Как найти равные множества по фигурам

В математике
изучают не только те или иные множества,
но и отношения, взаимосвязи между ними.
Например, нам известно, что все натуральные
числа являются целыми. Понятие множества
позволяет обобщить конкретные случаи
взаимосвязи между различными
совокупностями, позволяет посмотреть
на них с единой точки зрения.

Если множества А
и В имеют общие элементы, т.е. элементы,
принадлежащие одновременно А и В, то
говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А
={a,b,c,d,e}, В = {b,d,k,m},
С = {х, у,z}, то можно
утверждать, что множества А и В
пересекаются, а множества А и С, В и Сне
пересекаются.

Рассмотрим множества
А ={a,b,c,d,e} и В = {с,d, е}. Они пересекаются, и,
кроме того, каждый элемент множества В
является элементом множества А. В этом
случае говорят, что множество В включается
в множество А или что множество В являетсяподмножествомА и пишут: В⊂А.

Определение:
Множество В является подмножеством А,
если каждый элемент множества В является
также элементом множества А. Пустое
множество считают подмножеством любого
множества. Любое множество является
подмножеством самого себя.

Верно: ∅⊂А
и А⊂А. В
этом случае множества∅
и А называютнесобственными.

Образуем, например,
все подмножества множества А = {2, 3, 4}.
Среди них будут одноэлементные
подмножества: {2}, {3},{4}, двухэлементные
{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А
и пустое множество ∅.
Таким образом, данной трехэлементное
множество А имеет 8 подмножеств.

Доказано, что если
множество содержит nэлементов, то у него 2ⁿ
различных подмножеств.

Если рассматриваются
подмножества одного и того же множества
U, то в этом случаеUназывают универсальным. Так множество
четырехугольников универсально для
множества ромбов, квадратов, трапеций,
прямоугольников, параллелограммов.

Определение.
Множества А и В называются равными, если
А⊂В и В⊂А.

Из определения
следует, что равные множества состоят
из одних и тех же элементови что
порядок записи элементов множества не
существен.

Отношения между
множествами наглядно представляют при
помощи особых чертежей, называемых
кругами Эйлера. Возможны следующие
отношения между двумя множествами:

А
В А В А=В
А В

а)
б) в) г)
д)

Пересекаются – а);
В⊂А – б),
А⊂В – в), А
= В – г), А и В не пересекаются

Понятие подмножества
является обобщением понятия части и
целого, которые осваивают младшие
школьники, выполняя разные задания.
Например: «Назови среди данных чисел
четные», «Среди данных четырехугольников
найди прямоугольники».

Лекция 2. Операции
с множествами

План:

1. Пересечение
множеств

2. Объединение
множеств

3. Свойства
пересечения и объединения множеств

4. Пересечение множеств

Определение.
Пересечением множеств А и В называется
множество, содержащее все элементы,
которые принадлежат множеству А и
множеству В.

Пересечение
обозначается знаком ∩:
А∩В
= {х/х∈А и
х∈В}.
Например, А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9},
А∩В = {6, 8}.

Если изобразить
множества А и В при помощи кругов Эйлера,
то пересечением данных множеств является
их общая часть.

А В
А В А=В
А В

а)
б) в) г)
д)

Множества А и В
пересекаются – а), б), в, г; множества А
и В не пересекаются – д).

В том случае, когда
множества А и В не имеют общих элементов,
говорят, что их пересечение пусто и
пишут: А∩В
=∅.

Выясним, как
находить пересечение множеств в
конкретных случаях. Если множества
заданы перечислением элементов, то
достаточно перечислить их общие элементы.
Если множества заданы характеристическими
свойствами, то характеристическое
свойство пересечения составляется из
характеристических свойств множеств
и союза «и».

Например, А –
четные натуральные числа, В – двузначные
числа. А∩В
– четные и двузначные числа.

Рассмотрим случай,
когда находят пересечение множества
А и его подмножества В. Легко видеть,
что тогда А ∩В = В и, следовательно, характеристическое
свойство элементов множества А∩В будет таким, как и свойство элементов
множества В.

