Как найти равные треугольники 7 класс геометрия

Геометрия

7 класс

Урок № 15

Решение задач на признаки равенства треугольников

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Решение задач на вычисление элементов и доказательство равенства треугольников.
  • Формулировка и применение при решении задач признаков равенства треугольников.
  • Исследование и обоснование выбора одного из признаков при решении конкретных задач.

Тезаурус:

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений в данной системе аксиом.

Стороны треугольника – отрезки, соединяющие вершины треугольника.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7 – 9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В предыдущих уроках были рассмотрены различные способы определения и доказательства равенства треугольников, такие как: способ наложения, признаки равенства треугольников.

Сегодня мы будем решать задачи на вычисления и доказательство равенства треугольников.

Для успешного понимания материалов урока вспомним, какие треугольники называются равными.

‑ Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. При этом попарно совмещаются вершины, углы и стороны треугольников.

‑ Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам (сторонам и углам) другого треугольника.

∆АВС = ∆А1В1С1

∠А = ∠А1

∠В = ∠В1

∠С = ∠С1

АВ = А1В1

АС = А1С1

ВС = В1С1

Повторим теоремы о равенстве треугольников, так называемые признаки равенства треугольников.

1) Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

∆АВС = ∆КМР.

2) Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

∆АВС = ∆RST.

3) Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

∆АВС = ∆А1В1С1

Решим задачи, используя признаки равенства треугольников.

Задача 1.

Отрезки AB и CD – диаметры окружности с центром в точке O. Найдите периметр треугольника AOD, если отрезок CB = 13 см, а отрезок AB = 18 см.

Дано:

окружность с центром O;

AB и CD – диаметры;

CB = 13 см;

AB = 18 см;

Найти: P∆AOD.

Решение:

1) ∆AOD = ∆OBC (по первому признаку равенства треугольников).

2) Т. к. AO = OB = OC = OD = 18:2 = 9 см (как радиусы окружностей); ∠AOD = ∠COB (т. к. вертикальные углы) → CB = AD = 13 см.

3) P∆AOD = AO + OD + AD = 9 + 9 +13 = 31 см

Ответ: 31 см.

Задача 2.

В четырёхугольнике ABCD, AB = CD, AD = CB, BE – биссектриса ∠B, DF – биссектриса ∠D.

Докажите, что ∠ABE = ∠ADF, ∆ABE = ∆CDF.

Дано:

ABCD – четырёхугольник

AB = CD,

AD = CB,

BE – биссектриса ∠B ∆ABС,

DF– биссектриса ∠D ∆CDА

Доказать:

∠ABE = ∠ADF

∆ABE = ∆CDF.

Доказательство:

1) ∆ABC = ∆ACD (по третьему признаку равенства треугольников).

2) Т. к. AC – общая сторона, AB = CD, AD = CB (по условию) →∠B = ∠D.

3) По условию BE – биссектриса ∠B ∆ABС, DF– биссектриса ∠D ∆CDА →∠B = ∠CBE +∠ABE = ∠ADF + ∠CDF = ∠D.

При этом ∠CBE = ∠ABE, ∠ADF = ∠CDF→∠B = 2∠ABE = 2∠ADF = ∠D→∠ABE = ∠ADF.

4) ∆ABE = ∆CDF

Т. к. AB = CD (по условию), ∠ABE = ∠ADF (доказано), ∠EAB = ∠CDF (т. к. ∆ABC = ∆ACD по третьему признаку равенства треугольников). Что и требовалось доказать.

Материал для углубленного изучения темы.

Дано: ∆ABC, ∆А1В1С1,

АC = А1C1,

АB = А1B1

CB = C1B1

Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1.

Доказательство:

1) Приложим треугольник ∆ ABC к ∆ А1В1С1, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B с B1, вершины C и C1 лежали по разные стороны от прямой A1B1.

2) Соединим точки C и C1, так чтобы получился треугольник CC1B.

3) Так как BC = B1C1, → ∆CC1B – равнобедренный, по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника, →∠C = ∠С1.

4) ∆CC1A – также равнобедренный (по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника) → ∠ CС1A = ∠С1CA → ∠ACB = ∠AС1B

5) АC = А1C1, BC = B1C1, ∠ACB = ∠AС1B →∆АВС = ∆А1В1С1 (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На рисунке изображены треугольники ABD и BCD. По какому признаку, используя данные рисунка, можно доказать их равенство?

