Как найти ражиус описанной окружности - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

, , c blue – стороны треугольника

– полупериметр

O black – центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :

– сторона треугольника

– высота

– радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b – стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

a, b – катеты прямоугольного треугольника

c – гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

a – боковые стороны трапеции

c – нижнее основание

b – верхнее основание

d – диагональ

p – полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

a – сторона квадрата

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

a, b – стороны прямоугольника

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

a – сторона многоугольника

N – количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

a – сторона шестиугольника

d – диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Источник

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Радиус описанной окружности для произвольного треугольника

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

$[R = frac{{abc}}{{4S}}]$

$[R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }} = frac{c}{{2sin gamma }},]$

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

Центр описанной окружности лежит:

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

$[R = frac{c}{2}]$

Окружность, описанная около многоугольника

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

$[R = frac{a}{{2sin frac{{{{180}^o}}}{n}}}]$

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

$[R = frac{a}{{sqrt 3 }}]$

Если без иррациональности в знаменателе —

$[R = frac{{asqrt 3 }}{3}.]$

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Радиус описанной окружности квадрата

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

$[R = frac{a}{{sqrt 2 }}]$

Если без иррациональности в знаменателе —

$[R = frac{{asqrt 2 }}{2}.]$

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

Источник

Краткое содержание:

Что такое радиус
Радиус и диаметр
Примеры задач
Формулы для радиуса описанной окружности
Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам
Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
Найти радиус описанной окружности около квадрата
Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам
Радиус описанной окружности правильного многоугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
Радиус вписанной окружности в квадрат
Радиус вписанной окружности в ромб
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
Примеры задач
Обсуждение

Здравствуйте мои дорогие подписчики и гости сайта 9111.ru!

На самом деле эту тему проходят еще в начальных классах обычной школы. И все, кто хорошо учился, сразу смогут сказать, о чем идет речь. Ну, или хотя бы точно понять, что РАДИУС как-то связан с окружностью.

Что такое радиус

И действительно:

Радиус – это отрезок, который начинается в центре окружности и заканчивается в любой точке ее поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.

Вот так это выглядит графически.

**************************************

Само слово РАДИУС имеет латинские корни. Оно произошло от «radius», что можно перевести как «луч» или «спица колеса». Впервые этот математический термин ввел французский ученый П.Ромус. Было это в 1569 году.

Но потребовалось чуть более ста лет, чтобы слово РАДИУС прижилось и стало общепринятым.

Кстати, есть еще несколько значений слова РАДИУС:

Размер охвата чего-нибудь или сфера распространения. Например, говорят «Огонь уничтожил все в радиусе 10 километров» или «ОН показал на карте радиус действия артиллерии»;
В анатомии этим словом обозначают Лучевую кость предплечья.

Но, конечно, нас интересует РАДИУС как математический термин. А потому и продолжим говорить именно о нем.

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

А именно:

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Примеры задач

Задание 1

Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:

Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2

Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2.

Решение:

Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Формулы для радиуса описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

Формула радиуса описанной окружности треугольника (R ) :

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Найти радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r ) :

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции (r):

Радиус вписанной окружности в квадрат

Формула радиуса вписанной окружности в квадрат (r):

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону (r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Формула радиуса вписанной окружности в ромб (r ) :

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, (r):

Примеры задач

Задание 1

Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение

Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Задание 2

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение

Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

Всем спасибо и приятного просмотра! Если понравилась публикация подписывайтесь и ставьте палец вверх!

Источники:

https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/radius-chto-ehto-takoe-kak-najti-radius-okruzhnosti-formula.html
https://MicroExcel.ru/radius-kruga/
https://www-formula.ru/2011-09-24-00-42-22
https://www-formula.ru/2011-09-24-00-40-48
https://MicroExcel.ru/radius-vpisannogo-v-treugolnik-kruga/

Источник

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства[править | править код]

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если около n-угольника описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Около любого правильного многоугольника (все углы и стороны равны) можно описать окружность, и притом только одну.
Вокруг каждого треугольника может быть описана единственная окружность.