Умение вычленять
множества в задачах и операции, которые
над ними выполняются, – важный этап в их
решении. Например, чтобы правильно
выбрать действие, с помощью которого
решается задача: «М – множество
однозначных чисел, Р – множество нечетных
натуральных чисел. Какие числа будут
общими?», надо понять, что в задаче
требуется найти число элементов в
пересечении этих множеств.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В детстве с друзьями часто покупали одну шоколадку на двоих и делили. Разрезать нужно было поровну иначе война и конец дружбы. А как проверить? Совместить две части и посмотреть. Это интуитивно понятное действие. Если два объекта совместились, они равны. Если одни уместился в другой, он меньше. 

Неудивительно, что в “Началах” Евклида содержится соответствующая аксиома:

И совмещающиеся друг с другом равны между собой. 

А в школьном курсе равные фигуры определяются, как фигуры, которые совмещаются при наложении. Определение понятное, но неудобное. При попытке наложить нарисованные фигуры, возникают сложности. Вырезать ее, что ли. А кроме того, нет гарантий, что нарисованные фигуры отражают реальность. Может повезло с рисунком. 

Движение

Изучая алгебру, дети проходят функции. Правило, по которому каждому числу из множества ставится в соответствие единственное число множества. В геометрии аналогом функций является преобразование плоскости. Правило, по которому каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости. Среди преобразований плоскости выделяют движения. Это преобразования, которых сохраняют расстояние. То есть, если точки лежат на расстоянии 5 см, то образы (точки, в которые они перейдут) тоже будут лежать на этом же расстоянии друг от друга.

Самый известный вид движения – осевая симметрия. 

Также к движениям относится поворот, параллельный перенос и центральная симметрия, хотя это частный случай поворота. 

Любопытно, что любое движение раскладывается в композицию осевых симметрий. То есть, грубо говоря, все движения на плоскости это производные от осевой симметрии.

Движение обладает рядом свойств. Отрезок переходит в отрезок, прямая – в прямую, луч – в луч, а угол – в угол такой же градусной меры. Эти свойства выводятся из определения движения. Если расстояние между точками остается неизменным, то отрезок не может перейти в ломаную. Иначе расстояние между концами отрезка увеличится по неравенству треугольника. 

Равные фигуры

Две фигуры равны, если существует движение, которое переводит одну фигуру в другую. Это определение очень близко по духу к наложению, но имеет преимущество. Им удобно пользоваться при решении задач. 

Доказать, что две трапеции равны, если четыре стороны одной из них соответственно равны сходственным элементам другой. 

Чтобы доказать, что фигуры равны необходимо привести пример движения, который переводит одну фигуру в другую. 

Рассмотрим первый случай расположения трапеций.

Построим вектор соединяющий две сходственные вершины. Совершим параллельный перенос вершин трапеции. Тогда отрезок АВ перейдет в отрезок EN, отрезок ВС в NM, CD в MH и AD в EH. Таким образом трапеция АВСD равна трапеции ENMH.

Второй случай.

Тогда сначала применим центральную симметрию относительно точки В, а затем перейдем к первому случаю. Точка В, как центр поворота останется на месте. Точнее перейдет в себя.

Третий случай. Основания не параллельны.

Продлим большие основания до пересечения и повернем трапецию на угол равный углу между основаниями. И опять переходим к первому случаю. 

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

---

Для правообладателей

УРОК 16 Тема «Равные множества (1)»

Планируемые результаты (целевые установки)
Предметные — поэлементно сравнивать два-три множе-

ства, устанавливать равные множества;
осмысливать поня-тие равные множества и знаки « @» (равно), « A» (не равно).

Метапредметные:

(Р) — по названию темы совместно формулировать
цель и осознавать учебную задачу урока; оценивать результаты своей деятельности
(по критериям: уметь сравнивать мно-жества предметов, аккуратно писать знаки
сравнения, до-полнять множества);

(П) — осуществлять поиск необходимой
информации; проводить сравнение и осуществлять анализ объектов, де-лать выводы;

58

(К) — включаться в диалог, в коллективное
обсуждение; взаимодействовать в группе; отвечать на вопросы полными
высказываниями, задавать вопросы, используя простые ре-чевые средства.