Решение:

По рисунку видно, что ∠ADB = ∠DBC(углы отмечены двойной линией), ∠ABD = ∠BDC (углы отмечены одной линией), сторона DB – общая, следовательно, ∆ABD = ∆BCD (по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны).

Ответ: используя данные рисунка, можно доказать равенство треугольников, используя второй признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке CD = AB, O – центр окружности. Точки A, B, C, D лежат на окружности. CD = 17 см, CO = 15 см. Найдите периметр ∆AOB.

1) Так как по условию O – центр окружности и так как точки A, B, C, D лежат на окружности, то отрезки OA = OB = OD = OC = 15 см (как радиусы окружности). CD = AB = 17 см (по условию). Периметр ∆AOB – это сумма всех его сторон.

Р∆AOB = OA + OB + AB = 15 +15 + 17 = 47 см

Ответ: Р∆AOB = 47 см.

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла Bb, сторона напротив угла Cc. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, =A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что .

Так как ∠A=∠A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины A и A1 совпадали, а стороны AB и наложились на лучи A1B1 и A1C1, соответственно.

Так как по условию теоремы AB=A1B1, =A1С1, то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона − со стороной A1С1.Тогда совместятся B и B1, C и С1. Следовательно сторона BC совместится со стороной B1C1. То есть треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что .

Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, сторона AB − со стороной A1B1 (по условию теоремы AB=A1B1), а вершины C и С1 оказались по одну сторону от прямой A1B1.

Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то сторона наложится на луч A1C1 а сторона − на луч B1С1. Тогда вершина C окажется на луче A1C1 и на луче B1C1. Т.е. она окажется на пересечении этих лучей и, следовательно, вершина C совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т.е. с вершиной C1. Таким образом совместятся стороны AC и A1C1, BC и B1C1. То есть треугольники ABC и A1B1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.

Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Вариант 1 (Рис.6). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и ∠3=∠4 и, следовательно:

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства.

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства.

Содержание:

Если на плоскости отметить три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и соединить их отрезками, то получим треугольник ABC. Можно сказать, что треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная. Обозначают: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Определения

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Определение. Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Если соединить концами три деревянных планки, то получится треугольник, который нельзя подвергнуть деформации — он будет сохранять свою форму. Тогда как четырехугольник может менять свою форму (рис. 102)? Это свойство «жесткости» треугольника широко используется в технике, производстве, строительстве.
Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Равные треугольники

Равные треугольники можно совместить наложением так, что соответственно совпадут все три стороны и все три угла (рис. 103). В совпавших, то есть в равных треугольниках, против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны. Если Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения то Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения а если Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения то Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Для совмещения равных отрезков достаточно совпадения их концов, а для совмещения равных треугольников — совпадения их вершин.

Виды треугольников

Если у треугольника все три стороны имеют разную длину, то такой треугольник называется разносторонним.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Его равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина, противолежащая основанию, — вершиной равнобедренного треугольника (рис. 104).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Если у треугольника равны все три стороны, то он называется равносторонним (рис. 105). Равносторонний треугольник является также и равнобедренным, где любую пару сторон можно принять за боковые стороны.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

По величине углов треугольники делятся на остроугольные (у них все углы острые), тупоугольные (есть тупой угол) и прямоугольные (есть прямой угол) (рис. 106).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Подведем итоги.

Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Периметром треугольника (многоугольника) называется сумма длин его сторон.

Равными треугольниками называются треугольники, которые можно совместить наложением.

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство равных треугольников. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Замечание. Называя или записывая равные треугольники, стараются соблюдать последовательность соответствующих вершин. Во многих случаях это удобно. Однако делать это необязательно. Обе записи: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияKNM и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBAC =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияKNM — правильные. Иногда соответствующие вершины равных треугольников обозначают одними и теми же буквами, добавляя к буквам одного из треугольников индекс: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС = = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1. При такой записи имеют в виду, что соответствующими являются вершины А и А1, В и В1, С и С1.

Первый и второй признаки равенства треугольников

При выяснении равны ли треугольники нет необходимости устанавливать равенство всех их соответствующих элементов путем наложения или измерения. Следующие две теоремы гарантируют равенство треугольников при равенстве некоторых сторон и углов.

Теорема (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВ =А1В1, АС =А1С1, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияA = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияA1 (рис. 108).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1.

