Как найти равносторонний треугольник вписанный в круг

Как найти равносторонний треугольник вписанный в круг

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

[spoiler title=”источники:”]

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-treugolnik-i-ego-ploshhad/

[/spoiler]

Источник


Download Article


Download Article

While not a skill one would use in everyday life, knowing how to draw an inscribed triangle is needed in certain math classes. It’s also a cool trick to impress your less mathematically inclined friends or family. This wikiHow will teach you how to construct one.

Steps

  1. Image titled Inscribeatriangle1.png

    1

    Draw the point at which your circle will be centered. Label this “Point O”.

    • It technically doesn’t matter what letters you use to label your points. This article will choose names for the points in the images and refer to them as such to keep the instructions clear, but you may prefer to use different ones.

  2. Image titled Inscribeatriangle2.png

    2

    Use a compass to draw a perfect circle centered at point O. If you don’t happen to have a drawing compass, you can make your own.

    Advertisement

  3. Image titled Inscribeatriangle3.png

    3

    Use a ruler to draw a vertical line straight through point O. Extend this line past the boundaries of your circle.

    • To make sure that the vertical line goes exactly through the middle of the circle, place your pencil’s tip at point O and then align the ruler with the pencil tip. The ruler will be slightly off-center but the line will not.

  4. Image titled Inscribeatriangle4.png

    4

    Draw the points at which the line intersects the circle. Label the bottom point “Point W” and the top point “Point X”.

  5. Image titled Inscribeatriangle5.png

    5

    Draw a second circle. This circle will be centered at Point W and the radius will extend to Point O.

    • It’s okay if this circle goes off your paper. The important thing is that it intersects the first circle you drew twice.

  6. Image titled Inscribeatriangle6.png

    6

    Mark both places where the two circles intersect. Label the point on the left “Point Y” and the point on the right “Point Z”.

  7. Image titled Inscribeatriangle7.png

    7

    Connect points X, Y, and Z using a ruler or straight edge.

    8. Advertisement

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 21,435 times.

Did this article help you?

Источник

Плоские геометрические фигуры

->

  • Равносторонний треугольник по окружности
  • Круг
  • Параллелограмм
  • Кольцо
  • Ромб
  • Произвольная трапеция
  • Треугольник
  • Квадрат
  • Сегмент круга
  • Сектор круга
  • Прямоугольник
  • Круг на равные части
  • Равносторонний треугольник по окружности

Расчёт равностороннего треугольника по описанной или вписанной окружности

Единица измерения вводимых значений

В каких единицах измерения необходим ответ?

Количество знаков дробной части

Выберите известную окружность

Радиус вписанной окружности, Rв

Источник

Как в окружность вписать равносторонний треугольник?



Ученик

(157),
закрыт



13 лет назад

Виктория

Знаток

(446)


13 лет назад

Начертить окружность циркулем, взять произвольную точку ( будем считать что это первая вершина треугольника) , этим же циркулем от этой точки ставите точку пересечения с окружностью, от точки пересечения дальше ещё раз ( это вершина №2) и ещё 2 раза от этой точки дальше. Это будет вершина 3.

Адель

Гуру

(4480)


13 лет назад

Отложите на линейке расстояние, равное диаметру окружности. По окружности откладывайте циркулем это расстояние – три точки. Соедините точки. Вроде так.

Источник

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Правильный сферический треугольник
  • 3 Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его
  • 4 См. также
  • 5 Примечания

Свойства[править | править код]

Правильный тетраэдр состоит из четырёх правильных треугольников.

Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

  • Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
r = frac{sqrt 3}{6} a
  • Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
R = frac{sqrt 3}{3} a
  • Периметр правильного треугольника:
P = 3a = 3 sqrt 3 R = 6 sqrt 3 r
  • Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
h = m = l = frac{sqrt 3}{2} a
  • Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
S={frac {{sqrt 3}}{4}}a^{2}={frac {3{sqrt 3}}{4}}R^{2}=3{sqrt 3}r^{2}={frac {{sqrt 3}}{36}}P^{2}
  • Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
R = 2r
  • Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
  • В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.

Правильный сферический треугольник[править | править код]

Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.

Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его[править | править код]

  • Задача Наполеона
  • Прямая Симсона одно из свойств
  • Теорема Вивиани
  • Теорема Морли
  • Теорема Наполеона
  • Теорема Помпею
  • Теоремы Тебо 2 и 3
  • Точки Аполлония
  • Точки Торричелли

См. также[править | править код]

  • Замечательные прямые треугольника
  • Замечательные точки треугольника
  • Равнобедренный треугольник
  • Теорема Чевы
  • Треугольник
  • Треугольник Рёло

Примечания[править | править код]

Перейти к шаблону «Символ Шлефли» 

Символ Шлефли
Многоугольники
  • {1}
  • {2}
  • {3}
  • {4}
  • {5}
  • {6}
  • {7}
  • {8}
  • {9}
  • {10}
  • {11}
  • {12}
  • {14}
  • {15}
  • {17}
  • {18}
  • {20}
  • {30}
  • {51}[de]
  • {257}
  • {65537}
  • {4294967295}
  • {∞}
Звёздчатые многоугольники
  • {5/2}
  • {6/2}
  • {7/2}
  • {7/3}
  • {8/2}
  • {8/3}
  • {9/2}
  • {9/3}
  • {9/4}
Паркеты на плоскости
  • {3,6}
  • {4,4}
  • {6,3}
Правильные многогранники
и сферические паркеты
  • {2,n}
  • {3,3}
  • {4,3}
  • {3,4}
  • {5,3}
  • {3,5}
  • {n,2}
Многогранники Кеплера — Пуансо
  • {5/2,5}
  • {5,5/2}
  • {5/2,3}
  • {3,5/2}
Соты

{4,3,4}
Четырёхмерные многогранники
  • {3,3,3}
  • {4,3,3}
  • {3,3,4}
  • {3,4,3}
  • {5,3,3}
  • {3,3,5}
Источник

Добавить комментарий