ХОД УРОКА

Мотивация и самоопределение к учебной
деятельности. Проверка готовности к уроку.

Эмоциональный настрой и установка на
продуктивную учебную деятельность.

— Кто помнит, чему были посвящены наши
последние уроки?

Актуализация знаний. Игра «Сравни множества».

Педагог предлагает сравнить вынесенные на
доску мно-жества (картинки с изображениями деревьев):

а) ель, ива, берёза и  берёза, ель, дуб ;

— Что это за множества? Какие они? Почему они
не оди-наковые, ведь это множества деревьев? Как ещё можно на-звать такие
множества?

б)         дуб, берёза, сосна     и берёза,
сосна, дуб ;

— Что это за множества? Какие они? Почему
одинако-вые? Как ещё можно их назвать?

Постановка учебной задачи. Формулировка цели
урока. — Прочитайте тему урока «Равные множества». (Тема за-

писана на доске.)

— Кто первым догадался так назвать при
сравнении одну пару множеств?

— А чему вы хотели бы научиться на уроке?
Предполагаемый ответ. На сегодняшнем уроке мы хо-

тим научиться сравнивать множества и правильно
фор-мулировать ответы.

Реализация учебной задачи урока.

CD. Обсуждение задания из электронного
приложения, тема «Равные множества».

Прежде чем появится знак сравнения, учителю
необходи-мо нажать на паузу и предложить ученикам подобрать знак для обозначения
равных (не равных) множеств. Можно спросить, почему такие знаки придуманы
математиками.

(Ученики могут изготовить сигнальные карточки
со зна-

ками «@ », « A» из бумажных заготовок с
помощью флома-

стера.)

Задание 2 из учебника (ч. 1, с. 34) на
нахождение равных множеств из трёх можно вынести на доску с по-мощью
документ-камеры. Обсуждение сначала в группах, затем коллективно. При
обсуждении можно предложить

59

ученикам пользоваться сигнальными карточками
со знака-

ми « @ », « A». Или изображать на доске
картинки, заменив

ель на , цветок на     , бабочку на   , ежа на          .
Предполагаемый вывод. Множества предметов нужно

сравнивать поэлементно. Если все элементы
совпадают, то множества равны. Если множества различаются хотя бы одним
элементом, то они не равны.

Физкультминутка.

Первичное закрепление умения выделять
множества. Задание 2 из учебника (ч. 1, с. 34) на сравнение мно-

жеств выполняют в парах. Для выражения
результата мож-

но использовать карточки со знаками « @ », « A
».

CD. Для рефлексии предлагаем использовать
задание из электронного приложения: решение задачи «Равные и не равные
множества».

Самостоятельная работа с самопроверкой и
самооцен-кой.

Задания 1, 2 из «Рабочей тетради» (ч. 1, с.
28) на сравнение и дополнение множеств. Первое задание мож-но выполнить
частично, 2—4 пары на выбор, второе — по вариантам. Для самопроверки вынести
образцы на доску. Самооценка по критериям: умение сравнивать множества
предметов, аккуратность записи знаков сравнения, допол-нения множеств. Шкалы
фиксировать в «Рабочей тетради» рядом с заданиями.

Физкультминутка.

Включение в систему знаний и повторение.

Задание 3 из учебника (ч. 1, с. 35) на
выделение ча-стей множества и сравнение множеств.

Задание 4 из учебника (ч. 1, с. 35) на
выделение ча-стей множества фигур по цвету, форме, размеру.

Срисовывание узора в обычную тетрадь по
образцу, за-дание 5 из учебника (ч. 1, с. 35). Можно предложить это задание как
рисование частей множества ёлочек. Далее вы-полняется самооценка правильности и
аккуратности.

Итог урока (рефлексия понимания).

