Как найти разложение вектора в параллелограмме - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Разложение вектора по векторам

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a ₁, . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a ₁, . a_n равна вектору b :

при этом коэффициенты x ₁, . x_n , называются координатами вектора b в базисе a ₁, . a_n .

Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам

Решение: Составим векторное уравнение:

которое можно записать в виде системы линейных уравнений

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы напомним основные определения и рассмотрим типовые задачи на компланарные векторы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Разложение векторов в параллелограмме

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Правило параллелограмма — что это такое

Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Правило параллелограмма: если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор c=a+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b. Начало вектора c совпадает с началом этих векторов.

Кроме того, по правилу параллелограмма можно осуществлять вычитание.

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, необходимо:

Взять произвольную точку А.
Отложить от точки векторы a и b.
Построить на векторах a и b параллелограмм.
Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов a+b

Также существуют еще два правила нахождения векторной суммы:

1. Правило треугольника.

Чтобы сложить два вектора, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор и построить вектор, который соединит начало первого с концом второго. Полученный вектор — искомая сумма.

2. Правило многоугольника.

Чтобы сложить несколько векторов, нужно от произвольной точки отложить первый вектор, из его конца — второй вектор, из конца второго — третий, и так далее. Затем соединить начальную точку с концом последнего вектора, полученный вектор — искомая сумма.

Переместительный и сочетательный законы, доказательство

Для более ясного понимания правила параллелограмма, важно знать законы сложения векторов.

Переместительный закон: от перемены мест слагаемых сумма не меняется a+b=b+a.

От произвольной точки A отложим векторы AB=a и AD=b.

Построим параллелограмм ABCD.

По правилу треугольника заметим: AC=AB+BC, то есть равен сумме векторов a+b.

AC=AB+BC, AC=a+b⇒ a+b=b+a.

С другой стороны, AC=AD+DC, AC=b+a.

Что и требовалось доказать.

Именно переместительный закон применяется в правиле параллелограмма.

Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c).

От произвольной точки A отложим вектор AB=a, от точки B вектор BC=b, от точки C вектор CD=c.

Запишем сумму (a+b)+c через векторы:

Сумма AB+BC=AC (по правилу треугольника).

Запишем сумму a+(b+c) через векторы:

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

Дан параллелограмм, построенный на векторах AB=6 см, BC=8 см. ∠B=90º. Найти сумму векторов AB+BC.

По правилу параллелограмма сумма векторов AB+BC=BD.

BD-диагональ параллелограмма. Диагональ можно найти по формуле:

B D = √ ( A B ² + B C ² — 2 * A B * B C * cos B ) .

ABCD — прямоугольник, так как ∠B=90º ⇒cosB=0.

Векторное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

Антикоммутативность

Свойство дистрибутивности

Сочетательное свойство

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

Геометрия

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Разложение векторов

Заметим, что если два вектора a и b коллинеарны, то обязательно найдется такое число k, для которого будет справедливо равенство:

Длина а составляет 6 клеток, а длина b – 9 клеток, при этом они сонаправлены. Получается, что b длиннее a в 9/6 = 1,5 раза, а потому можно записать:

Мы смогли выразить b через а. Иначе можно сказать, что мы разложили вектор b по вектору a. Можно и наоборот, выразить b через a:

Теперь посмотрим на вектора с и d. Их длины составляют 4 и 8 клеток, то есть отличаются в 2 раза, при этом они противоположно направлены. Поэтому эти вектора можно выразить так:

Обратите внимание, что выразить, например, а через с не удастся. Действительно, предположим, что есть такое число k, что

Тогда, по определению операции умножения вектора на число, вектора а и c должны быть коллинеарными, но они таковыми не являются.

Вектор можно раскладывать не на один, а на два вектора, которые ему не коллинеарны. Покажем это на примере:

Здесь вектора р, а и b не коллинеарны, при этом р выражен через а и b:

В данном случае говорят, что р разложен на вектора а и b, а числа 2 и 4 именуют коэффициентами разложения.

Верно следующее утверждение:

Продемонстрируем, как можно осуществить такое разложение. Пусть заданы вектора с, а и b, и требуется разложить c на а и b:

На первом шаге просто отложим все три вектора от одной точки. Далее построим прямые, проходящие через вектора а и b:

Далее через конец вектора с проведем прямые, параллельные построенным на предыдущем шаге прямым. В результате у нас получится некоторый параллелограмм АВСD:

Заметим, что вектор с оказался диагональю в этом параллелограмме. Тогда, согласно правилу параллелограмма, можно записать:

Ясно, что вектора АВ и b коллинеарны, так как лежат на одной и той же прямой. Тогда найдется такое число k, для которого будет верно отношение:

Конкретно в данном случае видно по рисунку, что АВ вдвое длиннее вектора b, поэтому

Аналогично коллинеарными являются вектора а и АD, поэтому существует число m, при котором справедливо равенство:

Понятно, что числа k и m определяются единственным образом. В общем случае они могут быть не только целыми, но и дробными (в том числе иррациональными) и даже отрицательными числами. Проще говоря, они могут быть любыми действительными числами.

Задание. Найдите коэффициенты разложения вектора d на вектора e и f:

Решение. Отложим все три вектора от одной точки. Далее проведем прямые, на которых лежат вектора e и f:

Теперь через конец d проводим ещё две прямые, параллельные двум уже построенным прямым, и в результате получаем параллелограмм:

Вектор d можно представить в виде суммы:

Особняком стоит случай, когда раскладываемый вектор коллинеарен одному из тех векторов, на которые он раскладывается. В этом случае один из коэффициентов разложения оказывается равным нулю. Например, пусть с надо разложить на а и b:

Строить параллелограмм в данном случае не нужно. Так как а и с коллинеарны, то найдется некоторое число k, при котором будет выполняться равенство:

Координаты векторов

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси Ох и Оу, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты:

Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и вектора. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси Ох, обозначают буквой i, а тот, который лежит на оси Оу, обозначают как j.

Эти вектора называют единичными векторами, или ортами (ещё используется термин координатный вектор). Они не коллинеарны друг другу, а это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить на единичные вектора. Коэффициенты такого разложения как раз и являются координатами вектора.

Посмотрим на примере, как находить координаты вектора. Пусть задан вектор а:

Нам надо разложить а по векторам i и j. Для этого их следует отложить от одной точки. Удобно перенести вектор а к началу координат:

Теперь надо через конец а провести прямые, параллельные векторам iи j. В результате получится прямоугольник АВСD:

Можно записать равенство:

Значит, и координаты данного вектора – это числа 3 и 2. Записывается это так:

Обратите внимание, что порядок чисел в скобках принципиально важен. Первое число – это коэффициент разложения, стоящий перед вектором i. Эту координату можно называть координатой х (по аналогии с координатами точек). Второе число – это коэффициент при векторе j, оно является координатой у. Также заметим очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

В приведенном выше примере легко заметить, что после того, как мы перенесли вектор в начало координат, координаты его конца (он обозначен точкой С) совпали с координатами самого вектора. Действительно, точка С имеет координаты (3; 2).

Это правильно несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно просто отложить вектор от точки начала координат, после чего посмотреть на координаты его конечной точки. Отметим, что вектор, чье начало совпадает с началом координат, имеет особое название – радиус-вектор.

Задание. Определите координаты векторов a, b, c и d, отмеченных на рисунке:

Решение. Во всех случаях будем просто переносить вектора к началу координат, получая радиус вектора. Далее будем просто смотреть, каковы координаты конца радиус-вектора. Начнем с а:

После переноса а его конец оказался в точке А(4; 3), поэтому и координаты всего вектора можно записать так:

После переноса вершина радиус-вектора попала в точку B (1; – 3), поэтому вектор имеет координаты .

Выполним построение и для с:

Конец вектора попал в точку С (3,5; 0), а потому и координаты вектора составляют .

Осталось рассмотреть d:

Здесь координаты вектора будут равны , так как такие же координаты имеет точка D.

Рассмотрим решение обратной задачи, в которой необходимо построить вектор по заранее заданным координатам.

Задание. Даны координаты вектора:

Постройте по три вектора, имеющие заданные координаты.

Решение. Проще всего построить радиус-вектор, вершина которого будет иметь те же координаты, что и требуемый вектор:

Чтобы построить ещё два вектора с такими же координатами, надо просто отложить уже построенный вектор от любых других точек:

Аналогично поступаем и во второй задаче – сначала откладываем радиус-вектор с заданными координатами, а потом добавляем ещё два равных ему вектора, отложенных от других точек:

Отдельно отметим нулевой вектор. Очевидно, что все его координаты равны нулю, так как для него можно записать такое разложение на орты:

Также можно сказать, что если отложить нулевой вектор от начала координат, то его конец также будет находиться в начале координат (так как у нулевого вектора начало и конец совпадают), то есть в точке с координатами (0; 0).

Сложение и вычитание векторов

Пусть у нас есть векторы a и b . Можно ли, зная только их координаты, определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Действительно, по определению координат векторов (напомним, они являются коэффициентами разложения вектора на орты) можно записать:

Эта запись означает, что с имеет координаты . В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

Проиллюстрируем правило на примере. Пусть надо сложить вектора а и b . Понятно, что в результате получится новый вектор, который мы обозначим как с . Чтобы найти его первую координату, надо сложить первые координаты векторов a и b:

Для нахождения второй координаты складываем соответственно вторые координаты векторов:

В итоге получился вектор с .