Доказательство:

Наложим треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали равные углы А и А1, луч АВ совпал с лучом А1В1, а луч АС совпал с лучом А1С1. Так как отрезки АВ и А1В1 равны, то они совпадут при наложении, и вершина В совпадет с вершиной В1. Аналогично совпадут равные отрезки АС и A1C1, вершина С совпадет с вершиной C1. Треугольники совпадут полностью, так как совпадут их вершины. Таким образом, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1. Теорема доказана.

Говорят, что две стороны и угол между ними задают треугольник однозначно.

Теорема (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

AC =А1С1, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияA = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияC = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияС1 (рис. 109).

Доказать: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1.

Доказательство:

Наложим треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали равные стороны АС и А1С1, угол А совпал с равным углом А1, а угол С — с равным углом Сх. Тогда луч АВ совпадет с лучом А1В1, луч СВ — с лучом С1В1, а вершина В совпадет с вершиной В1 (точка В будет принадлежать и прямой
А1В1, и прямой С1В1, и поэтому совпадет с точкой их пересечения В1). Треугольники совпадут полностью, так как совпадут их вершины. Таким образом, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1. Теорема доказана.

Говорят, что сторона и два прилежащих к ней угла задают треугольник однозначно

Пример №1

Отрезки АВ и CD пересекаются в их серединах. Доказать, что расстояния между точками А и С, В и D равны.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков АВ и CD (рис. 110). Рассмотрим Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАОС и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBOD. У них АО = ОВ, CO = OD по условию, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияAOC = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBOD как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, то есть по 1-му признаку равенства треугольников. Стороны АС и BD равны, так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Возможно краткое оформление решения задачи.Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Пример №2

Дана простая замкнутая ломаная ABCD, у которой АВ =AD = 6 см, CD -4 см и луч АС является биссектрисой угла BAD. Найти длину ломаной ABCD.

Решение:

У треугольников ABC и ADC сторона АС — общая (рис. 111), AB=AD по условию, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBAC =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияDAC, так как АС — биссектриса угла BAD.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Эти треугольники равны по 1-му признаку равенства треугольников.

Отсюда ВС = CD как соответствующие (соответственные) стороны в двух равных треугольниках.

Длина ломаной ABCD: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 20 см.

Пример №3

На сторонах угла В отложены отрезки: ВА = ВС, КА-МС (рис. 112). Доказать, что Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияA = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияС.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АВМ и СВК. У них Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияB — общий, АВ = СВ по условию, MB=KB, так как MB = СВ – СМ, KB =АВ -АК (если от равных отрезков отнять равные, получим равные отрезки). Треугольники АВМ и СВК равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияA = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияC (в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы).

Пример №4

На рисунке 113 Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBAD = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCDA, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCAD = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBDA. Доказать равенство треугольников АОВ и DOC.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Так как Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияABD =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияDCA по 2-му признаку равенства треугольников (сторона AD — общая, углы при стороне AD соответственно равны по условию), то АВ = DC, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияB =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияC.

Так как Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBAO = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBAD – Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCAD, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCDO = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCDA – Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBDA, тo Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBAO =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCDO (если от равных углов отнять равные, получим равные углы). Тогда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАОВ = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияDOC по 2-му признаку равенства треугольников.

Высота, медиана и биссектриса треугольника

У треугольника, помимо трех сторон, трех вершин и трех углов, имеются также и другие элементы — высота, медиана и биссектриса.
Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Определение. Высотой треугольника (рис. 118, а) называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение (отрезок ВН).

Определение. Медианой треугольника (рис. 118, б) называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны (отрезок ВМ).

Определение. Биссектрисой треугольника (рис. 118, в) называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороной (отрезок ВК).

В равных треугольниках равны соответствующие высоты, медианы и биссектрисы.

Если треугольник не равнобедренный, то высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают (рис. 119).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку у треугольника три вершины, то у него и три высоты, три медианы, три биссектрисы. Позже мы докажем, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Это же касается медиан треугольника (рис. 120) и его биссектрис (рис. 121).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Если треугольник остроугольный (рис. 122, а), то точка пересечения его высот находится внутри треугольника ABC. Если треугольник тупоугольный или прямоугольный (рис. 122, б, в), то продолжения высот пересекаются соответственно вне треугольника или в вершине прямого угла.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Точки пересечения высот, биссектрис и медиан называются замечательными точками треугольника.

