Нахождение кратчайшего расстояния между прямыми в пространстве
Содержание:
- Что такое расстояние между прямыми в пространстве
- Метод координат для определения расстояния
-
Примеры задач с решением
- Задача 1
- Задача 2
Что такое расстояние между прямыми в пространстве
Для начала дадим определение этому понятию.
Определение
Расстояние между прямыми в пространстве — это отрезок, который соединяет две прямые линии по самому короткому пути. Иными словами, он перпендикулярен обеим этим прямым.
Но не всегда две линии могут быть параллельны друг другу.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Определение
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.
Таким образом, чтобы найти расстояние между этими скрещивающимися прямыми, нужно от одной из прямых провести перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.
Между параллельными прямыми расстояние одинаково на протяжении всей их длины: перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из этих линий, всегда будет одной и той же величины.
Метод координат для определения расстояния
Разберем пошагово способ определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.
- Определить координаты точек (М_1) и (М_2), лежащих соответственно на прямых a и b.
- Найти x, y и z направляющих векторов для прямых a и b.
- Найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая b с помощью векторного произведения (overrightarrow a) и (overrightarrow b).
- Записать общее уравнение плоскости: (A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0) и потом записать к нормированному виду уравнения плоскости, которое выглядит так: (xtimescosleft(alpharight)+ytimescosleft(betaright)+ztimescosleft(gammaright)-p=0), где p — свободный член (число, которое равно расстоянию точки начала координат до плоскости), а (cosleft(alpharight),;cosleft(betaright)) и (cosleft(gammaright)) — координаты единичного нормального вектора плоскости.
- Далее, для определения расстояния от точки M до искомой плоскости, воспользуемся следующим уравнением: (M_1H_1=left|x_1timescosleft(alpharight)+y_1timescosleft(betaright)+z_1cosleft(gammaright)-pright|), где (x_1), (y_1) и (z_1) — координаты точки (M_1), лежащей на прямой a, а (H_1) — точка, лежащая на искомой плоскости.
Примеры задач с решением
Задача 1
Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1) с ребром равным (sqrt{32}) см. Найти расстояние между прямыми (DB_1) и (CC_1).
Решение
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать в качестве расстояния между прямой (CC_1) и плоскостью, проходящей через (DB_1) параллельно (CC_1). Так как (DD_1parallel CC_1), плоскость ((B_1D_1D)) параллельна (СС_1).
Сначала нужно доказать, что (CO) — перпендикуляр, проведенный к этой плоскости. (COperp BD) (как диагонали квадрата) и (COperp DD_1) (так как ребро (DD_1) перпендикулярно всей плоскости ((ABC))). Получается, (CO) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости. Значит, (COperp(B_1D_1D)).
(AC) — диагонально квадрата — равна (ABsqrt2), то есть (AC=sqrt{32}timessqrt2=sqrt{64}=8) см. Следовательно, (CO=frac12times AC=4) см.
Ответ: 4 см.
Задача 2
В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве:
(left{begin{array}{l}x=-2\y=1+2timeslambda\z=4-3timeslambdaend{array}right.)
А прямую b канонические уравнения прямой в пространстве:
(frac x1=frac{y-1}{-2}=frac{z+4}6).
Вычислить расстояние между заданными прямыми.
Решение
Прямая a проходит через точку (M_1(-2, 1, 4)) и имеет направляющий вектор (overrightarrow a=(0, 2, -3)). Прямая b проходит через точку (M_2 (0, 1, -4)), а ее направляющий вектором является вектор (overrightarrow b=(1, -2, 6)).
Найдем векторное произведение векторов( overrightarrow a=(0, 2, -3)) и (overrightarrow b=(1, -2, 6): left[overrightarrow atimesoverrightarrow bright]=begin{vmatrix}overrightarrow i&overrightarrow j&overrightarrow k\0&2&-3\1&-2&6end{vmatrix}=6timesoverrightarrow i-3timesoverrightarrow j-2timesoverrightarrow k).
Так, (overrightarrow n=left[overrightarrow atimesoverrightarrow bright]) плоскости X, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты (6, -3, -2).
Таким образом, уравнение плоскости X есть уравнение плоскости, проходящей через точку (M_2(0, 1, -4)) и имеющей нормальный вектор (overrightarrow n=(6, -3, -2)):
(6times(x-0)-3times(y-1)-2times(z-(-4))=0;leftrightarrow6x-3y-2z-5=0)
Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости (6x-3y-2z-5=0) равен (frac1{sqrt{6^2+{(-3)}^2+{(-2)}^2}}=frac17). Значит, нормальное уравнение этой плоскости выглядит как (frac67x-frac37y-frac27z-frac57=0).
Воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки (M_1(-2, 1, 4)) до плоскости (frac67x-frac37y-frac27z-frac57=0: left|M_1H_1right|=left|frac67times(-2)-frac37times1-frac27times4-frac57right|=left|frac{-28}7right|=4) см.
Ответ: 4 см.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 декабря 2022 года; проверки требует 1 правка.
- В данной статье рассматриваются две параллельные прямые на плоскости. Для параллельных прямых, расположенных не в одной плоскости, смотрите Скрещивающиеся прямые#расстояние.
Расстояние между двумя прямыми линиями на плоскости — это наименьшее расстояние между любыми двумя точками, лежащими на этих прямых. В случае пересекающихся линий расстояние между ними равно нулю, потому что минимальное расстояние между ними равно нулю (в точке пересечения), в то время как в случае двух параллельных линий это перпендикуляр — расстояние от точки на одной прямой к другой прямой.
Формулы и доказательства[править | править код]
Если линии параллельны, то расстояние между ними — это постоянная величина, так что не важно, какая точка выбрана, чтобы измерить расстояние. Даны уравнения двух параллельных линий
расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикуляром
Это расстояние может быть найдено при решении системы линейных уравнений
и
чтобы получить координаты точек пересечения. Определяем координаты точки пересечения
и
Расстояние между точками
которое можно сократить, как
Если известны уравнения прямых в декартовой системе координат, то можно их записать:
где расстояние между прямыми можно записать так
См. также[править | править код]
- Расстояние от точки до линии
- Скрещивающиеся прямые#расстояние
Анна Кирпиченкова
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Очень часто на практике необходимо найти расстояние между точкой и некой прямой линией или между двумя прямыми линиями в пространстве, например, иногда определять расстояние между двумя линиями приходится и в реальной жизни. Хорошая иллюстрация такого примера — это знак, который вешают на мосты для грузовиков, указывающий максимальную высоту грузовика, которая может проехать под данным мостом.
Расстояние от верхней грани грузовика и нижней грани в данном случае определяют как расстояние между двумя прямыми.
Расстояние между 2 прямыми в пространстве — это отрезок, соединяющий две прямые линии по наикратчайшему расстоянию между ними, то есть перпендикулярный к обеим прямым.
Определение 1
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной заданной прямой и плоскостью, в которой лежит вторая прямая.
Чтобы было чуть проще понять, что это такое, давайте повторим определение скрещивающихся прямых:
Определение 2
Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют каких-либо совместных друг для друга точек.
Соответственно, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, необходимо от одной из прямых опустить перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.
Расстояние же между двумя параллельными прямыми в пространстве является одинаковым на протяжении всей длины параллельных прямых, то есть перпендикуляр, опущенный из одной параллельной прямой на другую, всегда будет одной и той же длины вне зависимости от того, из какой именно точки его опустили.
Метод координат для определения расстояния между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве можно найти используя метод координат, для этого необходимо:
«Расстояние между 2 прямыми в пространстве» 👇
- Найти координаты точек $M_1$ и $M_2$, лежащих на прямых $a$ и $b$ соответственно.
- Вычислить икс, игрек и зет направляющих векторов для прямых $a$ и $b$.
- С помощью векторного произведения векторов $overline{a}$ и $overline{b}$ нужно найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая $b$. Затем необходимо записать общее уравнение плоскости: $A (x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$, и от него перейти к нормированному виду уравнения плоскости следующего вида: $ x cdot cos α + y cdot cos β + z cdot cos{γ} – p = 0$, где $cos α, cos β$ и $cos γ$ — координаты единичного нормального вектора плоскости, а $p$ — свободный член, это число равно расстоянию от точки начала координат до плоскости.
- Для вычисления расстояния от точки $M$ до искомой плоскости, нужно воспользоваться следующим уравнением:
$M_1H_1 = |x_1 cdot cos α + y_1 cdot cos β + z_1 cdot cos{γ} – p|$, где $x_1, y_1, z_1$ – координаты точки $M_1$, лежащей на прямой $a$, а $H_1$ — точка, лежащая на искомой плоскости.