Задание. Сложите вектора, имеющие координаты:

Решение. Сначала просто складываем первые числа в скобках (и получаем координату х), а потом – вторые (и получаем координату у):

Теперь попытаемся понять, как вычислять разность двух векторов. Пусть есть вектора с заранее заданными координатами a и b . Снова запишем их разложение на единичные вектора:

Теперь мы можем сформулировать правило вычитания векторов:

Например, пусть надо вычесть из вектора а вектор b . Искомая разность будет представлять собой вектор, чья координата х будет равна разности первых координат векторов а и b:

Аналогично вычисляем и координату у:

В итоге получили вектор с координатами .

Задание. Вычтите из вектора а вектор b, если известны их координаты:

Решение. Во всех случаях мы сначала из первой координаты вектора а вычитаем первую координату b, в результате чего получаем координату х искомого вектора. Далее повторяем процесс со второй координатой (то есть с у):

Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Снова запишем, что вектор а с координатами х₁и у₁ можно разложить на орты следующим образом:

Это означает, что при умножении вектора на число надо просто умножить на это число каждую его координату.

Например, есть вектор а , который надо умножить на 5. Умножим на 5 по отдельности каждую координату:

В результате получился вектор .

Задание. Умножьте вектор а на число k, если известно, что:

Решение. Надо всего лишь умножить каждую координату а на число k, и таким образом получить новые координаты:

Признак коллинеарности векторов

Напомним, что если два вектора (обозначим их как a и b) коллинеарны, то обязательно существует такое число k, что

Из равенства (1) и рассмотренного нами правила умножения вектора на число вытекают два соотношения между этими координатами:

Если числа х₂ и у₂ не равны нулю, то можно выразить из каждого уравнения число k, после чего выражения можно будет приравнять:

Получили соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратную сторону – если координаты векторов удовлетворяют выведенному отношению, то можно смело утверждать, что вектора – коллинеарны.

Примечание. Формулировка «тогда и только тогда» означает, что правило действует в обе стороны – из пропорциональности координат следует коллинеарность векторов, а из коллинеарности векторов следует пропорциональность координат.

Покажем, как пользоваться этим признаком коллинеарности векторов. Пусть вектор а имеет координаты , а у вектора b они равны . Нам надо определить, коллинеарны ли они. Для этого поделим друг на друга их координаты х:

Получили число 3. Далее поделим и координаты у:

Снова получили тройку. То, что в обоих случаях получилось одно и тоже число, указывает на то, что вектора коллинеарны. Более того, можно даже записать, что вектор b втрое больше a:

В данном примере мы делили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно было поступить и наоборот, делить координаты а на координаты b:

Естественно, снова получилось одинаковое число.

Особняком стоит случай, когда одна из координат вектора равна нулю. Например, пусть вектор имеет координаты , причем у₁≠ 0. Любой коллинеарный ему вектор можно получить, умножив вектор на какое-то число k. В этом случае его координаты составят:

Получается, что и у коллинеарного вектора координата х обязательно будет равняться нулю. В свою очередь координаты у₂ и у₁ могут быть любыми, ведь мы всегда можем найти такое число k, для которого будет выполняться условие

Например, есть вектор . Можно сказать, что ему будет коллинеарен любой вектор, у которого первая координата также равна нулю, в частности,

Но любой вектор, у которого координата х НЕ равна нулю, НЕ будет коллинеарен вектору . В частности, ему не будут коллинеарны вектора:

Аналогичная логика действует и тогда, когда нулю равна не координата х, а координата у.

Если же у вектора обе координаты равны нулю, то он является нулевым вектором, то есть точкой. Напомним, что такой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Задание. Определите, являются ли коллинеарными два вектора, если их координаты равны:

Решение. В первых пяти случаях все координаты – ненулевые, а поэтому надо просто проверить их пропорциональность. Для этого надо делить координаты друг на друга:

Числа различны, поэтому вектора НЕ коллинеарны.

В следующих примерах как минимум одна из координат равна нулю, поэтому делить координаты уже не нужно.

У обоих векторов координаты х нулевые, этого достаточно, чтобы утверждать, что они коллинеарны.

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

Здесь у первого вектора нулю равна координата х, а у второго она ненулевая, поэтому вектора не коллинеарны.

Здесь имеет место особый случай, ведь первый вектор – нулевой, то есть представляющий собой точку. Считается, что он коллинеарен любому вектору, поэтому в данном примере вектора коллинеарны.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да; и) нет; к) да.

Пока что мы рассматривали задачи, в которых фигурируют только вектора. Однако в будущем мы научимся с помощью метода координат решать и другие задачи, в которых рассматриваются отрезки, треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры.

[spoiler title=”источники:”]

http://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/razlozhenie-vektora-po-tryom-nekomplanarnym-vektoram-zadachi

http://b4.cooksy.ru/articles/razlozhenie-vektorov-v-parallelogramme

[/spoiler]

Источник

Определение

Разложение вектора CD в параллелограмме ABCD по базису а и b – это нахождение компонент вектора CD по направлениям базисных векторов а и b. Данный метод используется для удобства нахождения векторов при решении задач различного уровня сложности, связанных с геометрией.

Вычисления

Пример вычисления разложения вектора CD по базису а и b для параллелограмма ABCD:

Дано: координаты точек A(1, 1), B(3, 1), C(2, 2) и D(4, 2).

Необходимо найти разложение вектора CD по базису а и b.

Шаг 1

Найдем координаты векторов а и b:

а = (3, 1) - (1, 1) = (2, 0)
b = (2, 2) - (1, 1) = (1, 1)

Шаг 2

Найдем координаты вектора CD:

CD = D - C = (4, 2) - (2, 2) = (2, 0)

Шаг 3

Найдем проекцию вектора CD на направление базисного вектора а:

proj_a(CD) = (CD · а) / (а · а) * а
CD · а = (2, 0) · (2, 0) = 4
а · а = (2, 0) · (2, 0) = 4
proj_a(CD) = (4 / 4) * (2, 0) = (2, 0)

Шаг 4

Найдем проекцию вектора CD на направление базисного вектора b:

proj_b(CD) = (CD · b) / (b · b) * b
CD · b = (2, 0) · (1, 1) = 2
b · b = (1, 1) · (1, 1) = 2
proj_b(CD) = (2 / 2) * (1, 1) = (1, 1)

Шаг 5

Найдем координаты разложенного вектора:

CD = proj_a(CD) + proj_b(CD) = (2, 0) + (1, 1) = (3, 1)

Ответ

Таким образом, разложение вектора CD по базису а и b равно (3, 1).

Заключение

Разложение вектора CD в параллелограмме ABCD по базису а и b является важным методом для решения задач геометрии. Он основывается на нахождении компонент вектора по направлениям базисных векторов и позволяет существенно упростить вычисления.

Источник

Разложить вектор $ overline{x} = (10,3,3) $ по векторам $ overline{p} = (2,3,1) $, $ overline{q} = (3,7,2) $, $ overline{r} = (5,4,2) $

Составим систему линейных уравнений, используя векторы из условия задачи:

$$ begin{cases} 10= 2alpha + 3 beta + 5 gamma \ 3=3 alpha + 7 beta + 4 gamma \ 3 = 1 alpha + 2 beta + 2 gamma end{cases} $$

Запишем систему в привычном виде:

$$ begin{cases} 2alpha + 3 beta + 5 gamma = 10 \ 3 alpha + 7 beta + 4 gamma = 3 \ alpha + 2 beta + 2 gamma = 3 end{cases} $$

Решив систему уравнений любым методом, найдем неизвестные $ alpha, beta, gamma $. К примеру, возьмём метод Крамера.

Найдем главный определитель:

$$ Delta = begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \ 3 & 7 & 4 \ 1 & 2 & 2 end{vmatrix} = $$

$$ = 2 cdot 7 cdot 2 + 3 cdot 4 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 5 – 5 cdot 7 cdot 1 – 4 cdot 2 cdot 2 – 3 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 28 + 12 + 30 – 35 – 16 – 18 = 1 $$

Так как $ Delta = 1 $ не равно нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Вычислим дополнительные определители составленные из столбцов главного путём поочередной замены одного из столбцов на свободные члены системы:

$$ Delta_1 = begin{vmatrix} 10 & 3 & 5 \ 3 & 7 & 4 \ 3 & 2 & 2 end{vmatrix} = $$

$$ = 10 cdot 7 cdot 2 + 3 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 5 – 5 cdot 7 cdot 3 – 4 cdot 2 cdot 10 – 3 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 140 + 36 + 30 – 105 – 80 – 18 = 3 $$

$$ Delta_2 = begin{vmatrix} 2 & 10 & 5 \ 3 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 2 end{vmatrix} = $$

$$ = 2 cdot 3 cdot 2 + 10 cdot 4 cdot 1 + 3 cdot 3 cdot 5 – 5 cdot 3 cdot 1 – 4 cdot 3 cdot 2 – 10 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 12 + 40 + 45 – 15 – 24 – 60 = -2 $$

$$ Delta_3 = begin{vmatrix} 2 & 3 & 10 \ 3 & 7 & 3 \ 1 & 2 & 3 end{vmatrix} = $$

$$ = 2 cdot 7 cdot 3 + 3 cdot 3 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 10 – 10 cdot 7 cdot 1 – 3 cdot 2 cdot 2 – 3 cdot 3 cdot 3 = $$

$$ = 42 + 9 + 60 – 70 – 12 – 27 = 2 $$

Теперь вычислим коэффициенты $ alpha, beta, gamma $:

$$ alpha = frac{Delta_1}{Delta} = frac{3}{1} = 3 $$

$$ beta = frac{Delta_2}{Delta} = frac{-2}{1} = -2 $$

$$ gamma = frac{Delta_3}{Delta} = frac{2}{1} = 2 $$

Зная постоянные $ alpha, beta, gamma $, запишем разложение вектора $ overline{x} $ по векторам $ overline{p}, overline{q}, overline{r} $:

$$ overline{x} = 3overline{p} – 2overline{q} + 2overline{r} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Источник

Вам
уже хорошо знакомо понятие вектора, и вы умеете выполнять некоторые действия
над векторами. А именно: складывать, вычитать и умножать вектор на число.

