Как найти расстояние в шестиугольной призме abcdefa1b1c1d1e1f1

Решение:

    Рассмотрим прямоугольный ΔАE₁E, в нём катет EE₁ = 1, как ребро призмы, катет АE найдём из основания призмы – правильного шестиугольника:

    Если вокруг шестиугольника описать окружность и из её центра провести радиусы к вершинам шестиугольника, получим равносторонние треугольники со сторонами 1 и углами равными 60º.
    Рассмотрим ΔАОE в нём стороны АО = ОE = 1, а ∠АОE = 60º + 60º = 120º. По теореме косинусов найдём сторону АE:

АE² = АО² + ОE² – 2·АО·ОE·сos∠АОС
АE² = 1² + 1² – 2·1·1·сos120º
АE² = 2 – 2·(–½)
АE² = 2 + 1
АE² = 3
AE = √3

    В прямоугольном ΔAE₁E, по теореме Пифагора, найдём AE₁:

AE₁² = EE₁² + AE²
AE₁² = 1² + √3²
AE₁² = 1 + 3
AE₁² = 4
AE₁ = √4 = 2

Ответ: 2.

На сайте уже были рассмотрены некоторые типы задач по стереометрии, которые входят в единый банк заданий экзамена по математике. Например, задания про составные многогранники.

Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.

Используется теорема Пифагора и теорема косинусов. Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны.

*Противолежащие стороны параллельны.

Рассмотрим задачи:

272533. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками A и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁E₁. По теореме Пифагора:

*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Отрезок АЕ₁ является гипотенузой,  АА₁ и А₁Е₁ катеты.  Ребро АА₁ нам известно. Катет А₁Е₁ мы можем найти используя используя теорему косинусов.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Следовательно

По теореме Пифагора:

Ответ: 96

*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

Сказано, что все рёбра равны 35, то есть сторона шестиугольника лежащего в основании равна 35. А так же, как уже сказано, радиус описанной около него окружности равен этому же числу.

Таким образом,

Ответ: 70

273353. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны сорока корням из пяти. Найдите расстояние между точками B и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник  BB₁E₁. По теореме Пифагора:

Отрезок B₁E₁ равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус  равен стороне шестиугольника, то есть

Таким образом,

Ответ: 200

273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD₁D.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD₁, в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне. 

Таким образом,

Ответ: 2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 23. Найдите угол  DAB. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

В нём  углы между сторонами равны 120°. Значит,

Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.

Ответ: 60

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 10. Найдите угол  AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AC₁C:

Найдём AC. В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС :

Таким образом,

Значит, угол AC₁C равен 60 градусам.

Ответ: 60

274453. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 10. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник AС₁С, он прямоугольный. Вычислим тангенс указанного в условии угла и определим угол. Известно, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

Катет С₁С = 10. Отрезок АС вычислим по теореме косинусов (это мы уже делали в первой задаче, запишем ещё раз):

В правильном шестиугольнике углы при вершинах равны 120 градусам, то есть

Следовательно

Таким образом:

Ответ: 60

245364. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками А и Е₁.

Посмотреть решение

245365. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками В и Е.

Посмотреть решение

245366. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁все ребра равны корню из пяти. Найдите расстояние между точками В и Е₁.

Посмотреть решение

245367. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD₁D.

Посмотреть решение

245368. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах. 

Посмотреть решение

245369. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха Вам!

В состав ЕГЭ включены и другие задачи по стереометрии, и они довольно разнообразны. Обязательно будем их рассматривать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

В правильной шестиугольной призме найдите расстояние

Дата: 2021-02-13

4271

Категория: Стерео Призма

Метка: ЕГЭ-№2

245364. В правильной шестиугольной призме найдите расстояние между точками A и E₁. Все ребра данной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равны 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁E₁. По теореме Пифагора:Известна длина ребра AA₁, найдём  A₁ E₁. Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°. По теореме косинусов:  квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между нимиОтвет: 2

245365. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁ C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

Искомое расстояние равно диаметру окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной 1. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, значит BE=2R=2.

Ответ: 2

245366. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁ C₁D₁E₁F₁ все ребра равны √5. Найдите расстояние между точками B и E₁.
Рассмотрим прямоугольный треугольник  BB₁E₁. По теореме Пифагора:Отрезок B₁E₁ равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, то естьОтвет: 5

Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.

Ok

xeasusth91