I. Механика
Тестирование онлайн
Определение
Это векторная сумма всех сил, действующих на тело.
Велосипедист наклоняется в сторону поворота. Сила тяжести и сила реакции опоры со стороны земли дают равнодействующую силу, сообщающую центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности
Взаимосвязь со вторым законом Ньютона
Вспомним закон Ньютона:
Равнодействующая сила может быть равна нулю в том случае, когда одна сила компенсируется другой, такой же силой, но противоположной по направлению. В этом случае тело находится в покое или движется равномерно.
Сила Архимеда уравновешивается силой тяжести, тело равномерно перемещается в жидкости вниз. |
Сила тяжести уравновешивается силой упругости. Книга покоится |
Если равнодействующая сила НЕ равна нулю, то тело движется равноускоренно. Собственно именно эта сила является причиной неравномерного движения. Направление равнодействующей силы всегда совпадает по направлению с вектором ускорения.
Когда требуется изобразить силы, действующие на тело, при этом тело движется равноускоренно, значит в направлении ускорения действующая сила длиннее противоположной. Если тело движется равномерно или покоится длина векторов сил одинаковая.
Сила реакции опоры (сила, направленная вверх) длиннее силы тяжести, так как шарик движется по окружности, центростремительное ускорение направлено вверх |
Сила реакции опоры (сила, направленная вверх) короче силы тяжести, так как шарик движется по окружности, центростремительное ускорение направлено вниз. Вектор силы тяжести, направленный вниз, длиннее. |
Нахождение равнодействующей силы
Для того, чтобы найти равнодействующую силу, необходимо: во-первых, верно обозначить все силы, действующие на тело; затем изобразить координатные оси, выбрать их направления; на третьем шаге необходимо определить проекции векторов на оси; записать уравнения.
Кратко: 1) обозначить силы; 2) выбрать оси, их направления; 3) найти проекции сил на оси; 4) записать уравнения.
Как записать уравнения? Если в некотором направлении тело двигается равномерно или покоится, то алгебраическая сумма (с учетом знаков) проекций сил равна нулю. Если в некотором направлении тело движется равноускоренно, то алгебраическая сумма проекций сил равна произведению массы на ускорение, согласно второму закону Ньютона.
Примеры
На движущееся равномерно по горизонтальной поверхности тело, действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила, под действием которой тело движется.
Обозначим силы, выберем координатные оси
Найдем проекции
Записываем уравнения
Тело, которое прижимают к вертикальной стенке, равноускоренно движется вниз. На тело действуют сила тяжести, сила трения, реакция опоры и сила, с которой прижимают тело. Вектор ускорения направлен вертикально вниз. Равнодействующая сила направлена вертикально вниз.
Тело равноускоренно движется по клину, наклон которого альфа. На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения.
Главное запомнить
1) Если тело покоится или движется равномерно, то равнодействующая сила равна нулю и ускорение равно нулю;
2) Если тело движется равноускоренно, значит равнодействующая сила не нулевая;
3) Направление вектора равнодействующей силы всегда совпадает с направлением ускорения;
4) Уметь записывать уравнения проекций действующих на тело сил
Системы и блоки*
3. Определение равнодействующей геометрическим способом
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся.
Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил (F1; F2; F3;…; Fn), где n — число сил, входящих в систему.
В соответствии со следствиями из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными к одной точке.
Используя свойство векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил.
При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.
Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называется геометрическим.
Многоугольник сил строится в следующем порядке.
1. Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора совпал с началом последующего.
2. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.
3. При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.
Условие равновесия плоской системы сходящихся сил. При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.
Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.
Если в системе три силы, образуется треугольник сил.
Геометрическим способом пользуются, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считается абсолютно твердым (отвердевшим).
Задачи решаются в следующем порядке.
1. Определить возможное направление реакций связей.
2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил, в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура).
3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.
4. Для уточнения определить величины векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зависимостей.
Графическое определение равнодействующей сходящихся сил
Теорема 1. Равнодействующая системы сходящихся сил существует,
приложена в центре системы, равна их геометрической (векторной) сумме и
изображается замыкающей стороной силового многоугольника.
Для доказательства рассмотрим систему сходящихся сил, приложенных в
центре О : (Рис.1).
Рис.1
По аксиоме параллелограмма две первых силы этой системы можно
заменить равнодействующей $vec{R_{1-2}}$, которая изображается замыкающей стороной
силового треугольника Oab и как вектор равна сумме векторов $vec{Р_1}$ и $vec{Р_2}$:
$$(vec{Р_1}, vec{Р_2}) sim ( vec{R_{1-2}} = vec{Р_1} + vec{Р_2}$$
Затем точно так же можно найти равнодействующую силы $vec{R_{1-2}}$ и силы $vec{Р_3}$,
откладывая от точки b вектор $bc = vec{Р_3}$:
$$(vec{Р_1}, vec{Р_2}, vec{Р_3}) sim (vec{R_{1-2}}, vec{Р_3}) sim vec{R_{1-3}} = vec{Р_1} + vec{Р_2} + vec{Р_3}$$
Продолжая эту процедуру, мы найдем равнодействующую всей системы:
$$(vec{Р_1}, vec{Р_2}, dots, vec{Р_n}) sim (vec{R_{1-(n-1)}} , vec{Рn}) sim (vec{R_{1-n}}) sim vec{R} = sum_{i=1}^{i=n} vec{Р_i}$$
, которая изображается замыкающей стороной силового многоугольника Oabcd.
Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной
фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен
только для плоской системы сил.
Универсальным для определения равнодействующей системы сходящихся сил
является аналитический метод, к рассмотрению которого мы и переходим.
Примечания:
-
Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник – отличный от первого.
-
Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.
Ранее мы уже познакомились с понятием силы и знаем, что она имеет две характеристики: направление и численное значение. В жизни обычно на тело действуют сразу несколько сил.
Например, если рассмотреть ситуацию, когда спускается парашютист, то можно заметить, что на него действуют сразу две силы: и сила тяжести, и сила сопротивления воздуха.
На груз, подвешенный на пружине, тоже действуют две силы — сила тяжести и сила упругости пружины.
В каждом таком случае мы можем заменить несколько сил, действующих на тело, одной. И она будет равноценна по своему действию всем этим силам.
На данном уроке мы узнаем, как называется такая сила и как ее найти.
Равнодействующая сил
Дадим определение. Какую силу называют равнодействующей нескольких сил?
Равнодействующая сил — это сила, которая производит на тело такое же действие, как несколько одновременно действующих сил.
Так же, как и любая сила, равнодействующая является векторной величиной. Она обозначается буквой $vec R$, а ее числовое значение — буквой $R$. Равнодействующая сила измеряется в ньютонах ($Н$).
Сложение сил, действующих на тело по одной прямой
Если силы направлены в одну сторону
Проведем эксперимент: возьмем два груза (рисунок 1, а), масса которых равна $102 space г$ и $204 space г$, и подвесим их к пружине. Наши грузы имеют вес $1 space Н$ и $2 space Н$ и воздействуют на пружину, из-за чего она растягивается на определенную длину. Сделаем отметку, на какое расстояние вытянулась пружина.
А теперь снимем два груза и подберем один груз, который растянет пружину на такую же длину. Вес этого груза окажется равен $3 space Н$ (рисунок 1, б).
Из опыта можно сделать вывод, что:
- Равнодействующая сил, направленных по одной прямой в одну сторону, направлена в ту же сторону, что и действующие на тело силы;
- Модуль равнодействующей сил равен сумме модулей составляющих сил.
Изобразим графически эти силы на рисунке 2.
Чему равна равнодействующая двух сил, направленных по одной прямой в одну сторону?
Силы, которые мы будем складывать, обозначены буквами $F_1$ и $F_2$. Тогда для всех действующих сил будет иметь место равенство:
$R = F_1 + F_2$.
Если силы направлены в противоположные стороны
Рассмотрим еще один опыт, представленный на рисунке 3.
Поставим гирю на динамометр со столиком (рисунок 3, а). Рассматриваемым телом в данном случае будет сам столик. Гиря весит $5 space Н$, т.е. действует на столик с силой в $5 space Н$, причем эта сила направлена вертикально вниз.
Теперь привяжем к столику нить и потянем вертикально вверх с силой, равной $2 space Н$ (рисунок 3, б). Динамометр покажет силу $3 space Н$. Эта сила и будет равнодействующей двух сил: $5 space Н$ и $3 space Н$.
- Если две силы направлены по одной прямой в противоположные стороны, то их равнодействующая будет направлена в сторону той силы, которая больше по модулю.
- Модуль равнодействующий сил в таком случае равен разности модулей составляющих сил
Изобразить силы можно следующим образом (рисунок 4):
Чему равна равнодействующая двух сил, направленных по одной прямой в противоположные стороны?
Равнодействующая сил равна:
$R = F_2 space − space F_1$.
Как будет двигаться тело под действием двух равных противоположно направленных сил?
Если силы, действующие на тело, будут равны, то мы получим, что равнодействующая сил равна нулю, то есть $R = 0$. Другими словами, в этом случае тело будет покоиться или двигаться прямолинейно и равномерно.
Как мы уже говорили, когда тело растянет пружину и остановится, это значит, что сила тяжести и сила упругости уравновесили друг друга. В этом случае тело будет находиться в состоянии покоя, например, как на рисунке 1.
Упражнения
Упражнение №1
Человек, масса которого $70 space кг$, держит на плечах ящик массой $20 space кг$. С какой силой человек давит на землю?
Дано:
$m_1 = 70 space кг$
$m_2 = 20 space кг$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$
$P$ — ?
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Без ящика на плечах человек давит на землю с весом $P_1$, а ящик (если его поставить на землю) — с весом $P_2$.
Вес направлен вертикально вниз. В данной задаче мы применим понятие равнодействующей сил к их общему весу $P$:
$R = P = P_1 + P_2$
Человек с ящиком на плечах стоит на месте. Значит его вес будет равен силе тяжести, действующей на него:
$P_1 = F_{тяж1} = gm_1$.
Вес ящика тоже будет равен силе тяжести, действующей на него:
$P_2 = F_{тяж2} = gm_2$.
Тогда общий вес, с которым человек давит на землю с ящиком на плечах, будет равен:
$P = gm_1 + gm_2 = g cdot (m_1 + m_2)$,
$P = 9.8 frac {Н}{кг} cdot (70 space кг + 20 space кг) = 9.8 frac {Н}{кг} cdot 90 space кг = 882 space Н$.
Ответ: $P = 882 space Н$.
Упражнение №2
Отец посадил сына себе на плечи. Масса отца составляет $90 space кг$, сына — $35 space кг$. С какой силой отец теперь будет давить на землю?
Дано:
$m_о = 90 space кг$
$m_с = 35 space кг$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$
$P$ — ?
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
В одиночку отец давит на землю с весом $P_о$, сын — с весом $P_с$.
Вес направлен вертикально вниз. В данной задаче мы применим понятие равнодействующей сил к их общему весу $P$:
$R = P = P_о + P_c$
Отец с сыном не двигаются, значит:
$P_о = gm_о$ и $P_с = gm_с$.
Тогда общий вес, с которым отец давит на землю держа сына на плечах, будет равен:
$P = gm_о + gm_с = g cdot (m_о + m_с)$,
$P = 9.8 frac {Н}{кг} cdot (90 space кг + 35 space кг) = 9.8 frac {Н}{кг} cdot 125 space кг = 1 225 space Н$.
Ответ: $P = 1 225 space Н$.
Упражнение №3
В игре по перетягиванию каната участвуют четыре человека. Два из них тянут канат в одну сторону с силами $330 space Н$ и $380 space Н$, два — в противоположную сторону с силами $300 space Н$ и $400 space Н$. В каком направлении будет двигаться канат и чему равна равнодействующая этих сил? Сделайте чертеж.