На
этом уроке мы приступаем к более глубокому изучению вопроса о векторах и для
начала запишем лемму о коллинеарных векторах.

Лемма. Если
векторы и
коллинеарны
и ,
то существует такое число ,
что .

Доказательство.

Пусть,
тогда .

Что
и требовалось доказать.

Выполним
задание.

Выразить
коллинеарные векторы ,
,
,
,
и
через
коллинеарный им вектор .

Решение.

Итак,
начнём с вектора Видим,
что векторы и
сонаправлены.
Значит, k>0.

Также,
взяв длину вектора за
единицу, видим что длина вектора в
3 раза больше.

Можем
записать, что вектор равен
произведению вектора на
число 3.

Рассмотрим
следующий вектор, вектор .
Он так же сонаправлен с вектором ,
поэтому k>0. При этом длина
вектора в
6,5 раза больше длины вектора .

Тогда
вектор равен
произведению вектора на
6,5.

Далее
рассмотрим вектор .

Он противоположно
направлен с вектором .
Поэтому k<0. К тому же длина
вектора в
5,5 раза больше длины вектора .
Тогда вектор .

Далее
не сложно записать, что вектор .

Следующим рассмотрим вектор
.
Он противоположно направлен вектору и
его длина в 2 раза меньше, поэтому вектор .

Остался вектор .
Как видите, он нулевой. Нам известно, что нулевой вектор сонаправлен любому
вектору. И его длина равна нулю. Поэтому вектор .

Сейчас
вспомним правило параллелограмма сложения двух векторов.

Если векторы-слагаемые и
отложены
от одной точки, то, построив на них параллелограмм ABCD,
мы получим вектор их
суммы.

Обозначим
вектор как
вектор .
Он равен сумме .

В
свою очередь вектор всегда
можно выразить как произведение коллинеарного ему вектора на
некоторое число x, а вектор —
как произведение коллинеарного ему вектора на
некоторое число y.

Тогда
можно записать, что вектор .

В
таком случае говорят, что Вектор разложен по неколлинеарным векторам и . , коэффициенты разложения.

Теорема. На
плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам,
причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Пусть данными векторами
будут неколлинеарные векторы и
.

Докажем, что любой вектор
можно
разложить по данным векторам.

В
этом случае по лемме о двух коллинеарных векторах получаем, что вектор
.

Так
же можно записать его разложение по векторам и
.
Только коэффициент разложения при векторе будет
равен нулю .

Отметим
некоторую точку О и отложим от неё векторы ,
и
,
равные векторам ,
и
соответственно.

Через
точку P проведём прямую
параллельную прямой .
Точку пересечения полученной прямой с ОА обозначим как А₁.

По
правилу треугольника вектор .
Вектор коллинеарен
вектору ,
вектор коллинеарен
вектору .
Это значит, что вектор ,
а вектор .

Отсюда
получаем, что вектор .
Тем самым мы разложили его по векторам и
.

Первая
часть теоремы доказана. Действительно, на плоскости любой вектор можно
разложить по двум данным неколлинеарным векторам.

Теперь
докажем, что коэффициенты разложения x
и y определяются единственным способом.

Допустим,
что кроме разложения возможно
другое разложение, .

Вычтем
второе равенство из первого.

Получаем,
что нулевой вектор можно разложить по векторам и
,
при этом коэффициенты разложения равны и
.

Такое
возможно только в том случае, если данные коэффициенты разложения равны нулю. А
значит, при и
.

Значит,
коэффициенты разложения определяются единственным способом.

Что
и требовалось доказать.

Рассмотрим
пример. Запишем разложение вектора по
векторам и
.

Все
они отложены от точки О. При этом векторы ,
и
равны
векторам ,
и
соответственно.

Через
точку P проведём прямую,
параллельную OB. И точку пересечения
этой прямой с ОА назовём А₁.

По
правилу треугольника вектор .
Вектор .

Аналогично,
выразим .

Тогда
разложение вектора по
векторам

Теперь
выполним задание, в котором векторы и
,
изображённые в координатной плоскости, нужно разложить по двум векторам и
.

Итак,
начнём с вектора .
Восстановим для него правило треугольника сложения двух векторов так, чтобы
вектор являлся
вектором суммы, а векторы-слагаемые и
были
коллинеарны векторам и
соответственно.

Аналогично
поступим с другими векторами.

На
примере этого задания вы увидели, как можно раскладывать векторы по двум
неколлинеарным векторам.

Подведём
итоги урока.

Сегодня
вы узнали, что любой вектор можно выразить через коллинеарный ему вектор
умножением на некоторое число k.

Также
мы рассмотрели примеры и убедились в том, что на плоскости любой вектор можно
разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты
разложения определяются единственным образом.

Источник

Содержание:

Векторы
Действия над векторами
Умножение вектора на число
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение
Смешенное произведение векторов
Разложение вектора по базису
Действия над векторами, заданными своими координатами
Проекция вектора на ось
Проекции вектора на оси координат
Направляющие косинусы вектора
Разложение вектора по ортам
Действия над векторами, заданными в координатной форме
Вектор – основные определения
Операции над векторами и их свойства
Сформулируем и докажем ещё одну важную для решения некоторых задач теорему.
Координаты вектора
Скалярное произведение векторов и его свойства
Векторы и их решение
Собственные числа и собственные векторы
Векторная алгебра
Векторы: основные определения, линейные операции
Линейные операции над векторами
Умножения вектора на скаляр
Основные свойства проекции вектора на ось
Прямоугольная система координат в пространстве. Координатная и алгебраическая формы задания векторов
Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
Векторное произведение двух векторов
Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме
Простейшие задачи аналитической геометрии
Задача об определении площади треугольника
Задача о деление отрезка в заданном отношении

Векторы

В математике вектором называют величину, которая характеризуется только числом и направлением. Так определённые векторы ещё называют свободными векторами. Примером физических величин, которые имеют векторный характер являются скорость, сила, ускорение. Геометрически вектор — это направленный отрезок, хотя правильней говорить про целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковые длину и направление.

Векторы обозначают малыми латинскими буквами с чертой сверху , или двумя большими латинскими буквами, которые обозначают его начало и конец, например . Длина (модуль) вектора — это длина отрезка, который отвечает данному вектору и обозначается В зависимости от соотношения длин и направлений различают следующие виды векторов:

Действия над векторами

Рассмотрим основные действия, определённые над векторами.

1. Сложение векторов. Суммой векторов называют вектор , который соединяет начало вектора с концом вектора , при условии, что вектор отложен от конца вектора . Такой способ сложения векторов называют правилом треугольника.

Учитывая, что , то найти сумму векторов можно также по так называемым “правилом параллелограмма” (рис. 3)

Вычитание векторов сводится к сложению противоположного вектора

Запишем основные свойства действий сложения векторов:

Заметим, что сумма нескольких векторов находится последовательным сложением двух из них, например:

Геометрически сумма нескольких векторов находится их последовательным отложением один за одним так, чтоб начало следующего совпадало с концом предыдущего. Суммой является вектор, который будет соединять начало первого с концом последнего (рис. 4). Если такая последовательность векторов даёт замкнутую ломаную то суммой векторов является (рис. 5).

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называют вектор , для которого выполняются условия:

а) ;

б) , причём сонаправленные если противоположно направленные, если . Отсюда, очевидно, что необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является соотношение .

Запишем основные свойства действий умножения вектора на число:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением или векторов и называют выражение , где угол, который образуют векторы. Отметим, что углом между векторами считают угол между их направлениями. Если хотя бы один из векторов равен , то их скалярное произведение считают равным нулю.

Очевидно, что скалярное произведение двух ненулевых векторов будет равно нулю тогда и только тогда когда эти вектора перпендикулярны (ортогональны). Действительно, если . Но , следовательно,

Наоборот, если и согласно определениям

Например, скалярное произведение будет равным

Запишем основные свойства действий скалярного умножения векторов:

Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который удовлетворяет условия:

1) модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними

2) вектор перпендикулярный к плоскости, которая определяется векторами и (рис. 5).