Геометрия 3D

Тетраэдром или треугольной пирамидой называется многогранник, у которого все четыре грани — треугольники. Любую его грань можно принять за основание, а противолежащую вершину — за вершину пирамиды. Если точка S — вершина, а треугольник ABC — основание пирамиды, то перпендикуляр SH к плоскости ABC является высотой тетраэдра (рис. 124).
Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Равнобедренный треугольник

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина, противолежащая основанию, — вершиной равнобедренного треугольника.

Рассмотрим некоторые свойства равнобедренного треугольника и один из его признаков.

Теорема (о свойстве углов при основании). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения (рис. 126).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Проведем биссектрису ВК треугольника ABC. Треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними: сторона ВК — общая, АВ = ВС по условию, углы АВК и СВК равны по определению биссектрисы. Из равенства этих треугольников следует, что Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

Теорема (о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой.

Дано: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения — биссектриса (рис. 127).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать: ВК — медиана и высота.

Доказательство:

Треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними (см. предыдущую теорему). Из равенства треугольников следует, что АК=КС и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения1 =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения2. Так как углы 1 и 2 смежные, то их сумма равна 180°, поэтому Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, ВК — медиана и высота. Теорема доказана.

Замечание. Поскольку из вершины треугольника можно провести только одну биссектрису, одну высоту и одну медиану, то теорему можно сформулировать так: «Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают». То есть если по условию задачи дана высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то согласно данной теореме она является биссектрисой и медианой. Аналогично, если дана медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то она является высотой и биссектрисой.

Теорема (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Дано: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать:Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Мысленно перевернем треугольник ABC обратной стороной (рис. 128) и наложим перевернутый треугольник на треугольник ABC так, чтобы их стороны АС совпали, угол С совпал с углом А, угол А совпал с углом С.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Тогда перевернутый треугольник совместится с данным, и сторона ВС совместится со стороной АВ. Следовательно, АВ = ВС, т. е. Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС — равнобедренный. Теорема доказана.

Доказанный признак равнобедренного треугольника является теоремой, обратной теореме о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника (рис. 129).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Напомним, что любая теорема состоит из условия — того, что дано, и заключения — того, что нужно доказать. У теоремы, обратной данной, условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной.

Пример №5

Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

Доказательство:

Пусть в Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС АВ =ВС, АК и СМ — биссектрисы (рис. 130). Нужно доказать, что АК = СМ. Рассмотрим Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАКВ и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияСМВ. У них Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияB — общий, АВ = ВС по условию, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBAK = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBCM как половины равных углов А и С при основании равнобедренного треугольника. Тогда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАКВ = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияСМВ по 2-му признаку равенства треугольников, откуда АК = СМ. Что и требовалось доказать.

Замечание. Вторым способом доказательства будет рассмотрениеПризнаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАКС иПризнаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияСМА и доказательство их равенства.

Пример №6

Доказать, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство:

Пусть О — центр окружности, АВ — хорда, ОН — перпендикуляр к хорде АВ (рис. 131).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Отрезки OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому треугольник АОВ — равнобедренный, а ОН — его высота, проведенная к основанию. Мы знаем, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой. А медиана делит сторону треугольника пополам, то есть АН = НВ. Что и требовалось доказать.

Признаки равнобедренного треугольника

Вы уже знаете один признак равнобедренного треугольника: «Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный». Докажем еще три признака равнобедренного треугольника, связанных с его высотой, медианой и биссектрисой.

Теорема. Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВН — высота и медиана Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС (рис. 136).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать: АВ = ВС.

Доказательство:

Рассмотрим Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВН и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияСВН. У них сторона ВН — общая, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения (так как ВН — высота), АН = СН (так как ВН — медиана). Треугольники АВН и СВН равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон АВ и ВС. Теорема доказана.
 

Теорема. Если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВН — высота и биссектриса Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС.

Доказать: АВ = ВС (рис. 137).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВН и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияСВН. У них сторона ВН — общая, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияПризнаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения (так как ВН — высота), Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияПризнаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения (так как ВН — биссектриса). Треугольники АВН и СВН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон АВ и ВС. Теорема доказана.

Теорема. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВМ — медиана и биссектриса Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС.

Доказать: АВ = ВС (рис. 138).

Доказательство:

Продлим медиану ВМ на ее длину за точку М. Получим МВХ = ВМ. Треугольники АМВ1 и СМВ равны по двум сторонам и углу между ними (МВ1 = ВМ по построению; AM = МС, так как ВМ — медиана; Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияAMВ1 =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCMB как вертикальные). Из равенства этих треугольников следует, что АВ1=ВС и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияAB1M = =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCBM. Но ZCBM = ZABM, так как ВМ — биссектриса по условию. Тогда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияAB1B = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияABB1 и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВВ1 — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Следовательно, АВ=АВ1. А так как АВ1=ВС, то АВ = ВС. Теорема доказана.

