Как найти равномерно распределенную нагрузку - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Распределенная нагрузка

Распределенной нагрузкой называют внешние или внутренние усилия, которые приложены не в одной точке твердого тела (т.е. не сосредоточены в одной точке), а равномерно, случайным образом или по заданному закону распределены по его определенной длине, площади (поверхности) или объему.

Рассмотрим виды распределенных нагрузок q: линейную, равномерную, треугольную (возрастающую или убывающую), трапециевидную, нелинейную, наклонную (направленную под углом) и замену их результирующей сосредоточенной силой — равнодействующей Q (R_q)

Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.

Это может быть собственный вес элемента конструкции, давление газа или воды, распределенный вес сыпучих материалов, ветровая нагрузка и тому подобное.

Обозначение распределенной нагрузки — q

Размерность:

линейной нагрузки — Н/м,
нагрузки распределенной по площади — Н/м²,
объемной (например при учете собственного веса элементов конструкции) — Н/м³.

или кратные им, например кН/м.

Равнодействующая распределенной нагрузки

При решении некоторых задач технической и теоретической механики, распределенную нагрузку удобно заменять её равнодействующей, обозначаемой Q или R_q, которая для линейного случая распределения, определяется произведением интенсивности нагрузки q на её длину AB.

Равнодействующая распределенной нагрузки действует в точке, расположенной в центре тяжести фигуры, ограниченной профилем её распределения.

Рассмотрим способы замены распределенных нагрузок их равнодействующей.

Равномерно распределенная нагрузка

Равномерно распределенная по длине AB нагрузка интенсивностью q, измеряемая в Н/м

может быть заменена сосредоточенной силой Q (R_q)

приложенной в центре (на пересечении диагоналей) прямоугольника, середине отрезка AB.

Линейно изменяющаяся (треугольная) нагрузка

Треугольная, линейно изменяющаяся убывающая (возрастающая) нагрузка

может быть заменена равнодействующей силой, приложенной в точке C

Отметим, что центр тяжести треугольника находится на пересечении его медиан, на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин.

Трапециевидная распределенная нагрузка

Трапециевидная, равномерно убывающая или возрастающая нагрузка характеризуется длиной и двумя значениями интенсивности распределения нагрузки: минимальной q_min и максимальной q_max

Профиль такой нагрузки представляет собой трапецию.
Величина и положение равнодействующей Q в данном случае определяется по выражениям

Нелинейная распределенная нагрузка

В произвольном общем случае, интенсивность распределения нагрузки по её длине может описываться одной или несколькими функциями.

Зная функцию q(x), сосредоточенная эквивалентная (равнодействующая) сила рассчитывается по формуле

Эта сила также приложена в центре тяжести площади, ограниченной сверху от балки AB линией q(x).

Для расчета точки приложения равнодействующей нагрузки необходимо вычислить координату положения центра тяжести фигуры, образуемой нагрузкой.

Наклонная распределенная нагрузка

В случаях, когда распределенная нагрузка приложена под определенным углом, величина равнодействующей определяется аналогично ранее описанным способам.

При этом угол наклона самой силы будет равен углу наклона нагрузки q.

Например, линия действия равнодействующей наклонной равномерно распределенной нагрузки будет пересекать ось балки ровно посередине между крайними точками её приложения.

Величина равнодействующей будет равна площади параллелограмма, образованного профилем нагрузки.

Как рассчитывается момент распределенной нагрузки

Распределенная нагрузка от давления

Примером распределенной нагрузки от давления может служить расчет усилий, разрывающих стенки баллона со сжатым газом.

Определим результирующую силу давления в секторе трубы при интенсивности q [Н/м];

где:
R – радиус трубы,
2α – центральный угол,
ось Ox – ось симметрии.

Выделим элемент сектора с углом ∆φ и определим силу ∆Q, действующую на плоский элемент дуги:

Проекция этой силы на ось Ox будет

В силу симметрии элемента трубы (с дугой AB) относительно оси Ox проекция результирующей силы на ось Oy:

Q_y = 0, т.е. Q = Q_x,

Тогда

где АВ – хорда, стягивающая концы дуги.

Для цилиндрической емкости высотой h и внутренним давлением P на стенки действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = p [Н/м²].