3) вектор направленный так, что кратчайший поворот вектора к вектору видно с конца вектора таким, что происходит против движения стрелки (то есть вектора , и образуют правую упорядоченную тройку, или правый руль).

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и . Векторное произведение выражается формулой , где площадь параллелограмма построенного на векторах и , единичный вектор направления .

Приведём основные свойства векторного произведения:

1) векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарные, или один из них нулевой;

2) от перестановки местами векторов-сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный: (векторное произведение не имеет свойств перестановки);

3) (распределительный закон);

4) (соединительный закон).

Физическое содержание векторного произведения такое. Если сила, а радиус-вектор точки её приложения, которая имеет начало в точке , то моментом силы относительно точки является вектор, который равен векторному произведению на , то есть .

Смешенное произведение векторов

Смешенным произведением векторов называют скалярное произведение вектора на вектор . Смешенное произведение обозначают (), поэтому по определению имеем

Как результат скалярного произведения векторов и смешенное произведение является скалярной величиной (числом). Геометрически смешенное произведение — это объём параллелепипеда, построенного на эти векторах, взятый со знаком плюс, если векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, когда эта тройка левая (рис. 7).

Действительно, , где угол между векторами угол между векторами и .

Объём V параллелепипеда, построенного на векторах равный произведению площади основы S на высоту h.

Однако, знак смешенного произведения совпадает со знаком , то есть он положительный, когда угол острый ( образуют правую тройку векторов) и отрицательный, когда угол тупой ( образуют левую тройку векторов). Поэтому:

Из геометрического содержания смешенного произведения выходит, что

1) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда перемноженные вектора копланарные (условие компланарных векторов);

Учитывая коммутативность скалярного произведения и антикоммутативность векторного, для произвольных векторов имеем

Пример 1.

Доказать, что когда М — точка АВС и О — произвольные точки пространства, то выполняется равенство:

Решение.

Пусть медиана треугольника АВС. По свойствам медиан треугольника Применив к векторам и формулу вычитания векторов

тогда

Пример 2.

У прямоугольного параллелепипеда рёбра , имеют длину 2, 3, 5. Вычислить длины отрезков и и угол между прямыми и .

Решение.

Пусть единичные вектора направленные вдоль рёбер, которые рассматриваются. Тогда (поскольку параллелепипед прямоугольный).

рис. 9.

Далее,

Этим закончен “перевод” условия задачи на “язык” векторов.

Теперь произведём вычисления с векторами:

Наконец “переводим” полученные вектора равенства снова на “геометрический язык”. Поскольку аналогично .

Далее поскольку , где угол между данными векторами то , отсюда получаем . Теперь с помощью тригонометрических таблиц находим значения угла .

Разложение вектора по базису

Базисом на площади называют упорядоченную пару неколлинеарных векторов и точку отсчёта.

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам и , то есть представить в виде: .

Доказательство.

Пусть векторы компланарные и векторы и неколлинеарные. От точки О отложим все три вектора и на продолжении векторов и построим параллелограмм ONCM так, чтобы вектор был его диагональю.

Тогда по правилу параллелограмма .

Но , как коллинеарные векторы. Следовательно, вектор.

Числа, которые стоят при базисных векторах в разложении вектора за двумя неколлинеарными векторами называют координатами вектора в данном базисе и обозначают .

Соответственно в пространстве базисом называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов и точки отсчёта. Для четырёх некомпланарных векторов справедлива следующая теорема.

Теорема. Любой вектор в пространстве можно разложить по трём некомпланарным векторам , и , то есть представить в виде: .

Доказательство.

От точки О отложим векторы и на продолжении векторов построим параллелограмм

в котором вектор является диагональю. Как видим

Числа х,у,z которые стоят при базисных векторах в разложении вектора по трём некомпланарным векторам называют координатами вектора в пространстве и обозначают . Если базисные вектора взаимно перпендикулярны (их обозначают ), то вместе с точкой отсчёта они образуют декартовую систему координат, а координаты вектора в таком базисе называют декартовыми координатами. В декартовой системе координат разложение вектора будет иметь вид . Если началом вектора является точка , а концом — точка , то координаты вектора вычисляют как разность соответствующих координат точек А и В,

Отсюда легко установить длину вектора как расстояние между двумя точками:

Действия над векторами, заданными своими координатами

1. При сложении двух, или более векторов их соответствующие координаты складываются:

Действительно:

2. При вычитании векторов соответствующие координаты вычитаются:

Доказательство аналогично предыдущему.

3. При умножении вектора на число все координаты умножаются на это число.

Правда, для вектора и числа имеем:

4. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

Правда:

Поскольку выполняется Следовательно, мы можем записать

5. Векторное произведение векторов заданных своими координатами вычисляется так:

6. Смешенное произведение трёх векторов равняется:

Пример 1.

Зная координаты векторов , найти координаты векторов .

Решение:

Ответ: .

Пример 2.

Зная координаты векторов вычислить координаты вектора .

Решение.

Ответ: .

Пример 3.

Зная координаты векторов вычислить:

а) скалярное произведение векторов

б) векторное произведение векторов

в) смешенное произведение векторов .

Решение.

Ответ:

На основании приведённых выше формул действий над векторами можно установить следующие условия и соотношения для нулевых векторов

1. Угол между векторами.

2. Условие перпендикулярности двух векторов:

(векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю).

3. Условие коллинеарности двух векторов: (векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда соответствующие их координаты пропорциональны).

4. Условие компланарности трёх векторов.

(три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешенное произведение равно нулю).

5. Деление отрезка АВ в заданном отношении.

Если точка делит отрезок АВ в отношении , то координаты точки М находят по формуле:

Если точка М делит отрезок АВ на пополам то , и координаты точки находят согласно формуле:

Действия над векторами (теория)

а) Произведение вектора на число.
Определение 1. Произведением вектора на число λ называется вектор ,
который имеет длину и направление его совпадает с направлением вектора если λ > 0, и противоположно ему, если λ < 0 (рис.12).

Рис. 12.

Условие (2.6)
является условием коллинеарности двух векторов.

б) Сложение векторов.

Определение 2. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника) (рис.13).

Рис. 13.

Понятно, что вектор в этом случае является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (правило параллелограмма) (рис.13).
Для векторной суммы справедливый переместительный закон

Легко убедиться, что для векторной суммы имеет место соединительный
закон .
Исходя из определения 2, легко находим сумму, например, четырех векторов (рис. 14).

Рис. 14.
Вектор соединяет начало первого вектора с концом вектора (правило многоугольника).

в) Вычитание векторов.
Действие вычитание векторов можно рассматривать как обратное действие относительно сложения векторов.

Определение. Разностью называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор (рис. 15), т.е.

Рис. 15.

Как видно из рис. 15, одна диагональ является суммой , а вторая диагональ является разностью векторов и .
Дадим еще одно определение разности векторов.

Определение. Разностью двух векторов и , которые имеют общее начало, называется вектор , который соединяет концы этих векторов и направлен в сторону уменьшаемого.

Проекция вектора на ось

Пусть имеем произвольную ось l на плоскости и некоторый вектор (рис. 16).

Рис. 16.

Опустим из начала A вектора и из конца B перпендикуляры на ось l. Основаниями перпендикуляров будут точки A₁ и B₁, которые называются проекциями точек A и B.

Величина A₁B₁ называется проекцией вектора на ось l и обозначается , то есть .
Определение 1. Проекцией вектора на ось l называется величина отрезка A₁B₁, взята со знаком плюс, если направление отрезка A₁B₁совпадает с направлением оси l, и с знаком минус, если направления противоположные.

Из точки A проведем прямую, параллельную оси l, которая пересечет отрезок BB₁ в точке C. Вектор образует с осью l угол φ. Величина отрезка AC равна величине отрезка A₁B₁, а тогда из Δ ABC находим
или (2.7)

Определение 2. Проекция вектора на любую ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между осью и вектором.

Если угол φ острый, то проекция — положительное число, а если угол φ тупой, то проекция — отрицательное число.

Свойства проекций.

1. Если векторы и равны, то величины их проекций на одну и ту же ось l также равны, то есть: .
2. Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось, то есть:

3. Проекция разности двух векторов на ось l равна разности величин проекций на ту же ось, то есть:

4. Если вектор умножен на любое число λ, то величина проекции вектора на ось l также умножится на число λ, то есть:

Проекции вектора на оси координат

Рассматривается прямоугольная система координат Oxyz в пространстве и произвольный вектор .
Пусть
Проекции x, y, z вектора   на координатные оси называют координатами вектора и записывают .
Если заданы две точки A (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂), то координаты вектора  находятся по формулам
x = x₂ – x₁, y = y₂– y₁, z = z₂ – z₁.

Рис. 17

Действительно, проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные оси Ox и обозначим точки их пересечения соответственно A₁ и B₁ (рис.17). Точки A₁ и B₁ имеют на оси Ox координаты x₁и x₂, но на основе формулы (2.1), а потому
x = x₂ – x₁ . Аналогично доказывается, что y = y₂– y₁, z = z₂ – z₁.

Направляющие косинусы вектора

Пусть имеем вектор и будем считать, что он выходит из начала координат и не находится ни в одной координатной плоскости.

