Загрузить PDF
Загрузить PDF
В статистике размах – разница между наибольшим и наименьшим результатами наблюдений. Размах показывает разброс значений в совокупности данных. Если размах большой, то значения в совокупности сильно разбросаны; если размах – небольшая величина, то значения в совокупности лежат близко друг к другу. Если вы хотите узнать, как вычислить размах, выполните следующие действия.
Шаги
-
1
Запишите значения совокупности данных. Чтобы найти размах, нужно перечислить все значения для определения максимального и минимального чисел. Например: 14 , 19, 20 , 24, 25, 28.
- Будет легче определить наибольшее и наименьшее значение в совокупности, если вы запишете значения в порядке возрастания. В нашем примере: 14, 19, 20, 24, 24, 25, 28 .
- Запись значений по возрастанию также может помочь вам сделать другие расчеты, как например моду, среднее или медиану совокупности.
-
2
Определите максимальное и минимальное числа. В нашем примере, это 14 и 28.
-
3
Вычтете наименьшее число из наибольшего. Теперь, когда вы определили самое маленькое и самое большое число в совокупности, вам нужно вычесть их друг из друга: 25 – 14 = 11 – это и есть размах.
-
4
Выделите размах. Как только вы нашли размах, четко выделите его. Это поможет вам избежать путаницы с любыми другими статистическими величинами, такими как среднее, медиана или мода.
Реклама
Советы
- Медиана статистической совокупности данных – такое значение, которое делит эту совокупность на две равные части. Таким образом, медиана не вычисляется путем деления размаха на 2. Чтобы найти медиану, необходимо перечислить значения данных по возрастанию и найти значение в середине списка. Это значение и является медианой. Например, если у Вас есть список из 29 значений (по возрастанию), пятнадцатое значение будет равноудалено от верхней и нижней части этого списка, так что пятнадцатое значение является медианой, независимо от того, как это значение соотносится с размахом.
- Вы также можете интерпретировать “размах” в алгебраических выражениях, но сначала Вы должны понять концепцию алгебраической функции. Так как функция может быть задана на любом числе, даже неизвестном, то это число представляется в виде переменной (обычно «х»). Область определения – множество всех возможных значений х. Область значения функции (размах) – множество всех возможных значений функции (у) при определенных значениях х. К сожалению, нет единого способа вычислить область значения функции. Иногда, построив график функции или вычислив несколько значений, можно получить четкую закономерность.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 52 206 раз.
Была ли эта статья полезной?
Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы поговорим о статистике.
Статистика — это раздел математики в котором изучаются вопросы сбора, измерения и анализа информации, представленной в числовой форме. Происходит слово статистика от латинского слова status (состояние или положение дел).
Так, с помощью статистики мы можем узнать свое положение дел, касающихся финансов. С начала месяца можно вести дневник расходов и по окончании месяца, воспользовавшись статистикой, узнать сколько денег в среднем мы тратили каждый день или какая потраченная сумма была наибольшей в этом месяце либо узнать какую сумму мы тратили наиболее часто.
На основе этой информации можно провести анализ и сделать определенные выводы: следует ли в следующем месяце немного сбавить аппетит, чтобы тратить меньше денег, либо наоборот позволить себе не только хлеб с водой, но и колбасу.
Выборка. Объем. Размах
Что такое выборка? Если говорить простым языком, то это отобранная нами информация для исследования. Например, мы можем сформировать следующую выборку — суммы денег, потраченных в каждый из шести дней. Давайте нарисуем таблицу в которую занесем расходы за шесть дней
Выборка состоит из n-элементов. Вместо переменной n может стоять любое число. У нас имеется шесть элементов, поэтому переменная n равна 6
n = 6
Элементы выборки обозначаются с помощью переменных с индексами 
. Последний 
элемент является шестым элементом выборки, поэтому вместо n будет стоять число 6.
Обозначим элементы нашей выборки через переменные
Количество элементов выборки называют объемом выборки. В нашем случае объем равен шести.
Размахом выборки называют разницу между самым большим и маленьким элементом выборки.