Уравнения окружности[править | править код]

Уравнение описанной окружности можно выразить через декартовы координаты вершин вписанного в неё треугольника. Предположим, что

${displaystyle mathbf {A} =(A_{x},A_{y})}$

${displaystyle mathbf {B} =(B_{x},B_{y})}$

${displaystyle mathbf {C} =(C_{x},C_{y})}$

являются координатами вершин A, B и C. Тогда окружность — геометрическое место точек v = (v_x,v_y), в декартовой плоскости удовлетворяющих уравнениям

${displaystyle |mathbf {v} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}$

${displaystyle |mathbf {A} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}$

${displaystyle |mathbf {B} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}$

${displaystyle |mathbf {C} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}$

гарантирующих то, что вершины A, B, C, и v находятся на одном и том же расстоянии r от общего центра u окружности. Используя поляризационное тождество, эти уравнения можно свести к условию, что линейное отображение, задаваемое матрицей

${displaystyle {begin{bmatrix}|mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\|mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\|mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\|mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1end{bmatrix}}}$

имеет ненулевое ядро. Таким образом, описанная окружность может быть описана как множество нулей определителя этой матрицы:

${displaystyle det {begin{bmatrix}|mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\|mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\|mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\|mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1end{bmatrix}}=0.}$

Раскладывая этот определитель по первой строке и вводя обозначения

${displaystyle quad S_{x}={frac {1}{2}}det {begin{bmatrix}|mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\|mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\|mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1end{bmatrix}},quad S_{y}={frac {1}{2}}det {begin{bmatrix}A_{x}&|mathbf {A} |^{2}&1\B_{x}&|mathbf {B} |^{2}&1\C_{x}&|mathbf {C} |^{2}&1end{bmatrix}},}$

${displaystyle a=det {begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\B_{x}&B_{y}&1\C_{x}&C_{y}&1end{bmatrix}},quad b=det {begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|mathbf {A} |^{2}\B_{x}&B_{y}&|mathbf {B} |^{2}\C_{x}&C_{y}&|mathbf {C} |^{2}end{bmatrix}}}$

мы приводим уравнение окружности к виду a|v|² − 2Sv − b = 0,
или, предполагая, что точки A, B, C не лежали на одной прямой (в противном случае окружность вырождается в прямую линию, которая также может рассматриваться как обобщённая окружность с центром S на бесконечности), |v − S/a|² = b/a + |S|²/a²,
выражая центр окружности как S / а и её радиус как √(b/a + |S|²/a²). Сходный подход позволяет вывести уравнение сферы, описанной вокруг тетраэдра.

Параметрическое уравнение[править | править код]

Единичный вектор перпендикулярный к плоскости, содержащую круг даётся в виде

${displaystyle {hat {n}}={frac {left(P_{2}-P_{1}right)times left(P_{3}-P_{1}right)}{left|left(P_{2}-P_{1}right)times left(P_{3}-P_{1}right)right|}}.}$

Следовательно, с учётом радиуса r с центром P_c, точка на окружности P₀ единичная нормаль к плоскости, содержащей окружность: , однопараметрическое уравнение окружности с началом в точке P₀ и ориентированной в положительном направлении (то есть дающее векторы для правила правой руки) в этом смысле имеет вид:

${displaystyle mathrm {R} left(sright)=mathrm {P_{c}} +cos left({frac {mathrm {s} }{mathrm {r} }}right)left(P_{0}-P_{c}right)+sin left({frac {mathrm {s} }{mathrm {r} }}right)left[{hat {n}}times left(P_{0}-P_{c}right)right].}$

Трилинейные и барицентрические координаты окружности[править | править код]

Уравнение окружности в трилинейных координатах x : y : z есть^[1]^{:p. 199} a/x + b/y + c/z = 0. Уравнение окружности в барицентрических координатах есть x : y : z is a²/x + b²/y + c²/z = 0.
Изогональное сопряжение окружности есть бесконечно удалённая прямая, записываемая в трилинейных координатах в виде ax + by + cz = 0 и в барицентрических координатах в виде x + y + z = 0.