Рис. 18

Через точку M проведем плоскости, перпендикулярные к осям координат, и вместе с координатными плоскостями они образуют параллелепипед, диагональ которого — отрезок OM (рис.18). Через α, β, γ обозначим углы, которые образует вектор с осями координат. Величины cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора . Координаты вектора .

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов длин трех его измерений.
Поэтому
или
(2.8)
Формула (2.8) выражает длину вектора через его координаты. Тогда на основе формул (2.7) и (2.8) получим

Отсюда для направляющих косинусов получаем

(2.9)

Для направляющих косинусов справедливо равенство (это вытекает из (2.9)).

Разложение вектора по ортам

Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве и вектор, начало которого в точке O (рис.19) .

Рис. 19.

Обозначим орты осей координат Ox, Oy, Oz соответственно через , причем

Спроецируем вектор на координатные оси (через точку M проведем плоскости, перпендикулярные координатным осям). Проекциями точки M на координатные оси будут соответственно точки А, В, С (рис.19).

Из прямоугольника ODMC видно, что вектор , но из прямоугольника AOBD получаем, что вектор  .
Тогда
(2.10)
Вектор , который соединяет точку O с точкой M (x, y, z) называется радиусом-вектором этой точки.
Векторы называются составными или компонентами вектора , а их величины OA = x, OB = y, OC = z  координатами этого вектора. Компоненты вектора выразим через его координаты и единичные векторы , а именно .
Подставляя эти значения в равенство (2.10), учитывая, что  , получим
(2.11)

Слагаемые являются составными или компонентами вектора .
Тройка векторов называется координатным базисом, а разложение (2.11) называется разложением вектора по базису . Это основная формула векторной алгебры.

Пример 1. Построить вектор .

Рис. 20.

Решение. Компоненты вектора являются и , и им
соответствует прямоугольный параллелепипед, диагональ которого является искомый вектор (рис. 20).

Действия над векторами, заданными в координатной форме

Если векторы заданы в координатной форме, то действия сложения, вычитания, умножения вектора на число можно заменить простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по таким правилам.

Правило 1. При сложении векторов их одноименные координаты складываются

Пусть имеем векторы и . Найдем . Запишем разложение векторов и . Тогда .
Сложив эти равенства, получим
.
Итак, координаты вектора будут

Правило 2. Чтобы отнять от вектора вектор нужно вычесть из координат вектора соответствующие координаты вектора , то есть

Правило 3. Чтобы умножить вектор   на число λ, нужно каждую из его координат умножить на это число. То есть, если
то  .
Пример 1. Найти вектор  , если
Решение. Выполним действия последовательно и найдем

.
Значит,

Вектор – основные определения

Определение вектора в пространстве ничем не отличается от определения вектора на плоскости.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Так же как и на плоскости, векторы обозначаются и т. п. и на чертеже изображаются стрелкой.

Определение 2. Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка а направление, определяемое лучом называется направлением вектора

Длина вектора обозначается длина вектора обозначается

Любая точка пространства также считается вектором, который называется нулевым. Начало такого вектора совпадает с его концом, а длина равна нулю. Обозначения нулевого вектора:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определение 3. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если ненулевые векторы и лежат на параллельных прямых (следовательно, в одной плоскости), причём лучи лежат в одной полуплоскости, границей которой является прямая то векторы и называются сонаправленными в случае же, когда эти векторы принадлежат одной прямой, они называются сонаправленными, если один из лучей или целиком содержится в другом. Нулевой вектор будем считать сонаправленным с любым вектором в пространстве.

Ясно, что сонаправленные векторы, в силу их определения, коллинеарны. Если два коллинеарных вектора не сонаправлены, то они называются противоположно направленными. Обозначения остаются обычными: (векторы и сонаправлены), (векторы и противоположно направлены).

Определение 4. Векторы и называются равными, если и (т.е. если векторы сонаправлены и их длины равны).

Теорема 1. От любой тонки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей планиметрической теоремы.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Операции над векторами и их свойства

Операции над векторами в пространстве аналогичны соответствующим операциям на плоскости.

Пусть даны два вектора и В силу теоремы 1 от произвольной точки пространства можно отложить вектор а от точки — вектор Тогда вектор называется по определению суммой векторов и а описанное правило построения суммы двух векторов — правилом треугольника (рис. 1).

Теорема 2. Сумма векторов и не зависит от выбора точки от которой при сложении откладывается вектор (Докажите эту теорему самостоятельно.)

Правило треугольника можно сформулировать и так: для любых трёх точек пространства выполняется равенство

Кроме того, сумму двух неколлинеарных векторов с общим началом можно построить и по правилу параллелограмма: где — вектор, модуль которого_равен длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах причём вектор откладывают от той же точки, что и векторы (рис. 2).

Все свойства операции сложения векторов, справедливые на плоскости, остаются справедливыми и в пространстве:

2) — коммутативность (переместительный закон);

3) — ассоциативность (сочетательный закон).

Здесь — произвольные векторы в пространстве.

Определение 5. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и эти векторы противоположно направлены.

Вектор, противоположный данному ненулевому вектору обозначается

Определение 6. Разностью двух векторов и называется вектор такой, что его сумма с вектором равна вектору

Разность векторов и обозначается Таким образом, по определению если

Разность векторов и можно найти по формуле (рис. 3) (докажите эту формулу самостоятельно). Замечание. Так же как и на плоскости, для сложения нескольких векторов в пространстве можно использовать правило многоугольника (рис. 4), только в последнем случае этот многоугольник будет пространственным (т.е. не все векторы, его составляющие, лежат в одной плоскости).

Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от порядка слагаемых.

Умножение (произведение) вектора на число и его свойства, так же как и свойства операции сложения, не претерпевают изменений и в пространстве.

Определение 7. Произведением ненулевого вектора на действительное число называется вектор длина которого равна произведению длины вектора на модуль числа причём вектор сонаправлен с вектором при и противоположно направлен вектору при

Таким образом, по определению, если причём при Ясно, что векторы коллинеарны. Если же или то

Свойства умножения вектора на число не отличаются от аналогичных свойств на плоскости:

— ассоциативность (сочетательный закон);
—дистрибутивность относительно сложения векторов (1-й распределительный закон);
— дистрибутивность относительно сложения чисел (2-й распределительный закон).

Здесь и — произвольные векторы, — произвольные действительные числа.

Справедлива также и лемма о коллинеарных векторах: если векторы и коллинеарны и то существует такое действительное число

что (ясно, что если

Сформулируем и докажем ещё одну важную для решения некоторых задач теорему.

Теорема 3. Пусть где — некоторое действительное число, отличное от -1, тогда точки принадлежат одной прямой. Для произвольной точки пространства справедливо равенство:

Доказательство

1. Из равенства следует, что векторы коллинеарны, и так как — общая точка прямых и эти прямые совпадают, поэтому точки принадлежат одной прямой.

2. Пусть — произвольная точка пространства. Тогда и поскольку откуда Поделив обе части последнего равенства на приходим к формуле (1). Теорема доказана.

З. Компланарные и некомпланарные векторы

Следующее понятие уже не имеет аналога в планиметрии.

Определение 8. Векторы называются компланарными, если лучи, задающие их направления, параллельны некоторой плоскости.

Замечание. Из определения 8 следует, что при откладывании от одной точки векторов, равных нескольким данным компланарным векторам, получим векторы, лежащие в одной плоскости. Таким образом, компланарные векторы лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Очевидно, что любые два вектора компланарны и любые три вектора, два из которых коллинеарны, также являются компланарными (поясните). Рассмотрим теперь условия, при которых три вектора, из которых никакие два не коллинеарны, являются компланарными.

Теорема 4. Векторы из которых никакие два не коллинеарны, являются компланарными в том и только том случае, если существуют такие действительные числа и что

(иными словами, векторы являются компланарными в том и только том случае, если один из них можно выразить через два других, или, как говорят, разложить по двум другим).

Доказательство

1. Пусть векторы компланарны. Докажем, что для них имеет место равенство (5). Отложим от произвольной

точки векторы Векторы лежат в одной плоскости (см. замечание). Проведём через точку прямую до пересечения с прямой в точке и прямую до пересечения с прямой в точке (см. рис. 8). Так как векторы коллинеарны, по лемме о коллинеарных векторах (см. §1.2) существуют такие действительные числа и что Но по правилу параллелограмма откуда Обратно, пусть выполнено равенство (5).

Докажем, что векторы компланарны. Векторы при откладывании от одной точки определяют некоторую плоскость. Согласно правилу параллелограмма и равенству (5) вектор принадлежит той же плоскости, откуда следует, что векторы и а значит, и векторы компланарны. Теорема доказана.

Отложим от произвольной точки пространства векторы где — три данных некомпланарных вектора, и рассмотрим параллелепипед построенный на векторах (рис. 9). Тогда сумму векторов можно найти следующим образом: Это правило сложения трёх некомпланарных векторов называется правилом параллелепипеда.

Если векторы не являются компланарными и для вектора имеет место равенство где — некоторые действительные числа, то говорят, что вектор разложен по трём некомпланарным векторам

а числа называются коэффициентами разложения.

Следующая теорема, называемая теоремой о разложении вектора по трём некомпланарным векторам, является основной во всей элементарной (школьной) векторной алгебре.