Дано:
$F_1 = 330 space Н$
$F_2 = 380 space Н$
$F_3 = 300 space Н$
$F_4 = 400 space Н$
$R — ?$
Показать решение и ответ
Пусть первые два участника тянут канат вправо с силами $F_1$ и $F_2$, другие два — влево с силами $F_3$ и $F_4$.
Скрыть
Решение:
Сначала найдем чему равна равнодействующая сил первых двух участников. Они тянут канат в одну сторону, значит:
$R_1 = F_1 + F_2 = 330 space Н + 380 space Н = 710 space Н$.
Теперь найдем равнодействующую сил для левой стороны участников:
$R_2 = F_3 + F_4 = 300 space Н + 400 space Н = 700 space Н$.
Теперь мы можем найти равнодействующую сил для всех участников:
$R = R_1 space − space R_2 = 710 space Н space − space 700 space Н = 10 space Н$.
Графически силы изображены на рисунке 5. Так как силы участников направлены в противоположные стороны, равнодействующая сил будет направлена в ту сторону, где у участников большая сила, то есть вправо.
Ответ: канат будет двигаться в сторону первых двух участников, $R = 10 space Н$.
Упражнение №4
Человек спускается на парашюте, двигаясь равномерно. Сила тяжести парашютиста вместе с парашютом $700 space Н$. Чему равна сила сопротивления воздуха?
Дано:
$F_{тяж} = 700 space Н$
$upsilon = const$
$F_с — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Сила тяжести, действующая на парашютиста и парашют, направлена вертикально вниз, а сила сопротивления воздуха — противоположно его движению, то есть вертикально вверх.
В задаче сказано, что парашютист двигается равномерно ($upsilon = const$). Значит равнодействующая сил, действующая на него и парашют, равна нулю:
$R = 0$.
Тогда мы можем сказать, что силы, действующие на парашютиста и парашют, по модулю равны друг другу:
$F_с = F_{тяж} = 700 space Н$.
Ответ: $F_с = 700 space Н$.
Сложение
сил. Графическое изображение сил.
«Если вы в этом разберетесь, как следует,
вы лучше сможете следить за ходом моей
мысли при изложении дальнейшего»
Майкл
Фарадей
Смысл
этой фразы в том, что нельзя оставлять за спиной какие-то неясности в пройденном
материале, иначе потом будет ещё сложнее.
В
данной теме будет идти речь о сложении сил. В предыдущих темах было показано,
что существуют разные силы, которые могут действовать на тело одновременно. Сила
тяжести – это сила, с которой Земля притягивает все находящиеся на ней тела.
Вследствие этой силы возникает ещё одна сила, которая называется весом тела.
Вес тела действует на опору или подвес. В теле, которое деформируют (или
пытаются деформировать) возникает сила упругости, стремящаяся вернуть тело в
исходное положение. Когда тело покоится на той или иной опоре, то силу
тяжести уравновешивает сила упругости, и поэтому тело не изменяет свою
скорость.
Что
значит, уравновешивает? Это значит, что силы тяжести и
упругости имеют одинаковый модуль, но направлены в противоположные стороны.
В итоге, так называемая равнодействующая сила (или результирующая
сила) равна нулю. Итак, равнодействующая сила – это сила, которая
производит на тело такое же действие, как несколько одновременно действующих
сил. Сила упругости и сила тяжести действуют на тело одновременно и уравновешивают
друг друга, то есть, в конечном итоге, не производят никакого действия.
Именно поэтому, равнодействующая сила равна нулю.
Если
две абсолютно одинаковых машины связать тросом и заставить их ехать в разные
стороны, то ни одна из них не сдвинется с места.
Причина
та же самая – равнодействующая сила равна нулю, поскольку силы, с
которыми машины действуют на трос, равны по модулю и противоположны по
направлению. Если заменить одну из машин, на более мощную, то она сможет
сдвинуться с места.
