Как найти расстояние в физике через ускорение

Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.

Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).

Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.

Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.

Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.

Выводим формулу пути без времени

Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.

В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).

Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.

Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:

[ large begin{cases} S  = v_{0} cdot t + displaystylefrac{a}{2} cdot t^{2} \ v  = v_{0} + a cdot t end{cases} ]

( large v_{0} left( frac{text{м}}{c} right)) – начальная скорость тела;

( large v left( frac{text{м}}{c} right)) – конечная скорость;

( large a left( frac{text{м}}{c^{2}} right)) – ускорение тела;

( large S left( text{м} right)) – путь, пройденный телом;

(large t left( c right)) – время, за которое тело прошло этот путь.

В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.

Что сделать, чтобы получить формулу пути, в которой отсутствует время:

• сначала получить выражение для времени t из уравнения для скорости;
•  затем в формулу пути подставить полученное выражение вместо времени t.

Выражаем время из формулы для скорости

Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:

[ large v  = v_{0} + a cdot t ]

Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом ( v_{0}). Для этого из обеих частей уравнения вычтем число ( v_{0}). Получим такую запись:

[ large v — v_{0} = a cdot t ]

Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:

[ large frac{ v — v_{0}}{a} = t ]

Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».

В формулу пути подставим выражение для времени

Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:

[ large begin{cases} S  = v_{0}cdot t + displaystyle frac{a}{2}cdot t^{2}\ displaystyle frac{v — v_{0}}{a} = t end{cases} ]

В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:

[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.

Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части

Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:

[large v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} ]

Умножим числитель дроби на число (v_{0}).

Для этого:

• сначала числитель обособим скобками;
• затем запишем число (v_{0}) перед скобками;
• а потом внесем это число внутрь скобок.

В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число (v_{0}):

[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} ]

Теперь необходимо умножить скобку на число (v_{0}).  На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.

Нужно к каждой скорости в скобках дописать число (v_{0}), умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:

[large frac{ v_{0} cdot (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v — v_{0} cdot v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]

То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:

[large v_{0} cdot frac{ (v — v_{0})}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} ]

Возводим в квадрат дробь

После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:

[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.

В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:

[large left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}}]

В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.

Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:

[large ( v — v_{0})^{2} = (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})]

Теперь можем записать полученную дробь:

[large frac{ (v — v_{0})^{2}}{a^{2}} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} ]

Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»

Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}}]

Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.

Итак, поменяем местами знаменатели дробей:

[large frac{a}{2} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{a^{2}} = frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]

Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:

[large frac{a}{a^{2}} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2}]

А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:

[large frac{1}{a} cdot frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:

[large frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2} = frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».

Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.

Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения

Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:

[large S = v_{0} cdot frac{ v — v_{0}}{a} + frac{a}{2} cdot left( frac{ v — v_{0}}{a} right)^{2}]

Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:

[large S = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Сравним знаменатели дробей.

Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.

Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1]

Примечания:

1. Нам известно, что если какое-либо число умножить на единицу, то после умножения это число не изменится. Значит, если какое-либо выражение умножить на единицу, то полученное выражение останется равным самому себе. На единицу можно умножать все, что угодно – дроби, выражения в скобках и т. п.
2. Математики часто применяют прием умножения на единицу. А после этого единицу записывают в виде некоторой дроби. При этом используют правило: Единица – это дробь, у которой числитель и знаменатель равны (одинаковые).

Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot 1 = frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2}]

Получим такую дробь:

[large frac{ (v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{a} cdot frac{2}{2} = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} ]

Поместим ее в выражение для пути:

[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} )}{2a} + frac{(v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Дроби с одинаковыми знаменателями складываем

Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:

[large S = frac{ 2(v_{0} cdot v – v^{2}_{0} ) + (v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0})}{2a}]

Раскроем скобки в числителе полученного выражения:

[large S = frac{ 2v_{0} v – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0} — 2vv_{0}}{2a}]

Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член (2v_{0} v), обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа (2v_{0}v) вычитается такое же число (2vv_{0}). В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:

[large S = frac{ – 2v^{2}_{0} + v^{2} + v^{2}_{0}}{2a}]

Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:

[large S = frac{ v^{2} + v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0}}{2a}]

Вычтем подобные члены, содержащие ( v^{2}_{0}):

[large v^{2}_{0} – 2v^{2}_{0} = – v^{2}_{0} ]

В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени:

[large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]

Примечания:

1. Это формула, с помощью которой можно рассчитать путь тела, когда известны его начальная и конечная скорость, а, так же, ускорение.
2. Видно, что время t в правой части этого выражения отсутствует.
3. Мы выводили эту формулу для случая, когда тело увеличивало скорость.