Если цилиндр рассечен по диаметру, то равнодействующая этих сил равна

F = q ∙ d ∙ h

где, d – внутренний диаметр, или

F = p ∙ 2R ∙ h.

Тогда, разрывающие баллон по диаметру усилия:

S₁ = S₂ = S;
2S = F;
S = p∙h∙R.

Если принять что a – толщина стенки, то (пренебрегая усилиями в крышке и дне цилиндра) растягивающее напряжение в стенке равно

Примеры решения задач >
Уравнения равновесия системы сил >

Источник

Взаимодействия с деталями, отдельными элементами и конструкциями механизма задается с помощью нагрузок. В плоскости задается интенсивность взаимодействия конструкции по длине, а в пространстве – по её площади.

Распределённая нагрузка на балку задается площадью, обозначается буквой q и измеряется в [H/м³] для объемной конструкции, в [H/м²] — для площади, для линейной – в [H/м].

Продемонстрируем это на рисунке:

Нагрузку также можно заменить тягой, рассредоточенной по всей поверхности. Значение определяется по формуле:

Q = q ∗ AB⌈H⌉

здесь AB является тяжестью, q – интенсивностью, которая измеряется в [H/м].

Примечательно, что сила приложена к середине данного отрезка AB.

251

На данном рисунке представлен расчёт возрастающей нагрузки, которую можно заменить равнодействующей единицей, рассчитываемое по формуле:

Q = q_max ∗ AB/2

где q_max – максимальная интенсивность [Н/м].

Q приложена к точке C, где AC равно: AC = 2/3 AB

Рассматривая функцию q(x), представленную на рисунке:

252

можно высчитать значение эквивалентной силы по формуле:

253

Равномерно и неравномерно распределенная нагрузка на балку

Распределение сил, которые лежат в одной плоскости, задается равномерно распределенной тяжестью. Основным обозначением является интенсивность q – предельная тяга, несущая равнодействующую на единицу длины нагруженного участка АВ длиной а.

Единицы измерения распределённой нагрузки [Н/м].

255

Её также можно заменить на величину Q, которая приложена в середину AB.

Составим формулу: Q = q∗a

256

Неравномерно распределённую нагрузку чаще всего упрощают, приводя её к эквивалентной равномерно распределенной, чтобы упростить расчеты.

При построении также следует учитывать максимальный прогиб балки, её прочность, расчетную опорную реакцию и моментальную опору.

Пример решения задач с распределенной нагрузкой

Рассмотрим пример распределенной нагрузки на балку. Им может послужить тяга, благодаря которой происходит разрыв стальной стенки баллона с некоторым газом.

Для начала определяем результирующую давления в металлической трубе. Интенсивность равна q, радиус этого сектора трубы – R, ось симметрии Оx, а 2α – это центральный угол. Представим это на рисунке:

254

Выделим элемент сектора трубы ∆ϕ.

Затем определим единицу силы ∆Q. Она действует на плоскость дуги. Составим формулу:

258

Проекция результирующей тяги на ось Оx является:

259

Исходя из вышесказанного, можно найти проекцию этой же силы на ось Оy:

260

AB является хордой, которая стягивает дугу.

В нашей задаче сосуд – это ёмкость цилиндрической формы с высотой H, внутренним давлением P, действующим на стенки, и нагрузкой q = p [Н/м²].

Разделим цилиндр вдоль его диаметра.

Исходя из этого, равнодействующая результирующих сил определяется по формуле:

261

где d – это внутренний диаметр цилиндра, h — его высота.

Формулу также можно записать следующим образом:

262

Итак, почему баллон имеет способность разрываться? На его стенки действуют значения S1, S2, S3 (площади), а также F, p (плотность), h (высота цилиндра) и R (его радиус). Рассчитаем их по формулам:

263

Изобразим баллон в момент разрыва:

264

Учтём a – толщину ёмкости. Таким образом напряжение, которое растягивает баллон, (усилия распространяются в том числе на крышку и дно цилиндра) равно:

265

Важную роль при решении практических задач также играет эпюра распределенной нагрузки – плоская фигура, которая ограничена графиком. Величина, действующая на балку, называется интенсивностью – силой, которая распространяется на единицы площади, объема или длины.

Источник

Поверхностные и объёмные силы
представляют собой нагрузку, распределённую
по некоторой поверхности или объёму.
Такая нагрузка задаётся интенсивностью

,
которая представляет собой силу,
приходящуюся на единицу некоторого
объёма, или некоторой площади, или
некоторой длины.

