Как найти расстояние вектора по двум точкам

Skip to content

Длина вектора в пространстве

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Длина вектора a{X,Y,Z} выражается через его координаты следующей формулой:

Пример  
Длина вектора $aleft{ { — 2,3,sqrt 3 } right}$ равна

$left| a right| = sqrt {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}}  = $

$sqrt {{{left( { — 2} right)}^2} + {3^2} + {{left( {sqrt 3 } right)}^2}}  = sqrt {16}  = 4$

---

Расстояние между двумя точками в пространстве

Расстояние d между точками в пространстве A₁{x₁;y₁;z₁}, A₂{x₂;y₂;z₂} представляется формулой

---

Пример 
Расстояние между точками A₁{4;-6;3} и A₂ {-1;5;-4}

$d = sqrt {{{left( {{x_2} — {x_1}} right)}^2} + {{left( {{y_2} — {y_1}} right)}^2} + {{left( {{z_2} — {z_1}} right)}^2}} =  $

$=sqrt {{{left( { — 1 — 4} right)}^2} + {{left( {5 — left( { — 6} right)} right)}^2} + {{left( { — 4 — 3} right)}^2}} =$

$  =sqrt {25 + 121 + 49}  = sqrt {195}  approx 14$

12670

 Если
нам известны координаты точек (естественно,
в заданной системе координат), то
однозначно известно их положение.
Поэтому можно найти любые геометрические
характеристики их взаимного расположения.
Получим формулы, позволяющие по известным
координатам двух точек вычислить
расстояние между ними.

 В
простейшем случае, когда две
точки А₁ и А₂ находятся
на одной оси, расстояние между ними
определяется формулой

s
= |x₂ −
x₁|,
(3)

где х₁, х₂ −
координаты точек А₁ и А₂ соответственно.

 Очевидно,
что расстояние от А₁ до А₂ равно
расстоянию от А₂ до А₁,
что и привело у к тому, что в формуле (3)
появился знак модуля числа.

 Пусть
на плоскости задана система координат ХОY,
в которой координаты точки А₁ равны х₁ и у₁,
а координаты точки А₂,
соответственно, равны х₂ и у₂ (рис.
8).

рис.
8

 В
прямоугольном треугольнике А₁А₂В длина
стороны А₂В равна |х₂ −
х₁|,
а длина стороны А₁В
= |у₂ −
у₁|,
поэтому расстояние между точками А₁ и А₂ можно
найти по теореме Пифагора:

s
= √{(x₂ −
x₁)² +
(y₂ −
y₁)²}.
(4)

26. Линейные операции над векторами. Линейные операции над векторами

Сложение
векторов

Пусть
даны два вектора 
 и 
.
Приложим вектор 
 к
точке 
 (концу
вектора 
)
и получим вектор 
 (рис.1.7,а;
здесь и далее равные векторы отмечены
одинаковыми засечками).
Вектор 
 называется суммой
векторов 
 и 
 и
обозначается 
.
Это нахождение суммы называется правилом
треугольника.

Сумму
двух неколлинеарных векторов 
 и 
 можно
найти по правилу
параллелограмма.
Для этого откладываем от любой
точки 
векторы 
 и 
,
а затем строим параллелограмм 
 (рис.
1.7,6). Диагональ 
 параллелограмма
определяет сумму: 
.

Для
нахождения суммы нескольких векторов
можно построить ломаную из равных им
векторов. Тогда замыкающий
вектор,
соединяющий начало первого вектора
ломаной с концом последнего ее вектора,
равен сумме всех векторов ломаной. На
рис.1.7,в изображена сумма 
 четырех
векторов 
.
Таким способом (правило
ломаной)
можно сложить любое конечное число
векторов. Заметим, что сумма векторов
не зависит от точек приложения слагаемых
и от порядка суммирования. Например,
“выстраивая цепочку” векторов для
суммы в виде 
,
получим вектор, равный вектору 
.
Если ломаная получилась замкнутой, то
сумма равна нулевому вектору.