Замечание. Прием продления (продолжения) медианы часто используется при решении геометрических задач.

Пример №7

В треугольнике ABC с периметром 54 см медиана АК перпендикулярна стороне ВС, а высота ВМ составляет равные углы со сторонами ВА и ВС. Найти стороны треугольника ABC.

Решение:

Так как медиана АК является и высотой, то Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС — равнобедренный с основанием ВС и АВ =АС. Так как высота ВМ является и биссектрисой, то Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС — равнобедренный с основанием АС и АВ = ВС. Тогда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС — равносторонний, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения (см).

Ответ: 18 см.

Пример №8

Биссектриса АК треугольника АБС делит сторону ВС пополам. Периметр треугольника ABC равен 36 см, периметр треугольника АКС равен 30 см. Найти длину биссектрисы АК.

Решение:

Из условия следует, что биссектриса АК является и медианой Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС (рис. 139).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника и АВ=АС. Так как ВК = СК, то сумма отрезков АС и СК равна полупериметру Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС, то есть 18 см. По условию периметр Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАКС равен 30 см, поэтому АК = 30 – 18 = 12 (см).

Ответ: 12 см

Геометрия 3D

У правильной треугольной пирамиды DABC в основании лежит равносторонний треугольник ABC, а боковые грани ADB, ADC, BDC — равные равнобедренные треугольники с общей вершиной D (рис. 142).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

У правильной четырехугольной пирамиды в основании лежит квадрат MNKE, а боковые грани МРЕ, MPN, NPK, ЕРК — равные равнобедренные треугольники с общей вершиной Р (рис. 143).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Третий признак равенства треугольников

Вам уже известны два признака равенства треугольников. Рассмотрим еще один.

Теорема (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВ=А1В1, ВС = В1С1, АС=А1С1 (рис. 144).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1.

Доказательство:

Приложим треугольник А1В1С1 к треугольнику ABC так, чтобы у них совместились равные стороны А1С1 и АС, а вершины В1 и В оказались в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольник А1В1С1 займет положение треугольника АВ2С. Проведем отрезок ВВ2. Так как АВ2=АВ и В2С = ВС, то треугольники АВВ2 и СВВ2 — равнобедренные. Откуда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияl =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения2 и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения3 =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения4 (как углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияABC =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияAB2C, и треугольники ABC и АВ2С равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1. Теорема доказана.

Замечание. Чтобы отрезок ВВ2 проходил внутри треугольника ABC, следует прикладывать треугольники большей стороной.

Говорят, что три стороны задают треугольник однозначно.

Итак, теперь вы знаете три признака равенства треугольников. Можно сформулировать и другие признаки равенства треугольников, в которых неизбежно будет присутствовать соответственное равенство каких-то трех элементов двух треугольников. Однако не любые три элемента задают треугольник. Так, например, если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники не обязательно равны. То же касается треугольников, у которых соответственно равны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон.

На рисунке 145, а, б вы видите пары таких неравных треугольников.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

У простой замкнутой ломаной ABCD AB=AD, BC = DC. Доказать, что Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияB = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияD и луч АС — биссектриса угла BAD.

Доказательство:

Проведем отрезок АС (рис. 146).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Треугольники ABC и ADC равны по 3-му признаку равенства треугольников (AB=AD и BC = DC по условию, сторона АС — общая). Поэтому Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияB =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияD и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBAC =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияDAC как соответствующие в двух равных треугольниках и луч АС — биссектриса угла BAD.

Пример №10

Доказать равенство треугольников по двум сторонам и медиане между ними.

Доказательство:

Пусть АВ =А1В1, ВС = В1С1, ВМ = В1М1, где ВМ и В1М1 — медианы (рис. 147).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Нужно доказать, что Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1. Продлим в каждом треугольнике данную медиану на ее длину так, что MD = ВМ, M1D1=B1M1. Так как Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияAMD =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияСМВ по 1-му признаку равенства треугольников (AM = МС, Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияAMD =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCMB как вертикальные, ВМ = MD по построению), то AD = BC. Аналогично Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияAXMXDX = Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияС1М1В1, откуда A1D1 = B1C1. По условию ВС = В1С1, следовательно, AD=A1D1 и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияABD =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияA1B1D1 по трем сторонам. Тогда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияABM =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияA1B1M1 и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВМ =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1М1 по 1-му признаку равенства треугольников. Отсюда AM =А1М1, АС =А1С1 (так как ВМ и В1М1 — медианы) и Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАВС =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияА1В1С1 по трем сторонам.