Особое место при решении ряда
практически интересных задач занимает
случай плоской распределённой нагрузки,
приложенной по нормали к некоторой
балке. Если вдоль балки направить ось

,
то интенсивность будет функцией
координаты
и измеряется в Н/м. Интенсивность
представляет собой силу, приходящуюся
на единицу длины.

Плоская фигура, ограниченная балкой
и графиком интенсивности нагрузки,
называется эпюрой распределённой
нагрузки (Рис. 1.28). Если по характеру
решаемой задачи можно не учитывать
деформации, т.е. можно считать тело
абсолютно твёрдым, то распределённую
нагрузку можно (и нужно) заменить
равнодействующей.


Рис. 1.28		Рис. 1.29

Разобьём балку на
отрезков длиной
,
на каждом из которых будем считать
интенсивность постоянной и равной
,
где
–координата отрезка
.
При этом кривая интенсивности заменяется
ломаной линией, а нагрузка, приходящаяся
на отрезок
,
заменяется сосредоточенной силой
,
приложенной в точке
(Рис. 1.29). Полученная система параллельных
сил имеет равнодействующую, равную
сумме сил, действующих на каждый из
отрезков, приложенную в центре
параллельных сил.

Понятно, что такое представление
тем точнее описывает реальную ситуацию,
чем меньше отрезок
,
т.е. чем больше число отрезков
.
Точный результат получаем, переходя к
пределу при длине отрезка
,
стремящейся к нулю. Предел, получаемый
в результате описанной процедуры,
представляет собой интеграл. Таким
образом, для модуля равнодействующей
получаем:

Для определения координаты точки

приложения равнодействующей используем
теорему Вариньона:

если система сил имеет равнодействующую,
то момент равнодействующей относительно
любого центра (любой оси) равен сумме
моментов всех сил системы относительно
этого центра (этой оси)

Записывая эту теорему для системы сил
в проекциях на ось
и переходя к пределу при длине отрезков,
стремящейся к нулю, получаем:

Очевидно, модуль равнодействующей
численно равен площади эпюры распределённой
нагрузки, а точка её приложения совпадает
с центром тяжести однородной пластины,
имеющей форму эпюры распределённой
нагрузки.

Отметим два часто встречающихся случая.

Равномерно распределённая нагрузка,(Рис. 1.30). Модуль равнодействующей и
координата её точки приложения
определяются по формулам:

В инженерной практике такая нагрузка
встречается довольно часто. Равномерно
распределённой в большинстве случаев
можно считать весовую и ветровую
нагрузку.



Рис. 1.30		Рис. 1.31

Линейно
распределённая нагрузка,(Рис. 1.31). В этом случае:

В
частности, давление воды на вертикальную
стенку прямо пропорционально глубине
.

Пример
1.5

Определить реакции опор
ибалки, находящейся под действием двух
сосредоточенных сил и равномерно
распределённой нагрузки. Дано:

Рис. 1.32

Найдём равнодействующую распределённой
нагрузки. Модуль равнодействующей равен

плечо силы
относительно точкиравноРассмотрим равновесие балки. Силовая
схема представлена на Рис. 1.33.

Рис. 1.33

Условия
равновесия в рассматриваемом случае
имеют вид:

Пример
1.6

Определить реакцию заделки консольной
балки, находящейся под действием
сосредоточенной силы, пары сил и
распределённой нагрузки (Рис. 1.34).

Дано:

Заменим распределённую нагрузку тремя
сосредоточенными силами. Для этого
разобъём эпюру распределённой нагрузки
на два треугольника и прямоугольник.
Находим

Силовая схема представлена на Рис. 1.35.



Рис. 1.34		Рис. 1.35

Вычислим
плечи равнодействующих относительно
оси

Условия
равновесия в рассматриваемом случае
имеют вид:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Что
называется интенсивностью распределённой
нагрузки?

2. Как
вычислить модуль равнодействующей
распределённой нагрузки?

3. Как
вычислить координату точки приложения
равнодействующей распределённой

нагрузки?

4. Чему
равен модуль и какова координата точки
приложения равномерно распределённой
нагрузки?

5. Чему
равен модуль и какова координата точки
приложения линейно распределённой
нагрузки?