Координаты центра описанной окружности[править | править код]

Декартовы координаты центра[править | править код]

Декартовы координаты центра описанной окружности есть

${displaystyle U_{x}=left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})right]/D,}$

${displaystyle U_{y}=left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})right]/D}$

где

${displaystyle D=2left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})right].}$

Без ограничения общности это можно выразить в упрощённом виде после перевода вершины A в начало координат декартовой системы координат, то есть, когда
A′ = A − A = (A′_x,A′_y) = (0,0). В этом случае координаты вершин B′ = B − A и C′ = C − A представляют собой векторы из вершины A′ к этим вершинам.
Заметим, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников и координат центра описанной окружности треугольника A′B′C′ в следующем виде:

${displaystyle left[C'_{y}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})-B'_{y}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})right]/D',}$

${displaystyle left[B'_{x}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})-C'_{x}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})right]/D'}$

где

${displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).}$

Трилинейные координаты центра[править | править код]

Центр описанной окружности имеет трилинейные координаты^[1]^:p.19

cos α : cos β : cos γ,

где α, β, γ внутренние углы треугольника.
В терминах сторон треугольника a, b, c трилинейные координаты центра описанной окружности имеют вид^[2]

${displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}$

Барицентрические координаты центра[править | править код]

Барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид

${displaystyle a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):;b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}):;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),}$

^[3],

где a, b, c длины сторон (BC, CA, AB соответственно) треугольника.
В терминах углов треугольника барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид^[2]

{displaystyle sin 2alpha :sin 2beta :sin 2gamma .}

Вектор центра описанной окружности[править | править код]

Так как декартовы координаты любой точки являются средневзвешенным тех вершин, со своими весами, то барицентрические координаты точки нормируются в сумме единицей, тогда вектор центра описанной окружности, можно записать в виде

${displaystyle U={frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.}$

Здесь U есть вектор центра описанной окружности, A, B, C являются векторами вершин. Делитель здесь равен 16S ², где S — площадь треугольника.

Для треугольника[править | править код]

Окружность, описанная около треугольника

Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров или медиатрис.

Углы[править | править код]

Равные углы у вписанного треугольника

На рисунке показаны равные углы у треугольника, вписанного в окружность.

Углы, образуемые описанной окружностью со сторонами треугольника, совпадают с углами, которые образуют стороны треугольника, соединяясь друг с другом в вершинах. Сторона, противоположная углу α, дважды касается окружности: один раз на каждом конце; в каждом случае под одинаковым углом α (см. рис.) (аналогично для двух других углов). Это связано с теоремой об отрезке круга, дополнительном данному (the alternate segment theorem,), в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен вписанному в окружность углу, опирающемуся на эту хорду.

Треугольные центры на окружности, описанной около треугольника ABC[править | править код]

В этом параграфе вершины углов обозначены, как A, B, C и все координаты являются трилинейными координатами.
Следующие точки на окружности, описанной около треугольника ABC:

Точка Штейнера = bc / (b² − c²) : ca / (c² − a²) : ab / (a² − b²) = невершинная точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера. (Эллипс Штейнера с центром, расположенном в центроиде треугольника ABC представляет собой эллипс с наименьшей площадью из всех, что проходят через вершины A, B и C. Уравнение эллипса Штейнера имеет вид: 1/(ax) + 1/(by) + 1/(cz) = 0.)
Точка Тарри (Tarry point) = sec (A + ω) : sec (B + ω) : sec (C + ω) = диаметрально противоположная точке Штейнера
Фокус параболы Киперта (Kiepert parabola) = csc (B − C) : csc (C − A) : csc (A − B). (см. рис.)

Свойства вписанной параболы

Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера^[4]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр^[5]. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Теорема Лестера^[6]. В любом разностороннем треугольнике две точки Торричелли, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера).

Свойства центра описанной окружности треугольника[править | править код]

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

Остроугольный
Тупоугольный
Прямоугольный

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС.
Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и,
значит, является описанной около треугольника ABC.

