Как найти размах для интервального ряда - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Интервальный вариационный ряд и его характеристики

Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента
Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения
Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда
Выборочная дисперсия и СКО
Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации
Алгоритм исследования интервального вариационного ряда
Примеры

п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента

Интервальный вариационный ряд – это ряд распределения, в котором однородные группы составлены по признаку, меняющемуся непрерывно или принимающему слишком много значений.

Общий вид интервального вариационного ряда

Интервалы, (left.left[a_{i-1},a_iright.right))	(left.left[a_{0},a_1right.right))	(left.left[a_{1},a_2right.right))	…	(left.left[a_{k-1},a_kright.right))
Частоты, (f_i)	(f_1)	(f_2)	…	(f_k)

Здесь k – число интервалов, на которые разбивается ряд.

Размах вариации – это длина интервала, в пределах которой изменяется исследуемый признак: $$ F=x_{max}-x_{min} $$

Правило Стерджеса
Эмпирическое правило определения оптимального количества интервалов k, на которые следует разбить ряд из N чисел: $$ k=1+lfloorlog_2 Nrfloor $$ или, через десятичный логарифм: $$ k=1+lfloor 3,322cdotlg Nrfloor $$

Скобка (lfloor rfloor) означает целую часть (округление вниз до целого числа).

Шаг интервального ряда – это отношение размаха вариации к количеству интервалов, округленное вверх до определенной точности: $$ h=leftlceilfrac Rkrightrceil $$

Скобка (lceil rceil) означает округление вверх, в данном случае не обязательно до целого числа.

Алгоритм построения интервального ряда
На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Найти размах вариации (R=x_{max}-x_{min})
Шаг 2. Найти оптимальное количество интервалов (k=1+lfloorlog_2 Nrfloor)
Шаг 3. Найти шаг интервального ряда (h=leftlceilfrac{R}{k}rightrceil)
Шаг 4. Найти узлы ряда: $$ a_0=x_{min}, a_i=1_0+ih, i=overline{1,k} $$ Шаг 5. Найти частоты (f_i) – число попаданий значений признака в каждый из интервалов (left.left[a_{i-1},a_iright.right)).
На выходе: интервальный ряд с интервалами (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k})

Заметим, что поскольку шаг h находится с округлением вверх, последний узел (a_kgeq x_{max}).

Например:
Проведено 100 измерений роста учеников старших классов.
Минимальный рост составляет 142 см, максимальный – 197 см.
Найдем узлы для построения соответствующего интервального ряда.
По условию: (N=100, x_{min}=142 см, x_{max}=197 см).
Размах вариации: (R=197-142=55) (см)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloor 3,322cdotlg ⁡100rfloor=1+lfloor 6,644rfloor=1+6=7)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{55}{5}rceil=lceil 7,85rceil=8) (см)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=142, a_i=142+icdot 8, i=overline{1,7} $$

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм

(left.left[142;150right.right))

(left.left[150;158right.right))

(left.left[158;166right.right))

(left.left[166;174right.right))

(left.left[174;182right.right))

(left.left[182;190right.right))

(left[190;198right])

п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения

Относительная частота интервала (left.left[a_{i-1},a_iright.right)) – это отношение частоты (f_i) к общему количеству исходов: $$ w_i=frac{f_i}{N}, i=overline{1,k} $$

Гистограмма относительных частот интервального ряда – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – относительным частотам каждого из интервалов.
Площадь гистограммы равна 1 (с точностью до округлений), и она является эмпирическим законом распределения исследуемого признака.

Полигон относительных частот интервального ряда – это ломаная, соединяющая точки ((x_i,w_i)), где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).

Накопленные относительные частоты – это суммы: $$ S_1=w_1, S_i=S_{i-1}+w_i, i=overline{2,k} $$ Ступенчатая кривая (F(x)), состоящая из прямоугольников, ширина которых равна шагу ряда, а высота – накопленным относительным частотам, является эмпирической функцией распределения исследуемого признака.
Кумулята – это ломаная, которая соединяет точки ((x_i,S_i)), где (x_i) – середины интервалов.

Например:
Продолжим анализ распределения учеников по росту.
Выше мы уже нашли узлы интервалов. Пусть, после распределения всех 100 измерений по этим интервалам, мы получили следующий интервальный ряд:

i	1	2	3	4	5	6	7
(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) cм	(left.left[142;150right.right))	(left.left[150;158right.right))	(left.left[158;166right.right))	(left.left[166;174right.right))	(left.left[174;182right.right))	(left.left[182;190right.right))	(left[190;198right])
(f_i)	4	7	11	34	33	8	3

Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:

(x_i)	146	154	162	170	178	186	194
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03
(S_i)	0,04	0,11	0,22	0,56	0,89	0,97	1

Построим гистограмму и полигон:

Построим кумуляту и эмпирическую функцию распределения:

Эмпирическая функция распределения (относительно середин интервалов): $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 146\ 0,04, 146lt xleq 154\ 0,11, 154lt xleq 162\ 0,22, 162lt xleq 170\ 0,56, 170lt xleq 178\ 0,89, 178lt xleq 186\ 0,97, 186lt xleq 194\ 1, xgt 194 end{cases} $$

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда

Выборочная средняя интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная по частотам: $$ X_{cp}=frac{x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k}{N}=frac1Nsum_{i=1}^k x_if_i $$ где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i $$

Модальным интервалом называют интервал с максимальной частотой: $$ f_m=max f_i $$ Мода интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) – нижняя граница модального интервала;
(f_m,f_{m-1},f_{m+1}) – соответственно, частоты модального интервала, интервала слева от модального и интервала справа.

Медианным интервалом называют первый интервал слева, на котором кумулята превысила значение 0,5. Медиана интервального вариационного ряда определяется по формуле: $$ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h $$ где
(h) – шаг интервального ряда;
(x_o) – нижняя граница медианного интервала;
(S_{me-1}) накопленная относительная частота для интервала слева от медианного;
(w_{me}) относительная частота медианного интервала.

Расположение выборочной средней, моды и медианы в зависимости от симметрии ряда аналогично их расположению в дискретном ряду (см. §65 данного справочника).

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

(x_i)	146	154	162	170	178	186	194	∑
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03	1
(x_iw_i)	5,84	10,78	17,82	57,80	58,74	14,88	5,82	171,68

$$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_i=171,68approx 171,7 text{(см)} $$ На гистограмме (или полигоне) относительных частот максимальная частота приходится на 4й интервал [166;174). Это модальный интервал.
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_o=166, f_m=34, f_{m-1}=11, f_{m+1}=33, h=8\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =166+frac{34-11}{(34-11)+(34-33)}cdot 8approx 173,7 text{(см)} end{gather*} На кумуляте значение 0,5 пересекается на 4м интервале. Это – медианный интервал.
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_o=166, w_m=0,34, S_{me-1}=0,22, h=8\ \ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_me}h=166+frac{0,5-0,22}{0,34}cdot 8approx 172,6 text{(см)} end{gather*} begin{gather*} \ X_{cp}=171,7; M_o=173,7; M_e=172,6\ X_{cp}lt M_elt M_o end{gather*} Ряд асимметричный с левосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|}=frac{2,0}{0,9}approx 2,2lt 3), т.е. распределение умеренно асимметрично.

п.4. Выборочная дисперсия и СКО

Выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как средняя взвешенная для квадрата отклонения от средней: begin{gather*} D=frac1Nsum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 f_i=frac1Nsum_{i=1}^k x_i^2 f_i-X_{cp}^2 end{gather*} где (x_i) – середины интервалов: (x_i=frac{a_{i-1}+a_i}{2}, i=overline{1,k}).
Или, через относительные частоты: $$ D=sum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 w_i=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2 $$

Выборочное среднее квадратичное отклонение (СКО) определяется как корень квадратный из выборочной дисперсии: $$ sigma=sqrt{D} $$

Например:
Для распределения учеников по росту получаем:

$x_i$	146	154	162	170	178	186	194	∑
(w_i)	0,04	0,07	0,11	0,34	0,33	0,08	0,03	1
(x_iw_i)	5,84	10,78	17,82	57,80	58,74	14,88	5,82	171,68
(x_i^2w_i) – результат	852,64	1660,12	2886,84	9826	10455,72	2767,68	1129,08	29578,08

$$ D=sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2=29578,08-171,7^2approx 104,1 $$ $$ sigma=sqrt{D}approx 10,2 $$

п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

Исправленная выборочная дисперсия интервального вариационного ряда определяется как: begin{gather*} S^2=frac{N}{N-1}D end{gather*}

Стандартное отклонение выборки определяется как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии: $$ s=sqrt{S^2} $$

Коэффициент вариации это отношение стандартного отклонения выборки к выборочной средней, выраженное в процентах: $$ V=frac{s}{X_{cp}}cdot 100text{%} $$

Подробней о том, почему и когда нужно «исправлять» дисперсию, и для чего использовать коэффициент вариации – см. §65 данного справочника.