Пример №11

Два равных отрезка АВ и CD пересекаются в точке О и AD = BC. Доказать, что ВО = DO.

Доказательство:

Соединим точки В и D отрезком (рис. 148).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Треугольники ABD и CDB равны по трем сторонам (сторона BD — общая, AB=CD и AD=СВ по условию). Из равенства треугольников следует, что Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияABD =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCDB. Тогда Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBOD — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), откуда ВО=DO.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Прямая CD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, то есть Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения(рис. 152).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения
Теорема (о серединном перпендикуляре).

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

В данной теореме два утверждения: прямое и ему обратное. Докажем каждое из этих утверждений отдельно.

1) Дано: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения — серединный перпендикуляр к отрезку Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения (рис. 153).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать: КА = КВ.

Доказательство:

По определению серединного перпендикуляра Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения Тогда в треугольнике АКВ высота КМ является медианой. По признаку равнобедренного треугольника Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАКВ — равнобедренный, поэтому КА=КВ.

2) Дано: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения (рис. 154).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать: Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения где Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Доказательство:

Проведем в равнобедренном Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияАКВ высоту КМ, которая по свойству равнобедренного треугольника будет и медианой. Получим Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения Прямая Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения, проходящая через высоту КМ, — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Теорема доказана.

Геометрическим местом точек плоскости (или пространства) называется множество всех точек плоскости (или пространства), обладающих общим свойством.

Из доказанной теоремы следует, что серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.

Пример №12

В четырехугольнике (рис. 155) ABCD  AB=BC, AD=DC.

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Доказать, что  ACПризнаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBD.

Доказательство:

1-й способ. Из равенства треугольников ABD и CBD по трем сторонам следует, что Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияABD =Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияCBD. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса ВМ является и высотой. Поэтому  ACПризнаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBD.

2-й способ. Точки В и D равноудалены от концов отрезка АС, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку АС. Так как через две точки проходит единственная прямая, то BD — серединный перпендикуляр к отрезку АС. Отсюда ACПризнаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решенияBD. и AM = МС.

Пример №13 (1-я замечательная точка треугольника).

Доказать, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть два серединных перпендикуляра к сторонам АС и АВ пересекаются в точке О (рис. 156).

Признаки равенства треугольников - определение и вычисление с примерами решения

Точка О лежит на серединном перпендикуляре ОМ, поэтому ОА = ОС. Точка О лежит на серединном перпендикуляре ОК, поэтому ОА = ОВ. Отсюда ОВ = ОС. Поскольку точка О равноудалена от концов отрезка ВС, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Таким образом, третий серединный перпендикуляр пройдет через точку О, и все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекутся в одной точке.

Замечания.

  • 1. Если ножку циркуля поставить в точку О и построить окружность радиусом OA, то она пройдет через все вершины треугольника в силу того, что OA = OB = ОС. Такая окружность называется описанной около треугольника. В данной задаче мы доказали, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  • 2. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — это еще одна замечательная точка треугольника помимо уже известных вам точек пересечения биссектрис, медиан, высот.

Напомню:

Три признака равенства треугольников:

  • По двум сторонам и углу между ними.
  • По стороне и двум прилежащим к ней углам.
  • По трем сторонам.

Запомните:

  1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является его высотой и медианой.
  3. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
  4. Если высота треугольника является его медианой или биссектрисой, или медиана является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный (признаки равнобедренного треугольника).
  5. Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
  6. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (1-я замечательная точка треугольника).
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Задачи на построение циркулем и линейкой
  • Задачи на построение по геометрии
  • Угол – определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Равенство треугольников

Мы знаем, что две геометрические фигуры считаются равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы, значит, если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Пример:

Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: ABC = A1B1C1


В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Для примера рассмотрим одну из пар сторон треугольников: BC = B1C1, значит, A = A1 и наоборот: из того что A = A1, следует, что BC = B1C1.

Советуем посмотреть:

Треугольник

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники


Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 124,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 138,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 140,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 161,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 164,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 332,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 823,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 830,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 833,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Добавить комментарий