Как найти равенства которые являются тождествами

Тождественные преобразования

Что такое тождественные преобразования

Тождество — это равенство, выполняемое на всем множестве значений переменных, которые в него включены.

К примеру, тождествами являются, в том числе, квадратные выражения:

a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

В рассмотренных выражениях любые значения a и b обращают их в верные равенства, что полезно знать при решении примеров.

Тождественно равными выражениями называют такие два выражения, которые обладают равными значениями при всех значениях переменных.

Данное равенство существует только в том случае, когда:

Рассматриваемое равенство не является тождеством, а представляет собой уравнение. Для обозначения тождественного равенства принято использовать символ тройного равенства: ≡ .

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является верным при любом из значений переменных. Уравнение же верно лишь в том случае, когда имеется одно или несколько значений переменных.

Это уравнение верное только, когда ответ соответствует х = 10 .

В этом случае тождество не включает в себя переменные.

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) представляет собой замену одних выражений на другие, которые тождественно равны между собой.

Данное объяснение преобразований позволяет значительно упростить решение задач. К примеру, для этого используют законы сокращенного умножения, арифметические свойства и другие тождества.

Рассмотрим конкретный пример:

Выполним работу по тождественным преобразованиям этой дроби:

x 3 – x x 2 – x = x ( x 2 – 1 ) x – 1 = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x ( x – 1 ) = x + 1

x 3 – x x 2 – x = x + 1

В результате получили тождество, которое существует, если х ≠ 0 и х ≠ 1 . То есть необходимо исключить недопустимые значения, так как знаменатель слева не должен принимать нулевые значения:

Доказательство тождеств

В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:

• тождественно преобразовать обе или только одну часть равенства;
• получить в обеих частях идентичные алгебраические выражения.

В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:

x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x

В первую очередь избавимся от х , записав его за скобками:

x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x

Заметим, что можно сократить х :

x 2 – 1 x – 1 = x + 1

( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1

Выполним сокращение на х – 1 :

Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1

Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:

x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0

Упростим вычисления с помощью сокращения х :

Выполним подстановку какого-то числа вместо х , например, числа 5:

Данное равенство не является тождеством.

Примеры тождеств

Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.

От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:

От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:

Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:

128 × 32 = 32 × 128

При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:

a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )

Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:

a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )

Приведем примеры таких тождественных преобразований:

15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )

6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11

При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:

( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e

Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:

( a + b ) × e = ( c + d ) × e

( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e

Запишем несколько примеров:

35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4

42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12

Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:

Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:

Рассмотрим примеры тождественных преобразований:

76 – 15 – 29 = 76 + ( – 15 ) + ( – 29 )

42 ÷ 3 = 42 × 3 – 1

Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:

Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:

1. В первую очередь выполняют возведение в степень, извлекают корни, вычисляют логарифмы, тригонометрические и прочие функции.
2. Далее можно приступать к действиям с выражениями, заключенными в скобки.
3. На последнем этапе, начиная с левой стороны, двигаясь вправо, выполняют действия, которые остались. При этом умножение и деление являются приоритетными, выполняются в первую очередь. Затем можно приступить к сложению и вычитанию. Данное правило распространяется и на выражения, записанные в скобках.

Пример 7

14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65

20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.

Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:

117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38

1040 – ( – 218 – 409 + 192 ) = 1040 + 218 + 409 – 192

22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14

18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6

Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.

3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )

28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )

31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )

В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.

Примеры тождественных преобразований:

( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225

Решение тождественных уравнений примеры решений

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.

Тождество

Тема урока: § 4. Тождество.

Тождественные выражения

Сравним значения выражений ( 2x+3x^<2>) и ( 5x^<3>) при некоторых значениях переменной ( x.) При ( x=2) значение первого выражения ( 16,) а второго ( 40.) Числа ( 16) и ( 40) — соответственные значения выражений: ( 2x+3x^<2>) и ( 5x^<3>.) Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице:

$$textcolor<#ed5fa6>$$	$$-0,4$$	$$-0,1$$	$$ 0 $$	$$0,1$$	$$ 1 $$
$$2x+3x^<2>$$	$$-0,32$$	$$-0,17$$	$$0$$	$$0,23$$	$$5$$
$$5x^<3>$$	$$-0,32$$	$$-0,005$$	$$0$$	$$0,005$$	$$5$$

Легко заметить, что не при всех значениях переменной ( x) значения выражений ( 2x+3x^<2>) и ( 5x^<3>) равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны.

Что такое тождество?

Выражения ( x+5) и ( 5+x) тождественно равны, поэтому равенство ( x+5=5+x) верно при любых значениях ( x.) Такое равенство называют тождеством.

Определение:
Тождеством называется такое равенство двух выражений, которое верно при любых значениях переменных.

Примеры тождеств

Верное числовое равенство также называют тождеством.

Тождественные преобразования выражений

Рассмотрим выражения ( x(y+7)) и ( xy+7x.) Вычислим их значения при ( x=9) и ( y=-2)

Мы видим что при ( x=9) и ( y=-2) соответственные значения выражений ( x(y+7)) и ( xy+7x) равны. Из распределительного и переместительного свойств умножения следует, что соответственные значения этих выражений равны при любых значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны.

При решении уравнений, вычислении значений выражений и ряде других случаев одни выражения заменяют другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами. Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений. К ним относятся, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.

Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме (5x+2x-3x.)

Чтобы привести подобные слагаемые, надо, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Имеем: $$5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x$$ Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки выражения (2a+(b-3c).)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”: если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Получим: $$2a+(b-3c)=2a+b-3c$$ Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении (a-(4b-c).)

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”: если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Выполненное преобразование также основано на свойствах действий над числами. Действительно, представим данное выражение в виде суммы: $$a-(4b-c)=a+(-1)cdot(4b-c)$$ Применим распределительное и сочетательное свойства умножения:

Доказательство тождеств

Если в выражении (textcolor<#ed5fa6><5(b-c)-3c>) раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые, то получится тождественно равное ему выражение (textcolor<#ed5fa6><5b-8c.>)

верно при любых значениях переменных. Такие равенства называют тождественными.

Свойства действий над числами также являются тождествами, приведем некоторые из них:

Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Докажем, например, тождество $$tag <1>7(2+b)-(14-b)=8b$$ Преобразуем левую часть равенства ((1):)

[smallbegin <2>7(2+b)-(14-b)= \ 14+7b-14+b= \ 8b end] В результате тождественных преобразований мы получили правую часть равенства ((1).) Значит, это равенство есть тождество.

Для доказательства тождества иногда преобразуют каждую его часть. Докажем, например, тождество $$tag <2>d(c-a)+ab=a(b-d)+cd$$ Выполним преобразования: [smallbegin <2>d(c-a)+ab=cd-ad+ab, \ a(b-d)+cd= \ ab-ad+cd= \ cd-ad+ab end]

Левая и правая части равенства ((2)) тождественно равны одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно равны между собой. Значит, равенство ((2)) — тождество.

Не всякое равенство есть тождество. Так, равенство (x+2=2x) не является тождеством. Действительно, если бы это равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех значениях (x.) Однако, например, при (x=1) это равенство не является верным. Значит, оно не является тождеством.

Задачи для самостоятельного решения

№1. Являются ли выражения тождественно равными:

Первые два выражения тождественно равны. Т.е. равны при любых значениях переменной (footnotesize c. )

Вторая пара является тождеством, можно понять с помощью сочетательного закона сложения: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$

Тождество, т.к. (footnotesize -2a+2a=2a-2a=0 )

Тождество, т.к. (footnotesize (x-x)a=0cdot a=0 )

Пятая пара выражений не будет являться тождеством. Предположим обратное:

Видно что равенство верно при (footnotesize x=y,) но если (footnotesize x) и (footnotesize y) отличны друг от друга, то равенства достигаться не будет.

Тождество. Рассмотрим первое выражение

Видно, что первое выражение в точности является вторым.

№2. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное
свойства умножения:

[spoiler title=”источники:”]

http://www.sites.google.com/a/ssga.ru/ssga4school/matematika/tema-3

http://reshu.su/algebra/04/

[/spoiler]

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Алгебра
5. Тождественно равные выражения. Тождества

Советуем посмотреть:

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Функции

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Номер 135,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 321,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 335,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 341,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 363,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 371,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 412,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 534,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 642,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 728,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 22,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 25,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 28,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 120,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 168,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 169,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 288,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 419,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 434,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 467,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

В математике различные математические понятия принято обозначать с помощью символов. Это повелось ещё с древнейших времён, когда люди пытались с помощью символов выражать свои мысли. Например, в Древнем Египте с помощью символов-иероглифов обзозначали различные понятия, предметы и действия. Безусловно, что символьная запись своих мыслей есть результат развития абстрактного мышления людей в процессе развития материальной культуры и усложнения социальных отношений. Т.е. это не чья-то прихоть, а естественный исторический процесс. Замечание полностью относится и к развитию математического мышления. Самый первый акт символической записи абстрактного математического понятия – это изобретение цифр и создание числовых систем счисления. Но задолго до появления цифр абстрактное мышление людей оттачивалось в художественном творчестве и знакомстве со свойствами простейших геометрических фигур. Величайшим изобретением стало создание алгебры, в которой действия над числами стали заменять действиями над символами, что позволило устанавливать общие математические закономерности. В дальнейшем буквами стали обозначать и более сложные понятия, чем числа: например векторы, матрицы и другие абстрактные объекты, созданные умом человека. Эти записи действий над символами стали называть выражениями. Особенность любого выражения заключается в том, что после замены символов на их конкретные значения (не обязательно числовые) после выполнения всех действий получается также конкретное значение – чаще всего того же рода, но иногда и совсем другой природы (например, при скалярном умножении векторов получаются числа). Для удобства сравнения значений выражений придумали равенства выражений. Над этими равенствами, впрочем, можно производить различные действия. Равенство само по себе означает формальную запись двух выражений в виде привычного равенства A=B, где А и B – выражения. Если придавать конкретные значения буквам (из которых состоят выражения и само равенство), то можно получить или верное равенство значений, полученных после выполнения всех действий, или равенство неверное. Существует большое количество (более точно – бесконечное количество) выражений, которые принимают всегда равные значения, какие бы допустимые значения не принимали входящие в эти выражения буквы. О таких выражениях, всегда принимающих равные значения, стали говорить, что они тождественные, а само равенство тождественных выражений назвали тождеством. Поэтому в самом общем случае равенство – это формальная запись равенства любых двух выражений, а тождество – это равенство двух тождественных выражений. Говорят также, что тождество – это равенство, обращающееся в верное равенство (например числовое) при любых значениях букв из указанного множества их значений (чаще всего – из множества допустимых значений). В формально-логическом смысле, тождество – это вид тавтологии. Понятно, что все тождества – одновременно равенства. Но не все равенства – это тождества.

Примеры равенств, которые не являются тождествами:

|a|=-a*b, 1=1-a, 2x-2=1 sinx-cosx=tgx

Примеры равенств, которые являются тождествами:

|a|=√(a^2); t-u=-(u-t); (x-y)^3=x^3-3*x^2*y+­3*x*y^2-y^3;

(sinx)^2+(cosx)^2=1 и i^2=-1 – тоже тождества, хотя правые выражения и не содержат букв (говорят, что буквы содержатся фиктивно), но всегда имеют одни и то же значения 1 и -1.

с^2=a^2+b^2 тождество при условии, что допустимые значения букв – это длины соответсвенно гипотенузы и катетов произвольного прямоугольного треугольника.

a*0=b*0 (хотя выражения состоят и из различных букв, но принимают одинаковое значение 0)

Любое верное числовое равенство тоже можно рассматривать, как тождество. Например, 2+(-2)=0 – тождество.

Стоит отметить, что одно и то же равенство может быть тождеством, если его рассматривать над одним множеством значений букв, или им не быть, если выбрать другое множество значений букв. Например, уравнение – чаще всего не тождество, но если его рассматривать над множеством своих корней, то его можно считать тождеством на этом выбранном множестве значений переменных))

В данной публикации мы рассмотрим, что такое тождество и тождественные выражения, перечислим виды, а также приведем примеры для лучшего понимания.

• Определения тождества и тождественного выражения

• Пример задачи

Определения тождества и тождественного выражения

Тождество – это арифметическое равенство, части которого тождественно равны.

Два математических выражения тождественно равны (другими словами, являются тождественными), если они имеют одинаковую величину.

Виды тождеств:

1. Числовое – обе части равенства состоят только из чисел. Например:
   • 6 + 11 = 9 + 8
   • 25 ⋅ (2 + 4) = 150
2. Буквенное – тождество, которое в том числе состоит из букв (переменных); является верным при любых принимаемых ими значениях. Например:
   • 12x + 17 = 15x – 3x + 16 + 1
   • 5 ⋅ (6x + 8) = 30x + 40

Пример задачи

Определите, какие из перечисленных равенств являются тождествами:

• 212 + x = 2x – x + 199 + 13
• 16 ⋅ (x + 4) = 16x + 60
• 10 – (-x) + 22 = 10x + 22
• 1 – (x – 7) = -x – 6
• x² + 2x = 2x³
• (15 – 3)² = 15² + 2 ⋅ 15 ⋅ 3 – 3²

Ответ:

Тождествами являются первое и четвертое равенства, т.к. при любых значениях x обе их части всегда будут принимать одинаковые значения.