Например:
Для распределения учеников по росту получаем: begin{gather*} S^2=frac{100}{99}cdot 104,1approx 105,1\ sapprox 10,3 end{gather*} Коэффициент вариации: $$ V=frac{10,3}{171,7}cdot 100text{%}approx 6,0text{%}lt 33text{%} $$ Выборка однородна. Найденное значение среднего роста (X_{cp})=171,7 см можно распространить на всю генеральную совокупность (старшеклассников из других школ).

п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда

На входе: все значения признака (left{x_jright}, j=overline{1,N})
Шаг 1. Построить интервальный ряд с интервалами (left.right[a_{i-1}, a_ileft.right)) и частотами (f_i, i=overline{1,k}) (см. алгоритм выше).
Шаг 2. Составить расчетную таблицу. Найти (x_i,w_i,S_i,x_iw_i,x_i^2w_i)
Шаг 3. Построить гистограмму (и/или полигон) относительных частот, эмпирическую функцию распределения (и/или кумуляту). Записать эмпирическую функцию распределения.
Шаг 4. Найти выборочную среднюю, моду и медиану. Проанализировать симметрию распределения.
Шаг 5. Найти выборочную дисперсию и СКО.
Шаг 6. Найти исправленную выборочную дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Сделать вывод об однородности выборки.

п.7. Примеры

Пример 1. При изучении возраста пользователей коворкинга выбрали 30 человек.
Получили следующий набор данных:
18,38,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,24,29,29
Постройте интервальный ряд и исследуйте его.

1) Построим интервальный ряд. В наборе данных: $$ x_{min}=18, x_{max}=38, N=30 $$ Размах вариации: (R=38-18=20)
Оптимальное число интервалов: (k=1+lfloorlog_2⁡ 30rfloor=1+4=5)
Шаг интервального ряда: (h=lceilfrac{20}{5}rceil=4)
Получаем узлы ряда: $$ a_0=x_{min}=18, a_i=18+icdot 4, i=overline{1,5} $$

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет

(left.left[18;22right.right))

(left.left[22;26right.right))

(left.left[26;30right.right))

(left.left[30;34right.right))

(left.left[34;38right.right))

Считаем частоты для каждого интервала. Получаем интервальный ряд:

(left.left[a_{i-1},a_iright.right)) лет	(left.left[18;22right.right))	(left.left[22;26right.right))	(left.left[26;30right.right))	(left.left[30;34right.right))	(left.left[34;38right.right))
(f_i)	1	7	12	6	4

2) Составляем расчетную таблицу:

(x_i)	20	24	28	32	36	∑
(f_i)	1	7	12	6	4	30
(w_i)	0,033	0,233	0,4	0,2	0,133	1
(S_i)	0,033	0,267	0,667	0,867	1	–
(x_iw_i)	0,667	5,6	11,2	6,4	4,8	28,67
(x_i^2w_i)	13,333	134,4	313,6	204,8	172,8	838,93

3) Строим полигон и кумуляту

Эмпирическая функция распределения: $$ F(x)= begin{cases} 0, xleq 20\ 0,033, 20lt xleq 24\ 0,267, 24lt xleq 28\ 0,667, 28lt xleq 32\ 0,867, 32lt xleq 36\ 1, xgt 36 end{cases} $$ 4) Находим выборочную среднюю, моду и медиану $$ X_{cp}=sum_{i=1}^k x_iw_iapprox 28,7 text{(лет)} $$ На полигоне модальным является 3й интервал (самая высокая точка).
Данные для расчета моды: begin{gather*} x_0=26, f_m=12, f_{m-1}=7, f_{m+1}=6, h=4\ M_o=x_o+frac{f_m-f_{m-1}}{(f_m-f_{m-1})+(f_m+f_{m+1})}h=\ =26+frac{12-7}{(12-7)+(12-6)}cdot 4approx 27,8 text{(лет)} end{gather*}
На кумуляте медианным является 3й интервал (преодолевает уровень 0,5).
Данные для расчета медианы: begin{gather*} x_0=26, w_m=0,4, S_{me-1}=0,267, h=4\ M_e=x_o+frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h=26+frac{0,5-0,4}{0,267}cdot 4approx 28,3 text{(лет)} end{gather*} Получаем: begin{gather*} X_{cp}=28,7; M_o=27,8; M_e=28,6\ X_{cp}gt M_egt M_0 end{gather*} Ряд асимметричный с правосторонней асимметрией.
При этом (frac{|M_o-X_{cp}|}{|M_e-X_{cp}|} =frac{0,9}{0,1}=9gt 3), т.е. распределение сильно асимметрично.

5) Находим выборочную дисперсию и СКО: begin{gather*} D=sum_{i=1}^k x_i^2w_i-X_{cp}^2=838,93-28,7^2approx 17,2\ sigma=sqrt{D}approx 4,1 end{gather*}
6) Исправленная выборочная дисперсия: $$ S^2=frac{N}{N-1}D=frac{30}{29}cdot 17,2approx 17,7 $$ Стандартное отклонение (s=sqrt{S^2}approx 4,2)
Коэффициент вариации: (V=frac{4,2}{28,7}cdot 100text{%}approx 14,7text{%}lt 33text{%})
Выборка однородна. Найденное значение среднего возраста (X_{cp}=28,7) лет можно распространить на всю генеральную совокупность (пользователей коворкинга).

Источник

Показатели степени вариации

Показатели
вариации используются для оценки
рассеяния
значений признака. К таким показателям
относятся:

размах
вариации;
среднее
линейное отклонение;
дисперсия;
среднее
квадратическое отклонение;
коэффициент
вариации.

Размах вариации

Размах
вариации
(R)
используется для определения амплитуды:

где

x_max
– наибольшее значение варьирующего
признака;

x_min
– наименьшее значение варьирующего
признака.

Для
того чтобы размах вариации не давал
искажённую амплитуду, совокупность
следует очистить от аномальных наблюдений.
Например, для полученных значений

35,5;
42,6; 38,7; 887,3; 36,1; 32,9; 40,4; 37,6

значение
887,3 является аномальным, а амплитуда
равна: 42,6 – 32,9 = 9,7

Среднее линейное отклонение

Среднее
линейное отклонение
(d)
– это среднее арифметическое из
абсолютных значений отклонений отдельных
вариантов от их средней величины.

Среднее
линейное отклонение для несгруппированных
данных:

Среднее
линейное отклонение для сгруппированных
данных:

где

x_i
– значение признака в дискретном ряду
или середина интервала в интервальном
распределении;

m_i
–
частота признака;

n
– количество вариантов.

Среднее
линейное отклонение выражено в тех же
единицах измерения, что и варианты.

4.1.2.3. Дисперсия

Для
того чтобы избежать равенства нулю
суммы отклонений от среднего, используют
квадраты абсолютных значений. Такая
мера вариации называется дисперсией
(d
или ²).

Дисперсия
для несгруппированных данных:

Дисперсия
для сгруппированных данных:

Существуют
различные способы упрощения вычислений
дисперсии. Одним из них является
следующий:

4.1.2.4. Среднее квадратическое
отклонение

Среднее
квадратическое отклонение
()
показывает, на сколько в среднем
отклоняются конкретные варианты признака
от среднего значения. Среднее квадратическое
отклонение измеряется в тех же единицах,
что и варьирующий признак и вычисляется
извлечением квадратного корня из
дисперсии. Среднее квадратическое
отклонение называется также нормированным
или стандартизированным.

Среднее
квадратическое отклонение для
несгруппированных данных:

Среднее
квадратическое отклонение для
сгруппированных данных:

4.1.2.5. Коэффициент вариации

Коэффициент
вариации
(V)
даёт относительную оценку вариации. Он
вычисляется путём сопоставления среднего
линейного или среднего квадратического
отклонения со средним уровнем явления:

Пример 19.
Вычисление
показателей вариации для дискретного
вариационного ряда

Рассчитать
показатели вариации для распределения
сотрудников по тарифным разрядам.

Тарифный разряд	Число сотрудников, чел
2	11	22	-2,09	23,04	48,24
3	18	54	-1,09	19,69	21,55
4	22	88	-0,09	2,07	0,19
5	20	100	0,91	18,12	16,41
6	14	84	1,91	26,68	50,85
Итого	85	348		89,60	137,25

Средняя
арифметическая:

Среднее
линейное отклонение:

Дисперсия:

Среднее
квадратическое отклонение:

Коэффициент
вариации:

или

Пример 20.
Вычисление
показателей вариации для интервального
вариационного ряда с равной длиной
интервалов

Рассчитать
показатели вариации для распределения
сотрудников по возрастным группам.

Возраст- ные группы сотрудни- ков, лет	Число сотруд- ников, чел	Середина интерва-ла, x_i_ср
20 – 30	11	25	275	-16,24	178,59	2899,43
30 – 40	33	35	1155	-6,24	205,76	1283,00
40 – 50	22	45	990	3,76	82,82	311,81
50 – 60	15	55	825	13,76	206,47	2842,01
60 – 70	4	65	260	23,76	95,06	2259,04
Итого	85		3505		768,71	9595,29

Средняя
арифметическая:

Среднее
линейное отклонение:

Дисперсия:

Коэффициент
вариации:

Среднее
квадратическое отклонение:

или

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Варианты для выполнения работы

I. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Почти все встречающиеся в жизни величины (урожайность сельскохозяйственных растений, продуктивности скота, производительность труда и заработная плата рабочих, объем производства продукции и т.д.) принимают неодинаковые значения у различных членов совокупности. Поэтому возникает необходимость в изучении их изменяемости. Это изучение начинается с проведения соответствующих наблюдений, обследований.

В результате наблюдений получают сведения о численной величине изучаемого признака у каждого члена данной совокупности.

Пример. Имеются данные о размере прибыли 100 коммерческих банков. Прибыль, млн. рублей.

30,2	51,9	43,1	58,9	34,1	55,2	47,9	43,7	53,2	34,9
47,8	65,7	37,8	68,6	48,4	67,5	27,3	66,1	52,0	55,6
54,1	26,9	53,6	42,5	59,3	44,8	52,8	42,3	55,9	48,1
44,5	69,8	47,3	35,6	70,1	39,5	70,3	33,7	51,8	56,1
28,4	48,7	41,9	58,1	20,4	56,3	46,5	41,8	59,5	38,1
41,4	70,4	31,4	52,5	45,2	52,3	40,2	60,4	27,6	57,4
29,3	53,8	46,3	40,1	50,3	48,9	35,8	61,7	49,2	45,8
45,3	71,5	35,1	57,8	28,1	57,6	49,6	45,5	36,2	63,2
61,9	25,1	65,1	49,7	62,1	46,1	39,9	62,4	50,1	33,1
33,3	49,8	39,8	45,9	37,3	78,0	64,9	28,8	62,5	58,7

Из данной таблицы видно, что интересующий нас признак (прибыль банков) меняется от одного члена совокупности к другому, варьирует. Варьирование есть изменяемость признака у отдельных членов совокупности.

Вариационным рядом называется последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке и соответствующих им частот.

Число, показывающее, сколько раз повторяется в данной совокупности каждое значение признака, называется частотой.

Составим ранжированный вариационный ряд (выпишем варианты в порядке возрастания):

20,4	25,1	26,9	27,3	27,6	28,1	28,4	28,8	29,3	30,2
31,4	33,1	33,3	33,7	34,1	34,9	35,1	35,6	35,8	36,2
37,3	37,8	38,1	39,5	39,8	39,9	40,1	40,2	41,4	41,8
41,9	42,3	42,5	43,1	43,7	44,5	44,8	45,2	45,3	45,5
45,8	45,9	46,1	46,3	46,5	47,3	47,8	47,9	48,1	48,4
48,7	48,9	49,2	49,6	49,7	49,8	50,1	50,3	51,8	51,9
52,0	52,3	52,5	52,8	53,2	53,6	53,8	54,1	55,2	55,6
55,9	56,1	56,3	57,4	57,6	57,8	58,1	58,7	58,9	59,3
59,5	60,4	61,7	61,9	62,1	62,4	62,5	63,2	64,9	65,1
65,7	66,1	67,5	68,6	69,8	70,1	70,3	70,4	71,5	78,0

В нашем случае каждое значение признака (варианта вариационного ряда) повторилось только один раз, т.е. значение частоты для всех вариант равно единице. Перейдем к интервальному вариационному ряду, так как интересующий нас признак принимает дробные, практически не повторяющиеся значения.

Для этого необходимо определить число интервалов (классов) и длину интервала (классного промежутка), после чего произвести разноску, т.е. подсчитать для каждого интервала число вариант, попавших в него.

Количество классов устанавливают в зависимости от степени точности, с которой ведется обработка, и количества объектов в выборке. Считается удобным при объеме выборки (n) в пределах от 30 до 60 вариант распределять их на 6-7 классов, при n от 60 до 100 вариант — на 7-8 классов, при n от 100 и более вариант — на 9-17 классов.

Нужное количество групп также может быть ориентировочно вычислено по формуле Стерджесса:

где — число групп (классов, интервалов) ряда распределения; n — объем выборки.

Можно также использовать выражение:

При они дают примерно одинаковые результаты.

В рассматриваемом примере о размере прибыли коммерческих банков, n=100. Применяя формулу Стерджесса, получим:

Однако Таким образом, число интервалов может быть равно 8, 9, 10 и т.д.

Нахождение нужного количества групп и их размеров часто бывает взаимообусловлено. Для того, чтобы как-то определиться с числом интервалов, найдем размах вариации — разность между наибольшей и наименьшей вариантой:

$[R=x_{max}-x_{min}]$

где — размах вариации,

$x_{max}$ — наибольшее значение варьирующего признака,

$x_{min}$ — наименьшее значение варьирующего признака.

Найдем размах вариации для рассматриваемой задачи:

Для того, чтобы найти длину интервала (величину классового промежутка) необходимо разделить размах вариации на число классов и полученную величину округлить таким образом, чтобы было удобно производить сначала разноску, а затем и различные вычисления. Рекомендую округлять до единиц, до которых округлены варианты в исходной таблице, в нашем случае до десятых.

$[happrox frac{R}{k}]$

Согласно формуле получаем

$[happrox frac{57,6}{8}=7,2]$

Теперь необходимо определиться с началом первого интервала. Для этого можно использовать формулу:

$[x_1approx x_{min}-frac{h}{2}]$

$[x_1approx 20,4-frac{7,2}{2}=16,8.]$

Замечание. За начало первого интервала можно принять некоторое значение, несколько меньшее $x_{min}$ или само значение $x_{min}$ . Далее в табличном виде я покажу оба варианта.

Прибавив к началу первого интервала (нижней границе) шаг, получим верхнюю границу первого интервала и одновременно нижнюю границу второго интервала. Выполняя последовательно указанные действия, будем находить границы последующих интервалов до тех пор, пока не будет получено или перекрыто $x_{max}$ .

Таким образом, верхняя граница одного интервала одновременно является нижней границей другого интервала. Чтобы не возникало сомнений, в какой интервал отнести варианту, попавшую на границу, условимся относить ее к верхнему интервалу.

Составим теперь рабочую таблицу для построения интервального вариационного ряда и произведем подсчет частот вариант, попавших в тот или иной интервал.

Как и обещал покажу две таблицы построения ряда:

1. Отсчет ведем от $x_{min}$ , т.е. нижняя граница первого интервала совпадает с $x_{min}$ .

Группы банков по размеру прибыли (границы интервалов)	Количество банков, принадлежащих данной группе (частоты, )	Накопленные частоты,
20,4 — 27,6	4	4
27,6 — 34,8	11	15
34,8 — 42	16	31
42 — 49,2	21	52
49,2 — 56,4	21	73
56,4 — 63,6	15	88
63,6 — 70,8	10	98
70,8 — 78	2	100

2. Начало первого интервала определяем с помощью формулы: $x_1approx x_{min}-frac{h}{2}$ .

Группы банков по размеру прибыли (границы интервалов)	Количество банков, принадлежащих данной группе (частоты, )	Накопленные частоты,
16,8 — 24	1	1
24 — 31,2	9	10
31,2 — 38,4	13	23
38,4 — 45,6	17	40
45,6 — 52,8	23	63
52,8 — 60	18	81
60 — 67,2	11	92
67,2 — 74,4	7	99
74,4 — 81,6	1	100

Как мы видим в 1-м случае у нас получилось восемь интервалов, что полностью совпадает с результатом, который нам дала формула Стерджесса. Во втором случае у нас получилось девять интервалов, так как при поиске начала первого интервала пользовались специальной формулой.

Для дальнейшего исследования я буду пользоваться результатами второй таблицы, так как там ярко выражен модальный интервал (одна мода) и медиана практически точно попадает на середину вариационного ряда.

Мы получили интервальный вариационный ряд — упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами попаданий в каждый из них значений величины.

II. Графическая интерпретация вариационных рядов.

№ п/п	Границы интервалов, $[x_{i}; x_{i+1})$	Середины интервалов, $x_{i}^{*}=frac{x_i+x_{i+1}}{2}$	Частоты интервалов,	Относительные частоты $W_i=frac{n_i}{n}$	Плотность относит. частоты $frac{W_i}{h}$	Плотность частоты $frac{n_i}{h}$
1	16,8 — 24	20,4	1	0,01	0,001	0,139
2	24 — 31,2	27,6	9	0,09	0,013	1,250
3	31,2 — 38,4	34,8	13	0,13	0,018	1,806
4	38,4 — 45,6	42	17	0,17	0,024	2,361
5	45,6 — 52,8	49,2	23	0,23	0,032	3,194
6	52,8 — 60	56,4	18	0,18	0,025	2,500
7	60 — 67,2	63,6	11	0,11	0,015	1,528
8	67,2 — 74,4	70,8	7	0,07	0,010	0,972
9	74,4 — 81,6	78	1	0,01	0,001	0,139

Строим графики:

Далее найдем моду вариационного ряда:

$[M_o(X)=x_{M_o}+hfrac{(n_2-n_1)}{(n_2-n_1)+(n_2-n_3)}]$

где

$x_{M_o}$ — начало модального интервала;

— длина частичного интервала (шаг);

n_1 — частота предмодального интервала;

n_2 — частота модального интервала;

— частота послемодального интервала.

Определим модальный интервал — интервал, имеющий наибольшую частоту. Из таблицы видно, что модальным является интервал (45,6 — 52,8).

$[M_o(X)=45,6+7,2frac{(23-17)}{(23-17)+(23-18)}=]$

$[=45,6+7,2cdot frac{6}{6+5}=45,6+3,93=49,5]$

Медиана

Для интервального ряда медиана находится по формуле:

$[M_e(X)=x_{M_e}+hfrac{0,5n-S_{M_{e}-1}}{n_{M_e}}]$

где

$x_{M_e}$ — начало медианного интервала;

— длина частичного интервала (шаг);

— объем совокупности;

$S_{M_{e}-1}$ — накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

$n_{M_e}$ — частота медианного интервала.

Определим медианный интервал — интервал, в котором впервые накопленная частота превышает половину объема выборки.Так как объем выборки n=100, то n/2=50. По таблице найдем интервал, где впервые накопленные частоты превысят это значение. Таким является интервал (45,6 — 52,8).

Получаем,

$[M_e(X)=45,6+7,2frac{0,5cdot 100-40}{23}approx 48,7.]$

III. Расчет сводных характеристик выборки.

Для определения $x_B, D_{B}, sigma_{B}$ составим расчетную таблицу. Для начала определимся с ложным нулем С. В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту).

Варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю. В нашем случае С=49,2.

Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h.

Условными называют варианты, определяемые равенством:

$[U_i=frac{(x_i-C)}{h}]$

Произведем расчет условных вариант согласно формуле:

$[U_1=frac{20,4-49,2}{7,2}=-4]$

$[U_2=frac{27,6-49,2}{7,2}=-3]$

$[U_3=frac{34,8-49,2}{7,2}=-2]$

$[U_4=frac{42-49,2}{7,2}=-1]$

$[U_5=frac{49,2-49,2}{7,2}=0]$

$[U_6=frac{56,4-49,2}{7,2}=1]$

$[U_7=frac{63,6-49,2}{7,2}=2]$

$[U_8=frac{70,8-49,2}{7,2}=3]$

$[U_9=frac{78-49,2}{7,2}=4]$

N п/п	Середины интервалов, $x_{i}^{*}$	Частоты интервалов,	Условные варианты,	Произведения частот и условных вариант,	Произведения частот и условных вариант,	Произведения частот и условных вариант,	Произведения частот и условных вариант,	Произведения частот и условных вариант,	Произведения частот и условных вариант,
1	20,4	1	-4	-4	16	-64	256	9	81
2	27,6	9	-3	-27	81	-243	729	36	144
3	34,8	13	-2	-26	52	-104	208	13	13
4	42	17	-1	-17	17	-17	17	0	0
5	49,2	23	0	0	0	0	0	23	23
6	56,4	18	1	18	18	18	18	72	288
7	63,6	11	2	22	44	88	176	99	891
8	70,8	7	3	21	63	189	567	112	1792
9	78	1	4	4	16	64	256	25	625

Контроль:

$[sum n_i U_i^2 + 2sum n_iU_i+n=sum n_i{(U_i+1)}^2]$

$[sum n_i{(U_i+1)}^2=389]$

Контроль:

$[sum n_i U_i^4 + 4sum n_iU_i^3+6sum n_iU_i^2+4sum n_iU_i+n=sum n_i{(U_i+1)}^4]$

$[sum n_i{(U_i+1)}^4=3857]$

Равенство выполнено, следовательно вычисления произведены верно.

Вычислим условные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков:

$[M_1^{*}=frac{sum n_iU_i}{n}=frac{-9}{100}=-0,09;]$

$[M_2^{*}=frac{sum n_iU_i^2}{n}=frac{307}{100}=3,07;]$

$[M_3^{*}=frac{sum n_iU_i^3}{n}=frac{-69}{100}=-0,69;]$

$[M_4^{*}=frac{sum n_iU_i^4}{n}=frac{2227}{100}=22,27.]$

Найдем выборочные среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение :

$[x_{B}=M_1^{*}cdot h+C=-0,09cdot 7,2+49,2=48,552;]$

$[D_{B}=(M_2^{*}-{(M_1^{*})}^2)h^2=(3,07-{(-0,09)}^2){7,2}^2approx 158,73.]$

$[sigma_{B}=sqrt{D_B}=sqrt{158,73}=12,6.]$

Также для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют такие характеристики, как асимметрия и эксцесс.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

$[a_s=frac{m_3}{sigma_B^3}]$

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если слева — отрицательна.

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством:

$[e_k=frac{m_4}{sigma_B^4}-3]$

где — центральный эмпирический момент четвертого порядка.

Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Вычисляем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

$[m_3=(M_3^*-3M_1^*M_2^*+2{(M_1^*)}^3)cdot h^3=51,3;]$

$[m_4=(M_4^*-4M_3^*M_1^*+6M_2^*{(M_1^*)}^2-3{(M_1^*)}^4)cdot h^4=59580,97;]$

Найдем асимметрию и эксцесс:

$[a_s=frac{51,3}{{12,6}^3}=0,026]$

$[e_k=frac{59580,97}{{12,6}^4}-3=-0,635]$

IV. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.

Проверим генеральную совокупность значений размера прибыли банков по критерию Пирсона

Правило. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу : генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:

$[chi^2_{nabl}=sum frac{ {(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^{'}}]$

и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку $chi^2_{kp}(alpha;k)$ , где s — количество интервалов.

Если $chi^2_{nabl}<chi^2_{kp}$ — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если $chi^2_{nabl}>chi^2_{kp}$ — нулевую гипотезу отвергают.

Найдем теоретические частоты , для этого составим следующую таблицу.

Середины интервалов, $x_{i}^{*}$	Частоты интервалов,	Произведем расчет, $x_{i}^{*}-x_B$	Произведем расчет, $V_i=frac{(x_{i}^{*}-x_B)}{sigma_B}$	Значения функции Гаусса,	Произведем расчет, $frac{nh}{sigma_B}$	Теоретические частоты, $n_i^{'}=57 cdotvarphi(V_i)$
20,4	1	-28,152	-2,23	0,0332	57	2
27,6	9	-20,952	-1,66	0,1006	57	6
34,8	13	-13,752	-1,09	0,2203	57	13
42	17	-6,552	-0,52	0,3485	57	20
49,2	23	0,648	0,05	0,3984	57	23
56,4	18	7,848	0,62	0,3292	57	19
63,6	11	15,048	1,19	0,1965	57	11
70,8	7	22,248	1,77	0,0833	57	5
78	1	29,448	2,34	0,0258	57	1
						$sum n_i^{'}=100$

Вычислим $chi^2_{nabl}$ , для чего составим расчетную таблицу.

		$n_i^{'}$	$n_i-n_i^{'}$	${(n_i-n_i^{'})}^2$	$frac{{(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^'}$		$frac{n_i^2}{n_i^{'}}$
1	1	2	-1	1	0,5	1	0,5
2	9	6	3	9	1,5	81	13,5
3	13	13	0	0	0	169	13
4	17	20	-3	9	0,45	289	14,45
5	23	23	0	0	0	529	23
6	18	19	-1	1	0,05	324	17,05
7	11	11	0	0	0	121	11
8	7	5	2	4	0,8	49	9,8
9	1	1	0	0	0	1	1
	100	100			Наблюдаемое значение критерия, $chi^2_{nabl}=3,30$		103,30

Контроль:

$[sumfrac{n_i^2}{n_i^{'}}-n=sum frac{{(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^'}]$

$[sumfrac{n_i^2}{n_i'}-n=103,3-100=3,3]$

$[sum frac{{(n_i-n_i')}^2}{n_i'}=3,3]$

Вычисления произведены правильно.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариант) s=9;

По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы k=6 находим $chi^2_{kp}(0,025;6)=14,4.$

Так как $chi^2_{nabl}<chi^2_{kp}$ — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначительное. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

На рисунке построены нормальная (теоретическая) кривая по теоретическим частотам (зеленый график) и полигон наблюдаемых частот (коричневый график). Сравнение графиков наглядно показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.

V. Интервальные оценки.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания (а) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении sigma генеральной совокупности служит доверительный интервал

$[x_B-frac{tsigma}{sqrt{n}}<a<x_B+frac{tsigma}{sqrt{n}},]$

где $frac{tsigma}{sqrt{n}}=delta$ — точность оценки, n — объем выборки, t — значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2), при котором $phi(t)=frac{gamma}{2}$ ;

при неизвестном среднем квадратическом отклонении sigma (и объеме выборки n<30)

$[x_B-frac{t_{gamma}cdot S}{sqrt{n}}<a<x_B+frac{t_{gamma}cdot S}{sqrt{n}},]$

$[S=sqrt{frac{n}{n-1}D_B}]$

где S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, $t_{gamma}$ находят по таблице приложения по заданным n и .

В нашем примере среднее квадратическое отклонение известно, . А также , , . Поэтому для поиска доверительного интервала используем первую формулу:

$[x_B-frac{tsigma}{sqrt{n}}<a<x_B+frac{tsigma}{sqrt{n}}]$

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения $phi(t)=frac{0,95}{2}=0,475.$ По таблице приложения находим t=1,96. Подставив t=1,96, , , в формулу, окончательно получим искомый доверительный интервал:

$[48,55-frac{1,96cdot 12,6}{10}<a<48,55+frac{1,96cdot 12,6}{10}]$

Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака Х по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению S служит доверительный интервал

(при q<1), (*)

(при q>1),

где q — находят по таблице приложения по заданным n и .

По данным и n=100 по таблице приложения 4 найдем q=0,143. Так как q<1, то, подставив $S=sqrt{frac{n}{n-1}D_B}=sqrt{frac{100}{99}cdot 158,73}approx 12,66, quad quad q=0,143$ в соотношение (*), получим доверительный интервал:

Источник

Содержание:

В результате статистической обработки материалов, полученных при измерении величины явления, можно подсчитать число единиц, обладающих конкретным значением того или иного признака.

Допустим, что в качестве изучаемого признака взят вес детали. Будем обозначать этот признак X. Измерения веса, например, 50 деталей дали следующие результаты (в г): 83, 85, 81, 82, 84, 82, 79, 84, 80, 81, 82, 82, 80, 82, 80, 82, 83, 84, 79, 79, 83, 82, 83, 85, 82, 82, 81, 80, 82, 82, .83,80, 82, 85, 81, 83, 81, 81, 83, 82, 81, 85, 83, 79, 81, 85, 81, 84, 81, 82.

Условились каждое отдельное значение признака обозначать

Если мы расположим отдельные значения признака (варианты) в возрастающем или убывающем порядке и укажем относительно каждого варианта, как часто он встречался в данной совокупности, то получим распределение признака, или вариационный ряд.

Вариационные ряды и их характеристики

Построим вариационный ряд для приведенного выше примера. Для этого находим наименьший вариант, равный 79 г, и, располагая варианты в возрастающем порядке, подсчитываем их частоту. Так, вариант 79 г встречается 4 раза, вариант 80 г — 5 раз и т. д. Расположим полученные варианты следующим образом (см. табл. 1).

Такой ряд называется вариационным рядом; он характеризует изменение (варьирование) какого-нибудь количественного признака (в нашем примере варьирование веса деталей). Следовательно, вариационный ряд представляет собой две строки (или колонки). В одной из них приводятся варианты, а в другой частоты.

Виды вариации

Вариация признака может быть дискретной и непрерывной. Дискретной вариацией признака называется такая, при которой отдельные значения признака (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (обычно целое число), т. е. даны в виде прерывных чисел. Непрерывной называется вариация, при которой значения признака могут отличаться одно от другого на сколь угодно малую величину. В качестве примера можно привести: для дискретной вариации признака — число станков, обслуживаемых одним рабочим, число семян в 1 кг и т. д.; для непрерывной вариации признака— процент выполнения рабочим нормы выработки, вес одного семени и т. д.

При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся не к отдельному значению признака, как это бывает при дискретной вариации, а ко всему интервалу. Часто за значение интервала принимают его середину, т. е. центральное значение. В качестве примера можно привести интервальный вариационный ряд по проценту выполнения норм выработки.

Пример 1.

Распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки.

Частость

Нередко вместо абсолютных значений. частот используют относительные величины. Для этой цели можно использовать долю частоты того или иного варианта (а также интервала) в сумме всех частот. Такая величина называется частостью и обозначается

Мы имеем частоты

Для получения суммы всех частот их нужно сложить

В математике используется знак (греческая буква сигма заглавная), означающий суммирование.

Следовательно, можно записать:

где значки 1=1 и i=n под и над показывают, что суммированию подлежат все при условии, что i принимает все целые значения от 1 до n.

В дальнейшем в подобных случаях (т. е. при суммировании по подстрочному номеру i) мы не будем записывать значения, принимаемые i, но будем помнить смысл записи (уже без указания значений, принимаемых i).

Для получения частости каждого варианта или интервала-нужно его частоту разделить на
и т.д.,
где — частость первого варианта или интервала, — второго и т. д.

Вычислим частости, используя данные табл. 1:

Сумма всех частостей равна 1:

В нашем примере
0,08+0,1+0,2+0,28+0,16+0,08+0,1 = 1,00.
Частости можно выражать и в процентах (тогда сумма всех частостей равна 100%).

Границы интервалов

В интервальном вариационном ряду в каждом интервале различают нижнюю и верхнюю границы интервала:

нижняя граница интервала
верхняя граница интервала
величина интервала

При построении интервальных вариационных рядов в каждый интервал включаются варианты, числовые значения которых больше нижней границы и меньше или равны верхней грани це. Так, в табл.12 в интервал 95—100% попадают все рабочие, выполнившие нормы выработки от 95 до 100% включительно. Рабочие, выполнившие план на 100,01%, попадают в следующий интервал. Разумеется надо стремиться строить интервалы так, чтобы избегать попадания значительного числа случаев на границы интервалов.

Интервальные вариационные ряды бывают с одинаковыми и неодинаковыми интервалами. В последнем случае чаще всего встречаются интервалы последовательно увеличивающиеся.

Пример 2.

Вариационный ряд с равными интервалами:

Пример 2а.

Вариационный ряд с последовательно увеличивающимися интервалами:

Свойства сумм

Как видно (и из дальнейшего изучения материала), нам приходится иметь дело с суммами. Рассмотрим некоторые свойства сумм.

1) Сумма ограниченного числа слагаемых, имеющих одну и ту же величину (сумма постоянной), равна произведению величины слагаемых на их число:

2) Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака суммы и введен под знак суммы:

3) Сумма алгебраической суммы нескольких переменных равна алгебраической сумме сумм каждой переменной:

(легко обобщается на большее число слагаемых).

Величина интервала

Для выбора оптимальной величины интервала, т. е. такой величины интервала, при которой вариационный ряд не будет очень громоздким и в нем не исчезнут особенности явления, можно рекомендовать формулу:

где n — число единиц в совокупности.

Так, если в совокупности 200 единиц наибольший вариант равен 49,961, а наименьший — 49,918, то

Следовательно, в данном случае оптимальной величиной интервала может служить величина 0,005.

Плотность распределения

В качестве характеристики ряда распределения применяют плотность распределения, которую вычисляют как отношение-частот или частостей к величине интервала.

Различают абсолютную плотность распределения:

и относительную плотность распределения:

где -— плотности распределения, абсолютная (со значком А) и относительная (со значком О).

Пример 3.

По данным примера 2 вычислим относительную плотность распределения. Для первого интервала

для второго интервала

Расщепление интервалов

Часто возникает необходимость в расщеплении интервалов. Для этой цели можно воспользоваться следующим методом для интервальных вариационных рядов с равными интервалами.

Расщепление производится при предположении, что плотность вариационного ряда изменяется по параболе второго порядка. Имеется в виду, что весь интервал разбивается на две части: первую, составляющую долю в величине интервала, и вторую 1—. Соответственно частость расщепляемого интервала F распадается на В этом случае:

где А — частость интервала, предшествующего расщепляемому;

В — частость расщепляемого интервала;

С — частость интервала, последующего за расщепляемым;

— приращение частости интервала, предшествующего расщепляемому ();

— второе приращение частостей — (В—А)=С—2В+А].

Пример 4.

По данным примера 2 произведем расщепление интервала 100—125% на две части, выделим часть интервала 100—120% и определим удельный вес рабочих, выполняющих норму выработки от 100 до 120%.

Имеем:

Получаем частость по соответствующей формуле:

В случае неравных интервалов вычисление усложняется.

Графические методы изображения вариационных рядов

Большое значение для наглядного представления вариационного ряда имеют графические методы его изображения. Вариационный ряд графически может быть изображен в виде полигона, гистограммы, кумуляты и огивы.

Полигон распределения (Дословно – многоугольник распределения) строится в прямоугольной системе координат. Величина признака откладывается на оси абсцисс, частоты или частости (точнее — плотности распределения) — по оси ординат.

На оси абсцисс отмечаются точки, соответствующие, величине вариантов, и из них восстанавливаются ординаты (перпендикуляры), длина которых соответствует численности этих вариантов. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Чаще всего полигоны применяются для изображения дискретных вариационных рядов, но могут быть применены и для интервальных рядов. В этом случае ординаты, пропорциональные частоте или частости интервала, восстанавливаются перпендикулярно оси абсцисс в точке, соответствующей середине данного интервала. Для замыкания крайние ординаты соединяются с •серединой интервалов, в которых частоты или частости равны нулю.

Пример 5.

По данным примера 1 строим полигон.

Гистограмма распределения строится аналогично полигону в прямоугольной системе координат. В отличие от полигона при построении гистограммы на оси абсцисс берутся не точки, а отрезки, изображающие интервал, а вместо ординат, соответствующих частотам или частостям отдельных вариантов, строят прямоугольники с высотой, пропорциональной частотам или частостям интервала.

В случае неравенства интервалов гистограмма распределения строится не по частотам или частостям, а по плотности интервалов (абсолютной или относительной). При этом общая площадь гистограммы равна численности совокупности, если построение производится по абсолютной плотности, или единице, если гистограмма построена по относительной плотности.

Если соединить прямыми линиями середины верхних сторон прямоугольников, то получим полигоны распределения.

Разбивая интервалы на несколько частей и исходя из того, что вся площадь гистограммы должна остаться при этом неизменной, можно получить мелкоступенчатую гистограмму, которая в пределе (за счет уменьшения величины интервала) перейдет в плавную кривую, называемую кривой распределения.

Пример 6.

Имеются данные о диаметре 200 валиков (см. табл. 4).

Чтобы по этим данным построить вариационный ряд с равными интервалами, изобразить его с помощью гистограммы, а затем превратить ее в мелкоступенчатую, производим следующие действия:

а) Выбираем наименьший вариант, а затем наибольший и находим между ними разность. Делим полученную разность на число проектируемых интервалов и получаем величину каждого интервала.

Так, наименьший интервал 49,918, наибольший — 49,961. Разность 49,961—49,918=0,043.

Допустим, мы хотим получить пять интервалов, тогда величина каждого интервала равна

Следовательно, будем иметь такие интервалы:

49,918—49,928; 49,928—49,938 и т. д.

Строим рабочую таблицу, в которой подсчитываем численность каждого интервала путём . разноски данных из табл. 4 в рабочую табл. 5 и проставления черточек, соответствующих единице счета. По мере накопления четырех черточек перечеркиваем их одной чертой и ведем счет пятками (см. табл. 5).

На основании рабочей таблицы получаем следующий вариационный ряд (см. табл. 6).

б) По полученному вариационному ряду строим гистограмму распределения: на оси абсцисс откладываем диаметры валиков, начиная с 49,918 до 49,968, а на оси ординат проставляем масштаб; далее строим прямоугольники с высотой, пропорциональной количеству валиков в каждом интервале.

Соединяем прямыми линиями середины верхних сторон прямоугольников и получаем полигон (см. график 2).

Для получения мелкоступенчатой гистограммы разбиваем интервалы на две равные части и получаем:

Если построить гистограмму по новому вариационному ряду, с уменьшенными интервалами, то получим гистограмму с более мелкими ступенями. Учет требования о неизменности площади гистограммы приводит к необходимости увеличить масштаб оси ординат вдвое.

Можно продолжить процесс расчленения интервалов и дальше, получая все более и более мелкоступенчатую гистограмму.

Кумулятивная кривая (кривая сумм — кумулята) получается при изображении вариационного ряда с накопленными частотами или частостями в прямоугольной системе координат. При построении кумуляты дискретного признака на ось абсцисс наносятся значения признака (варианты). Ординатами служат вертикальные отрезки, длина которых пропорциональна накопленной частоте или частости того или иного варианта. Соединением вершин ординат прямыми линиями получаем ломаную (кривую) кумуляту.

Пример 7.

По данным табл. 4 построить кумуляту.

Составляем дискретный вариационный ряд с накопленными частотами (при наличии частостей можно для построения кумуляты пользоваться ими; см. табл. 8).

Накопленная частота определенного варианта получается суммированием всех частот вариантов, предшествующих данному, с частотой этого варианта.

Используя накопленные частоты, строим кумуляту.