Теорема 5. Любой вектор пространства можно разложить по трём данным некомпланарным векторам причём коэффициенты разложения определятся единственным образом. Доказательство. 1. Если векторы и коллинеарны, то и теорема доказана.

2. Пусть векторы и не коллинеарны. Отложим от произвольной точки пространства векторы (рис. 10). Проведём через точку прямую до пересечения с плоскостью в точке Через точку в плоскости проведём прямую до пересечения с прямой в точке (в частности, если то точка совпадает с точкой Согласно правилу многоугольника но векторы по построению коллинеарны, поэтому в силу леммы о коллинеарных векторах где — некоторые действительные числа Таким образом, учитывая, что приходим к равенству

3. Докажем теперь, что разложение вектора по данным векторам единственно. Допустим, что это не так, т.е. существует ещё одно разложение в котором хотя бы один коэффициент не равен соответствующему коэффициенту в полученном нами разложении. Пусть, например, Вычтем последнее равенство из предпоследнего.

Тогда отсюда – т. е. векторы компланарны, что противоречит условию теоремы. Значит, наше допущение о ещё одном разложении неверно, т.е. разложение вектора по данным векторам единственно. Теорема доказана.

Итак, любой вектор пространства можно разложить по трём данным некомпланарным векторам причём единственным образом. Заданную тройку некомпланарных векторов называют базисом, сами векторы — базисными векторами, а разложение вектора по векторам называют разложением по данному базису

Координаты вектора

Так же как и на плоскости, в пространстве помимо координат точки вводятся координаты вектора. Рассмотрим три попарно перпендикулярных вектора отложенных от некоторой точки пространства, таких, что (например, их можно направить по рёбрам единичного куба). Эти векторы, очевидно, не являются компланарными. Поэтому, в силу теоремы 5, любой вектор можно разложить_по векторам причём единственным образом: Введём прямоугольную систему координат с началом в точке так, чтобы направления осей совпали_с направлениями векторов соответственно. Тогда векторы называются единичными векторами осей координат, а числа — координатами вектора в системе координат (обозначения:

Свойства векторов пространства, заданных своими координатами, аналогичны соответствующим свойствам векторов на плоскости:

Два вектора равны в том и только том случае, если равны их координаты.
Координаты суммы (разности) двух векторов равны суммам (разностям) соответствующих координат этих векторов, т.е. для векторов получаем
При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, т.е. для вектора и действительного числа получаем

Докажем, например, свойство 2. Так как то, согласно свойствам сложения векторов и умножения вектора на число, т. е. вектор имеет координаты что и требовалось доказать. Остальные свойства доказываются аналогично.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение скалярного произведения векторов и в пространстве ничем не отличается от аналогичного определения для векторов на плоскости.

Определение 11. Скалярным произведением векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними (обозначение: Таким образом, по определению,

Теорема 8. Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т. е.

Доказательство этой теоремы вытекает из формулы (9).

Определение 12. Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение Скалярный квадрат обозначается т.е. по определению

Так как то

Таким образом, длина вектора равна квадратному корню из его скалярного квадрата.

Замечание. Скалярное произведение есть число, поэтому грубой ошибкой явилась бы запись:

Если векторы и заданы своими координатами: то скалярное произведение может быть выражено через их координаты.

Теорема 9. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответственных координат, т. е.

Доказательство. Отложим от произвольной точки пространства векторы При этом, как мы знаем, соответствующие координаты векторов и а также и будут равны, а угол По теореме косинусов для треугольника получим

итак как имеем откуда Но

поэтому

Решение любой геометрической задачи на вычисление сводится, в сущности, к нахождению величин двух типов: расстояний и углов. Если в пространстве задан некоторый базис (в частности, прямоугольный), т. е. тройка некомпланарных векторов, то на основании теоремы 5 любой вектор пространства можно разложить по векторам этого базиса, причём единственным образом.

Если известны длины векторов, образующих базис, углы между ними и разложение некоторого вектора по векторам этого базиса, то, используя свойства скалярного произведения, можно определить длину такого вектора и угол, образуемый им с любым другим вектором, разложение которого по векторам этого базиса известно.

Таким образом, векторы позволяют находить решения довольно широкого класса геометрических задач, а умение определять разложение вектора по базисным векторам является важнейшим фактором их решения.

Для решения задач о разложении вектора по трём данным некомпланарным векторам, разумеется, необходимо, помимо теоремы 5, знание предшествующего ей материала.

Примеры с решением

Задача 1.

Основанием четырёхугольной пирамиды является параллелограмм Точки и — середины рёбер и соответственно. Найдите разложение векторов по векторам

Решение (см. рис. 14).

1. но поэтому

2. Так как — середина но (см. следствие 1 теоремы 3), поэтому

Ответ:

Заметим, что в разложении вектора по векторам коэффициент разложения при векторе равен нулю, а это означает, в силу теоремы 4, что векторы компланарны. Если заранее «увидеть», что где — середина (отсюда то разложение вектора можно было бы найти проще. Но векторный метод тем и хорош, что, даже не обладая развитым пространственным воображением, а лишь зная основные определения и теоремы, можно получить правильный ответ (пусть и не всегда самым оптимальным путём)!

Задача 2.

Пусть — точка пересечения медиан треугольника — произвольная точка пространства. Найдите разложение вектора по векторам

Решение (см. рис. 15). Пусть — середина ребра Так как — точка пересечения медиан треугольника точки принадлежат одной прямой, причём, в силу теоремы о точке пересечения медиан треугольника, Согласно следствию I теоремы 3 Тогда

Ответ:

Векторы и их решение

Вектором называется направленный отрезок. Направление отрезка показывается стрелкой. Различают начало и конец отрезка.

Два вектора называются равными между собой, если каждый из них можно получить параллельными перенесениями другого.

Равные векторы являются параллельными (колинеарными), имеют одно и то же направление и одинаковую длину. Длина вектора называется абсолютной величиной или модулем вектора и обозначается

Вектор называется нулевым (ноль- вектором), если он имеет нулевую длину, то есть его конец сходится с началом.

Чтобы найти сумму двух векторов и совместим начало вектора с концом вектора .

Суммой векторов и называется вектор, начало которого сходится с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 1.1).

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Для складывания векторов имеют место такие законы:

1) переставной (коммутативный)

2) связующий

3) для каждого вектора существует противоположный такой, что

5) для некоторых двух векторов и выполняются неравенства:

Если вектор образует угол с осью (рис. 1.2), то проекцию вектора на ость называется величина

Пусть вектор имеет начало в точке а конец – в точке Тогда величины являются проекциями вектора на оси Проекции вектора однозначно определяют вектор. Потому имеет место равенство

Если вектор то проекция суммы векторов

Произведением вектора на число называется вектор длина которого равна Умножение вектора на число имеет свойство ассоциативности и дистрибутивности, то есть для произвольных чисел и векторов и справедливы равенства:

Любой вектор можно записать в виде

где – единичные векторы, называются компонентами вектора (рис. 1.3) .

Пример 1.73

Даны два вектора: и

Найти вектор

Решение

Признаком колинеарности двух векторов и является пропорциональность их координат:

Скалярным произведением двух векторов и называется число которое равно произведению их модулей на косинус угла между ними:

Скалярное произведение можно записать в таком виде:

Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Учитывая формулы (1.18) и (1.19), можно найти косинус угла между векторами и :

Отсюда получается условие перпендикулярности двух векторов: если и или в координатной форме:

Среди свойств скалярного произведения отметим так:

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор который имеет такие свойства:

1) длина вектора равна произведению длин сомножителей на синус угла между ними:

2) вектор перпендикулярный к векторам и

3) из конца вектора кратчайший поворот от к является таким, что происходит против часовой стрелки (рис. 1.4).

Заметим, что а модуль векторного произведения равен плоскости параллелограмма, построенного на векторах и , если у них общее начало.

В координатной форме векторное произведение векторов и можно записать в виде:

Смешанным или скалярно – векторным произведением трех векторов называется векторное произведение векторов и , скалярно умноженный на вектор то есть

Если векторы – компланарны, то есть расположены в одной плоскости или на параллельных плоскостях, то их смешанное произведение равно нулю.

Если известные координаты сомножителей то смешанное произведение вычисляется по формуле:

Если три ненулевых разложены в одной плоскости (компланарны), то из смешанное произведение

Следует, в координатной форме условие компланарности трех ненулевых векторов имеет вид:

Решение примеров:

Пример 1.74

Заданы координатами точек и Найти:

1) вектор если

2) угол между векторами и

3) координаты вектора

4) объем пирамиды с вершинами в точках

Решение

1) По формуле (1.14) находим

тогда

2) Косинус угла между векторами и вычислим по формуле (1.20):

Поскольку косинус угла отрицательный, то угол тупой.

3) Координаты векторного произведения находим по формуле (1.22):

4) Чтобы найти объем пирамиды, найдем сначала смешанное произведение векторов, что выходят из одной вершины пирамиды:

Тогда объем пирамиды

Собственные числа и собственные векторы

Вектор – столбец называется собственным вектором квадратной матрицы – ого порядка, что соответствует собственному значению если он удовлетворяют матричному уравнению или

Тут – единичная матрица – ого порядка, а – нулевой вектор – столбец. При условии, что получим характеристическое уравнение для определения собственных значений

Координаты собственного вектора что соответствуют собственному значению является решением системы уравнений:

Собственный вектор обозначаются с точностью к постоянному множителю.

Решение примеров:

Пример 1.90.

Обозначить собственные определения и собственные векторы матрицы

Решение. Характеристические уравнения данной матрицы имеет вид (1.24):

или

отсюда получается, что матрица имеет два собственных значения и Собственный вектор что соответствует обозначаются с системой уравнений вида (1.25)

или

которое приводится к одному уравнению

Возьмем получим решение в виде

Следует, первый собственный вектор является

Второй вектор что соответствует собственному значению определяется из системы уравнений вида (1.25)

Эта система уравнений так же приводится к одному уравнению положив запишем ее решение в виде Следует, второй собственный вектор:

Таким образом, матрица имеет два разных определения и и два собственных вектора, равных и (с точностью к постоянному множителю).

Пример 1.91

Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

Решение. Характеристическое уравнение

Раскрыв определитель получим:

Корень – кратный, показатель кратности корень – простой,

Система уравнений для определения собственных векторов имеет вид:

Последовательно подставим и в записанную систему:

Фундаментальная система уравнений получается, если свободным переменным последовательно дать значения

Получили два линейно независимые собственные векторы. Вся совокупность векторов, что соответствуют собственному значению имеет вид:

Фундаментальная система решений получается, если взять

Векторная алгебра

Понятие «вектор» (от лат. vector – носитель), как отрезка, имеет определенную длину и определенное направление, впервые появилось в работах по построению числовых систем в ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805-1865). Это понятие связано с объектами, которые характеризуются величиной и направлением, например, скорость, сила, ускорение. При этом скорость можно понимать в широком смысле: скорость изменения издержек производства, доходов, спроса, потребления и предложения и др. Вектор может указывать направление наибольшего возрастания или убывания функции, описывающей различные экономические процессы. Векторы, рассмотренные в данном разделе, является частным случаем -мерных векторов: они предполагают геометрическую интерпретацию, потому что принадлежат к векторным линейных пространств размерности

Для графического изображения решения экономических задач на плоскости и в пространстве применяются средства аналитической геометрии. Аналитическая геометрия – математическая наука, объектом изучения которой являются геометрические фигуры, а предметом – установление их свойств средствами алгебры с помощью координатного метода. Теоретической базой этой науки является частично известна из школы векторная алгебра.

Основателем метода координат и, вместе с тем, аналитической геометрии является Рене Декарт (1596-1650) – французский философ, математик, физик и физиолог. Его именем и названа известная «декартова прямоугольная система координат», которая позволяет определить положение фигуры на плоскости и тела в пространстве.

После изучения данной темы вы сможете:

● использовать инструмент векторной алгебры для геометрического изображения и анализа объектов экономических процессов;
● применять уравнение прямой линии на плоскости для геометрической интерпретации зависимости между функциональному признаку и аргументом, что на нее влияет;
● применять уравнение кривых второго порядка при построении нелинейных математических моделей экономических задач;
● осуществлять геометрическую интерпретацию решений экономических задач с помощью поверхностей и плоскостей.

Векторы: основные определения, линейные операции

Выберем на произвольной прямой (в или в ) отрезок и укажем, которую из точек или считать начальной (началом отрезка), а какую – конечной (концом отрезка). Конец отрезка обозначают стрелке и говорят, что на отрезке задано направление. Отрезок с заданным на нем направлением, или коротко – направленный отрезок, называется вектором. Вектор обозначается символом или строчными буквами латинского
алфавита с чертой: и др. (Рис. 6.1).

Рис. 6.1

В применимых задачах естественных наук существенным является обстоятельство – где, в какой точке находится начало вектора. Например, результат действия силы зависит не только от ее величины и направления действия, но и от того, в какой точке она прикладывается.

Вектор, для которого фиксированная (не фиксирована) начальная точка называется связанным (свободным). Векторы, которые применяются в экономических задачах, как правило, не являются связанными, поэтому в дальнейшем будем рассматривать преимущественно свободные векторы

Длиной, или модулем, вектора называется длина соответствующего отрезка и обозначается одним из символов:

Нулевым вектором 0, или ноль-вектором, называется вектор, длина которого равна нулю, а направление его считается произвольным (неопределенным).

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Равными векторами называются векторы, которые принадлежат одной прямой или параллельным прямым, одинаково направлены и имеют равные длины.

Взаимно противоположными называются векторы, которые принадлежат одной прямой или параллельным прямым, имеют равные длины, но противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору , обозначают символом .

Коллинеарными называют векторы, которые принадлежат одной прямой или параллельным прямым.

Компланарными называются векторы, которые принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям.

Линейные операции над векторами

Будем считать, что векторы принадлежат одни плоскости. Осуществляя параллельный перенос одного из векторов , совместим начало вектора с концом вектора (или наоборот) и по отрезками, соответствующие векторам, как по двум сторонам, построим треугольник (рис. 6.2 а).

1. Суммой векторов называется вектор , который определяется третьей стороной треугольника, с началом в начале вектора . Порядок построения суммы двух векторов по этому определению называют правилом треугольника.

Параллельный перенос можно осуществить и так, что объединятся начала векторов и , тогда на векторах как на сторонах построим параллелограмм (рис. 6.2 б), и придем к известному из школьного курса алгебры правилу параллелограмма.

Рис. 6.2

Правило треугольника обобщается на произвольное конечное число векторов. Если параллельным переносом расположить векторы так, что конец предыдущего вектора (начиная с первого) является началом следующего, то результирующим будет вектор, соединяющий начало первого вектора слагаемого с концом последнего (рис. 6.3):

Рис. 6.3

Соответствующее правило называют правилом многоугольника.
Свойства суммы векторов:
1) переставная, или коммутативна:

2) соединительная, или ассоциативная:

Разницу можно рассматривать как сумму вектора с вектором, противоположным вектору

Умножения вектора на скаляр

Пусть – некоторое действительное число . Произведением вектора со скаляром называется вектор , модуль которого равен произведению модулей , а направление совпадает с направлением , если , или противоположно направлению , если (рис. 6.4):

Рис. 6.4

При вектор превращается в ноль-вектор .
Свойства умножения вектора на скаляр:
1) переставной или коммутативных закон:

где

2) соединительный, или ассоциативный закон:

где

3) распределительный или дистрибутивный закон:

где

Из определения умножения вектора на скаляр следует необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда каждый из них является произведением другого из скаляром:

Известно, что три ненулевые векторы и компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией двух других:

компланарны

Рассмотрим понятие, имеет очень важное значение в теории векторов – проекции вектора на ось (прямую, имеет направление; заданное направление считать положительным, противоположное направление – отрицательным).

Компонентой вектора относительно оси называют вектор, начало которого является проекцией начала вектора на ось , а конец – проекцией конца вектора на ось (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Проекцией вектора на ось называют скаляр, равный длине компоненты вектора относительно оси со знаком , если направление компоненты совпадает с направлением оси , или со знаком , если ее направление противоположно направлению оси:

Основные свойства проекции вектора на ось

1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора с косинусом угла между вектором и осью:

2. Проекция суммы двух векторов на эту ось равна сумме их проекций на эту ось:

Это свойство обобщается на любое конечное число векторов.

3. Проекция на ось произведения вектора со скаляром равна произведению со скаляром проекции самого вектора на ось:

Прямоугольная система координат в пространстве. Координатная и алгебраическая формы задания векторов

Пусть в трехмерном векторном пространстве задана прямоугольная декартова система координат , что определяется тремя взаимно перпендикулярными числовыми осями – осями, на которых указано масштаб (единицу длины) – с общей точкой – началом координат (рис. 6.6).

Рис. 6.6

Выберем в пространстве произвольную точку и соединим ее отрезком прямой с началом координат . Вектор , началом которого является начало координат , а концом данная точка , называется радиусом-вектором точки . Отметим, что радиусы-векторы точек пространства являются связанными векторами.

Под декартовыми прямоугольными координатами точки понимают проекции ее радиус-вектора на оси

Точка с координатами обозначается через . Вектор каждой точки пространства (кроме точки ) определяет прямоугольный параллелепипед с диагональю, что является отрезком, на котором построено вектор (рис. 6.6).

Измерениями параллелепипеда есть модули координат точки . Длина диагонали параллелепипеда определяется по формуле:

Углы , которые образованы радиусом-вектором с координатными осями называются его направляющими углами.

откуда:

Косинусы направляющих углов называются направляющими косинусами радиус-вектора . С (6.4) получаем свойства:
1) направляющие косинусы являются координатами единичного радиус-вектора:

2) сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице:

Понятие «координата», «направляющие углы», «направляющие косинусы» без изменений переносятся на любые свободные векторы, потому начало каждого из них параллельным переносом можно поместить в начало , дает радиус вектор определенной точки.

Координатами любого вектора в пространстве называются его проекции на оси координат. Они обозначаются символами и пишут: или , где согласно определению координат:

Задача вектора тройкой его координат , называют координатной формой задачи.

Для единичных векторов , расположенных соответственно на осям , имеем:

Длина произвольного вектора и его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Найти длину и направляющие косинусы вектора

По формулам (6.5) имеем:

Установим связь между координатами вектора – числами – и его компонентами – векторами – с помощью единичных векторов (рис. 6.7).

Рис. 6.7

Компонентами вектора относительно координатных осей являются векторы (рис. 6.7). Согласно операции сложения векторов по правилу многоугольника получаем:

Следовательно, любой вектор в трехмерном пространстве является суммой трех его компонент относительно координатных осей:

Изображение вектора с в виде суммы произведений координат с единичными векторами (ортами) называют алгебраической формой задания вектора.

Согласно свойствами операций над векторами, алгебраическая форма задания дает возможность установить результаты действий над векторами, заданными в координатной форме.
1. При добавлении (вычитании) двух векторов с : и , их соответствующие по номеру координаты прилагаются (вычитаются):

Действительно, по свойствам ассоциативности и дистрибутивности имеем:

2. При умножении вектора на скаляр все его координаты умножаются на этот скаляр:

Действительно, согласно распределительным свойствам умножения скаляра на сумму векторов имеем:

Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число (скаляр), равное произведению их модулей с косинус угла между ними и обозначается :

Вместо часто пишут или используют обозначения . Название этой операции согласуется с ее сути, а именно: скалярное произведение является скаляром, то есть числом.

Для определения угла между векторами и совмещают их начала и рассматривают угол между двумя лучами и (рис. 6.8). Если угол острый, то , если тупой, то .

Основные свойства скалярного произведения векторов вытекают из его определения (6.7).

1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы взаимно перпендикулярны (ортогональные):

2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть

3. Скалярное произведение подчиняется всем законам арифметики чисел относительно линейных операций:

4. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них с проекцией второго на ось, направление которого определяется первым вектором:

Доказательство этого свойства основывается на определении (6.3).

Скалярное произведение векторов и , заданных в координатной форме. Пусть имеем два вектора

1. Вычислим скалярные произведения единичных векторов По свойству Для других пар на основании свойства 1 имеем:

2. Находим произведение , подавая векторы в алгебраической форме (6.6) и используя распределительный закон:

Раскрываем скобки и получаем:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат. Это полностью совпадает с определением скалярного произведения -мерных векторов.

Как следствие из (6.12) при получаем формулу (6.5) модуля вектора через его координаты:

Определим угол между двумя ненулевыми векторами и , заданные в координатной форме. Воспользуемся определением скалярного произведения (6.7) и соотношения (6.5). В результате получаем:

Следовательно, косинус угла между двумя векторами определяется формулой:

Отсюда

В результате с соотношением (6.13) получим критерий ортогональности двух векторов, заданных в координатной форме:

Критерием коллинеарности векторов и , заданных в координатной форме является пропорциональность их координат:

Векторное произведение двух векторов

Пусть и – векторы пространства , определяющие некоторую плоскость . Вектор называется векторным произведением векторов и , если вектор удовлетворяет условиям:

1) модуль его численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах;
2) он перпендикулярный плоскости параллелограмма и направленный так, что поворот вектора до совмещения с вектором кратчайшим путем наблюдается с конца вектора против часовой стрелки (рис. 6.9).

Рис. 6.9

Векторное произведение обозначается символами: , или

Следовательно,

где наименьший из углов что соответствует совмещению с поворотом вектора против часовой стрелки.

Основные свойства векторного произведения вытекают из его определения.
1. Векторное произведение ненулевых векторов равно ноль-вектору тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны:

Еще одним критерием коллинеарности векторов является равенство нулевому вектору их векторного произведения.

2. Векторные произведения с разным порядком сомножителей являются взаимно противоположными векторами:

Это означает, что векторное произведение не подчиняется переставному (коммутативному) закону.

3. Векторное произведение подчиняется ассоциативному закону относительно скалярного множителя и дистрибутивному закону относительно сложения:

где

Векторное произведение векторов и , заданных в координатной форме. Пусть имеем два ненулевые векторы:

1. Определяем векторные произведения ортов (рис. 6.10).

Векторное произведение одноименных векторов по свойству 1 дает ноль вектор:

Однако все векторные произведения разноименных единичных векторов будут давать единичные векторы:

Рис. 6.10

Рассмотрим, например, произведение . Совмещение с кратчайшим путем (указано дугой со стрелкой на рис. 6.10) происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора , следовательно, . Тогда по свойству

2. Находим произведение , подавая векторы в алгебраической форме и используя арифметические свойства (6.18) и соотношения (6.19):

Множители при это вскрытые определители 2-го порядка, поэтому

Коэффициенты при единичных векторах в соотношении (6.20) являются координатами вектора как векторного произведения векторов и .

Если символы в соотношении (6.20) считать элементами первой строки определителя 3-го порядка, то окончательно получим представление в виде определителя:

Найдем векторное произведение векторов и

Модуль векторного произведения определяет площадь параллелограмма, построенного на векторах и

Смешанным произведением трех векторов и называется векторное произведение двух из них, умножен скалярно на третий вектор, то есть и т. д.

Смешанное произведение можно обозначать тройкой векторов , в которой первые два элемента считают связанными векторным произведением, а результат векторного произведения умножают на третий вектор скалярно, то есть – это все равно, что . Понятно, что результатом смешанного произведения является скаляр, поскольку векторное произведение является вектором (обозначим его через ), а произведение дает скаляр.

Геометрическая интерпретация смешанного произведения. Пусть и – некомпланарные векторы. Построим на этих векторах как на ребрах параллелепипед (рис. 6.11).

Рис. 6.11

Вектор по длине численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Этот параллелограмм является основой параллелепипеда, построенного на векторах и . Вектор является перпендикулярным плоскости параллелограмма.

Согласно (6.11) скалярное произведение можно представить как произведение модуля и проекции вектора на ось, определяется вектором :

где , причем является положительным числом, если угол между векторами и острый, и отрицательным, если этот угол тупой. По модулю эта проекция равна высоте параллелепипеда .

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда , построенного на векторах как на ребрах:

Основные свойства смешанного произведения вытекают из его определения и геометрической интерпретации.
1. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю, если по крайней мере два из трех векторов коллинеарны или все три – компланарны, и наоборот.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

компланарны

Свяжем с изображенными на плоскости векторами круг (рис. 6.12). Перечисление векторов, начиная с любого, против часовой стрелки назовем положительным, или циклическим, перестановкой векторов, в противном случае – отрицательной перестановкой.

2. Циклическая перестановка трех сомножителей смешанного произведения не меняет его величины, а отрицательное перестановки меняет его знак на противоположный:

Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме

Пусть имеем три ненулевые векторы По определению смешанного произведения и представлением векторного и скалярного произведений в координатной форме имеем:

Полученная сумма произведений является расписанием определителя 3-го порядка, составленный из координат векторов, по элементам его третьей строки, то есть:

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель 3-го порядка, элементами строк которого являются координаты этих векторов равен нулю (свойство 1):

компланарны

С помощью смешанного произведения векторов легко определить, относятся ли четыре точки одной плоскости. Для этого следует проверить выполнение условия компланарности трех векторов с общим началом в одной из точек.

Простейшие задачи аналитической геометрии

Задача об определении длины отрезка. Найти длину отрезка , если известны координаты его концов: . Эту задачу можно рассматривать как задачу о нахождении расстояния между двумя точками.

1. Введем в рассмотрение вектор с началом и концом и радиусы-векторы (рис. 6.13).
2. Определим координаты вектора как разности векторов и :
3. Находим модуль вектора , который и равна длине отрезка :

Задача об определении площади треугольника

Найдем площадь треугольника, заданного координатами вершин:

По аксиомой стереометрии известно, что три точки в пространстве определяют плоскость и притом только одну. Для упрощения изложения, не нарушает общего подхода к решению задачи, договоримся рассматривать треугольник , принадлежащей плоскости : и .

1. Введем в рассмотрение векторы:

и найдем их векторное произведение

По соотношению (6.20) имеем:

2. Вычислим модуль вектора , численно равна площади параллелограмма , построенного на векторах как на сторонах (рис. 6.14):

Тогда для площади треугольника имеем:

Знак или берется в зависимости от того, каким будет определитель – положительным или отрицательным.

Если треугольник принадлежит не плоскости , а любой другой плоскости в пространстве, то его площадь тоже можно найти по формуле:

Найдем площадь треугольника с вершинами

Введем в рассмотрение векторы: и и определим их векторное произведение:

Тогда

(кв. ед.)

Задача о деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространстве заданы две точки . Проведем через них произвольную прямую и установим на этой прямой положительное направление, согласно которому определим направление на отрезке (рис. 6.15). На прямой возьмем точку , которая может принадлежать отрезку , или его продолжению. При этом, если точка принадлежит отрезку (рис. 6.15 а), говорится, что она осуществляет внутреннее деление отрезка на части, если не принадлежит (рис. 6.15 б) – то внешний.

Рис. 6.15

Число , которое определяется формулой

называется отношением, в котором точка разделяет направленный отрезок . Если , то осуществляет внутреннее (внешнее) деление отрезка на части.

Задача о деление отрезка в заданном отношении формулируется так: найти координаты точки , что разделяет отрезок в отношении , если отрезок задан координатами начала и конца –