В
этом случае, равнодействующая сила уже не будет равна нулю. Она будет равна
разности между большей и меньшей силой. Направление равнодействующей
силы будет в сторону, в которую направлена большая сила. Что будет
происходить, если силы направлены в одну и ту же сторону? Равнодействующая
сила будет равна сумме модулей этих сил. Например, если в телегу запрячь не
одну, а две лошади, то они будут тянуть телегу сильнее. Равнодействующая сила
будет равна сумме сил обеих лошадей.
Рассмотрим,
как графически изображать силы. В одной из прошлых тем упоминалось, что на
рисунках и чертежах, стрелочки, которыми обозначают силы, рисуют
пропорционально модулям этих сил. Вернёмся к примеру с машинами, и изобразим силу
каждой из них графически. Итак, пусть зеленая машина развивает тягу, равную F1 = 15 кН,
а красная машина – силу тяги, равную F2 = 12 кН.
Прежде чем изображать силы графически, необходимо выбрать удобный единичный
отрезок: в приведенном случае удобно выбрать 3 кН. Тогда, длина стрелочки,
изображающей силу тяги зеленого автомобиля должна быть равна 5 единичным
отрезкам. Аналогично, длина стрелочки, изображающей силу тяги красного
автомобиля должна быть равна 4 единичным отрезкам.
Равнодействующая
сила будет равна 3 кН. Таким образом, на рисунке равнодействующая сила
показана стрелочкой длиной в 1 единичный отрезок. Равнодействующая сила будет
направлена в ту же сторону, что и сила F1,
поскольку модуль силы F1 больше
модуля силы F2.
Рассмотрим
теперь другой пример: ежик массой 800 г держит на спине яблоко 300 г. Известно, что сила тяжести вычисляется по формуле
Fтяж = mg
И
на ёжика, и на яблоко будет действовать сила тяжести. Сила тяжести, действующая
на тело массой 100 г, равна 0,98 Н. Это значение
можно взять за единичный отрезок.
Поскольку
масса яблока втрое больше, чем 100 г, силу тяжести, действующую на яблоко, изображаем стрелочкой с длиной в 3 единичных отрезка. Тогда длина
стрелочки, изображающая силу тяжести, действующую на ёжика должна быть равна 8
единичным отрезкам, поскольку масса ёжика в 8 раз больше 100 г. Известно что, сила тяжести всегда направлена вертикально вниз. Тогда, равнодействующая
сила, действующая на поверхность земли под ёжиком, будет равна сумме сил
тяжестей, действующих на ёжика и на яблоко. Длина стрелочки, обозначающей
равнодействующую силу должна быть равна 11 единичным отрезкам. Таким образом,
модуль равнодействующей силы равен
R = 10,78 Н
Упражнения:
Задача
1.
Пользуясь рисунком, найдите массу животных.
Решение
Задача
2.
В тот момент, когда человек отталкивался от земли, чтобы прыгнуть, на него
действовала результирующая сила, равная 40 Н и направленная вертикально вверх.
Найдите модуль и направление силы, с которой человек оттолкнулся от земли в
момент прыжка, если его масса равна 60 кг.
Задача
3.
Один магнит закреплен под крышкой стола. Когда на стол положили второй магнит,
он начал действовать на стол с силой, равной 3 Н, а когда его перевернули,
он начал действовать на стол с силой 2,8 Н. Учитывая то, что магниты
притягивались и отталкивались с одинаковой по модулю силой, найдите модуль этой
силы.
Основные
выводы:
–
Результирующая (или равнодействующая) сила – это сила,
которая оказывает на тело такое же действие, как несколько одновременно
действующих сил.
–
Результирующая сил, направленных по одной прямой в одну сторону,
направлена в ту же сторону, а её модуль равен сумме модулей составляющих сил.
–
Результирующая сил, направленных по одной прямой в противоположные
стороны, направлена в сторону большей по модулю силы, а её модуль равен разности
модулей составляющих сил. Если к телу приложены две силы равные по модулю и
противоположные по направлению, то равнодействующая сила равна нулю.