Пример 1
Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями:
$d_1$:
$frac {x-2}{2} = frac {y + 1}{-3} = frac{z}{-1}$
и $d_2$: $begin{cases} frac{x + 1}{1} = frac{y}{-2} \ z – 1 = 0 end{cases}$
Рисунок 1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве
Для этого воспользуемся следующей формулой:
$ ρ(d_1d_2) = frac{| overline{p_1} cdot overline{p_2} cdot overline{M_1M_2}|}{[overline{p_1} × overline{p_2}]}$
Сначала найдём смешанное произведение векторов. Для этого найдём точки, лежащие на данных прямых, и их направляющие вектора:
$d_1$: $frac {x-2}{2} = frac {y + 1}{-3} = frac{z}{-1}$, точка, лежащая на прямой — $M_1$ с координатами $(2;-1;0)$, а направляющий вектор — $overline{p_1}$ с координатами $(2; -3; -1)$
$d_2$: $begin{cases} frac{x + 1}{1} = frac{y}{-2} \ z – 1 = 0 end{cases}$, точка, лежающая на прямой — $M_2$ с координатами $(-1; 0; 1)$,
а её направляющий вектор — $overline{p_2}$ с координатами $(1; -2; 0)$
Теперь найдём вектор $overline{M_1M_2}$:
$overline{M_1M_2} = (-1-2;0-(-1);1-0) = (-3; 1; 1)$
Найдём смешанное произведение векторов:
$overline{p_1} cdot overline{p_2} cdot overline{M_1M_2} = begin{array}{|ccc|} 2& 1 & -3 \ -3& -2 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ end{array} = – begin{array}{|cc|} 1 & -3 \ -2 & 1 \ end{array} + begin{array}{|cc|} 2 & 1 \ -3 & -2 \ end{array} = -(1 – 6) + (4 + 3) = 4$
Теперь найдём векторное произведение векторов:
$[|overline{p_1} × overline{p_2}|] = begin{array}{|ccc|} i& j & k \ 2 & -3 & -1 \ 1 & -2 & 0 end{array} = begin{array}{|cc|} -3 & -1 \ -2 & 0 end{array} cdot overline{i} – begin{array}{|cc|} 2 & -1 \ 1 & 0 end{array} cdot overline{j} + begin{array}{|cc|} 2 & -3 \ 1 & -2 end{array} cdot overline{k}$
$[|overline{p_1} × overline{p_2} |]= -2 overline{i} – overline{j} – overline{k}$
Длина этого векторного произведения составит:
$overline{p_1} × overline{p_2} = sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = sqrt{6}$
Соответственно, длина между скрещивающимися прямыми составит:
$ ρ(d_1d_2) = frac{|4|}{sqrt{6}} ≈ 1,63$
Пример 2
Даны две параллельные несовпадающие прямые $g$ и $m$, ниже приведены уравнения для них. Определить расстояние между ними.
$g$: $frac{x-1}{4} = frac{y + 1}{6}= frac{z+3}{8}$
$m$: $frac{x+1}{2} = frac{y – 1}{3}= frac{z – 3}{4}$
Расстояние в этом случае для них вычисляется по следующей формуле:
$ρ(m;g) =frac{|[overline{r_2} – overline{r_1} × overline{s_1}]|}{|overline{s_1}|}$, где
$overline{r_2}, overline{r_1}$ — радиус-векторы для каждой прямой, а $s_1$ — направляющий вектор.
Радиус-вектор для первой прямой будет $r_1={1; -1; -3}$, а направляющий вектор $s_1 = {4; 6; 8}$.
Радиус-вектор для второй прямой будет $r_2={-1; 1; 3}$, а направляющий вектор $s_2 = {2; 3; 4}$.
Найдём векторную разность радиус-векторов:
$overline{r_2} – overline{r_1} = {-1; 1; 3} – {1; -1; -3} = {-2;0;0}$
Теперь найдём её произведение с направляющим вектором для первой прямой:
$[overline{r_2} – overline{r_1} × overline{s_1}] = begin{array}{|ccc|} i & j & k \ -2 & 0 & 0 \ 4 & 6 & 8 \ end{array} = – 16j – 12k = {0;-16;-12}$
$|[overline{r_2} – overline{r_1} × overline{s_1}]| = sqrt{(-16)^2 + (-12)^2} = 20$
$|overline{s_1}| = sqrt{4^2 + 6^2 +8^2} = 2sqrt{29}$
$ρ(m;g) = frac{20}{2sqrt{29}} = frac{10}{sqrt{29}} ≈ 1.85$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.
Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение
Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
Приведем иллюстрацию для наглядности: 
На чертеже изображены две параллельные прямые a и b. Точка М1 принадлежит прямой a, из нее опущен перпендикуляр на прямую b. Полученный отрезок М1Н1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b.
Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.
Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.
Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b. Зададим на прямой а точки М1 и М2, опустим из них перпендикуляры на прямую b, обозначив их основания соответственно как Н1 и Н2. М1Н1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что |М1Н1|=|М2Н2|.
Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠M2M1H2=∠H1H2M1. Прямая М2Н2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a. Получившиеся треугольники М1Н1Н2 и М2М1Н2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М1Н2 – общая гипотенуза, ∠M2M1H2=∠H1H2M1. Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: |М1Н1| = |М2Н2|. Теорема доказана.
Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.
Нахождение расстояния между параллельными прямыми
Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.
Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b. Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.
Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:
– найти координаты некоторой точки М1, принадлежащей одной из заданных прямых;
– произвести вычисление расстояния от точки М1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.
Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М1 просто. При нахождении расстояния от точки М1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.
Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением Ax+By+C1=0, а прямая b – уравнением Ax+By+C2=0. Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:
M1H1=C2-C1A2+B2
Выведем эту формулу.
Используем некоторую точку М1 (x1, y1), принадлежащую прямой a. В таком случае координаты точки М1 будут удовлетворять уравнению Ax1+By1+C1=0. Таким образом, справедливым является равенство: Ax1+By1+C1=0; из него получим: Ax1+By1=-C1.
Когда С2<0, нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:
AA2+B2x+BA2+B2y+C2A2+B2=0
При С2≥0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:
AA2+B2x+BA2+B2y-C2A2+B2=0
И тогда для случаев, когда С2<0, применима формула: M1H1=AA2+B2x1+BA2+B2y1+C2A2+B2.
А для С2≥0 искомое расстояние определяется по формуле M1H1=-AA2+B2x1-BA2+B2y1-C2A2+B2==AA2+B2x1+BA2+B2y1+C2A2+B2
Таким образом, при любом значении числа С2 длина отрезка |М1Н1| (от точки М1 до прямой b) вычисляется по формуле: M1H1=AA2+B2x1+BA2+B2y1+C2A2+B2
Выше мы получили: Ax1+By1=-C1, тогда можем преобразовать формулу: M1H1=-C1A2+B2+C2A2+B2=C2-C1A2+B2. Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.
Разберем теорию на примерах.
Заданы две параллельные прямые y=23x-1 и x=4+3·λy=-5+2·λ. Необходимо определить расстояние между ними.
Решение
Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М1 (4, -5). Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М1(4, -5) до прямой y=23x-1, произведем его вычисление.
Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y=23x-1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:
y=23x-1⇔23x-y-1=0⇔2x-3y-3=0
Вычислим нормирующий множитель: 122+(-3)2=113. Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 113·2x-3y-3=113·0⇔213x-313y-313=0.
При x=4, а y=-5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:
213·4-313·-5-313=2013
Ответ: 2013.
В фиксированной прямоугольной системе координат Oxy заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x-3=0 и x+50=y-11. Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.
Решение
Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x+50=y-11⇔x+5=0. При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:
M1H1=C2-C1A2+B2=5-(-3)12+02=8
Ответ: 8.
Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.
В прямоугольной системе координат Oxyz заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x-31=y-1=z+24 и x+51=y-1-1=z-24. Необходимо найти расстояние между этими прямыми.
Решение
Из уравнения x-31=y-1=z+24 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М1(3, 0, -2). Произведем вычисление расстояния |М1Н1| от точки М1 до прямой x+51=y-1-1=z-24.
Прямая x+51=y-1-1=z-24 проходит через точку М2(-5, 1, 2). Запишем направляющий вектор прямой x+51=y-1-1=z-24 как b→ с координатами (1, -1, 4). Определим координаты вектора M2M→:
M2M1→=3-(-5, 0-1, -2-2)⇔M2M1→=8, -1, -4
Вычислим векторное произведение векторов :
b→×M2M1→=i→j→k→1-148-1-4=8·i→+36·j→+7·k→⇒b→×M2M1→=(8, 36, 7)
Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:
M1H1=b→×M2M1→b→=82+362+7212+(-1)2+42=140932
Ответ: 140932.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Расстояние между прямыми в пространстве онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых (“канонический” или “параметрический” ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
где M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, а q1={m1, p1, l1} и q2={m2, p2, l2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.
Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.
1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве
Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.
Метод 1. От точки M1 прямой L1 проводим плоскость α, перпендикулярно прямой L2. Находим точку M3(x3, y3, y3) пересечения плоскости α и прямой L3. По сути мы находим проекцию точки M1 на прямую L2. Как найти проекцию точки на прямую посмотрите здесь. Далее вычисляем расстояние между точками M1(x1, y1, z1) и M3(x3, y3, z3):
которое и является расстоянием между прямыми L1 и L2 (Рис.1).
Пример 1. Найти расстояние между прямыми L1 и L2:
Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор
Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор
Найдем проекцию точки M1 на прямую L2. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямойL2.
Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L2, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L2, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L2. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет следующий вид:
Подставляя значения m2, p2, l2, x1, y1, z1 в (5) получим :
После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:
Найдем точку пересечения прямой L2 и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L2.
Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L2:
Чтобы найти точку пересечения прямой L2 и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):
Решив уравнение получим:
Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L2 и плоскости α:
Остается найти расстояние между точками M1 и M3:
Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.2506.
Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L1 и L2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L1 и L2. Если направляющие векторы прямых L1 и L2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q1=λq2, то прямые L1 и L2 параллельны.
Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов 
и q1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q1 параллелограмма.
Вычислим координаты вектора :
Вычислим векторное произведение векторов и q1:
Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:
Далее находим площадь параллелограмма:
Расстояние между прямыми L1 и L2 равно:
где
Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми
и
Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор
Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор
Векторы q1 и q2 коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.
Построим вектор ={x2−x1, y2−y1, z2−z1}={7, 2, 0}.
Вычислим векторное произведение векторов и q1. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q1:
Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q1:
Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q1 будет вектор:
Поскольку векторное произведение векторов и q1 дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L1 и L2 равно :
Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.25061.
2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве
Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 (уравнения (1) и (2)).
Пусть прямые L1 и L2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L1 и L2 нужно построить параллельные плоскости α1 и α2 так, чтобы прямая L1 лежал на плоскости α1 а прямая L2 − на плоскости α2. Тогда расстояние между прямыми L1 и L2 равно расстоянию между плоскостями L1 и L2 (Рис. 3).
Поскольку плоскость α1, проходит через прямую L1, то он проходит также через M1(x1, y1, z1). Следовательно справедливо следующее равенство:
где n1={A1, B1, C1} − нормальный вектор плоскости α1. Для того, чтобы плоскость α1 проходила через прямую L1, нормальный вектор n1 должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A1, B1, C1, D1, и подставляя в уравнение
получим уравнение плоскости α1. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).
Аналогичным образом находим уравнение плоскости α2:
Плоскости α1 и α2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).
Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:
Полученное расстояние между плоскостями α1 и α2 является также расстоянием между прямыми L1 и L2.
Пример 3. Найти расстояние между прямыми
и
Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, 4) и имеет направляющий вектор q1={m1, p1, l1}={1, 3, −2}.
Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(6, −1, 2) и имеет направляющий вектор q2={m2, p2, l2}={2, −3, 7}.
Шаг 1.
Построим плоскость α1, проходящую через прямую L1, параллельно прямой L2.
Поскольку плоскость α1 проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, 4) и нормальный вектор n1={m1, p1, l1} плоскости α1 перпендикулярна направляющему вектору q1 прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α1 представляется следующим условием:
Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (34)−(36). Подставим значения x1, y1, z1, m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (27)−(29):
Представим эти уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений (40) отностительно A1, B1, C1, D1:
Искомая плоскость может быть представлена формулой:
Подставляя значения A1, B1, C1, D1 в (42), получим:
Упростим уравнение, умножив на число 17.
Шаг 2.
Построим плоскость α2, проходящую через прямую L2, параллельно прямой L1.
Поскольку плоскость α2 проходит через прямую L2 , то она проходит также через точку M2(x2, y2, z2)=M2(6, −1, 2) и нормальный вектор n2={m2, p2, l2} плоскости α2 перпендикулярна направляющему вектору q2 прямой L2. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
а условие параллельности прямой L2 и искомой плоскости α2 представляется следующим условием:
Так как плоскость α2 должна быть параллельной прямой L1, то должна выполнятся условие:
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (37)−(39). Подставим значения x2, y2, z2, m2, p2, l2, m1, p1, l1 в (37)−(39):
Представим эти уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений (50) отностительно A2, B2, C2, D2:
Искомая плоскость может быть представлена формулой:
Подставляя значения A2, B2, C2, D2 в (52), получим:
Упростим уравнение, умножив на число −83.
Шаг 3.
Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).
Запишем формулы уравнений плоскостей α1 и α2 :
где n1={A1, B1, C1}={15, −11, −9} и n2={A2, B2, C2}={15, −11, −9} − нормальные векторы плоскостей α1 и α2, соответственно, а свободные члены равны D1=17, D2=−83, соответственно.
Поскольку нормальные векторы плоскостей α1 и α2 совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α1 и α2, используя следующую формулу:
Подставим значения A1, B1, C1, D1, D2 в (54):
Упростим и решим:
Расстояние между прямыми равно: d=4.839339