Центр описанной окружности изогонально сопряжен ортоцентру.
3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника (называемого дополнительным треугольником).
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Математически последнее утверждение означает, что

расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

${displaystyle k_{a}=a/(2tgA);}$

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

${displaystyle d_{A}=a/(tgA).}$

Из последних трёх утверждений следует то, что сумма расстояний от ортоцентра остроугольного треугольника до трёх его вершин в два раза больше, чем сумма расстояний от центра описанной окружности до трёх его сторон, и равна . В тупоугольном треугольнике надо брать знак «-» в случае, если перпендикуляр из центра описанной окружности на сторону целиком лежит вне треугольника или если отрезок, проведённый из ортоцентра к вершине, целиком лежит вне треугольника. Остальные члены берутся со знаком «+».
Математически последнее утверждение (Формула Карно) означает, что^[7]:

${displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}$

где ${displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a,b,c треугольника;
${displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин A,B,C треугольника.

Радиус[править | править код]

Формулы радиуса описанной окружности

$R={frac {abc}{4S}}$

${displaystyle R={sqrt {frac {S}{2cdot sin alpha sin beta sin gamma }}}.}$

$R={frac {a}{2sin alpha }}={frac {b}{2sin beta }}={frac {c}{2sin gamma }}$

$R={frac {abc}{{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}={frac {abc}{4{sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}$

где:

— стороны треугольника,

— углы, лежащие против сторон a,b,c

соответственно,

— площадь треугольника.

— полупериметр треугольника, то есть ${displaystyle p={frac {a+b+c}{2}}}$

Положение центра описанной окружности[править | править код]

Пусть ${displaystyle {mathbf {r} }_{A},{mathbf {r} }_{B},{mathbf {r} }_{C}}$ радиус-векторы вершин треугольника,
${displaystyle mathbf {r} _{O}}$ — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

${displaystyle mathbf {r} _{O}=alpha _{A}mathbf {r} _{A}+alpha _{B}mathbf {r} _{B}+alpha _{C}mathbf {r} _{C}}$

где

$alpha _{A}={frac {a^{2}}{8S^{2}}}({mathbf {r}}_{A}-{mathbf {r}}_{B},{mathbf {r}}_{A}-{mathbf {r}}_{C}),qquad alpha _{B}={frac {b^{2}}{8S^{2}}}({mathbf {r}}_{B}-{mathbf {r}}_{A},{mathbf {r}}_{B}-{mathbf {r}}_{C}),qquad alpha _{C}={frac {c^{2}}{8S^{2}}}({mathbf {r}}_{C}-{mathbf {r}}_{A},{mathbf {r}}_{C}-{mathbf {r}}_{B})$

При этом a,b,c — длины сторон треугольника, противоположных вершинам A,B,C .

Уравнение описанной окружности[править | править код]

Пусть ${displaystyle {mathbf {r} }_{A}=(x_{A},y_{A}),{mathbf {r} }_{B}=(x_{B},y_{B}),{mathbf {r} }_{C}=(x_{C},y_{C})}$
координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,
${displaystyle mathbf {r} _{O}=(x_{O},y_{O})}$ — координаты центра описанной окружности.
Тогда уравнение описанной окружности

${begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}=0$

Координаты центра описанной окружности могут быть вычислены

$x_{O}={frac {1}{D}}{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1end{vmatrix}},quad y_{O}=-{frac {1}{D}}{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1end{vmatrix}},$

где

$D=2{begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}$

В явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:

${displaystyle x_{O}=-{frac {1}{2}}{frac {y_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^{2}-y_{C}^{2})+y_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A}^{2})+y_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}}$

${displaystyle y_{O}={frac {1}{2}}{frac {x_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^{2}-y_{C}^{2})+x_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A}^{2})+x_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}}$

Теоремы, связанные с описанной окружностью[править | править код]