— Что нового вы узнали на уроке? Какие
множества на-зывают равными? не равными? Как нужно сравнивать мно-жества? Кто
доволен сегодняшним уроком? Какое задание обсудите дома?

УРОК 17 Тема «Равные множества (2)»

Планируемые результаты (целевые установки)

Предметные — поэлементно сравнивать два-три
множе-ства, устанавливать равные множества; фиксировать резуль-тат сравнения
множеств знаками « @» (равно), «A» (не равно).

60

Метапредметные:

(Р) — формулировать цель и осознавать учебную
задачу урока; оценивать результаты своей деятельности по крите-риям: умение
выделять множества предметов, определять количество элементов множества,
фиксировать самооценку на шкалах;

(П) — осуществлять поиск необходимой
информации; проводить сравнение множеств, их частей, осуществлять анализ
объектов, определять лишний элемент множества, понимать схематическое
изображение (по схеме определять маршрут), формулировать выводы;

(К) — включаться в диалог, взаимодействовать в
паре, группе; отвечать на вопросы, задавать вопросы, используя простые речевые
средства.

ХОД УРОКА

Мотивация и самоопределение к учебной
деятельности. Проверка готовности к уроку.

Эмоциональный настрой и установка на
продуктивную учебную деятельность.

— Кто помнит, что нового вы узнали на прошлом
уроке? Какие множества называют равными? не равными?

Актуализация знаний.

CD. Обсуждение задания из электронного
приложения, раздел «Равные множества», тренажёры по теме «Находим равные
множества фигур» и «Находим равные множества» аналогично первому заданию из
учебника (ч. 1, с. 36).

Постановка учебной задачи. Формулировка цели
урока. — Прочитайте тему урока «Равные множества». (Тема за-

писана на доске.)

— Чему будем учиться на уроке?

Предполагаемый ответ. На сегодняшнем уроке мы
бу-дем совершенствовать умения поэлементно сравнивать множества и тренироваться
записывать результаты зна-

ками « @ » (равно), «A» (не равно).

Реализация учебной задачи урока.
Совершенствование умений выделять и дополнять множества.

Задания 2, 3 из учебника (ч. 1, с. 36) на
дополнение и выделение множеств выполняют в парах. Результаты об-суждаются
коллективно.

Задание 3 из «Рабочей тетради» (ч. 1, с. 29)
на опре-деление и обоснование лишнего предмета. (Баян, стрекоза, тетрадь,
арбуз.)

Предполагаемый вывод. Лишним называют тот
пред-мет, который не подходит под общий признак остальных предметов множества.

Физкультминутка.

Самостоятельная работа с самопроверкой и
самооцен-кой.

61

Задание 4 из «Рабочей тетради» (ч. 1, с. 29)
на выде-ление множеств и соотнесение их с соответствующим коли-чеством точек в
рамках.

Самооценка по критериям: умение выделять
множества предметов, определять количество элементов множества. Шкалы
фиксировать в «Рабочей тетради» рядом с задани-ями.

CD. Задания проверочной работы из электронного
при-ложения, раздел «Равные множества».

Физкультминутка.

Включение в систему знаний и повторение.

Задание 4 из учебника (ч. 1, с. 37) на
расположение фигур в ряд по условию.

Образец для проверки: (МК, БС, МЖ, БК, МС)
(МС, БК, МЖ, БС, МК)

Задание 5 из учебника (ч. 1, с. 37) на
расшифровку маршрутов двух кораблей выполняют в парах. Можно пред-ложить
распределить роли в паре, а после выполнения про-верить друг друга.

Срисовывание узора в обычную тетрадь по
образцу, за-дание 6 из учебника (ч. 1, с. 37). Рисование по точкам гуся с
условием, чтобы он смотрел в другую сторону (симметрич-ный рисунок). Самооценка
правильности и аккуратности.

Итог урока (рефлексия понимания).

— Какие множества называют равными? не
равными? Как нужно сравнивать множества? Кто доволен сегодняш-ним уроком? Какое
задание обсудите дома?

УРОК 18