Вычитание
векторов

Вектор 
 называется противоположным вектору 
,
если их сумма равна нулевому вектору: 
.
Противоположный вектор 
 имеет
длину 
,
коллинеарен и противоположно направлен
вектору 
 (рис.1.8,а,б).
Нулевой вектор является противоположным
самому себе.

Разностью
векторов 
 и 
 называется
сумма вектора 
 с
вектором 
,
противоположным вектору 
:

Для
нахождения разности векторов 
 и 
 приложим
к произвольной точке 
 векторы 
,
а также вектор 
,
противоположный вектору 
 (рис.1.9,а).
Искомую разность находим по правилу
параллелограмма:

Для
нахождения разности проще использовать
правило треугольника (рис. 1.9,6). Для этого
прикладываем к произвольной
точке 
 векторы 
.
Вектор 
 при
этом равен искомой разности 
.

Вычитание
векторов — действие, обратное сложению
— можно определить также следующим
образом: разностью
векторов 
 и 
называется
такой вектор 
,
который в сумме с вектором 
 дает
вектор 
 (рис.1.9,в),
т.е. разность 
 —
это решение уравнения 
.

Пример
1.2. Для
векторов на рис. 1.6 найти следующие суммы
и разности:

Решение. Учитывая
равенство 
,
получаем по правилу треугольника 
.

Поскольку 
 и 
,
то 
.

По
правилу параллелограмма 
.

Так
как 
 и 
,
находим 

Умножение
вектора на число

Произведением
ненулевого вектора а на действительное
число 
 называется
вектор 
,
удовлетворяющий условиям:

1)
длина вектора 
 равна 
,
т.е. 
;

2)
векторы 
 и 
 коллинеарные 
;

3)
векторы 
 и 
 одинаково
направлены, если 
,
и противоположно направлены, если 
.

Произведение
нулевого вектора на любое число 
 считается
(по определению) нулевым вектором: 
;
произведение любого вектора на число
нуль также считается нулевым вектором: 
.
Из определения произведения следует,
что:

а)
при умножении на единицу 
 вектор
не изменяется: 
;

б)
при умножении вектора на 
 получается
противоположный вектор: 
;

в) деление
вектора на отличное от нуля число 
 сводится
к его умножению на число 
,
обратное 
.

г)
при делении ненулевого вектора 
 на
его длину, т.е. при умножении 
 на
число 
 получаем
единичный вектор, одинаково направленный
с вектором 
.

Действительно,
длина вектора 
 равна
единице: 
.

Вектор 
 коллинеарен
и одинаково направлен с вектором 
,
так как 
;

д)
при умножении единичного вектора на
число 
 получаем
коллинеарный ему вектор, длина которого
равна 
.

На
рис.1.10 изображены векторы, получающиеся
в результате умножения данного
вектора 
 на 
 и 
,
а также противоположный вектор 
.

Свойства
линейных операций над векторами

Сложение
векторов и умножение вектора на число
называются линейными
операциями над векторами.

Для
любых векторов 
 и
любых действительных чисел 
 справедливы
равенства:

Свойства
1, 2 выражают коммутативность и
ассоциативность операции сложения
векторов, свойство 5 — ассоциативность
операции умножения на число, свойства
6,7 — законы дистрибутивности, свойство
8 называется унитарностью.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

План урока:

Прямоугольная система координат

Координаты вектора

Координаты середины отрезка

Вычисление длины векторов и расстояния между точками

Коллинеарность векторов

Определение компланарности векторов

Скалярное произведение векторов

Прямоугольная система координат

В планиметрии мы уже рассматривали прямоугольную систему координат. Ее образовывали 2 перпендикулярные друг другу оси – Ох и Оу. С ее помощью можно было определить положение любой точки на координатной плоскости, просто указав две ее координаты – абсциссу х и ординату у.

В стереометрии необходимо определять положение точки уже не на плоскости, а в пространстве. Для этого добавляется третья ось Оz, которую ещё называют осью апликат. Каждые пара осей образует свою отдельную координатную плоскость, всего получается три таких плос-ти: Оху, Охz и Oуz.

Точка О именуется началом координат. Она делит каждую ось на два луча, один из которых – это положительная полуось, а второй – отрицательная полуось.

Для каждой точки в пространстве можно указать три координаты, однозначно определяющие ее положение в пространстве. Пусть в пространстве есть некоторая точка М. Опустим из нее перпендикуляры на координатные плоскости. В свою очередь из этих проекций точки М опустим перпендикуляры уже на координатные оси. В результате будет построен прямоугольный параллелепипед. Измерения этого параллелепипеда и будут координатами точки М:

Если точка M находится в одной из координатных плоскостей, то одна из ее координат будет нулевой. Например, если М принадлежит плоскости Охz, то нулю будет равна координата у. Если же точка располагается на одной из координатных осей, то у нее уже две координаты будут нулевыми. Так, если точка находится на оси Ох, то только координата х может быть ненулевой, а у и z окажутся нулевыми координатами.

На показанном рисунке ребра параллелепипеда лежат на положительных полуосях, поэтому все координаты положительны. Если же какие-то ребра будут лежать на отрицательных полуосях, то и соответствующие координаты будут отрицательными.

Координаты вектора

Введем в пространстве прямоугольную систему коорд-т, а далее от ее начала отложим вектора i, j и k, которые соответственно будут лежать на координатных осях Ох, Оу и Оz, и длина которых составит единицу. Эти вектора именуют координатными векторами, единичными векторами или просто ортами.

Ясно, что орты находятся в разных плоскостях, то есть они образуют тройку некомпланарных векторов. Это означает, что любой вектор а в пространстве можно разложить на орты:

где х, у и z – какие-то действительные числа. Они как раз и считаются координатами вектора а. Записываются коорд-ты вектора в фигурных скобках. На следующем рисунке показан вектор а{3; – 2; – 4}.

Задание. Разложите на орты вектор

Если начало вектора ОМ располагается в начале системы координат О, то вектор ОМ именуют радиус-вектором. В таком случае коорд-ты точки конца вектора, то есть точки М, совпадают с коорд-тами самого вектора ОМ.

Это свойство радиус-вектора мы уже изучали в 9 классе в планиметрии, и в стереометрии оно сохраняется.

Задание. О – начало координат, а точка М имеет коорд-ты (2; 5; – 3). Найдите коорд-ты вектора ОМ.

Решение. Всё очень просто – коорд-ты вектора будут совпадать с коорд-тами его конца, так его начало совпадает с началом коорд-т:

Также в стереометрии остаются справедливыми ещё несколько правил, которые были доказаны в курсе планиметрии:

Задание. Найдите сначала сумму, а потом разность векторов а{3; 7; 5} и b{2; 4; 6}.

Решение. Будем обозначать коорд-ты векторов через индексы. Например, коорд-ты вектора а – это х_а, у_а и z_а. Пусть сумма векторов будет вектором с, а их разность – вектором d. Для вычисления суммы надо складывать соответствующие координаты:

Для вычисления разности надо из коорд-т вектора а вычитать коорд-ты вектора b:

Задание. Вычислите коорд-ты вектора р, зная, что:

Решение. Для вычисления координат надо в выражении для вектора р сами векторы заменить на их координаты:

Получается, что вектор p имеет координаты {0; – 2; 3}.

Теперь мы можем доказать ещё одно утверждение, уже известное из курса планиметрии:

Действительно, пусть есть некоторый вектор АВ, причем коорд-ты точек А и В известны. Построим радиус-вектора OА и OВ:

Координаты радиус-векторов будут совпадать с координатами их концов:

ч. т. д.

Задание. Определите коорд-ты вектора CD, если даны коорд-ты точек С и D: С(3; 8; – 5) и D(5; 4; 1).

Решение. Здесь надо просто из коорд-т точки D, являющейся концом вектора, вычесть коорд-ты точки С:

Задание. От точки K(10; 6; 13) отложен вектор m{3; 2; 5}, конец совпал в точку H. Найдите коорд-ты точки H.

Решение. Коорд-ты вектора m и его концов связаны формулами:

Координаты середины отрезка

Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:

Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:

Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:

Рассмотрим несколько задач на координаты точек.

Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).

Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:

Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.

Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:

Вычисление длины векторов и расстояния между точками

Рассмотрим радиус-вектор ОМ с коорд-тами {x; у; z}. Попытаемся найти его длину. Мы можем построить прямоугольный параллелепипед, в котором этот вектор окажется диагональю:

Напомним, что квадрат длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде равен сумме квадратов его измерений. Но в полученном параллелепипеде измерения – это коорд-ты х, у и z, поэтому можно записать:

Так как равные вектора имеют как одинаковы и коорд-ты, и длина, то ясно, что каждый вектор с коорд-тами {x; y; z} будет равен рассмотренному радиус-вектору, а значит и его длина будет рассчитываться по такой же формуле.

Задание. Найдите длину вектора m{– 2; 9; 6}.

Решение. Просто используем формулу:

Рассмотрим отрезок АВ с известными коорд-тами его концов. Можно построить вектор АВ, его коорд-ты будут определяться так:

Задание. Найдите расстояние между точкой K(10; 15; 5) и M(16; 21; – 2).

Решение. Просто подставляем коорд-ты точек в формулу:

Задание. Найдите длину медианы KM в ∆ KPN, если известны коорд-ты его вершин: P(2; 5; 8), N (6; 9; 12) и K(16; 11; 13).

Решение. Для нахождения длины медианы достаточно знать коорд-ты ее концов. Коорд-ты K уже известны, а M – середина PN, что позволяет вычислить и ее коорд-ты:

Коллинеарность векторов

Напомним, что если два вектора а и b коллинеарны друг другу, то должно существовать такое число k, что

Полученное отношение (1) является одновременно и признаком коллинеарных векторов, и их свойством. Слово «признак» означает, что любые вектора, чьи координаты соответствуют условию (1), будут коллинеарны. Слово «свойство» означает обратное – если известно, что вектора коллинеарны, то для них обязательно выполняется условие (1). В таких случаях в математике может использоваться словосочетание «тогда и только тогда»:

Очень важно то, что это правило действует только в случае, если все коорд-ты векторов ненулевые. Теперь рассмотрим случай, когда какие-то коорд-ты вектора b (одна или две из них) равны нулю. Например, пусть

В результате мы выяснили, что если коорд-та одного вектора нулевая, то и у любого вектора, коллинеарному ему, эта же коорд-та также должна быть нулевой. Особняком стоит случай с нулевым вектором с коорд-тами {0; 0; 0}. Он условно признается коллинеарным любому вектору.

Задание. Выясните, какие из этих пар векторов коллинеарны:

Решение. В первом задании просто делим друг на друга соответствующие коорд-ты и находим значение коэффициента k:

Значение коэффициента k оказалось одинаковым для каждой пары коорд-т, значит, вектора коллинеарны.

Повторяем эти действия в задании б):

На этот раз коэффициенты k оказались различными, значит, вектора неколлинеарны.

В задании в) у вектора е коорд-та z нулевая. Значит, если и у вектора f, если он коллинеарен z, эта координата должна быть нулевой, но это не так. Значит, вектора e и f неколлинеарны.

В задании г) снова указаны вектора с нулевыми коорд-тами. Но у обоих векторов коорд-та z нулевая, поэтому они могут быть коллинеарными. Однако необходимо проверить, что отношение ненулевых координат одинаково:

Коэффициент k получился одинаковым, поэтому вектора коллинеарны.

В последнем задании д) вектор n – нулевой, ведь все его коорд-ты нулевые. Нулевой вектор всегда коллинеарен другим векторам, в том числе и в этом задании.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да.

Задание. Выясните, располагаются ли на одной прямой точки А(3; 5; 12), В(5; 7; 16) и С(0; 2; 6).

Решение. Ясно, что если эти точки находятся на одной прямой, то вектора АВ и ВС будут коллинеарными. Если же эти вектора неколлинеарны, то и точки должны находиться на разных прямых.

Сначала вычислим коорд-ты векторов АВ и ВС:

Теперь проверяем, коллинеарны ли эти вектора:

Коэффициенты k одинаковы, а потому АВ и ВС – коллинеарные векторы. Значит, точки А, В и С находятся на одной прямой.

Определение компланарности векторов

Пусть у нас есть три вектора с известными коорд-тами:

Как определить, компланарны ли эти вектора, то есть располагаются ли они в одной плоскости? Если эти вектора компланарны, то, по признаку компаланарности, вектор а можно разложить на вектора b и с:

где х и y – некоторые числа. Но если такое разложение существует, то коорд-ты векторов а, b и с будут связаны равенствами:

Получили систему из 3 уравнений с двумя неизвестными (х и y). Если такая система имеет решение, то вектора компланарны. Если же решения нет, то вектора не компланарны.

Задание. Определите, компланарны ли вектора

Имеем систему с тремя уравнениями. Из последних двух уравнений очевидно, что его решением может быть только пара чисел:

Значит, рассмотренная тройка векторов компланарна.

Задание. Располагаются ли в одной плос-ти вектора:

Решение. Нам надо проверить компаланарность векторов, поэтому действуем также, как и в предыдущей задаче. Если вектора компланарны, то существует разложение:

Получилось неверное равенство. Это означает, что у системы уравнений решения нет, и потому тройка векторов некомпланарна.

Скалярное произведение векторов

В 9 классе мы уже изучали скалярное произведение векторов.

Для нахождения угла между векторами необходимо отложить их от одной точки, тогда они образуют такой угол.

Задание. Угол между векторами с и d составляет 60°, а их длины соответственно равны 5 и 6. Найдите их скалярное произведение.

Решение. Здесь для расчета просто перемножаем длины векторов и косинус 60°:

Напомним несколько уже известных нам фактов о скалярном произведении, остающихся верными и в стереометрии:

Формула для расчета скалярного произведения по коорд-там векторов, используемая в стереометрии, несколько отличается от формулы из курса планиметрии. Напомним, что в планиметрии произведение векторов а{x_а; у_а} и b{х_b; y_b} можно было рассчитать так:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов:

На практике скалярное произведение обычно используется для расчета углов между векторами, а также отрезками и прямыми. Рассмотрим несколько задач.

Задание. Вычислите угол между векторами:

Теперь через скалярное произведение возможно рассчитать косинус искомого нами угла, а затем и сам угол, который мы обозначим как α:

Задание. Рассчитайте углы в ∆АВС, зная коорд-ты его вершин: А(1; – 1; 3), В(3; – 1; 1) и С(– 1; 1; 3).

Решение. Чтобы найти ∠В, необходимо просто рассчитать угол между векторами ВС и ВА также, как это сделано в предыдущей задаче. Но сначала найдем коорд-ты векторов ВС и ВА и их длины:

Далее рассчитываем скалярное произведение векторов:

Теперь найдем угол А, который представляет собой угол между векторам AВ и AС. Вектор AВ – это вектор, противоположный ВA, то у него та же длина, но противоположный знак у коорд-т:

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ ребра имеют длину:

AB = 1

BC = 2

BB₁ = 2

Рассчитайте угол между векторами DB₁ и BC₁.

Решение. Введем систему коорд-т Охуz и расположим в нем параллелепипед следующим образом:

При этом построении граничные точки векторов будут иметь следующие коорд-ты:

Находим коорд-ты векторов, а также их длины:

Рассчитываем скалярное произведение DB₁ и BC₁:

Получили ноль. Из этого вытекает, что вектора перпендикулярны, то есть искомый нами угол составляет 90°.

Ответ: 90°

Сегодня мы научились использовать координаты для решения стереометрических задач. Почти все формулы, используемые в методе координаты, аналогичны тем формулам, которые были выведены ещё в курсе планиметрии. Надо лишь учитывать существование ещё одной, третьей координаты z.

