ2).
1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек
Пример 1.
Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).
Решение.
В условии задачи дано: хА = 2; хВ = -4; уА = -5 и уВ = 3. Найти d.
Применив формулу d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2), получим:
d = АВ = √((2 – (-4))2 + (-5 – 3)2) = 10.
2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек
Пример 2.
Найти координаты точки О1, которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что О1А = О1В = О1С. Пусть искомая точка О1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) найдем:
О1А = √((а – 7)2 + (b + 1)2);
О1В = √((а + 2)2 + (b – 2)2);
О1С = √((а + 1)2 + (b + 5)2).
Составим систему из двух уравнений:
{√((а – 7)2 + (b + 1)2) = √((а + 2)2 + (b – 2)2),
{√((а – 7)2 + (b + 1)2) = √((а + 1)2 + (b + 5)2).
После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:
{(а – 7)2 + (b + 1)2 = (а + 2)2 + (b – 2)2,
{(а – 7)2 + (b + 1)2 = (а + 1)2 + (b + 5)2.
Упростив, запишем
{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.
Решив систему, получим: а = 2; b = -1.
Точка О1(2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2).
3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки
Пример 3.
Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.
Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
АВ = √((а + 5)2 + (0 – 6)2) = √((а + 5)2 + 36).
Получаем уравнение √((а + 5)2 + 36) = 10. Упростив его, имеем
а2 + 10а – 39 = 0.
Корни этого уравнения а1 = -13; а2 = 3.
Получаем две точки А1(-13; 0) и А2(3; 0).
Проверка:
А1В = √((-13 + 5)2 + (0 – 6)2) = 10.
А2В = √((3 + 5)2 + (0 – 6)2) = 10.
Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).
4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек
Пример 4.
Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).
Решение.
Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О1(0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О1А = О1В.
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
О1А = √((0 – 6)2 + (b – 12)2) = √(36 + (b – 12)2);
О1В = √((а + 8)2 + (b – 10)2) = √(64 + (b – 10)2).
Имеем уравнение √(36 + (b – 12)2) = √(64 + (b – 10)2) или 36 + (b – 12)2 = 64 + (b – 10)2.
После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.
Необходимая по условию задачи точка О1(0; 4) (рис. 4).
5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки
Пример 5.
Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).
Решение.
Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р1 и Р2 (рис. 5). Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.
Из условия задачи следует, что МА = МР1 = МР2, МР1 = а; МР2 = |-a|,
т.е. |-a| = а.
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
МА = √((-а + 2)2 + (а – 1)2).
Составим уравнение:
√((-а + 2)2 + (а – 1)2) = а.
После возведения в квадрат и упрощения имеем: а2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а1 = 1; а2 = 5.
Получаем две точки М1(-1; 1) и М2(-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.
6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки
Пример 6.
Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.
Решение.
Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) имеем:
МА = √((5 – 8)2 + (b – 6)2).
Составим уравнение:
√((5 – 8)2 + (b – 6)2) = 5. Упростив его, получим: b2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b1 = 2; b2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М1(5; 2) и М2(5; 10).
Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.
Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.
Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.
Расстояние между точками на координатной прямой
Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.
В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.
Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.
К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.
Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.
Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.
Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:
- 0, если точка совпадает с началом координат;
- xA , если xA>0;
- -xA , если xA<0 .
При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA
Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.
Расстояние между точками на плоскости
Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .
Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:
– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;
– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.
– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA
– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:
Мы видим, что треугольник АВС является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2
Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2
Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0
Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA
Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA
Расстояние между точками в пространстве
Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.
Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz
Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz
Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2
Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:
AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA
Преобразуем выражение:
AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2
Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:
AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2
Полученная формула действительна также для случаев, когда:
– точки совпадают;
– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.
Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A(1-2) и B(11+2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B.
Решение
- Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно OA=1-2=2-1
- Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: AB=11+2-(1-2)=10+22
Ответ: OA=2-1, AB=10+22
Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A(1, -1) и B (λ+1, 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние АВ будет равно 5.
Решение
Чтобы найти расстояние между точками A и B, необходимо использовать формулу AB=(xB-xA)2+yB-yA2
Подставив реальные значения координат, получим:AB=(λ+1-1)2+(3-(-1))2=λ2+16
А также используем имеющееся условие, что АВ=5 и тогда будет верным равенство:
λ2+16=5λ2+16=25λ=±3
Ответ: АВ = 5, если λ=±3 .
Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат Oxyz и лежащие в нем точки A (1, 2, 3) и B-7, -2, 4 .
Решение
Для решения задачи используем формулу AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2
Подставив реальные значения, получим: AB=(-7-1)2+(-2-2)2+(4-3)2=81=9
Ответ: |АВ| = 9
Расстояние от точки до начала координат
Расстояние от точки (xM;yM) до начала координат можно найти по формуле расстояние между точками.
Подставив в формулу
получаем формулу для нахождения расстояния от точки M до начала отсчёта — точки O:
Найти расстояние от точки F(-5; 12) до начала координат.
Эту же формулу можно получить, руководствуясь непосредственно геометрическими соображениями.
Из прямоугольного треугольника OMM1 по теореме Пифагора
На координатной плоскости отмечена точка A. Найти расстояние от точки A до начала координат.
Координаты точки C — xC =4, yC=3.
Как рассчитать координаты точек окружности
Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . |
(1) |
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
Уравнение окружности по трем точкам
Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.
Уравнение окружности
r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
- h,k — координаты центра Окружности
- x,y — координаты точки окружности
- r — радиус
Пример
Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)
Решение :
Подставляем координаты точек в формулу
- (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = r 2
- (2 — h) 2 + (4 — k) 2 = r 2
- (5 — h) 2 + (5 — k) 2 = r 2
Шаг :2
Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения
- (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (2 — h) 2 + (4 — k) 2
- 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 4 — 4h + h 2 +16 — 8k + k 2
- 8 — 4k = 20 — 8k
- k= 3
Шаг :3
Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3
- (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (5 — h) 2 + (5 — k) 2
- 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 25 — 10h + h 2 + 25 — 10k + k 2
- 8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
- 6k + 6h = 42
Подставив значение k=3 в уравнение
Получаем координаты точки центра (h,k) = ( 4,3 )
Шаг :4
Подставим значения h,k в формулу
- r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
- r 2 = (2 — 4) 2 + (2 — 3) 2
- r 2 = (-2) 2 + (-1) 2
- r 2 = 5
- r = 2.24
Шаг :5
Подставим значения h, k в уравнение окружности
(x — h) 2 + (y — k) 2
Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2
Как найти координаты точки?
О чем эта статья:
3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие системы координат
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
- Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
- Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
- Ось ординат Oy — вертикальная ось.
- Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
- Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
- верхний правый угол — первая четверть I;
- верхний левый угол — вторая четверть II;
- нижний левый угол — третья четверть III;
- нижний правый угол — четвертая четверть IV;
- Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
- Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.
Определение координат точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.
Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).
Особые случаи расположения точек
В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:
- Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
- Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
- Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).
Способы нахождения точки по её координатам
Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.
Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):
- Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
- Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
- Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.
Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):
- Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит знак минус. - Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.
Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:
Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . |
(1) |
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
[spoiler title=”источники:”]
http://b4.cooksy.ru/articles/kak-rasschitat-koordinaty-tochek-okruzhnosti
http://www.resolventa.ru/demo/him/diagege.htm
[/spoiler]