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В
АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из
сборника задач И.В.Мещерского: 4.28;
4.29; 4.30; 4.33; 4.34.

Из
учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА –
теория и практика»: комплекты СР-2; СР-3.

ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАНЯТИЯ № 4-5

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
#
03.03.2015560.03 Кб15PSY – recommendation.pdf
#
#

Источник

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Равномерно и неравномерно распределенная нагрузка на балку

Распределение сил, которые лежат в одной плоскости, задается равномерно распределенной тяжестью. Основным обозначением является интенсивность q — предельная тяга, несущая равнодействующую на единицу длины нагруженного участка АВ длиной а.

Единицы измерения распределённой нагрузки [Н/м].

Её также можно заменить на величину Q, которая приложена в середину AB.

Составим формулу: Q = q∗a

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

Имеет прямоугольное сечение S=b*h, длина опирающейся части составляет L;
Линейка нагружена силой Q, проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ, с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f;
Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ, где Е – справочная величина, R— усилие, Δ— величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е). Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е).

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е).

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил Mmax = q*L*2/8, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е). Величину b·h2/6 называют моментом инерции и обозначают W. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L2/8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h3/12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Совет! В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L2/(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Совет! Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния.

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Qmax = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

Построение эпюры нормальных напряжений

Построение эпюры касательных напряжений

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

М = -32 кНм и Q = 68 кН.

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Таблица 1

Результаты расчета в примере

Изобретение относится к области неразрушающего контроля и мониторинга прогиба балок. Объект изобретения предназначен для строительных конструкций, находящихся в стадии эксплуатации.

Причины возрастания прогиба балки

1) деградация материалов;

2) дефекты и образование неисправностей (трещины, коррозия, гниение в древесине и т.д.);

3) увеличение нагрузки.

Прогибы балок зданий и сооружений можно измерить различными способами.

Известен [1, с.52] способ измерения прогиба балок в различное время их эксплуатации, заключающийся в том, что с помощью двух планок с делениями, одна из которых закреплена неподвижно в бетонном или железобетонном основании, а другая планка закреплена на балке, и по их взаимному смещению судят о прогибе балки. Полный прогиб складывается из прогиба от собственного веса балки и существующей на ней нагрузки. Полный прогиб измеряют с помощью высокоточной рейки и нивелира.

Данный способ обладает рядом недостатков:

— малая точность измерений прогиба балки;

— необходимость устройства опорного железобетонного основания;

— заполняется пространство под балкой, что нарушает технологический процесс;

— нет дистанционного управления; затруднен мониторинг прогиба балки.

Известен [1, с.54] способ измерения прогибов балки прогибомерами систем Максимова и ЦНИИСК, заключающийся в том, что к испытываемой конструкции в месте, где требуется измерить прогиб, прикрепляют стальную проволоку диаметром 0,25 мм так, чтобы она дважды обматывала барабан прогибомера со шкалой, и к концу ее подвешивают груз весом 1,5 кг. При прогибе конструкции проволока вращает барабан, соединенный со стрелкой, которая движется по циферблату. На циферблате имеется также счетчик оборотов с ценой деления 0,1 см. Прибор крепится к неподвижному предмету специальной металлической струбциной.

Недостатками этого способа являются потребность неподвижной опоры (предмета) для крепления прибора, который вместе с проволокой закрывает пространство под балкой на время измерения прогиба балки; отсутствие дистанционного управления измерениями прогиба; требуется присутствие работника на этапе измерений; затруднен мониторинг прогиба; на результаты измерений оказывает влияние температура и другие природные явления (ветер, дождь, снег и т.д.); неточность измерений, вызванная изменением места наибольшего прогиба балки, вызванного изменением свойств материала балки с течением времени, положением нагрузки и т.д.

Наиболее близким к заявленному способу измерений прогибов балок и плит является известный [1, с.59] способ измерения прогибов (перемещений) электромеханическим прибором со штоком, упругим элементом и тензорезисторами, наклеенными на упругие элементы, заключающийся в том, что прибор устанавливают на неподвижную опору под балкой в месте наибольшего прогиба, шток упирают в балку непосредственно или через дополнительную связь, балка прогибается под нагрузкой в результате деградации материала и других причин в течение времени, прогибы регистрируют косвенно через электрические сопротивления тензорезисторов ΔR, по которым через переводной коэффициент определяется прогиб балки.

