Как найти разброс величины

Была ли эта статья полезной?

Как найти дисперсию?

Дисперсия – это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая – значения сравнительно близки друг к другу, если большая – далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии – среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: “Дисперсия – это второй центральный момент случайной величины” (напомним, что первый начальный момент – это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx – left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором – дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 – (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 – (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором – на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx – left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку “Вычислить”.
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала – еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Разброс (иногда
эту величину называют размахом)
выборки
обозначается буквой R.
Это самый
простой показатель, который можно
получить для выборки — разность между
максимальной и минимальной величинами
данного конкретного вариационного
ряда, т.е.

R
= X
– X

тaх
тiт

Понятно, что чем
сильнее варьирует измеряемый признак,
тем больше величина R,
и наоборот.

Однако может
случиться так, что у двух выборочных
рядов и средние, и размах совпадают,
однако характер варьирования этих рядов
будет различный. Например, даны две
выборки:

X
= 10 15 20 25
30 35 40 45 50

= 30 R
= 40

Y
= 10 28 28 30
30 30 32 32 50


= 30 R
= 40

При равенстве
средних и разбросов для этих двух
выборочных рядов характер их варьирования
различен. Для того чтобы более четко
представлять характер варьирования
выборок, следует об­ратиться к их
распределениям.

4.5. Дисперсия

Рассмотрим еще
одну очень важную числовую характеристи­ку
выборки, называемую дисперсией.
Дисперсия
представляет со­бой наиболее часто
использующуюся меру рассеяния случайной
величины (переменной). Дисперсия
это среднее
арифметическое квадратов отклонений
значений переменной от её среднего
зна­чения.

49

(4.4)

где
п — объем
выборки

i—
индекс суммирования

– среднее,
вычисляемое по формуле (4.1).

Вычислим дисперсию
следующего ряда

2 4 6 8 10
(4.5)

Прежде всего найдем
среднее ряда (4.5). Оно равно X
= 6.

Рассмотрим величины:
(X_j
— X)
для каждого
элемента ряда. Иными словами, из каждого
элемента ряда 4.5 вычтем величину среднего
этого ряда. Полученные величины
характеризуют то, насколько каждый
элемент отклоняется от средней величины
в данном ряду. Обозначим полученную
совокупность разностей как множество
Т. Тогда
Г есть:

T
= (2 – 6 = -4; 4 – 6 = -2; 6 – 6 = 0; 8 – 6 = 2; 10 – 6 = 4).

Так образуется
новый ряд чисел. Его особенность в том,
что при сложении этих чисел обязательно
получится ноль. Прове­рим: (-4) + (-2) + 0 +
2 + 4 = 0.

Отметим, что сумма
такого ряда ∑(Xi
—

)
всегда будет
равна нулю.

Для того чтобы
избавиться от нуля, каждое значение
разно­сти (Xi
—

)
возводят в
квадрат, все их суммируют и затем делят
на число элементов, т.е. применяют формулу
4.4. В нашем приме­ре получится следующее:

=
(-4)
(-4)+(-2)-(-2)+ = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

Это и есть искомая
дисперсия.

Общий алгоритм
вычисления дисперсии для одной выборки
следующий:

50

1. Вычисляется
среднее по выборке.

2. Для каждого
элемента выборки вычисляется его
отклонение от

средней, т.е.
получается множество Т.

3. Каждый элемент
множества T
возводят в квадрат.

4. Находится сумма
этих квадратов.

5. Эта сумма, как
и в случае вычисления среднего, делится
на общее количество членов ряда — я. В
ряде случаев, особенно когда величина
выбоки мала, деление осуществляется не
на величину п,
а на величину
п — 1.

Величина, получающаяся
после пятого шага, и есть искомая
дисперсия.

Расчет дисперсии
для таблицы чисел осуществляется по
фор­муле 4.6:

(4.6)

где х_у
— значения
всех переменых, полученных в эксперименте,
или все элементы таблицы;

индексу меняется
от 1 до p,
где р число
столбцов в таб­лице, а индекс i
меняется
от 1 до п, где
п — число
ис­пытуемых или число строк в таблице.

—общая средняя
всех элементов таблицы, вычисленная по
формуле 4.3;

N — общее
число всех элементов в таблице
(анализируемой совокупности
экспериментальных данных) и в общем
случае N = р
-п.

Дисперсию для
генеральной совокупности принято
обозна­чать как σ²,
а дисперсию выборки как

,
причем индекс
х обо­значает,
что дисперсия характеризует варьирование
числовых значений признака вокруг их
средней арифметической.

Преимущество
дисперсии перед размахом в том, что
диспер­сию можно представить как
сумму ряда чисел (согласно ее оп-

51

ределению), т.е.
разложить на составные компоненты,
позволяя тем самым более подробно
охарактеризовать исходную выборку.
Важная характеристика дисперсии
заключается также и в том, что с её
помощью можно сравнивать выборки,
различные по объему.

Однако сама
дисперсия, как характеристика отклонения
от среднего, часто неудобна для
интерпретации. Так, например, предположим,
что в эксперименте измерялся рост в
сантимет­рах, тогда размерность
дисперсии будет являться характеристи­кой
площади, а не линейного размера (поскольку
при подсчете дисперсии сантиметр
возводится в квадрат).

Для того чтобы
приблизить размерность дисперсии к
размер­ности измеряемого признака
применяют операцию извлечения квадратного
корня из дисперсии. Полученную величину
называ­ют стандартным
отклонением.

Из суммы квадратов,
деленных на число членов ряда извле­кается
квадратный корень.

(4.7)

Другими словами,
стандартное отклонение выборки Sx
пред­ставляет
собой корень квадратный, извлеченный
из дисперсии

выборки

. Стандартное отклонение для генеральной
совокуп­ности обозначают также
символом а. Подчеркнем еще раз, что
размерность стандартного отклонения
и размерность исходного ряда совпадают.

В нашем примере

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 января 2023 года; проверки требуют 2 правки.

У этого термина существуют и другие значения, см. Дисперсия.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или .

Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на стандартных отклонений, составляет менее . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение[править | править код]

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

где символ обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания[править | править код]

где  — -ое значение случайной величины,  — вероятность того, что случайная величина принимает значение ,  — количество значений, которые принимает случайная величина.

где  — плотность вероятности случайной величины.

Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение необходимо умножить на . Несмещённая оценка имеет вид:

Свойства[править | править код]

Условная дисперсия[править | править код]

Наряду с условным математическим ожиданием в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин .

Условной дисперсией случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина:

.

Её свойства:

откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины .

Пример[править | править код]

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на , то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно

,

и математическое ожидание случайной величины равно

Дисперсия случайной величины равна

См. также[править | править код]

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение
• Дельта-метод

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259.
• Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.