Простейшие задачи в координатах

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

К простейшим задачам в координатах относятся следующие задачи:

1. Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца.

2. Нахождение координат середины отрезка.

3. Вычисление длины вектора.

4. Вычисление расстояние между двумя точками.

Рассмотрим далее решение этих задач.

Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца

Перед тем, как ввести данную задачу напомним понятие радиус вектора данной точки.

Определение 1

Пусть точка $M$ дана в заданной системе координат с началом в точке $O$. Тогда вектор $overrightarrow{OM}$ называется радиус-вектором для точки $M$.

Напомним, что при этом, если $M={x,y}$ в данной системе координат, то вектор $overrightarrow{OM}={x,y}$ в этой системе координат.

Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽

Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online

Бесплатное пробное занятие

*количество мест ограничено

Пример 1

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $left{x_1, y_1right}$ и ${x_2, y_2}$ соответственно. Найти координаты вектора $overrightarrow{AB}.$

Решение.

Рассмотрим рисунок по данной задаче (Рис. 1).

Рисунок 1. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

По определению разности двух векторов, имеем

[overrightarrow{AB}=overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}]

Следовательно,

[overrightarrow{AB}=left{x_2, y_2right}-left{x_1, y_1right}={x_2-x_1, y_2-y_1}]

Ответ: $overrightarrow{AB}={x_2-x_1, y_2-y_1}$.

Координаты середины отрезка

Пример 2

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $left{x_1, y_1right}$ и ${x_2, y_2}$ соответственно. $C$ — середина отрезка $AB$. Найти координаты точки $C.$

Решение.

Обозначим координаты точки $C$ через $left{x, yright}$. Рассмотрим рисунок 2.

Рисунок 2. Середина отрезка

Из правила параллелограмма, получим

[overrightarrow{OC}=frac{1}{2}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB})]

Так как векторы $overrightarrow{OC}, overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB}$ – радиус-векторы точек $C, A и B$ соответственно, то получим

[overrightarrow{OC}=left{x, yright}, overrightarrow{OA}=left{x_1, y_1right}, overrightarrow{OB}={x_2, y_2}]

Следовательно,

[x=frac{x_1+x_2}{2}, y=frac{y_1+y_2}{2}]

Ответ: $C=left{frac{x_1+x_2}{2}, frac{y_1+y_2}{2}right}$

«Простейшие задачи в координатах» 👇

Вычисление длины вектора по его координатам

Пример 3

Дан вектор $overrightarrow{a}$ с координатами $left{x, yright}$. Найти длину этого вектора.

Решение.

Рассмотрим систему координат $xOy$. Отложим от ее начала координат вектор $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$. Проведем через точку $A$ перпендикуляры к осям координат $OA_1$ и $OA_2$ (рис. 3).

Рисунок 3. Вычисление длины вектора

Так как вектор $overrightarrow{OA}$ – радиус вектор точки $A$, то $A=left{x, yright}$, следовательно,

[OA_1=x, OA_2=y]

Найдем теперь длины вектора по теореме Пифагора:

[{|overrightarrow{a}|}^2={OA_1}^2+{OA_2}^2] [{|overrightarrow{a}|}^2=x^2+y^2] [left|overrightarrow{a}right|=sqrt{x^2+y^2}]

Ответ: $sqrt{x^2+y^2}$.

Расстояние между двумя точками

Пример 4

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $left{x_1, y_1right}$ и ${x_2, y_2}$ соответственно.Найти $d$ — расстояние между точками $A$ и $B$ через их координаты.

Решение.

Рассмотрим рисунок 4.

Рисунок 4. Расстояние между точками

[ d=|overrightarrow{AB}|]

Используя задачу 1, получим, что вектор $overrightarrow{AB}$ имеет координаты

[overrightarrow{AB}={x_2-x_1, y_2-y_1}]

Найдем длину данного вектора. По задаче 3, имеем

[d=left|overrightarrow{AB}right|=sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}]

Ответ: $d=sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 05.04.2023