Недостатками этого способа является низкая точность измерения прогиба балки, вызванная тем, что измерение производится без учета возможного изменения места наибольшего прогиба по длине балки, которое вызвано различными непредвиденными причинами; необходимость опорного устройства для крепления прибора и связи с балкой прибора, что приводит к ограничению использования пространства под балкой или над балкой на время измерений; необходимость устройства защиты прибора от различных природных воздействий и его охраны, особенно в зимнее время при непрерывном измерении, что затрудняет мониторинг прогиба балки.

Целью предлагаемого способа определения прогиба балок является повышение точности измерений наибольших прогибов балок; проведение мониторинга прогиба балки; измерение прогибов с дистанционным управлением без нарушения технологических процессов над балкой и под балкой в период измерения прогибов в любых условиях окружающей среды.

Способ заключается в следующем.

Существующими средствами измерения, например, с помощью высокоточной геодезической рейки и нивелира, устанавливают значение наибольшего начального прогиба балки Δ0 в любой момент времени эксплуатации балки и тем самым устанавливают места наибольшего прогиба балки.

Определяют значение постоянного коэффициента r, значение которого определяют по формулам в зависимости от расчетной схемы балки методами строительной механики из [2], который входит в расчетную формулу прогиба балки.

На фиг.1 показана условная схема подключения тензорезисторов на балке, где 1 — провода, 2 — рабочие тензорезисторы, 3 — компенсационные тензорезисторы, 4 — балка, 5 — тензостанция. Проводами 1 соединятся рабочие 2 и компенсационные 3 тензорезисторы, размещенные на обоих поясах балки 4 на участке в месте наибольшего прогиба на подготовленную поверхность, при этом рабочие крепятся вдоль главных напряжений σ, а компенсационные — перпендикулярно им в промежутках между рабочими тензорезисторами. Все провода 1 соединены с измерительным прибором электрического (омического) сопротивления в виде многоканальной тензостанции 5.

Подготовка к работе включает в себя следующие действия. Изолируют тензорезисторы эпоксидной смолой, монтируют известные из работы [2] мостовые схемы для каждой пары рабочих 2 и компенсационных тензорезисторов 3 в одном сечении балки R1 и R2, подключают провода 1 с тензостанцией 5 и определяют R0 — начальное электрическое (омическое) сопротивление всех рабочих тензорезисторов. Тензорезисторы наклеивают на участках поясов балки длиной 15-20 см по одному тензорезистору на каждые 5 см длины пояса, как показано на фиг.1, при базе тензорезисторов 10-30 мм, так как на этой длине может попадать сечение балки с наибольшим прогибом. Число рабочих тензорезисторов принимают от 3 до 5 в том и другом поясе балки исходя из вероятности смещения наибольшего прогиба балки от тех или иных причин в процессе эксплуатации балки в пределах 15-20 см длины балки, так как на длине 15-20 см можно разместить от 3 до 5 рабочих и компенсационных тензорезисторов с базой (длиной) 10-30 мм и шириной (компенсационных) 10 мм.

Весь процесс измерения происходит следующим образом:

1) при увеличении прогиба изменяется омическое сопротивление тензорезисторов, и по соединительным проводам вся информация об этом поступает на тензостанцию;

2) полный прогиб определяют по формуле

Δ(t)=Δ0+r·(|ΔR1(t)|+|ΔR2(t)|),

где Δ0 — начальный прогиб в момент начала наблюдений при t=0, измеренный нивелиром и высокоточной геодезической рейкой;

r — постоянный коэффициент, зависящий от расчетной схемы балки.

Известно из [1], что и ,

где k — коэффициент тензочувствительности тензорезисторов, тогда имеем эпюру ΔR подобной эпюре ε, как показано на фиг.2 и фиг.3, на которых изображены однопролетные балки с сосредоточенной нагрузкой в середине и равномерно распределенной нагрузкой по всей длине пролета, где ε1 и ε2 — деформации, ΔR1 и ΔR2 — омические (электрические) сопротивления, Δ — наибольший прогиб, L — длина пролета, F — сосредоточенная сила, h — высота сечения, b — ширина сечения.