Теорема о трезубце, или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью треугольника , и — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны , тогда .
Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги описанной окружности треугольника , не содержащая вершину , равноудалена от вершин и , центра вписанной окружности и центра $I_{2}$ вневписанной окружности. Середина дуги описанной окружности треугольника , содержащая вершину , равноудалена от вершин и , и центров и вневписанных окружностей.
Окружностно-чевианным треугольником называют треугольник с вершинами во вторых точках пересечения трёх прямых, проведённых через вершины подерного треугольника и данную точку , с описанной окружностью. Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130 Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine).
Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.
Согласно теореме Лестера центр девяти точек лежит на одной окружности (на окружности Лестера) вместе с тремя другими точками — двумя точками Торричелли и центром описанной окружности ^[6].
Прямая Эйлера проходит через: 1) Центроид треугольника, 2) Ортоцентр треугольника, 3) центр описанной окружности, 4) Центр окружности девяти точек и другие известные точки (см. Прямая Эйлера).
Радиус описанной окружности, проведенный из вершины треугольника в ее центр, всегда перпендикулярен одной из трех сторон ортотреугольника, которую он пересекает (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками[править | править код]

Или через стороны треугольника:

${displaystyle d=OI=R{sqrt {frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}}$

где — радиус описанной окружности (см. Окружность Фурмана).

${displaystyle d=OI={sqrt {{frac {a,b,c,}{a+b+c}}left[{frac {a,b,c,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}}}$

Расстояние от центра O до ортоцентра H есть^[9]^[10]^{:p. 449}

${displaystyle OH={sqrt {R^{2}-8R^{2}cos Acos Bcos C}}={sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$

Для центроида G и центра девяти точек N имеем:

${displaystyle OI^{2}=2Rcdot IN.}$

Произведение радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника связано со сторонами a, b и c в виде^[11]^{: p. 189, #298(d)}:

$rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.$

Отношение радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника ^[12]:

${displaystyle {frac {r}{R}}={frac {4S^{2}}{pabc}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1}$

Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда^[13] ^:p.122,#96

${displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

Центр описанной окружности изогонально сопряжён с ортоцентром.
Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].
В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Теорема Тебо 3 утверждает (см. рис.):

Формула Карно утверждает, что в треугольнике ABC сумма расстояний от центра D описанной окружности до сторон треугольника ABC, взятых со знаком «-», когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника (иначе со знаком «+»), будет равна , где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей^[13]^:p.83.

Формула Карно:

Например для рисунка формула Карно примет вид: .

В другой формулировке формула Карно утверждает, что^[7]:

${displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}$

где ${displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a,b,c треугольника,
${displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин A,B,C треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

${displaystyle k_{a}=a/(2tgA);}$

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

${displaystyle d_{A}=2k_{a}=a/(tgA).}$

Определения к последней теореме[править | править код]

Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
Окружностно-чевианный треугольник — треугольник с тремя вершинами во вторых точках пересечения с описанной окружностью трёх прямых, проведённых через вершины и данную точку.

Вариации по теме[править | править код]

Японская теорема (Japanese theorem)

Теорема^[15]. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.).

Для четырёхугольника[править | править код]

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° ( радиан).
Можно описать окружность около:

любого антипараллелограмма
любого прямоугольника (частный случай квадрат)
любой равнобедренной трапеции
любого четырёхугольника, у которого два противоположных угла прямые
любого четырёхугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов
любого четырёхугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины)
Первая теорема Птолемея. У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:^[16]:

{displaystyle |AC|cdot |BD|=|AB|cdot |CD|+|BC|cdot |AD|.}

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство.^[17] :

$frac{|AC|}{|BD|} = frac{|AB|cdot |AD|+|BC|cdot |CD|}{|AB|cdot |BC|+|CD|cdot|AD| }.$

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

$R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:

Та же Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель^[18]:

$S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}$

Подробнее о четырёхугольниках, вписанных в окружность, можно прочитать в статье «Вписанный четырёхугольник».

Для вписано-описанного четырехугольника[править | править код]

Аналог теоремы Эйлера для вписано-описанного четырёхугольника[править | править код]

Для радиусов R и r соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписано-описанного четырёхугольника и расстояния d между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

${frac {1}{(R+d)^{2}}}+{frac {1}{(R-d)^{2}}}={frac {1}{r^{2}}}$

или

${displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

Для многоугольника[править | править код]

Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.

Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она совпадает с центром окружности, описанной около этого многоугольника.