В нашем случае, самым большим элементом выборки является элемент 250, а самым маленьким — элемент 150. Разница между ними равна 100
Среднее арифметическое
Понятие среднего значения часто используется в повседневной жизни.
Примеры:
- средняя зарплата жителей страны;
- средний балл учащихся;
- средняя скорость движения;
- средняя производительность труда.
Речь идет о среднем арифметическом — результате деления суммы элементов выборки на их количество.
Среднее арифметическое — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.
Вернемся к нашему примеру
Узнаем сколько в среднем мы тратили в каждом из шести дней:
Средняя скорость движения
При изучении задач на движение мы определяли скорость движения следующим образом: делили пройденное расстояние на время. Но тогда подразумевалось, что тело движется с постоянной скоростью, которая не менялась на протяжении всего пути.
В реальности, это происходит довольно редко или не происходит совсем. Тело, как правило, движется с различной скоростью.
Когда мы ездим на автомобиле или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас помехи, нам приходиться сбавлять скорость. Когда же трасса свободна, мы ускоряемся. При этом за время нашего ускорения скорость изменяется несколько раз.
Речь идет о средней скорости движения. Чтобы её определить нужно сложить скорости движения, которые были в каждом часе/минуте/секунде и результат разделить на время движения.
Задача 1. Автомобиль первые 3 часа двигался со скоростью 66,2 км/ч, а следующие 2 часа — со скоростью 78,4 км/ч. С какой средней скоростью он ехал?
Сложим скорости, которые были у автомобиля в каждом часе и разделим на время движения (5ч)
Значит автомобиль ехал со средней скоростью 71,08 км/ч.
Определять среднюю скорость можно и по другому — сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью, затем сложить эти расстояния и результат разделить на время. На рисунке видно, что первые три часа скорость у автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние, пройденное за три часа:
66,2 × 3 = 198,6 км.
Аналогично можно определить расстояние, которое было пройдено со скоростью 78,4 км/ч. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался 2 часа:
78,4 × 2 = 156,8 км.
Сложим эти расстояния и результат разделим на 5
Задача 2. Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.
Скорость велосипедиста в первый час составляла 12,6 км/ч. Во второй и третий час он ехал со скоростью 13,5. Определим среднюю скорость движения велосипедиста:
Мода и медиана
Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.
Рассмотрим следующую выборку: шестеро спортсменов, а также время в секундах за которое они пробегают 100 метров
Элемент 14 встречается в выборке чаще других, поэтому элемент 14 назовем модой.
Рассмотрим еще одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат
Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой. Говоря простым языком, носить iphone модно.
Конечно элементы выборки в этот раз выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.
Рассмотрим следующую выборку: семеро спортсменов, а также их рост в сантиметрах:
Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту:
Выпишем рост спортсменов отдельно:
180, 182, 183, 184, 185, 188, 190
В получившейся выборке 7 элементов. Посередине этой выборки располагается элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как 184 называют медианой упорядоченной выборки.
Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.
Отметим, что данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.
В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило нам быстро указать медиану
Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.
К примеру, рассмотрим выборку в которой не семеро спортсменов, а шестеро:
Построим этих шестерых спортсменов по росту:
Выпишем рост спортсменов отдельно:
180, 182, 184, 186, 188, 190
В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы посередине. Если указать элемент 184 как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа — три. Если как медиану указать элемент 186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа — два.
В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.
Вернемся к нашим спортсменам. В упорядоченной выборке 180, 182, 184, 186, 188, 190 посередине располагаются элементы 184 и 186
Найдем среднее арифметическое элементов 184 и 186
Элемент 185 является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом 185 нет среди остальных спортсменов. Рост в 185 см используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что срединный рост спортсменов составляет 185 см.
Поэтому более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.
Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.
Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.
Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», поскольку и то и другое используют для определения среднего значения. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медиану, равную 185. Этот же результат можно получить путем определения среднего арифметического элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190
Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:
Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:
0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1
Определим среднее арифметическое для данной выборки — получим значение 2,2
По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов 2,2 очка
Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6
В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеет не более одного очка.
Частота
Частота это число, которое показывает сколько раз в выборке встречается тот или иной элемент.
Предположим, что в школе проходят соревнования по подтягиваниям. В соревнованиях участвует 36 школьников. Составим таблицу в которую будем заносить число подтягиваний, а также число участников, которые выполнили столько подтягиваний.
По таблице можно узнать сколько человек выполнило 5, 10 или 15 подтягиваний. Так, 5 подтягиваний выполнили четыре человека, 10 подтягиваний выполнили восемь человек, 15 подтягиваний выполнили три человека.
Количество человек, повторяющих одно и то же число подтягиваний в данном случае являются частотой. Поэтому вторую строку таблицы переименуем в название «частота»:
Такие таблицы называют таблицами частот.
Частота обладает следующим свойством: сумма частот равна общему числу данных в выборке.
Это означает, что сумма частот равна общему числу школьников, участвующих в соревнованиях, то есть тридцати шести. Проверим так ли это. Сложим частоты, приведенные в таблице:
4 + 5 + 10 + 8 + 6 + 3 = 36
Относительная частота
Относительная частота это в принципе та же самая частота, которая была рассмотрена ранее, но только выраженная в процентах.
Относительная частота равна отношению частоты на общее число элементов выборки.
Вернемся к нашей таблице:
Пять подтягиваний выполнили 4 человека из 36. Шесть подтягиваний выполнили 5 человек из 36. Восемь подтягиваний выполнили 10 человек из 36 и так далее. Давайте заполним таблицу с помощью таких отношений:
Выполним деление в этих дробях:
Выразим эти частоты в процентах. Для этого умножим их на 100. Умножение на 100 удобно выполнить передвижением запятой на две цифры вправо:
Теперь можно сказать, что пять подтягиваний выполнили 11% участников, 6 подтягиваний выполнили 14% участников, 8 подтягиваний выполнили 28% участников и так далее.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
-
Пользуясь формулой, вычисляем накопленные частоты интервалов. В частности,
;
;
;
.
-
Вычисляем частости
интервалов. Например,
;
;
.
-
Вычисляем
накопленные частости интервалов. -
Данные вычислений
заносим в табл. 2
Таблица 2
|
№ интервала |
Границы |
Частота |
Накопленная |
Частость |
Накопленная |
|
1 |
5 |
3 |
3 |
0,06 |
0,06 |
|
2 |
7 |
9 |
12 |
0,18 |
0,24 |
|
3 |
9 |
17 |
29 |
0,34 |
0,58 |
|
4 |
11 |
10 |
39 |
0,20 |
0,78 |
|
5 |
13 |
7 |
46 |
0,14 |
0,92 |
|
6 |
15 |
4 |
50 |
0,08 |
1 |
Распределение
типа сведенного в табл. 2 представляет
собой интервальный
вариационный ряд.
Анализ вариационных
рядов упрощается при их графическом
представлении. Наряду с гистограммой
и полигоном частот можно построить
полигон
накопленных частостей (кумулята)
График получается
при соединении точек прямыми отрезками.
Координаты точек соответствуют верхним
границам интервалов и
накопленным частотам. Если по оси ординат
откладывать накопленные частости, то
полученный график называется полигоном
накопленных частостей.
Если ряд не интервальный, то по оси
откладывают значения измеряемого
признака, а по оси
соответствующие накопленные частоты
или частости. На рис.2 изображен полигон
накопленных частостей для примера 3.
На
практике соседние точки чаще всего
соединяют кривыми линиями (рис. 3).
1 .3. Статистические характеристики вариационного ряда
Для
полноты картины анализа выборки
рассматривают статистические
характеристики
вариационного ряда. С этой целью оценивают
следующие качества ряда:
-
центральную
тенденцию выборки; -
вариацию.
Центральную
тенденцию выборки оценивают такими
статистическими характеристиками, как
-
мода;
-
медиана;
-
среднее
арифметическое значение.
К
характеристикам вариации относят:
-
размах;
-
дисперсию;
-
среднее
квадратическое отклонение; -
коэффициент
вариации; -
ошибку
выборочного среднего.
Модой
называется значение признака, наиболее
часто встречающееся в выборке. Мода
обозначается
.
Если значения выборки сгруппированы в
интервальный вариационный ряд, то
выбирается модальный
интервал с
наибольшей частотой.
Медиана
это такое значение признака, при котором
одна половина значений признака меньше
ее, а другая половина
больше (медиана делит вариационный ряд
пополам). Медиана обозначается
.
Для отыскания медианы выборку ранжируют,
то есть значения признака располагают
в порядке возрастания или убывания. В
ранжированной выборке ранг (порядковый
номер в выборке)
медианы определяют по формуле:
, где
объем выборки.
При
нечетном ранг
целое число, и медианой считают следующее
значение:
.
При
четном ранг
число не целое, представимое в виде
,
где
целое. В таком случае медианой считают
значение
.
Среднее
арифметическое неупорядоченной
выборки вычисляют по формуле:
.
В случае интервального
вариационного ряда формула приобретает
вид:
,
где
частота
-го
интервала,
среднее арифметическое значение этого
интервала.
Размах вариации
– это разность
между максимальным и минимальным
значениями выборки:
.
Дисперсией
называется
средний квадрат отклонений значений
признака от среднего арифметического
и вычисляется по формуле:
.
Средним
квадратическим отклонением называется
положительный квадратный корень из
дисперсии:
,
Среднее квадратическое
отклонение имеет ту же единицу измерения,
что и варьирующий признак. Оно характеризует
степень отклонения значений признака
от его среднего арифметического значения
в абсолютных единицах.
Для
сравнения варьируемости двух или
нескольких выборок, имеющих разные
единицы измерения, используют коэффициент
вариации. Коэффициент
вариации
это относительный показатель, равный
отношению среднего квадратического
отклонения к среднему арифметическому
значению:
.
Принято
считать, что если
,
то варьируемость малая,
средняя,
большая.
Отклонения
выборочных коэффициентов от параметров
в генеральной совокупности называются
ошибками
параметров. Эти ошибки возникают в силу
того, что выборочная совокупность
представляет генеральную совокупность
только приближенно. Если взять несколько
вариантов выборок объемом
из одной и той же генеральной совокупности
и вычислить для каждой из них среднее
арифметическое, то окажется, что средние
арифметические выборок варьируют вокруг
среднего арифметического для генеральной
совокупности
в
раз меньше, чем отдельные варианты. На
этом основании в качестве стандартной
ошибки выборочного среднего
принимают величину
.
Чтобы
подчеркнуть точность оценки среднего
выборочного, его чаще всего записывают
в виде: 
.
Пример 4.
В качестве оценки силовой подготовки
учащихся 5 класса произведен тест на
количество подтягиваний на перекладине.
Данные теста
следующие: 9, 9, 10, 11, 8, 7, 10, 7, 9, 11, 7, 8, 9, 8, 9.
Требуется вычислить
моду, медиану, среднее арифметическое
значение, размах вариации, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации и ошибку выборочного
среднего данной выборки.
Решение.
Непосредственным подсчетом убеждаемся,
что значение
встречается в выборке чаще других (5
раз), следовательно,
.
Для
вычисления медианы производим ранжировку
заданной выборки:
7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 10, 10, 11, 11
Объем выборки
число нечетное, поэтому ранг медианы
вычисляем по формуле:
,
то есть медианой
является 8-е значение выборки),
.
Среднее арифметическое
значение выборки находим, пользуясь
формулой:
Крайние значения
ряда) определяют минимальное и максимальное
значения выборки
,
.
Согласно определению, размах вариации
равен:
.
Для удобства
вычисления дисперсии составляем таблицу.
Пользуясь суммой значений последней
колонки и формулой, находим: 
.
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
0,2 |
0,04 |
|
2 |
9 |
0,2 |
0,04 |
|
3 |
10 |
1,2 |
1,44 |
|
4 |
11 |
2,2 |
4,84 |
|
5 |
8 |
-0,8 |
0,64 |
|
6 |
7 |
-1,8 |
3,24 |
|
7 |
10 |
1,2 |
1,44 |
|
8 |
7 |
-1,8 |
3,24 |
|
9 |
9 |
0,2 |
0,44 |
|
10 |
11 |
2,2 |
4,24 |
|
11 |
7 |
-1,8 |
3,24 |
|
12 |
8 |
-0,8 |
0,64 |
|
13 |
9 |
0,2 |
0,04 |
|
14 |
8 |
-0,8 |
0,64 |
|
15 |
9 |
0,2 |
0,04 |
|
|
132 |
24,4 |
Вычислим среднее
квадратическое отклонение:
.
Коэффициент
вариации:
,
откуда делаем вывод
результаты тестирования имеют средний
коэффициент вариации.
Ошибку выборочного
среднего арифметического находим:
.
Наконец, записываем:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Мода и медиана
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:
Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке?
Все верно, это число ( displaystyle 181), так как два игрока имеют рост ( displaystyle 181) см; рост же остальных игроков не повторяется.
Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?
Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») — отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Ключевое слово – СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.
Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать, т.е. расположить значения в порядке убывания или возрастания).
Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.
Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?
Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»!
Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому).
Вот, что у меня получилось:
Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке.
Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить – сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное?
Все верно – игроков ( displaystyle 11), значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке.
Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:
Ну вот, чисел у нас ( displaystyle 11), значит, по краям остается по пять чисел, а рост ( displaystyle 183) см будет медианой в нашей выборке.
Не так уж и сложно, правда?
Частота и относительная частота
Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.
То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.
Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:
Частота – это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост ( 176)?
Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом ( 176) в нашей выборке равна ( 1).
Сколько игроков имеет рост ( 178)? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом ( 178) в нашей выборке равна ( 1).
Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:
Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки).
То есть в нашем примере: ( 1+1+1+2+1+1+1+1+1+1=11)
Перейдем к следующей характеристике – относительная частота.
Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду. Как правило, относительная частота выражается в процентах.
Обратимся опять к нашему примеру с футболистами. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем ( left( n=11 right)) .
Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:
А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.
Интервальный вариационный ряд и его характеристики
- Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента
- Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения
- Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда
- Выборочная дисперсия и СКО
- Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации
- Алгоритм исследования интервального вариационного ряда
- Примеры
п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента
Интервальный вариационный ряд – это ряд распределения, в котором однородные группы составлены по признаку, меняющемуся непрерывно или принимающему слишком много значений.
Общий вид интервального вариационного ряда
| Интервалы, (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) | (left.left[a_{0},a_1right.right)) | (left.left[a_{1},a_2right.right)) | … | (left.left[a_{k-1},a_kright.right)) |
| Частоты, (f_i) | (f_1) | (f_2) | … | (f_k) |
Здесь k – число интервалов, на которые разбивается ряд.
Размах вариации – это длина интервала, в пределах которой изменяется исследуемый признак: $$ F=x_{max}-x_{min} $$
Правило Стерджеса
Эмпирическое правило определения оптимального количества интервалов k, на которые следует разбить ряд из N чисел: $$ k=1+lfloorlog_2 Nrfloor $$ или, через десятичный логарифм: $$ k=1+lfloor 3,322cdotlg Nrfloor $$
Скобка (lfloor rfloor) означает целую часть (округление вниз до целого числа).
Шаг интервального ряда – это отношение размаха вариации к количеству интервалов, округленное вверх до определенной точности: $$ h=leftlceilfrac Rkrightrceil $$
Скобка (lceil rceil) означает округление вверх, в данном случае не обязательно до целого числа.
Алгоритм построения интервального ряда
На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Найти размах вариации (R=x_{max}-x_{min})
Шаг 2. Найти оптимальное количество интервалов (k=1+lfloorlog_2 Nrfloor)
Шаг 3. Найти шаг интервального ряда (h=leftlceilfrac{R}{k}rightrceil)
Шаг 4. Найти узлы ряда: $$ a_0=x_{min}, a_i=1_0+ih, i=overline{1,k} $$ Шаг 5. Найти частоты (f_i) – число попаданий значений признака в каждый из интервалов (left.left[a_{i-1},a_iright.right)).
На выходе: интервальный ряд с интервалами (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k})
Заметим, что поскольку шаг h находится с округлением вверх, последний узел (a_kgeq x_{max}).
Например:
Проведено 100 измерений роста учеников старших классов.
Минимальный рост составляет 142 см, максимальный – 197 см.
Найдем узлы для построения соответствующего интервального ряда.
По условию: (N=100, x_{min}=142 см, x_{max}=197 см).
Размах вариации: (R=197-142=55) (см)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloor 3,322cdotlg 100rfloor=1+lfloor 6,644rfloor=1+6=7)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{55}{5}rceil=lceil 7,85rceil=8) (см)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=142, a_i=142+icdot 8, i=overline{1,7} $$
| (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм | (left.left[142;150right.right)) | (left.left[150;158right.right)) | (left.left[158;166right.right)) | (left.left[166;174right.right)) | (left.left[174;182right.right)) | (left.left[182;190right.right)) | (left[190;198right]) |
п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения
Относительная частота интервала (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) – это отношение частоты (f_i) к общему количеству исходов: $$ w_i=frac{f_i}{N}, i=overline{1,k} $$
Гистограмма относительных частот интервального ряда – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – относительным частотам каждого из интервалов.
Площадь гистограммы равна 1 (с точностью до округлений), и она является эмпирическим законом распределения исследуемого признака.
Полигон относительных частот интервального ряда – это ломаная, соединяющая точки ((x_i,w_i)), где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Накопленные относительные частоты – это суммы: $$ S_1=w_1, S_i=S_{i-1}+w_i, i=overline{2,k} $$ Ступенчатая кривая (F(x)), состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – накопленным относительным частотам, является эмпирической функцией распределения исследуемого признака.
Кумулята – это ломаная, которая соединяет точки ((x_i,S_i)), где (x_i) – середины интервалов.
Например:
Продолжим анализ распределения учеников по росту.
Выше мы уже нашли узлы интервалов. Пусть, после распределения всех 100 измерений по этим интервалам, мы получили следующий интервальный ряд:
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм | (left.left[142;150right.right)) | (left.left[150;158right.right)) | (left.left[158;166right.right)) | (left.left[166;174right.right)) | (left.left[174;182right.right)) | (left.left[182;190right.right)) | (left[190;198right]) |
| (f_i) | 4 | 7 | 11 | 34 | 33 | 8 | 3 |
Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:
| (x_i) | 146 | 154 | 162 | 170 | 178 | 186 | 194 |
| (w_i) | 0,04 | 0,07 | 0,11 | 0,34 | 0,33 | 0,08 | 0,03 |
| (S_i) | 0,04 | 0,11 | 0,22 | 0,56 | 0,89 | 0,97 | 1 |
Построим гистограмму и полигон:
Построим кумуляту и эмпирическую функцию распределения: 
Эмпирическая функция распределения (относительно середин интервалов): $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 146\ 0,04, 146lt xleq 154\ 0,11, 154lt xleq 162\ 0,22, 162lt xleq 170\ 0,56, 170lt xleq 178\ 0,89, 178lt xleq 186\ 0,97, 186lt xleq 194\ 1, xgt 194 end{cases} $$
п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда
Выборочная средняя интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная по частотам: $$ X_{cp}=frac{x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k}{N}=frac1Nsum_{i=1}^k x_if_i $$ где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i $$
Модальным интервалом называют интервал с максимальной частотой: $$ f_m=max f_i $$ Мода интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) – нижняя граница модального интервала;
(f_m,f_{m-1},f_{m+1}) – соответственно, частоты модального интервала, интервала слева от модального и интервала справа.
Медианным интервалом называют первый интервал слева, на котором кумулята превысила значение 0,5. Медиана интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) – нижняя граница медианного интервала;
(S_{me-1}) накопленная относительная частота для интервала слева от медианного;
(w_{me}) относительная частота медианного интервала.
Расположение выборочной средней, моды и медианы в зависимости от симметрии ряда аналогично их расположению в дискретном ряду (см. §65 данного справочника).
Например:
Для распределения учеников по росту получаем:
| (x_i) | 146 | 154 | 162 | 170 | 178 | 186 | 194 | ∑ |
| (w_i) | 0,04 | 0,07 | 0,11 | 0,34 | 0,33 | 0,08 | 0,03 | 1 |
| (x_iw_i) | 5,84 | 10,78 | 17,82 | 57,80 | 58,74 | 14,88 | 5,82 | 171,68 |
$$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i=171,68approx 171,7 text{(см)} $$ На гистограмме (или полигоне) относительных частот максимальная частота приходится на 4й интервал [166;174). Это модальный интервал.
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_o=166, f_m=34, f_{m-1}=11, f_{m+1}=33, h=8\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =166+frac{34-11}{(34-11)+(34-33)}cdot 8approx 173,7 text{(см)} end{gather*} На кумуляте значение 0,5 пересекается на 4м интервале. Это – медианный интервал.
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_o=166, w_m=0,34, S_{me-1}=0,22, h=8\ \ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_me}h=166+frac{0,5-0,22}{0,34}cdot 8approx 172,6 text{(см)} end{gather*} begin{gather*} \ X_{cp}=171,7; M_o=173,7; M_e=172,6\ X_{cp}lt M_elt M_o end{gather*} Ряд асимметричный с левосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|}=frac{2,0}{0,9}approx 2,2lt 3), т.е. распределение умеренно асимметрично.
п.4. Выборочная дисперсия и СКО
Выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная для квадрата отклонения от средней: begin{gather*} D=frac1Nsum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 f_i=frac1Nsum_{i=1}^k x_i^2 f_i-X_{cp}^2 end{gather*} где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ D=sum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 w_i=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2 $$
Выборочное среднее квадратичное отклонение (СКО) определяется как корень квадратный из выборочной дисперсии: $$ sigma=sqrt{D} $$
Например:
Для распределения учеников по росту получаем:
| $x_i$ | 146 | 154 | 162 | 170 | 178 | 186 | 194 | ∑ |
| (w_i) | 0,04 | 0,07 | 0,11 | 0,34 | 0,33 | 0,08 | 0,03 | 1 |
| (x_iw_i) | 5,84 | 10,78 | 17,82 | 57,80 | 58,74 | 14,88 | 5,82 | 171,68 |
| (x_i^2w_i) – результат | 852,64 | 1660,12 | 2886,84 | 9826 | 10455,72 | 2767,68 | 1129,08 | 29578,08 |
$$ D=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2=29578,08-171,7^2approx 104,1 $$ $$ sigma=sqrt{D}approx 10,2 $$
п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации
Исправленная выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как: begin{gather*} S^2=frac{N}{N-1}D end{gather*}
Стандартное отклонение выборки определяется как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии: $$ s=sqrt{S^2} $$
Коэффициент вариации это отношение стандартного отклонения выборки к выборочной средней, выраженное в процентах: $$ V=frac{s}{X_{cp}}cdot 100text{%} $$
Подробней о том, почему и когда нужно «исправлять» дисперсию, и для чего использовать коэффициент вариации – см. §65 данного справочника.
Например:
Для распределения учеников по росту получаем: begin{gather*} S^2=frac{100}{99}cdot 104,1approx 105,1\ sapprox 10,3 end{gather*} Коэффициент вариации: $$ V=frac{10,3}{171,7}cdot 100text{%}approx 6,0text{%}lt 33text{%} $$ Выборка однородна. Найденное значение среднего роста (X_{cp})=171,7 см можно распространить на всю генеральную совокупность (старшеклассников из других школ).
п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда
На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Построить интервальный ряд с интервалами (left.right[a_{i-1}, a_ileft.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k}) (см. алгоритм выше).
Шаг 2. Составить расчетную таблицу. Найти (x_i,w_i,S_i,x_iw_i,x_i^2w_i)
Шаг 3. Построить гистограмму (и/или полигон) относительных частот, эмпирическую функцию распределения (и/или кумуляту). Записать эмпирическую функцию распределения.
Шаг 4. Найти выборочную среднюю, моду и медиану. Проанализировать симметрию распределения.
Шаг 5. Найти выборочную дисперсию и СКО.
Шаг 6. Найти исправленную выборочную дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Сделать вывод об однородности выборки.
п.7. Примеры
Пример 1. При изучении возраста пользователей коворкинга выбрали 30 человек.
Получили следующий набор данных:
18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,24,29,29
Постройте интервальный ряд и исследуйте его.
1) Построим интервальный ряд. В наборе данных: $$ x_{min}=18, x_{max}=38, N=30 $$ Размах вариации: (R=38-18=20)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloorlog_2 30rfloor=1+4=5)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{20}{5}rceil=4)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=18, a_i=18+icdot 4, i=overline{1,5} $$
| (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет | (left.left[18;22right.right)) | (left.left[22;26right.right)) | (left.left[26;30right.right)) | (left.left[30;34right.right)) | (left.left[34;38right.right)) |
Считаем частоты для каждого интервала. Получаем интервальный ряд:
| (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет | (left.left[18;22right.right)) | (left.left[22;26right.right)) | (left.left[26;30right.right)) | (left.left[30;34right.right)) | (left.left[34;38right.right)) |
| (f_i) | 1 | 7 | 12 | 6 | 4 |
2) Составляем расчетную таблицу:
| (x_i) | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | ∑ |
| (f_i) | 1 | 7 | 12 | 6 | 4 | 30 |
| (w_i) | 0,033 | 0,233 | 0,4 | 0,2 | 0,133 | 1 |
| (S_i) | 0,033 | 0,267 | 0,667 | 0,867 | 1 | – |
| (x_iw_i) | 0,667 | 5,6 | 11,2 | 6,4 | 4,8 | 28,67 |
| (x_i^2w_i) | 13,333 | 134,4 | 313,6 | 204,8 | 172,8 | 838,93 |
3) Строим полигон и кумуляту
Эмпирическая функция распределения: $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 20\ 0,033, 20lt xleq 24\ 0,267, 24lt xleq 28\ 0,667, 28lt xleq 32\ 0,867, 32lt xleq 36\ 1, xgt 36 end{cases} $$ 4) Находим выборочную среднюю, моду и медиану $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_iapprox 28,7 text{(лет)} $$ На полигоне модальным является 3й интервал (самая высокая точка).
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_0=26, f_m=12, f_{m-1}=7, f_{m+1}=6, h=4\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =26+frac{12-7}{(12-7)+(12-6)}cdot 4approx 27,8 text{(лет)} end{gather*}
На кумуляте медианным является 3й интервал (преодолевает уровень 0,5).
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_0=26, w_m=0,4, S_{me-1}=0,267, h=4\ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h=26+frac{0,5-0,4}{0,267}cdot 4approx 28,3 text{(лет)} end{gather*} Получаем: begin{gather*} X_{cp}=28,7; M_o=27,8; M_e=28,6\ X_{cp}gt M_egt M_0 end{gather*} Ряд асимметричный с правосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|} =frac{0,9}{0,1}=9gt 3), т.е. распределение сильно асимметрично.
5) Находим выборочную дисперсию и СКО: begin{gather*} D=sum_{i=1}^k x_i^2w_i-X_{cp}^2=838,93-28,7^2approx 17,2\ sigma=sqrt{D}approx 4,1 end{gather*}
6) Исправленная выборочная дисперсия: $$ S^2=frac{N}{N-1}D=frac{30}{29}cdot 17,2approx 17,7 $$ Стандартное отклонение (s=sqrt{S^2}approx 4,2)
Коэффициент вариации: (V=frac{4,2}{28,7}cdot 100text{%}approx 14,7text{%}lt 33text{%})
Выборка однородна. Найденное значение среднего возраста (X_{cp}=28,7) лет можно распространить на всю генеральную совокупность (пользователей коворкинга).