Как выглядит формула пути без времени, когда скорость тела уменьшается

Если скорость тела будет уменьшаться, формулу для вычисления пути нужно будет переписать в таком виде:

[large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]

Получить такую формулу можно, проделав все шаги, описанные выше. Попробуйте самостоятельно ее получить. Выводить формулу нужно, используя формулы для уменьшающейся скорости:

[ large begin{cases} S  = v_{0} cdot t — displaystyle frac{a}{2} cdot t^{2} \ v  = v_{0} — a cdot t end{cases} ]

Выводы

Пусть нам известны начальная и конечная скорость тела и его ускорение. Тогда путь, пройденный телом, можно рассчитать так:

1. Когда движение равноускоренное и скорость тела увеличивается: [large boxed{ S = frac{ v^{2} — v^{2}_{0}}{2a} }]
2. А когда движение равнозамедленное и скорость уменьшается: [large boxed{ S = frac{ v^{2}_{0} — v^{2}}{2a} }]

В физике следует различать траекторию, путь и перемещение.

Длина пути измеряется в системе СИ в метрах, в СГС (сантиметр, грамм, секунда) – в сантиметрах. Применяются и другие единицы измерения длины, в том числе внесистемные (дюйм, фут, ярд, миля и т.д.).

При движении без ускорения путь равен произведению скорости на расстояние:

$S = v cdot (t_2 – t_1) = v cdot Delta t$,

где $v_0$ – скорость тела, $t_2$ — момент времени окончания движения, $t_1$ — момент времени начала движения, $Delta t$ – время движения. График зависимости пути от времени на координатной плоскости в случае такого, называемого равномерным, движения является прямой линией.

Если равноускоренное движение начато с нулевой скорости и известно ускорение, то формула пути имеет вид

$S = frac{a cdot t^{2}}{2}$

где $a$ – ускорение тела.

Объединив два условия, получим общую формулу нахождения пути при равноускоренном движении с произвольной начальной скоростью:

$S = frac{a cdot t^2}{2} + v_0 cdot Delta t$.

Если движение не равномерное и известна средняя скорость движения, то путь можно выразить и другим способом:

$S = v_{ср.} cdot Delta t$,

где $v_{ср.}$ – средняя скорость движения.

На практике движение бывает равномерным или равноускоренным лишь на небольших фрагментах пути, поэтому для вычисления его длины траекторию разбивают на участки, где тело движется по простым закономерностям, вычисляют длину каждого из них и суммируют. Если известна траектория, то ее разбивают на фрагменты, каждый из которых имеет простую геометрическую форму. Сложив их длины, можно найти путь.

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.

При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:

Формула перемещения

Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.

Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:

Извлекаем из графика необходимые данные:

• Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
• Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).

Подставляем известные данные в формулу:

Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.

Варианты записи формулы перемещения

Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:

v = v₀ ± at

В итоге получается формула:

Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».

Если начальная скорость равна 0 (v₀ = 0), эта формула принимает вид:

Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:

Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.

Перемещение при разгоне и торможении тела

Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:

Этап торможения

Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:

t₁ = t – t₂

Когда тело тормозит, через некоторое время t₁ оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t₁ равна 0:

0 = v₀₁ – at₁

При торможении перемещение s₁ равно:

Этап разгона

Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:

t₂ = t – t₁

Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t₂ равна:

v = at₂

При разгоне перемещение s₂ равно:

При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:

s = |s₁ – s₂|

Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:

l = s₁ + s₂

Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с². Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.

В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:

Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:

v₀₂ = v₀₁ + a₁t₁ = a₁t₁ (так как v₀₁ = 0)

Подставляем выраженные величины в формулу:

Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения

Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:

За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:

За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:

За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:

Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:

Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:

Формула перемещения за n-ную секунду

Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с^2. Найти его перемещение за 6 секунду.

Подставляем известные данные в формулу и получаем:

Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:

где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.

Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с². Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.

Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.

Подставляем известные данные в формулу:

Проекция и график перемещения

Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:

График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:

Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:

• Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
• Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.

Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.

Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:

Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:

График пути

График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.

В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:

• 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
• 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.

Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.

Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.

При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:

Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:

Алиса Никитина | Просмотров: 25.4k