Из эпюры ΔR имеем при и ΔR2 по абсолютному значению. Отсюда , где ус — расстояние от нейтральной оси балки до верхнего или нижнего края балки с симметричным поперечным сечением балки, как показано на фиг.2 и фиг.3. Известно из работы [2], что для однопролетной балки с сосредоточенной нагрузкой в середине пролета наибольший прогиб . С учетом J=W·yc и значением yc имеем:

— для однопролетной балки с шарнирными опорами и сосредоточенной силой в середине пролета балки по фиг.2 имеем

где для балки любого симметричного поперечного сечения высотой h имеем , k — коэффициент тензочувствительности тензорезисторов, Е — модуль упругости материала;

— для однопролетной балки с шарнирными опорами и равномерно распределенной нагрузкой по всей длине пролета по фиг.3 и имеем

где , |ΔR1(t)| и |ΔR2(t) — приращение электрических (омических) сопротивлений тензорезисторов в момент времени t, взятых по абсолютной величине, в омах. Для других расчетных схем находят значение r методами строительной механики;

3) проводят предварительный контроль достоверной работы мостовой схемы из тензорезисторов путем сравнения средних значений измерений от контрольной нагрузки F0, полученных прямыми механическими измерениями прогиба Δ1=Δ(F0), например геодезической высокоточной рейкой и нивелиром и по результатам измерений омических сопротивлений (ΔR1 и ΔR2) по формуле

Δ2=r·(|ΔR1|+|ΔR2|),

должно соблюдаться равенство Δ1=Δ2, с отличием не более 5%;

4) дальнейшие измерения прогиба балки в любой момент времени t осуществляют только по показаниям измерения сопротивления тензорезисторов по расчетной формуле

Δ(t)=Δ0+r·(|ΔR1(t)|+|ΔR2(t)|),

для значений r, зависящих от расчетных схем балок.

На основании результатов измерений f и Δ, приведенных в сводной таблице, построены графики зависимости прогибов f и Δ от нагрузки, представленные на фиг.4, где показаны результаты лабораторных испытаний балки с измерением прогибов индикатором часового типа и измерением сопротивлений ΔR1 и ΔR2.

Список использованной литературы

1. Землянский А.А. Обследование и испытание зданий и сооружений: учебное пособие. — М: Изд-во АСВ, 2001. — 240 с., с ил.

2. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Изд-во «Наукова Думка», Киев, 1975. — 703 с.
Способ неразрушающего измерения прогиба балок в строительных конструкциях на стадии эксплуатации, заключающийся в том, что на поверхностях верхнего и нижнего поясов балки в месте наибольшего прогиба Δ, устанавливаемого с помощью высокоточной геодезической рейки и нивелира, наклеивают тензорезисторы с одинаковыми характеристиками непосредственно на подготовленную поверхность верхнего и нижнего поясов балки, отличающийся тем, что рабочие и компенсационные тензорезисторы наклеивают в количестве от 3 до 5 штук в каждом поясе на участке длиной от 15 до 25 см с наибольшим прогибом Δ, при этом рабочие тензорезисторы крепят вдоль главных напряжений σ вдоль балки, а компенсационные — между рабочими тензорезисторами поперек балки; защищают их от различных воздействий эпоксидной смолой, монтируют мостовые схемы для каждой пары тензорезисторов (рабочих и компенсационных) и соединяют провода от них с тензостанцией; измеряют начальное сопротивление R рабочих тензорезисторов, при этом прогиб балки Δ(t) в любой момент времени t определяют по формуле:Δ(t)=Δ+r·(|ΔR(t)|+|ΔR(t)|),где Δ — начальный наибольший прогиб балки в момент времени t=0, измеренный с помощью высокоточной геодезической рейки и нивелира до наклейки тензорезисторов; r — постоянный коэффициент, зависящий от расчетных схем и размеров балки, определяемый методами строительной механики:для балки с равномерно распределенной нагрузкой: ;для балки с сосредоточенной нагрузкой в середине пролета: ,где k — коэффициент тензочувствительности, l — длина пролета балки, h — высота балки;|ΔR(t)| и |ΔR(t)| — наибольшие приращения электрических (омических) сопротивлений из всех рабочих тензорезисторов, измеренных с помощью многоканальной тензостанции, вызванных изменением прогиба балки, различными причинами, измеряемые постоянно или периодически в отдельные моменты времени или в процессе эксплуатации балки при мониторинге прогиба балки.

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки: