Равенство равнобедренных треугольников можно доказать, используя признаки равенства произвольных треугольников.
Признаки равенства равнобедренных треугольников
1) (По основанию и боковой стороне)
Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔABC, AB=BC,
ΔA1B1C1, A1B1=B1C1,
AB=A1B1, AC=A1C1.
Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1.
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AB=A1B1 (по условию);
2) AC=A1C1 (по условию).
2) Так как AB=BC, A1B1=B1C1, AB=A1B1, то BC=B1C1.
Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по трём сторонам).
Что и требовалось доказать.
2) (По боковой стороне и углу при вершине)
Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔABC, AB=BC,
ΔA1B1C1, A1B1=B1C1,
AB=A1B1,∠B=∠B1.
Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1.
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AB=A1B1 (по условию);
3) ∠B=∠B1 (по условию);
2) Так как AB=BC, A1B1=B1C1, AB=A1B1, то BC=B1C1.
Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать.
3) (По основанию и углу при основании)
Если основание и угол при основании одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔABC, AB=BC,
ΔA1B1C1, A1B1=B1C1,
AC=A1C1, ∠A=∠A1
Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1.
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AC=A1C1 (по условию);
2) ∠A=∠A1 (по условию);
3) ∠C=∠A, ∠C1 =∠A1 (как углы при основании равнобедренного треугольника). Значит ∠C=∠C1.
Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Что и требовалось доказать.
Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) а также периметр, площадь, высоты равнобедренного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение равнобедренного треугольника
Определение 1 (Евклид). Треугольник, в котором длины двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.
Равные стороны равнобедренного трекугольника называются боковыми сторонами. Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием треугольника (Рис.1).
Угол между боковыми сторонами равнобедненного треугольника (( small angle A ) ) называется вершинным углом. Углы между основанием и боковыми сторонами (( small angle B, angle C ) ) называются углами при основании.
Существует более общее определение равнобедненого треугольника:
Определение 2 (Современная трактовка). Треугольник, в котором длины хотя бы двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.
Из определения 2 следует, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Действительно, в качестве равных сторон можно взять любые две стороны равностороннего треугольника, а третья сторона будет основанием.
Теорема о равнобедренном треугольнике
Теорема 1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника равны.
Доказательство (доказательство Прокла). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.2). Докажем, что ( small angle B= angle C. ) Возьмем любую точку D на стороне AC и точку E на стороне AB так, чтобы AD=AE. Проведем отрезки DE, CE, BD. Треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними: AE=AD, AC=AB, угол ( small angle A ) общий (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Отсюда следует:
Из ( small AB=AC) и ( small AD=AE ) следует:
Рассмотрим треугольники CBE и BCD. Они равны по трем сторонам: ( small CE=BD,) ( small CD=BE ,) сторона ( small BC ) общая. Отсюда следует, что
Из (2) и (4) следует, что ( small angle B= angle C. )
Доказательство (Вариант 2). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.3). Проведем биссектрису ( small AH ) треугольника. Тогда ( small angle CAH=angle BAH. ) Докажем, что ( small angle B= angle C. ) Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона ( small AH ) общая, ( small angle CAH=angle BAH. ) Отсюда следует: ( small angle B= angle C. )
Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC, а AH− биссектриса треугольника (Рис.3). Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона ( small AH ) общая, ( small angle 1=angle 2. ) Тогда ( small CH=HB, ) ( small angle 3=angle 4. ) Равенство ( small CH=HB ) означает, что ( small AH ) является также медианой треугольника ABC. Углы ( small angle 3) и ( angle 4 ) смежные. Следовательно их сумма равна 180° и, поскольку эти углы равны, то каждый из этих углов равен 90°. Тогда ( small AH ) является также высотой треугольника ( small ABC. ) Поскольку высота ( small AH ) перпендикулярна к ( small BC ) и ( small CH=HB, ) то ( small AH ) является также серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника.
Мы доказали, что биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр равнобедренного треугольника, проведенные к основанию совпадают.
Исходя из теоремы 2 можно сформулировать следующие теоремы, доказательство которых аналогично доказательству теоремы 2:
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является биссектрисой и медианой.
Признаки равнобедренного треугольника
Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.
Признак 1 следует из определения 1.
Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).
Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство. Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является высотой и медианой (Рис.4). Тогда ( small angle 3=angle4=90°, ) ( small CH=HB. ) Треугольники ( small AHC ) и ( small AHB ) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников): ( small AH ) − общая сторона, ( small CH=HB, ) ( small angle 3=angle4. ) Следовательно ( small AB=AC. )
Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство. Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда ( small angle 3=angle4=90°, ) ( small angle 1=angle2. ) Треугольники ( small AHC ) и ( small AHB ) равны по стороне и прилежащим двум углам (второй признак равенства треугольников): ( small AH ) − общая сторона, ( small angle 1=angle 2, ) ( small angle 3=angle4. ) Следовательно ( small AB=AC. )
Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда
Применим теорему синусов для треугольника ( small AHC ):
Применим теорему синусов для треугольника ( small AHB ):
тогда, из (5), (6), (7) получим:
Следовательно ( small sin angle C= sin angle B. ) Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то нам интересует синус углов от 0 до 180°. Учитывая это получим, что синусы углов равны в двух случаях: 1) ( small angle C= angle B, ) 2) ( small angle C= 180° – angle B. ) Поскольку сумма двух углов треугольника меньше 180°: ( small angle C + angle B< 180° ) второй вариант исключается. Т.е. ( small angle C= angle B ) и по признаку 2 треугольник является равнобедренным.
Доказательство (Вариант 2). Пусть в треугольнике ( small ABC ) ( small AH ) является биссектрисой и медианой, т.е. ( small angle 1=angle 2, ) ( small CH=HB ) (Рис.6). На луче ( small AH ) отложим отрезок ( small HD ) так, чтобы ( small AH=HD. ) Соединим точки ( small C ) и ( small D. )
Треугольники ( small AHB ) и ( small DHC ) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Действительно: ( small AH=HD, ) ( small CH=HB, ) ( small angle 4=angle 5 ) (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда ( small AB=CD, ) ( small angle 6=angle 2. ) Отсюда ( small angle 6=angle 1. ) Получили, что треугольник ( small CAD ) равнобедренный (признак 2). Тогда ( small AC=CD. ) Но ( small AB=CD ) и, следовательно ( small AB=AC. ) Получили, что треугольник ( small ABC ) равнобедренный.
1. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и боковой стороне
Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедненного треугольника, то эти треугольники равны.
Действительно. Поскольку треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны. То есть три стороны одного равнобедренного треугольника соответственно равны трем сторонам другого равнобедненного треугольника. А по третьему признаку равенства треугольников, эти треугольники равны.
2. Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине
Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольники соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Действительно. Так как боковые стороны равнобедненного треугольника равны, то имеем: две стороны и угол между ними одного треугольника соотвественно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Тогда по первому признаку равенства треугольников, эти реугольники равны.
3. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании
Если основание и угол при основании равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. тогда имеем: основание и две углы одного равнобедненного треугольника равны основанию и двум углам другого равнобедненного треугольника. Тогда эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
Задачи и решения
Задача 1. Известны основание ( small a=5 ) и высота ( small h=6 ) равнобедренного треугольника. Найти углы, боковые стороны, периметр, площадь.
Решение. Найдем боковые стороны ( small b ) и ( small c ) равнобедренного треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора:
Откуда:
Подставляя значения ( small a ) и ( small h ) в (9), получим:
Боковая сторона ( small c ) равнобедренного треугольника равна:
Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
Подставляя значения ( small a=5, ) ( small b=6.5 ) и ( small c=6.5 ) в (10), получим:
Найдем угол ( small B ) равнобедренного треугольника:
Подставляя значения ( small a=5, ) ( small h=6 ) в (11), получим:
Тогда угол ( small C ) равнобедренного треугольника равен:
Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то имеем:
Площадь треугольника можно вычислить из формулы:
Подставляя значения ( small a=5, ) ( small h=6 ) в (12), получим:
Содержание:
Если на плоскости отметить три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и соединить их отрезками, то получим треугольник ABC. Можно сказать, что треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная. Обозначают: 
Определения
Определение. Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.
Если соединить концами три деревянных планки, то получится треугольник, который нельзя подвергнуть деформации — он будет сохранять свою форму. Тогда как четырехугольник может менять свою форму (рис. 102)? Это свойство «жесткости» треугольника широко используется в технике, производстве, строительстве.
Равные треугольники
Равные треугольники можно совместить наложением так, что соответственно совпадут все три стороны и все три угла (рис. 103). В совпавших, то есть в равных треугольниках, против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны. Если 
то 
а если 
то 
Для совмещения равных отрезков достаточно совпадения их концов, а для совмещения равных треугольников — совпадения их вершин.
Виды треугольников
Если у треугольника все три стороны имеют разную длину, то такой треугольник называется разносторонним.
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Его равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина, противолежащая основанию, — вершиной равнобедренного треугольника (рис. 104).
Если у треугольника равны все три стороны, то он называется равносторонним (рис. 105). Равносторонний треугольник является также и равнобедренным, где любую пару сторон можно принять за боковые стороны.
По величине углов треугольники делятся на остроугольные (у них все углы острые), тупоугольные (есть тупой угол) и прямоугольные (есть прямой угол) (рис. 106).
Подведем итоги.
Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.
Периметром треугольника (многоугольника) называется сумма длин его сторон.
Равными треугольниками называются треугольники, которые можно совместить наложением.
Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны.
Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны.
Свойство равных треугольников. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.
Замечание. Называя или записывая равные треугольники, стараются соблюдать последовательность соответствующих вершин. Во многих случаях это удобно. Однако делать это необязательно. Обе записи: 
АВС =
KNM и 
BAC =
KNM — правильные. Иногда соответствующие вершины равных треугольников обозначают одними и теми же буквами, добавляя к буквам одного из треугольников индекс: 
АВС = = 
А1В1С1. При такой записи имеют в виду, что соответствующими являются вершины А и А1, В и В1, С и С1.
Первый и второй признаки равенства треугольников
При выяснении равны ли треугольники нет необходимости устанавливать равенство всех их соответствующих элементов путем наложения или измерения. Следующие две теоремы гарантируют равенство треугольников при равенстве некоторых сторон и углов.
Теорема (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: АВ =А1В1, АС =А1С1, 
A = A1 (рис. 108).
Доказать: 
АВС = 
А1В1С1.
Доказательство:
Наложим треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали равные углы А и А1, луч АВ совпал с лучом А1В1, а луч АС совпал с лучом А1С1. Так как отрезки АВ и А1В1 равны, то они совпадут при наложении, и вершина В совпадет с вершиной В1. Аналогично совпадут равные отрезки АС и A1C1, вершина С совпадет с вершиной C1. Треугольники совпадут полностью, так как совпадут их вершины. Таким образом, АВС = А1В1С1. Теорема доказана.
Говорят, что две стороны и угол между ними задают треугольник однозначно.
Теорема (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
AC =А1С1, 
A = 
А1, 
C = 
С1 (рис. 109).
Доказать: АВС = А1В1С1.
Доказательство:
Наложим треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали равные стороны АС и А1С1, угол А совпал с равным углом А1, а угол С — с равным углом Сх. Тогда луч АВ совпадет с лучом А1В1, луч СВ — с лучом С1В1, а вершина В совпадет с вершиной В1 (точка В будет принадлежать и прямой
А1В1, и прямой С1В1, и поэтому совпадет с точкой их пересечения В1). Треугольники совпадут полностью, так как совпадут их вершины. Таким образом, АВС = А1В1С1. Теорема доказана.
Говорят, что сторона и два прилежащих к ней угла задают треугольник однозначно
Пример №1
Отрезки АВ и CD пересекаются в их серединах. Доказать, что расстояния между точками А и С, В и D равны.
Доказательство:
Пусть О — точка пересечения отрезков АВ и CD (рис. 110). Рассмотрим 
АОС и 
BOD. У них АО = ОВ, CO = OD по условию, 
AOC = 
BOD как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, то есть по 1-му признаку равенства треугольников. Стороны АС и BD равны, так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
Возможно краткое оформление решения задачи.
Пример №2
Дана простая замкнутая ломаная ABCD, у которой АВ =AD = 6 см, CD -4 см и луч АС является биссектрисой угла BAD. Найти длину ломаной ABCD.
Решение:
У треугольников ABC и ADC сторона АС — общая (рис. 111), AB=AD по условию, BAC =DAC, так как АС — биссектриса угла BAD.
Эти треугольники равны по 1-му признаку равенства треугольников.
Отсюда ВС = CD как соответствующие (соответственные) стороны в двух равных треугольниках.
Длина ломаной ABCD: 
Ответ: 20 см.
Пример №3
На сторонах угла В отложены отрезки: ВА = ВС, КА-МС (рис. 112). Доказать, что A = С.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники АВМ и СВК. У них B — общий, АВ = СВ по условию, MB=KB, так как MB = СВ – СМ, KB =АВ -АК (если от равных отрезков отнять равные, получим равные отрезки). Треугольники АВМ и СВК равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что A = C (в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы).
Пример №4
На рисунке 113 BAD = CDA, CAD = BDA. Доказать равенство треугольников АОВ и DOC.
Доказательство:
Так как 
ABD =
DCA по 2-му признаку равенства треугольников (сторона AD — общая, углы при стороне AD соответственно равны по условию), то АВ = DC, B =C.
Так как BAO = BAD – CAD, CDO = CDA – BDA, тo BAO =CDO (если от равных углов отнять равные, получим равные углы). Тогда АОВ = DOC по 2-му признаку равенства треугольников.
Высота, медиана и биссектриса треугольника
У треугольника, помимо трех сторон, трех вершин и трех углов, имеются также и другие элементы — высота, медиана и биссектриса.
Определение. Высотой треугольника (рис. 118, а) называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение (отрезок ВН).
Определение. Медианой треугольника (рис. 118, б) называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны (отрезок ВМ).
Определение. Биссектрисой треугольника (рис. 118, в) называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороной (отрезок ВК).
В равных треугольниках равны соответствующие высоты, медианы и биссектрисы.
Если треугольник не равнобедренный, то высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают (рис. 119).
Поскольку у треугольника три вершины, то у него и три высоты, три медианы, три биссектрисы. Позже мы докажем, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Это же касается медиан треугольника (рис. 120) и его биссектрис (рис. 121).
Если треугольник остроугольный (рис. 122, а), то точка пересечения его высот находится внутри треугольника ABC. Если треугольник тупоугольный или прямоугольный (рис. 122, б, в), то продолжения высот пересекаются соответственно вне треугольника или в вершине прямого угла.
Точки пересечения высот, биссектрис и медиан называются замечательными точками треугольника.
Геометрия 3D
Тетраэдром или треугольной пирамидой называется многогранник, у которого все четыре грани — треугольники. Любую его грань можно принять за основание, а противолежащую вершину — за вершину пирамиды. Если точка S — вершина, а треугольник ABC — основание пирамиды, то перпендикуляр SH к плоскости ABC является высотой тетраэдра (рис. 124).
Равнобедренный треугольник
Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.
Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина, противолежащая основанию, — вершиной равнобедренного треугольника.
Рассмотрим некоторые свойства равнобедренного треугольника и один из его признаков.
Теорема (о свойстве углов при основании). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: 
(рис. 126).
Доказать: 
Доказательство:
Проведем биссектрису ВК треугольника ABC. Треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними: сторона ВК — общая, АВ = ВС по условию, углы АВК и СВК равны по определению биссектрисы. Из равенства этих треугольников следует, что 
Теорема доказана.
Теорема (о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника).
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой.
Дано: 
— биссектриса (рис. 127).
Доказать: ВК — медиана и высота.
Доказательство:
Треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними (см. предыдущую теорему). Из равенства треугольников следует, что АК=КС и 
1 =
2. Так как углы 1 и 2 смежные, то их сумма равна 180°, поэтому 
Следовательно, ВК — медиана и высота. Теорема доказана.
Замечание. Поскольку из вершины треугольника можно провести только одну биссектрису, одну высоту и одну медиану, то теорему можно сформулировать так: «Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают». То есть если по условию задачи дана высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то согласно данной теореме она является биссектрисой и медианой. Аналогично, если дана медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то она является высотой и биссектрисой.
Теорема (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Дано: 
Доказать:
Доказательство:
Мысленно перевернем треугольник ABC обратной стороной (рис. 128) и наложим перевернутый треугольник на треугольник ABC так, чтобы их стороны АС совпали, угол С совпал с углом А, угол А совпал с углом С.
Тогда перевернутый треугольник совместится с данным, и сторона ВС совместится со стороной АВ. Следовательно, АВ = ВС, т. е. 
АВС — равнобедренный. Теорема доказана.
Доказанный признак равнобедренного треугольника является теоремой, обратной теореме о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника (рис. 129).
Напомним, что любая теорема состоит из условия — того, что дано, и заключения — того, что нужно доказать. У теоремы, обратной данной, условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной.
Пример №5
Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.
Доказательство:
Пусть в 
АВС АВ =ВС, АК и СМ — биссектрисы (рис. 130). Нужно доказать, что АК = СМ. Рассмотрим 
АКВ и 
СМВ. У них 
B — общий, АВ = ВС по условию, 
BAK = 
BCM как половины равных углов А и С при основании равнобедренного треугольника. Тогда АКВ = СМВ по 2-му признаку равенства треугольников, откуда АК = СМ. Что и требовалось доказать.
Замечание. Вторым способом доказательства будет рассмотрениеАКС иСМА и доказательство их равенства.
Пример №6
Доказать, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам.
Доказательство:
Пусть О — центр окружности, АВ — хорда, ОН — перпендикуляр к хорде АВ (рис. 131).
Отрезки OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому треугольник АОВ — равнобедренный, а ОН — его высота, проведенная к основанию. Мы знаем, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой. А медиана делит сторону треугольника пополам, то есть АН = НВ. Что и требовалось доказать.
Признаки равнобедренного треугольника
Вы уже знаете один признак равнобедренного треугольника: «Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный». Докажем еще три признака равнобедренного треугольника, связанных с его высотой, медианой и биссектрисой.
Теорема. Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный.
Дано: ВН — высота и медиана 
АВС (рис. 136).
Доказать: АВ = ВС.
Доказательство:
Рассмотрим 
АВН и 
СВН. У них сторона ВН — общая, 
(так как ВН — высота), АН = СН (так как ВН — медиана). Треугольники АВН и СВН равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон АВ и ВС. Теорема доказана.
Теорема. Если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
Дано: ВН — высота и биссектриса 
АВС.
Доказать: АВ = ВС (рис. 137).
Доказательство:
Рассмотрим АВН и СВН. У них сторона ВН — общая, 
(так как ВН — высота), 
(так как ВН — биссектриса). Треугольники АВН и СВН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон АВ и ВС. Теорема доказана.
Теорема. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
Дано: ВМ — медиана и биссектриса АВС.
Доказать: АВ = ВС (рис. 138).
Доказательство:
Продлим медиану ВМ на ее длину за точку М. Получим МВХ = ВМ. Треугольники АМВ1 и СМВ равны по двум сторонам и углу между ними (МВ1 = ВМ по построению; AM = МС, так как ВМ — медиана; AMВ1 =CMB как вертикальные). Из равенства этих треугольников следует, что АВ1=ВС и AB1M = =CBM. Но ZCBM = ZABM, так как ВМ — биссектриса по условию. Тогда AB1B = ABB1 и АВВ1 — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Следовательно, АВ=АВ1. А так как АВ1=ВС, то АВ = ВС. Теорема доказана.
Замечание. Прием продления (продолжения) медианы часто используется при решении геометрических задач.
Пример №7
В треугольнике ABC с периметром 54 см медиана АК перпендикулярна стороне ВС, а высота ВМ составляет равные углы со сторонами ВА и ВС. Найти стороны треугольника ABC.
Решение:
Так как медиана АК является и высотой, то 
АВС — равнобедренный с основанием ВС и АВ =АС. Так как высота ВМ является и биссектрисой, то 
АВС — равнобедренный с основанием АС и АВ = ВС. Тогда 
АВС — равносторонний, 
(см).
Ответ: 18 см.
Пример №8
Биссектриса АК треугольника АБС делит сторону ВС пополам. Периметр треугольника ABC равен 36 см, периметр треугольника АКС равен 30 см. Найти длину биссектрисы АК.
Решение:
Из условия следует, что биссектриса АК является и медианой 
АВС (рис. 139).
Тогда 
АВС — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника и АВ=АС. Так как ВК = СК, то сумма отрезков АС и СК равна полупериметру 
АВС, то есть 18 см. По условию периметр 
АКС равен 30 см, поэтому АК = 30 – 18 = 12 (см).
Ответ: 12 см
Геометрия 3D
У правильной треугольной пирамиды DABC в основании лежит равносторонний треугольник ABC, а боковые грани ADB, ADC, BDC — равные равнобедренные треугольники с общей вершиной D (рис. 142).
У правильной четырехугольной пирамиды в основании лежит квадрат MNKE, а боковые грани МРЕ, MPN, NPK, ЕРК — равные равнобедренные треугольники с общей вершиной Р (рис. 143).
Третий признак равенства треугольников
Вам уже известны два признака равенства треугольников. Рассмотрим еще один.
Теорема (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: АВ=А1В1, ВС = В1С1, АС=А1С1 (рис. 144).
Доказать: 
АВС = 
А1В1С1.
Доказательство:
Приложим треугольник А1В1С1 к треугольнику ABC так, чтобы у них совместились равные стороны А1С1 и АС, а вершины В1 и В оказались в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольник А1В1С1 займет положение треугольника АВ2С. Проведем отрезок ВВ2. Так как АВ2=АВ и В2С = ВС, то треугольники АВВ2 и СВВ2 — равнобедренные. Откуда 
l =
2 и 
3 =
4 (как углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда 
ABC =
AB2C, и треугольники ABC и АВ2С равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, АВС =А1В1С1. Теорема доказана.
Замечание. Чтобы отрезок ВВ2 проходил внутри треугольника ABC, следует прикладывать треугольники большей стороной.
Говорят, что три стороны задают треугольник однозначно.
Итак, теперь вы знаете три признака равенства треугольников. Можно сформулировать и другие признаки равенства треугольников, в которых неизбежно будет присутствовать соответственное равенство каких-то трех элементов двух треугольников. Однако не любые три элемента задают треугольник. Так, например, если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники не обязательно равны. То же касается треугольников, у которых соответственно равны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон.
На рисунке 145, а, б вы видите пары таких неравных треугольников.
Пример №9
У простой замкнутой ломаной ABCD AB=AD, BC = DC. Доказать, что 
B = 
D и луч АС — биссектриса угла BAD.
Доказательство:
Проведем отрезок АС (рис. 146).
Треугольники ABC и ADC равны по 3-му признаку равенства треугольников (AB=AD и BC = DC по условию, сторона АС — общая). Поэтому 
B =
D и 
BAC =
DAC как соответствующие в двух равных треугольниках и луч АС — биссектриса угла BAD.
Пример №10
Доказать равенство треугольников по двум сторонам и медиане между ними.
Доказательство:
Пусть АВ =А1В1, ВС = В1С1, ВМ = В1М1, где ВМ и В1М1 — медианы (рис. 147).
Нужно доказать, что 
АВС =
А1В1С1. Продлим в каждом треугольнике данную медиану на ее длину так, что MD = ВМ, M1D1=B1M1. Так как AMD =СМВ по 1-му признаку равенства треугольников (AM = МС, 
AMD =
CMB как вертикальные, ВМ = MD по построению), то AD = BC. Аналогично AXMXDX = С1М1В1, откуда A1D1 = B1C1. По условию ВС = В1С1, следовательно, AD=A1D1 и ABD =A1B1D1 по трем сторонам. Тогда ABM =A1B1M1 и АВМ =А1В1М1 по 1-му признаку равенства треугольников. Отсюда AM =А1М1, АС =А1С1 (так как ВМ и В1М1 — медианы) и АВС =А1В1С1 по трем сторонам.
Пример №11
Два равных отрезка АВ и CD пересекаются в точке О и AD = BC. Доказать, что ВО = DO.
Доказательство:
Соединим точки В и D отрезком (рис. 148).
Треугольники ABD и CDB равны по трем сторонам (сторона BD — общая, AB=CD и AD=СВ по условию). Из равенства треугольников следует, что ABD =CDB. Тогда BOD — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), откуда ВО=DO.
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
Прямая CD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, то есть 
(рис. 152).
Теорема (о серединном перпендикуляре).
Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
В данной теореме два утверждения: прямое и ему обратное. Докажем каждое из этих утверждений отдельно.
1) Дано: 
— серединный перпендикуляр к отрезку 
(рис. 153).
Доказать: КА = КВ.
Доказательство:
По определению серединного перпендикуляра 
Тогда в треугольнике АКВ высота КМ является медианой. По признаку равнобедренного треугольника АКВ — равнобедренный, поэтому КА=КВ.
2) Дано: 
(рис. 154).
Доказать: 
где 
— серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Доказательство:
Проведем в равнобедренном АКВ высоту КМ, которая по свойству равнобедренного треугольника будет и медианой. Получим 
Прямая , проходящая через высоту КМ, — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Теорема доказана.
Геометрическим местом точек плоскости (или пространства) называется множество всех точек плоскости (или пространства), обладающих общим свойством.
Из доказанной теоремы следует, что серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.
Пример №12
В четырехугольнике (рис. 155) ABCD AB=BC, AD=DC.
Доказать, что AC
BD.
Доказательство:
1-й способ. Из равенства треугольников ABD и CBD по трем сторонам следует, что 
ABD =
CBD. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса ВМ является и высотой. Поэтому ACBD.
2-й способ. Точки В и D равноудалены от концов отрезка АС, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку АС. Так как через две точки проходит единственная прямая, то BD — серединный перпендикуляр к отрезку АС. Отсюда ACBD. и AM = МС.
Пример №13 (1-я замечательная точка треугольника).
Доказать, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Пусть два серединных перпендикуляра к сторонам АС и АВ пересекаются в точке О (рис. 156).
Точка О лежит на серединном перпендикуляре ОМ, поэтому ОА = ОС. Точка О лежит на серединном перпендикуляре ОК, поэтому ОА = ОВ. Отсюда ОВ = ОС. Поскольку точка О равноудалена от концов отрезка ВС, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Таким образом, третий серединный перпендикуляр пройдет через точку О, и все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекутся в одной точке.
Замечания.
- 1. Если ножку циркуля поставить в точку О и построить окружность радиусом OA, то она пройдет через все вершины треугольника в силу того, что OA = OB = ОС. Такая окружность называется описанной около треугольника. В данной задаче мы доказали, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
- 2. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — это еще одна замечательная точка треугольника помимо уже известных вам точек пересечения биссектрис, медиан, высот.
Напомню:
Три признака равенства треугольников:
- По двум сторонам и углу между ними.
- По стороне и двум прилежащим к ней углам.
- По трем сторонам.
Запомните:
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
- Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является его высотой и медианой.
- Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
- Если высота треугольника является его медианой или биссектрисой, или медиана является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный (признаки равнобедренного треугольника).
- Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
- Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (1-я замечательная точка треугольника).
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Соотношения в прямоугольном треугольнике
- Сумма углов треугольника
- Внешний угол треугольника
- Задачи на построение циркулем и линейкой
- Задачи на построение по геометрии
- Угол – определение, виды, как обозначают с примерами
- Перпендикулярные прямые в геометрии
§ 2. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Теоремы об углах.
Для повторения мы выбрали эти темы. Приводить доказательство теорем, содержащихся в учебнике, не будем, лишь напомним основные теоремы. Также обсудим некоторые важные вопросы, приведём примеры решения задач, докажем несколько дополнительных теорем (Всякое утверждение, сформулированное в общем виде и доказанное, есть теорема, но их так много и они часто столь просты, что наполнять ими учебник не имеет смысла, а вот учиться на них применению основных теорем, умению рассуждать, делать выводы, – очень полезно). Такие теоремы мы будем называть леммами.
В учебнике доказаны три признака равенства треугольников.
Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.
Второй признак: по стороне и прилежащим к ней углам.
Третий признак: по трём сторонам.
Мы напомнили их краткую формулировку.
Отметим также важный момент. Запись равенства треугольников $$ △ABC=△KPM$$ означает: $$ angle A=angle K$$, $$ angle B=angle P$$, $$ angle C=angle M$$, $$ AB=KP$$, $$ AC=KM$$ и $$ BC=PM$$, т. е. соответствующие вершины стоят на соответствующих местах.
Когда это удобно, будем использовать обозначения: в треугольнике $$ ABC$$ углы обозначать $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,
$$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$ – стороны, противолежащие углам $$ A$$, $$ B$$ и $$ C$$,
$$ {h}_{a}$$, $$ {h}_{b}$$, $$ {h}_{c}$$ – высоты к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$,
$$ {m}_{a}$$, $$ {m}_{b}$$, $$ {m}_{c}$$ – медианы к сторонам $$ a$$, $$ b$$ и $$ c$$.
Покажем, как важно точно помнить формулировки теорем. Пусть треугольники $$ ABC$$ и `A^’B^’C^’` таковы, что `b^’=b`, `c^’=c` и `/_B^’=/_B`. Будут ли эти треугольники равны? Есть первый признак равенства «по двум сторонам и углу», но «углу между ними», а здесь какой угол? Нарисуем некоторый треугольник $$ ABC$$ (рис. 3) и отметим стороны и угол, о которых идёт речь: это не тот угол!
Приведём пример треугольника `A^’B^’C^’` (рис. 5), который не равен треугольнику $$ ABC$$ `(B^’C^’!=BC)`, хотя `c=c^’`, `b=b^’` и `/_B=/_B^’`.
Рисунок 4 поясняет, как треугольник `A^’B^’C^’` получается из треугольника $$ ABC$$.
Приведём ещё пример (рис. 6), который показывает, что слова «прилежащим к стороне» чрезвычайно важны в формулировке второго признака равенства треугольников.
Здесь $$ AB={A}_{1}{B}_{1}$$, $$ angle C=angle {A}_{1}=90°$$, $$ angle B=angle {B}_{1}=45°$$
 |
| Рис. 6 |
(Сторона одного треугольника равна стороне другого, два угла первого равны двум углам второго).
Но равные углы не прилежат к равным сторонам и `DeltaABC!=DeltaA_1B_1C_1`. Как легко видеть, треугольник $$ ABC$$ равен треугольнику $$ {A}_{1}{B}_{1}D$$ который составляет часть треугольника $$ {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$$.
Треугольники $$ ABC$$ и `A^’B^’C^’` таковы, что равны их медианы, проведённые из вершин `B` и `B^’` и равны углы, которые образуют эти медианы со сторонами $$ a$$ и $$ c$$ и со сторонами `a^’` и `c^’` соответственно. Доказать, что `DeltaABC=DeltaA^’B^’C^’`.
Решение
При доказательстве мы рисуем треугольники, о которых идёт речь, в наиболее удобном положении (см. рис. 7), что возможно по аксиоме «перемещения треугольника», иначе называемой аксиомой «существования треугольника, равного данному».
 |
| Рис. 7 |
Итак, $$ AM=CM$$, `A^’M^’=C^’M^’`, `BM=B^’M^’` равные углы $$ ABM$$ и `A^’B^’M^’` обозначим $$ alpha $$ вторую пару равных углов обозначим $$ phi $$.
1. В треугольнике $$ ABC$$ продолжим медиану $$ BM$$ за точку $$ M$$ и на прямой $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD=BM$$. Рассмотрим треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$.
Имеем: $$ AM=CM$$ (т. к. `BM` – медиана),
$$ BM=DM$$ (по построению),
$$ angle AMB=angle CMD$$ (как вертикальные).
По первому признаку равенства треугольников $$ △ABM= △CDM$$ В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны $$ (AB=CD)$$ и против равных сторон лежат равные углы (поэтому $$ angle CDM=alpha $$).
Аналогичное построение осуществим с треугольником `A^’B^’C^’` получим, что `A^’B^’=C^’D^’` и `/_C^’D^’M^’=alpha`.
2. Теперь рассмотрим треугольники $$ BCD$$ и `B^’C^’D^’`. Так как `BD=B^’D^’` и прилежащие к отрезкам $$ BD$$ и `B^’D^’` углы соответственно равны $$ phi $$ и $$ alpha $$, то `Delta BCD=DeltaB^’C^’D^’` по второму признаку равенства. Из этого равенства следует `CD=C^’D^’` (т. е. `c=c^’`) и `BC=B^’C^’` (т. е. `a=a^’`).
3. Вновь рассматриваем треугольники $$ ABC$$ и `A^’B^’C^’` Угол при вершине $$ B$$ равен углу при вершине `B^’` и равны стороны, образующие этот угол. По первому признаку равенства `Delta ABC=Delta A^’B^’C^’`.
На сторонах $$ AB$$ и $$ AD$$ квадрата $$ ABCD$$ во вне его построены равносторонние треугольники $$ AKB$$ и $$ AMD$$ (рис. 8). Доказать, что треугольник $$ KCM$$ также равносторонний.
Решение
Обозначим сторону квадрата $$ a$$ очевидно, что стороны равносторонних треугольников тоже равны $$ a$$. Отметим равные стороны в треугольниках $$ KBC$$, $$ CDM$$ и $$ KAM$$.
 |
| Рис. 8 |
$$ △KBC=△CDM$$ по первому признаку, т. к. $$ angle KBC=angle CDM=90°+60°=150°$$.
Пусть прямая $$ CA$$ пересекает отрезок $$ KM$$ в точке $$ F$$.
$$ angle KAC=angle MAC=60°+45°=105°$$
Смежные с ними углы $$ KAF$$ и $$ MAF$$ равны $$ 180°-105°=75°$$ значит `/_RAM=150^@`, и $$ △KAM=△KBC$$ Делаем вывод: $$ KC=CM=KM$$ т. е. треугольник $$ KCM$$ – равносторонний.
(В решении использовано утверждение, что все углы равностороннего треугольника равны $$ 60°$$).
II. Равнобедренный треугольник.
В учебнике доказаны теоремы:
Т1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Т2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Т3. (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.
Обратим внимание, что признаком фигуры $$ A$$ называется теорема с формулировкой: «если имеет место … , то это фигура $$ A$$». Сформулируем следующие, часто применяемые в задачах, признаки равнобедренного треугольника:
а) если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный;
б) если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;
в) если в треугольнике
медиана
является
биссектрисой,
то треугольник равнобедренный.
Доказательство признака а) вполне простое. Если $$ BDperp AC$$ и $$ AD=DC$$ (рис. 9), то $$ △ADB=△CDB$$ по двум сторонам ( $$ BD$$ – общая, $$ AD=DC$$) и углу между ними ($$ angle ADB$$ смежный с $$ angle BDC=90°$$ поэтому $$ angle ADB=90°$$ ).
Из равенства треугольников следует $$ AB=BC$$ и треугольник $$ ABC$$ по определению равнобедренный.
Доказательство признака б) Столь же простое, докажите его самостоятельно.
Докажем признак в) Пусть в треугольнике $$ ABC$$ биссектриса $$ BM$$ является медианой: $$ AM=MC$$ (рис. 10). На продолжении биссектрисы $$ BM$$ отложим отрезок $$ MD$$ равный $$ BM$$ Треугольники $$ ABM$$ и $$ CDM$$ равны по первому признаку: у них углы при вершине $$ M$$ равны, как вертикальные, и $$ AM=CM$$, $$ BM=DM$$ Из равенства треугольников следует
$$ CD=AB$$ (1)
и $$ angle CDM=angle ABM$$. Но $$ angle ABM=angle CBM$$ поэтому $$ angle CDM=angle CBM$$, т. е. в треугольнике $$ BCD$$ углы при основании $$ BD$$ равны. По признаку Т3 этот треугольник равнобедренный: $$ BC=CD$$ Отсюда и из (1) заключаем: $$ BC=AB$$. Утверждение доказано.
В следующем примере применяются признак параллельности прямых и две теоремы об углах треугольника (и следствия этих теорем):
Т. Сумма углов треугольника равна $$ 180°$$.
Т. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.
Точка $$ K$$ лежит на основании $$ AC$$ равнобедренного треугольника $$ ABC$$ ($$ AB=BC$$). Через точку $$ K$$ проведена прямая, пересекающая прямую $$ AB$$ и отрезок $$ BC$$, при этом образовалось два равнобедренных треугольника (рис. 11).
Найти углы треугольника $$ ABC$$.
Решение
Обозначим точки пересечения $$ M$$ и $$ D$$.
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны и они острые, значит угол $$ MAK$$ – тупой.
2. В треугольнике может быть только один тупой угол, значит, если треугольник $$ MAK$$ равнобедренный, то равными могут быть только углы при вершинах $$ M$$ и $$ K$$. Обозначим их $$ alpha $$.
3. $$ angle BAK=2alpha $$ (как внешний угол треугольника $$ MAK$$), $$ angle BCA=2alpha $$ (углы при основании равнобедренного треугольника равны) и $$ angle DKC=alpha $$ ($$ angle DKC=angle AKM$$ как вертикальные).
Расставим углы.
4. Треугольник $$ KDC$$ по условию равнобедренный. Возможны, вообще говоря, два случая: а) $$ angle KDC=alpha $$ и б) $$ angle KDC=2alpha $$.
а) Если $$ angle KDC=alpha $$, то накрест лежащие углы при секущей $$ MD$$ равны $$ alpha $$; это по теореме означало бы параллельность прямых $$ MB$$ и $$ CB$$, что противоречит их пересечению. Этот случай невозможен.
б) Если $$ angle KDC=2alpha $$, то по теореме о сумме углов треугольника (для треугольника $$ KDC$$) $$ alpha +2alpha +2alpha =180°$$ ,$$ alpha =36°$$. Находим углы треугольника $$ ABC$$ :$$ angle A=angle C=2alpha =72°$$ , $$ angle B=180°-2·angle A=36°$$.
III. Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства (их надо уметь доказывать):
1. по двум катетам;
2. по гипотенузе и катету;
3. по гипотенузе и острому углу;
4. по катету и острому углу.
Применяя признаки равенства прямоугольных треугольников, докажем ещё один признак равнобедренного треугольника:
Доказать, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.
Решение
Пусть высоты $$ A{A}_{1}$$ и $$ C{C}_{1}$$ треугольника $$ ABC$$ равны друг другу.
1. (Треугольник остроугольный. Обе высоты внутри треугольника, (рис. 12а). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ равны по катету ($$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$) и противолежащему острому углу (угол $$ B$$ – общий). Тогда
равны их гипотенузы $$ AB=CB$$, а это и означает, что треугольник $$ ABC$$ равнобедренный.
2. (Треугольник тупоугольник, угол $$ В$$ тупой. Обе высоты вне треугольника, рис. 12б). Прямоугольные треугольники $$ A{A}_{1}B$$ и $$ C{C}_{1}B$$ имеют равные катеты $$ A{A}_{1}=C{C}_{1}$$ и равные противолежащие углы $$ angle AB{A}_{1}=angle CB{C}_{1}$$ как вертикальные . Треугольники равны, равны их гипотенузы $$ AB=CB$$. Треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный.
3. Случай равенства двух высот равнобедренного треугольника, одна из которых внутри треугольника, другая – вне треугольника, невозможен. Действительно, если $$ B{B}_{1}=A{A}_{1}=h$$ (рис. 12в), то $$ △A{A}_{1}B=△B{B}_{1}A$$ по гипотенузе (у них общая $$ AB$$) и катету $$ A{A}_{1}=B{B}_{1}$$. Тогда $$ angle BA{A}_{1}=angle AB{B}_{1}$$ (обозначен $$ alpha $$ ), т. е. накрест лежащие углы при секущей $$ AB$$ равны и прямые $$ A{A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}B$$ параллельны, что неверно.
4. Если угол $$ B$$ – прямой, то высоты из вершин $$ A$$ и $$ C$$ совпадают с катетами $$ AB$$ и $$ CB$$.
При равных высотах равны и катеты, треугольник $$ ABC$$ – равнобедренный.
Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Решение
 |
| Рис. 13 |
Точка $$ M$$ – середина гипотенузы $$ AB$$ прямоугольного треугольника $$ ABC$$ (рис. 13). Проведём через точку $$ M$$ прямую $$ MKperp AC$$.
Из $$ BCperp AC$$ и $$ MKperp AC$$ следует $$ BCparallel MK$$.
Из параллельности прямых $$ BC$$ и $$ MK$$ и равенства отрезков $$ BM$$ и $$ MA$$ по теореме Фалеса следует $$ CK=KA$$.
В прямоугольных треугольниках $$ CMK$$ и $$ AMK$$ катет $$ MK$$ общий и, как установили, равны катеты $$ CK$$ и $$ AK$$. Эти треугольники равны, значит, равны и их гипотенузы, т. е. $$ CM=AM$$, или $$ CM={displaystyle frac{1}{2}}AB$$.
Дополнение. Для многих учащихся при решении задач возникает проблема: с чего начать? С рисунка! В геометрической задаче очень важен рисунок, он должен отвечать условиям задачи, быть наглядной формой их записи.
Например, в задаче рассматривается равнобедренный треугольник. Его можно нарисовать по-разному (рис. 14а и 14б), поэтому сначала рисуют на черновике, от руки, и из других условий определяют вид треугольника.
Если сказано, что один отрезок в два раза длиннее другого, – отразите это на рисунке; если какие-то прямые параллельны – так и рисуйте, т. е. после таких рассмотрений делаете чёткий хороший рисунок, отвечающий условиям задачи.
Хороший рисунок – помощник в решении, особенно если на нём Вы отмечаете равные углы, перпендикулярность отрезков, отношение длин и т. п. и ставите данные задачи. Посмотрите, например, на рис. 7, 8, 11 и подумайте, как рисунок помогает в решении.
В треугольнике $$ ABC$$ медиана $$ BM$$ перпендикулярна биссектрисе $$ AD$$. Найти длину стороны $$ AB$$, если $$ AC=6$$.
Решение
△ 1. Подумаем, как построить рисунок. Возьмём луч $$ AK$$ (рис. 15) и отложим от точки $$ A$$ какие-то равные углы (т. е. считаем, что биссектриса $$ AD$$ лежит на этом луче).
 |
| Рис. 15 |
Выберем точку $$ B$$, проведём через точку $$ B$$ прямую, перпендикулярно $$ AK$$ и отметим точку $$ M$$, $$ BM$$ – медиана, поэтому отложим отрезок $$ MC=MA$$. Треугольник $$ ABC$$ – тот, что нужен: $$ AD$$ – биссектриса, $$ BM$$ – медиана, $$ ADperp BM$$.
2. Решение очевидно: $$ △ABO=△AMO$$ (по катету и острому углу), значит $$ AB=AM$$ и $$ AC=2AM=2AB$$. Зная, что $$ AC=6$$, находим $$ AB=3$$.
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Треугольники
- Свойства равнобедренного треугольника
1. Теорема
Дано: 
АВС – равнобедренный, ВС – основание.
Доказать: 
В = С.
Доказательство:
Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.
Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС – равнобедренный), АD – общая сторона, BAD = CAD, так как АD – биссектриса по построению, 
АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. – против стороны АВ).
Теорема доказана.
Справедливо и обратное утверждение:
Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.
2. Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Дано: АВС – равнобедренный, ВС – основание, АD – биссектриса.
Доказать: АD – медиана и высота.
Доказательство:
Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС – равнобедренный), АD – общая сторона, BAD = CAD, так как АD – биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС.
Мы доказали, что ВD = DC точка D – середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).
Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС – смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 1800, тогда ADВ = ADС = 900, т.е. АD
BC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).
Теорема доказана.
Справедливо и обратное утверждение:
Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.
3. Теорема
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
Справедливо и обратное утверждение:
Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.
4. Теорема
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Справедливо и обратное утверждение:
Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.
Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.
Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.
EFG – равносторонний:
- ЕС – биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне FG,
- FK – биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕG,
- GM – биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕF.
Советуем посмотреть:
Треугольник
Равенство треугольников
Первый признак равенства треугольников
Перпендикуляр к прямой
Медианы треугольника
Биссектрисы треугольника
Высоты треугольника
Равнобедренный треугольник
Второй признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
Окружность
Построения циркулем и линейкой
Треугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 178,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 332,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 401,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 634,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 690,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 691,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 733,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 816,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 856,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1054,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