В сферическом треугольнике[править | править код]

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса^[19] описанной окружности будет равен^[20]^:78,83

${displaystyle operatorname {tg} R={sqrt {frac {-cos P}{cos(P-A)cos(P-B)cos(P-C)}}}}$

Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведённый из центра сферы через центр описанной окружности пересечёт сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника^[20]^:21-22.

См. также[править | править код]

Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
Вписанная окружность
Вневписанная окружность
Окружность
Ортоцентр
Серединный перпендикуляр
Четырехугольник
Четырехугольники, вписанные в окружность
Центр описанной окружности

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books Архивная копия от 24 марта 2016 на Wayback Machine
↑ ¹ ² Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangles http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Архивная копия от 19 апреля 2012 на Wayback Machine
↑ Wolfram page on barycentric coordinates. Дата обращения: 29 апреля 2016. Архивировано 20 июля 2017 года.
↑ , . Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
↑ , . Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
↑ ¹ ² Yiu, 2010, с. 175–209.
↑ ¹ ² Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
↑ The Orthopole (21 января 2017). Дата обращения: 22 июня 2020. Архивировано 22 июня 2020 года. (англ.)
↑ Marie-Nicole Gras, «Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers»,
Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Архивная копия от 28 апреля 2021 на Wayback Machine
↑ Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, «Euler and triangle geometry», Mathematical Gazette 91, November 2007, 436—452.
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
↑ Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
↑ ¹ ² Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
↑ Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 8, рис. 13, c. 6 Архивная копия от 29 апреля 2016 на Wayback Machine // geometry.ru
↑ Теорема Птолемея. Дата обращения: 15 марта 2009. Архивировано 10 мая 2009 года.
↑ Четырёхугольники Архивная копия от 16 сентября 2015 на Wayback Machine. Вписанные четырёхугольники .
↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И. В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведённого из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
↑ ¹ ² Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править код]

Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

Ссылки[править | править код]

На Викискладе есть медиафайлы по теме Описанная окружность

Источник

Теорема описанной окружности — как построить, свойства

Содержание:

Описанная окружность — что из себя представляет
- Вокруг чего можно описать
Теорема, основные свойства, признаки
Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула
- Треугольник
- Трапеция
- Правильный многоугольник
- Правильного шестиугольник
- Прямоугольник
- Квадрат

Описанная окружность — что из себя представляет

Решение задач по геометрии может быть проще, если при нахождении неизвестных пользоваться дополнительными сведениями и приемами. Одним из таких будет описание окружности вокруг фигуры.

Описанная окружность — окружность, которая описана вокруг многоугольника. Главным свойством описанной окружности будет тот факт, что она должна содержать все вершины многоугольника.

Точки окружности равноудалены от ее центра, а значит, также равноудалены будут и вершины многоугольника, вокруг которого описана окружность.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Вокруг чего можно описать

Окружность можно описать вокруг (или около):

треугольника;
трапеции;
правильного многоугольника;
правильного шестиугольника;
прямоугольника;
квадрата;
многоугольника, чьи серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Теорема, основные свойства, признаки

Правило об описанной окружности

Около любой из вышеперечисленных фигур можно описать окружность, причем только одну.

Доказательством теоремы будет тот факт, что точка пересечения серединных перпендикуляров через медианы у любой фигуры будет только одна. Это точка будет является центром окружности, а значит, никакая другая окружность, которая при этом также захватывает все вершины фигуры, не может быть описана вокруг нее.

Теорема синусов

Теорема синусов позволяет найти двойной радиус или диаметр окружности по расчету формулы:

(2R=d=frac a{sinleft(angle Aright)}=frac b{sinleft(angle Bright)}=frac c{sinleft(angle Cright)},)

где R — радиус,

d — диаметр,

a, b, c — стороны треугольника,

A, B, C — углы треугольника.

Соответственно, для того, чтобы найти радиус описанной окружности, необходимо знать величины любой стороны и противоположного ей угла.

Свойства описанной окружности:

центр окружности лежит на пересечении всех серединных перпендикуляров фигуры;
вершины фигуры, которая описана окружностью, будут равноудалены от центра и будут лежать на кривой окружности;
в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов будет равна 180 градусам;
вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Главным признаком описанной окружности будет ее расположение вокруг фигуры, причем ни одна из ее вершин не должна выходить за пределы кривой окружности.

Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула

Треугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника:

(R=frac{atimes btimes c}{4sqrt{ptimesleft(p-aright)timesleft(p-bright)timesleft(p-cright)}},)

где R — радиус ,

a, b и c — стороны треугольника,

p — половина периметра, (p=frac{left(a+b+cright)}2.)

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по стороне:

(R=frac a{sqrt3},)

где R — радиус,

а — сторона треугольника.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по высоте:

(R=frac{2h}3,)

где R — радиус,

h — высота.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника по сторонам:

(R=frac{a^2}{sqrt{4a^2-b^2}},)

где R — радиус,

a и b — стороны.

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника по катетам и гипотенузе:

(R=frac12sqrt{a^2+b^2}=frac c2,)

где R — радиус,

a и b — катеты,

с — гипотенуза.

Трапеция

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг трапеции по сторонам и диагонали:

(R=frac{atimes dtimes c}{4sqrt{ptimesleft(p-aright)timesleft(p-dright)timesleft(p-cright)}},)

где R — радиус,

a — боковые стороны трапеции,

b — верхнее основание,

с — нижнее основание,

d — диагональ,

р — полупериметр прямоугольного треугольника: (p=frac{left(a+b+cright)}2.)

Правильный многоугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного многоугольника:

(R=frac a{2timessinleft({displaystylefrac{180^circ}N}right)},)

где R — радиус,

а — сторона многоугольника,

N — количество сторон многоугольника.

Правильного шестиугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг правильного шестиугольника:

(R=a=frac d2,)

где R — радиус,

а — сторона шестиугольника,

d — диагональ шестиугольника.

Прямоугольник

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольника по стороне:

(R=frac{sqrt{a^2+b^2}}2=frac d2,)

где R — радиус,

a и b — стороны прямоугольника,

d — диагональ.

Квадрат

Формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата:

(R=frac a{sqrt2}=frac d2,)

где R — радиус,

d — диагональ.

Так как диаметр является суммой двух радиусов, при помощи вышеперечисленных формул можно найти диаметр просто умножив полученный результат на 2.

Источник

Что такое радиус

Радиус и диаметр

Примеры задач

Формулы для радиуса описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

Найти радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Радиус вписанной окружности в квадрат

Радиус вписанной окружности в ромб

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Примеры задач

Свойства[править | править код]

Уравнения окружности[править | править код]

Параметрическое уравнение[править | править код]

Трилинейные и барицентрические координаты окружности[править | править код]

Координаты центра описанной окружности[править | править код]

Декартовы координаты центра[править | править код]

Трилинейные координаты центра[править | править код]

Барицентрические координаты центра[править | править код]

Вектор центра описанной окружности[править | править код]

Для треугольника[править | править код]

Углы[править | править код]

Треугольные центры на окружности, описанной около треугольника ABC[править | править код]

Свойства центра описанной окружности треугольника[править | править код]

Радиус[править | править код]

Положение центра описанной окружности[править | править код]

Уравнение описанной окружности[править | править код]

Теоремы, связанные с описанной окружностью[править | править код]

Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками[править | править код]

Определения к последней теореме[править | править код]

Вариации по теме[править | править код]

Для четырёхугольника[править | править код]

Для вписано-описанного четырехугольника[править | править код]

Аналог теоремы Эйлера для вписано-описанного четырёхугольника[править | править код]

Для многоугольника[править | править код]

В сферическом треугольнике[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Теорема описанной окружности — как построить, свойства

Описанная окружность — что из себя представляет

Вокруг чего можно описать

Теорема, основные свойства, признаки

Как найти радиус и диаметр описанной окружности, формула

Треугольник

Трапеция

Правильный многоугольник

Правильного шестиугольник

Прямоугольник

Квадрат

Вам также может понравиться

Как найти налогоплательщика по ндс

Genshin impact как найти книгу

Как можно найти работу юристу

Добавить комментарий Отменить ответ