При построении кумуляты- интервального вариационного ряда нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе — вся частота интервала. Верхней границе второго интервала соответствует накопленная частота первых двух интервалов (т. е. сумма частот этих интервалов) и т. д. Верхней границе последнего (максимального) интервала соответствует накопленная частота, равная сумме всех частот.

Пример 8.

По данным табл. 7 построить кумуляту.

Составляем интервальный вариационный ряд с накопленными частотами (см. табл. 9). По полученным накопленным частотам строим кумуляту (см. график 5).

Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что на ось абсцисс наносят накопленные частоты, а на ось ординат — значения признака. Если лист бумаги, на котором изображена кумулята, повернуть на 90° и посмотреть на него с обратной стороны на свет, то можно увидеть огиву.

График 5. Кумулята интервального вариационного ряда

Пример 9. По данным табл. 9 построим огиву (см. график 6)-

Накопленные частоты можно получать не только в восходящем порядке, но и в нисходящем, тогда частоты вариантов суммируются снизу вверх.

Пример 10.

По данным табл. 7. вычислить накопленные частоты в нисходящем порядке.

Средние величины

В качестве одной из важнейших характеристик вариационного ряда применяют среднюю величину. Математическая статистика различает ряд типов средних величин: арифметическую, геометрическую, гармоническую, квадратическую, кубическую и др. Все перечисленные типы средних могут быть исчислены для случаев, когда каждый из вариантов вариационного ряда встречается только один раз, — тогда средняя называется простой или невзвешенной, — и для случаев, когда варианты или интервалы повторяются различное число раз. При этом число повторений вариантов или интервалов называют частотой или статистическим весом, а среднюю, вычисленную с учетом статистического веса, —взвешенной средней.

Выбор одного из перечисленных типов средних для характеристики вариационного ряда производится не произвольно, а в зависимости от особенностей изучаемого явления и цели, для которой средняя исчисляется.

Практически при выборе того или другого типа средней следует исходить из принципа осмысленности результата при суммировании или при взвешивании. Только тогда средняя применена правильно, когда в результате взвешивания или суммирования получаются величины, имеющие реальный смысл.

Обычно затруднения при выборе типа средней возникают лишь в использовании средней арифметической или гармонической. Что же касается геометрической и квадратической средних, то их применение ограничено особыми случаями (см. далее).

Следует иметь в виду, что средняя только в том случае является обобщающей характеристикой, если она применяется к однородной совокупности., В случае использования средней для неоднородных совокупностей можно прийти к неверным выводам. Научной – основой статистического анализа является метод статистических группировок, т. е. расчленения совокупности на качественно однородные группы.

Степенная средняя

Все указанные типы средних величин могут быть получены из формул степенной средней. Если имеются варианты то средняя из вариант тов может быть исчислена по формуле простой невзвешенной степенной средней порядка z

При наличии соответствующих частот средняя исчисляется по формуле взвешенной степенной средней

где — степенная средняя;

z — показатель степени, определяющий тип средней;

х — варианты;

m — частоты или статистические веса вариантов.

Средняя арифметическая получается из формулы степенной средней при подстановке z=1

средняя арифметическая невзвешенная и

средняя арифметическая взвешенная.

Пример 11.

Измерения 20 единиц продукции дали следующие результаты (колонки 1 и 2):

Вычислить средний размер единицы продукции.

Находим среднюю арифметическую. Для этого исчисляем в табл. 11 колонку 3

Здесь умножение значения признака на вес и суммирование этих произведений дает общий размер продукции, т. е. имеет реальный смысл.

Средняя гармоническая получается при подстановке в формулу степенной средней значения z =—1.

Средняя гармоническая простая

Средняя гармоническая взвешенная

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, т. е. когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины

или

Пример 12.

По следующим данным о работе 22 рабочих в течение 6 часов вычислить среднюю гармоническую взвешенную.

В данном случае взвешивание состоит в делении по каждой группе количества рабочих (m) на затраты времени по изготовлению одной детали (х). Для проверки правильности выбора типа средней осмыслим результат взвешивания. Исходя из того, что все рабочие работали по 6 часов, количество рабочих можно рассматривать как величину, определяющую общие затраты времени. Тогда результат деления представит вполне осмысленную величину:

Таким образом, средняя гармоническая в данном примере применена правильно. При использовании средней гармонической для упрощения расчетов целесообразно пользоваться таблицами обратных чисел (см. приложение VIII).

Средняя квадратическая получается из формулы степенной средней при подстановке z=2

средняя квадратическая невзвешенная и

средняя квадратическая взвешенная.

Средняя квадратическая используется только в тех случаях, когда варианты представляют собой отклонения фактических величин от их средней арифметической или от заданной нормы.

Пример 13.

Имеются результаты измерения отклонений фактической длины изделий от заданной нормы.

Вычислим среднюю величину отклонений.

Находим среднюю квадратическую взвешенную; для этого исчисляем в табл. 13 колонки 3 и 4:

Значит, средняя величина отклонений фактической длины изделий от заданной нормы составляет 1,08 мм. В данном случае средняя арифметическая была бы непригодна, так как в результате мы получили бы нуль

Средняя геометрическая получается из формулы степенной средней при подстановке z=0:

Для раскрытия неопределенности этого вида прологарифмируем обе части равенства:

Теперь при подстановке z в правую часть равенства получаем неопределенность вида Используя правило Лопиталя и дифференцируя отдельно числитель и знаменатель по переменной z, получаем:

Таким образом:

Потенцируя, находим среднюю:

Это и есть формула средней геометрической невзвешенной, которая записывается сокращенно так:

где П — знак произведения;

n — число вариантов.

Если использовать частоты (m), то средняя геометрическая взвешенная примет следующий вид:

Вычисления средней геометрической в значительной мере упрощаются применением логарифмирования. Для невзвешенной средней геометрической получаем:

Для взвешенной средней геометрической:

Таким образом, логарифм средней геометрической есть средняя арифметическая, из логарифмов вариантов (см. формулы средней арифметической).

Средняя геометрическая используется главным образом при изучении динамики (см. раздел II).

Расчет средних коэффициентов и темпов. роста производится по формулам средней геометрической.

Пример 14.

Выпуск промышленной продукции производился предприятием в следующих размерах:

Чтобы найти средний месячный коэффициент и темп роста промышленной продукции, определяем помесячные коэффициенты роста , которые в данном случае и являются вариантами:

Из найденных трех помесячных коэффициентов роста (вариантов) определяем средний месячный коэффициент роста по формуле средней геометрической. Для этого найденные коэффициенты роста перемножаются и из произведения извлекается корень третьей степени

Из разобранного примера можно сделать два вывода: во-первых, что произведение трех найденных коэффициентов роста можно получить без их предварительного исчисления путем деления апрельского объема продукции (12,0) на январский объем (10,2):

и, во-вторых, что показатель степени корня, равный трем (число коэффициентов роста), можно получить вычитанием единицы из числа приведенных в примере месяцев (четыре).

Таким образом, наиболее удобной для исчисления среднего коэффициента роста следует считать формулу:

где n — число приведенных дат или периодов;

— последний член ряда;

— первый член ряда.

Математические свойства средней арифметической

Из вышеуказанных средних наиболее часто применяется средняя арифметическая. Знание свойств средней арифметической позволяет упрощенно ее вычислять.

Математические свойства средней арифметической:

1) Средняя постоянной величины равна этой же постоянной

величине.

2) Сумма отклонений от средней, умноженных на веса (частоты), равна нулю:

(если все веса равны единице)
или

Докажем это свойство для средней взвешенной.

Имеем: варианты

частоты

откуда

Подводя под общий знак суммы, получаем:

Следовательно,

Пример 15.

Вычислить среднюю (по колонкам 1 и 2) и убедиться в правильности выведенной формулы.

3) Если у всех вариантов х частоты m равны друг другу, то средняя арифметическая взвешенная равна средней арифметической невзвешенной.

Имеем

Тогда:

4) Если из всех вариантов (х) вычесть постоянную величину и из результатов вычитания, т. е. из отклонений вариантов от этой постоянной величины вычислить среднюю то она окажется меньше искомой средней на эту постоянную величину Поэтому, чтобы получить среднюю из вариантов нужно к найденной средней прибавить ту же постоянную величину:

если

Доказательство.

Имеем отклонения от постоянной величины обозначенные

Находим среднюю из

Откуда

Пример 16.

Вычислить среднюю путем вычитания 1000 из всех вариантов по следующим данным (колонки 1 и 2).
.

Пример 17.

Используя данные прёдыдущего примера, можно убедиться, что если за взять не 1000, а 1004, то величина средней не изменится.

5) Если все варианты (х) уменьшить в одно и то же число раз, т. е. разделить на постоянную величину (k), и из частных вычислить среднюю, то онa окажется уменьшенной в такое же число раз, а поэтому, чтобы получить среднюю из вариантов нужно найденную среднюю умножить на ту же постоянную величину (k):

Доказательство.

Имеем частные от деления вариантов х на постоянную величину k, обозначенные х’:

Находим среднюю из

откуда

Пример 18.

Вычислить среднюю путем деления всех вариантов на 100 по следующим данным (колонки 1 и 2):

6) При вычислении средней вместо абсолютных значений весов (m) можно использовать относительные величины структуры (частости), т. е. удельные веса отдельных частот в общей сумме всех частот (см. § 4), или относительные величины координации, которые получаются путем отношения частот всех вариантов к одной из частот, принятой за единицу

Если же удельные веса частот выражены в процентах, то

где — частость, т. е. доля частоты варианта в общей сумме частот.

Доказательство.

Значит

Пример 19.

Вычислить средний размер детали по следующим данным (колонки 1 и 2):

Предварительно найдем относительные величины структуры (колонка 3), а затем вычислим средний размер детали, используя их в качестве весов:

Если теперь вычислить средний размер детали, используя в качестве весов частоты, то получим:

что согласуется с результатом, полученным ранее.

Для вычисления средней можно было использовать колонку 4 :

7) Если в частотах (m) имеется общий множитель (A), то его можно при вычислении средней не принимать во внимание т. е. взвешивание производить по сокращенным частотам Численное значение средней от замены частот (m) на сокращенные частоты не изменится

Доказательство.

Имеем:

Разделим частоты на общий множитель А, содержащийся в них:

Тогда

Пример 20.

Вычислить среднюю по данным табл. 20 (колонки 1 и 2), произведя взвешивание вариантов по сокращенным весам.

Вычисляем среднюю по указанной формуле, предварительно сократив веса и заполнив колонки 3 и 4.

8) Общая средняя равна-.-взвешенной средней из частных средних:

где — частные средние, т. е. средние для отдельных групп совокупности;

— средняя из вариантов первой группы;

— средняя из вариантов второй группы и т. д.;

— частоты отдельных групп;

— частота первой группы;

— частота второй группы и т. д.

Доказательство.

Пусть имеются частные средние:

Найдем среднюю для всей совокупности:

Пример 21.

В трех, партиях продукции численностью 1000, 2000 и 500 единиц найден средний вес детали (в кг): 3,3; 3,1; 3,7. Вычислить средний вес детали во всех трех партиях

9) Сумма квадратов отклонений от средней меньше суммы квадратов отклонений от произвольной величины (В) на величину поправки С, равной произведению объема совокупности на квадрат разности между средней и данной произвольной величиной:

для случая невзвешенной средней или

для случая взвешенной средней.

Доказательство для случая невзвешенной средней.

Имеем:

Пользуясь свойствами сумм (см. стр. 11), производим преобразования:

На основании второго свойства средней арифметической а поэтому

откуда

Пример 22.

По данным табл. 21 (колонки 1 и 2) убедиться в правильности указанных соотношений.

Вычисляем колонки 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и находим:

Подставляя полученные результаты в формулу

имеем:

Метод отсчета от условного нуля

Упрощенное вычисление средней, состоящее в использовании ряда ее свойств, называется методом отсчета от условного нуля и предполагает:

вычитание из всех вариантов начала отсчета или «ложного нуля»
деление всех вариантов или отклонений вариантов от начала отсчета на общий множитель, содержащийся в них (k);
условное принятие центра интервала за значение признака всех единиц в данном интервале.

Кроме того, в качестве весов используют сокращенные частоты или относительные величины (структуры или координации).

Формула исчисления средней методом отсчета от условного нуля:

где , т. е. отклонение от начала отсчета делится на общий множитель, а исчисление средней из в зависимости от того, какими весами мы располагаем, производится по одной из следующих формул:

где — относительные величины координации (см. табл. 19).

Пример 23.

Вычислить средний вес зерен (на ) по данным колонок 1 и 2 табл. 22 (см. стр. 38), используя метод отсчета от условного нуля.

Используем формулу предварительно заполнив колонки 3, 4, 5 и 6 табл. 22:

Метод стандартизации средних

Часто сравниваемые совокупности неоднородны по своему составу, и выводы при использовании средних для подобных сравнений могут оказаться неправильными. Чтобы .этого избежать, используют метод стандартизации.

Метод стандартизации средних наиболее разработан в статистике населения (демографической) и медицинской статистике, когда производится сравнение совокупностей с различными Структурами. Стандартизация достигается элиминированием (устранением) влияния различия в структурах совокупностей. Результат сравнения характеризует различие в средних при условии, что структура сравниваемых совокупностей одинакова.

Рассмотрим применение метода стандартизации на примере из медицинской статистики. Имеются данные о двух больницах А и Б по отделениям и в целом.

Получается парадоксальное положение, при котором по больнице Б итоговая (общая) летальность (8,4%) ниже, чем в больнице А (9,2%), хотя по всем отделениям летальность в больнице Б выше (см. последние две колонки).

Причиной этого парадокса является отличие удельных весов разных отделений в больницах. Доля терапевтического отделения (по числу больных) с самой высокой летальностью составляет в больнице А 60%„ а в больнице Б — 20%, а доля хирургического отделения, с самой низкой летальностью, в больнице А — 20%, а в больнице Б — 60%.

Устраним влияние различия в структурах и стандартизуем распределение больных по отделениям. В качестве стандарта можно взять распределение больных по отделениям в любой больнице или привлечь данные о распределении больных нескольких других больниц. Возьмем за стандарт распределение больных в больнице А. Тогда по больнице А общая летальность (9,2%) останется без изменения. По больнице Б произведем пересчет.

Находим среднюю стандартизованную летальность больных больницы Б:

Таким образом, после стандартизации летальность в больнице Б оказалась значительно выше,, чем в больнице А:

Следует иметь в виду, что полученное значение стандартизованной средней может служить только для сравнительных целей, абсолютное же ее значение принимать во внимание не следует.

Если за стандарт принять распределение больных в больнице Б, то получим следующую стандартизованную летальность для больницы А:

а отношение стандартизованных средних почти не изменится:

Мажорантность средних

Если вычислить различные типы средних для одного и того же вариационного ряда, то численные их значения будут отличаться друг от друга. При этом средние по своей величине расположатся в определенном порядке. Наименьшей из перечисленных средних окажется средняя гармоническая, затем геометрическая и т. д., наибольшей — средняя квадратическая. Порядок возрастания средних при этом определяется показателем степени z в формуле степенной средней и вытекает из «правила мажорантности».

Так,
при z= —1 получаем среднюю гармоническую,

при z= 0 »» геометрическую,

при z= 1 »» арифметическую,

при z= 2 »» квадратическую:

Подробное выяснение общего условия мажорантности впервые было произведено А. Я. Боярским, доказавшим, что если две средние должны удовлетворять соответственно уравнениям

то первая из них мажорантна в отношении если при любом значении аргумента

Для степенной средней порядка z имеем:

Это отношение для положительных значений с показателем x растет вместе с показателем z.

Пример 24.

Вычислить различные типы средних,по следующим данным (колонки 1 и 2) и убедиться в правильности порядка возрастания средних:

Заполняем колонки с 3-й по 8-ю и по соответствующим формулам исчисляем средние взвешенные:

Порядок средних определился в соответствии с правилом мажорантности:

17,41 < 18,14 < 18,8< 19,37.

Медиана

В качестве характеристики вариационного ряда применяется медиана (), т. е. такое значение варьирующего признака, которое приходится на середину упорядоченного вариационного ряда. Если в вариационном ряде 2m + 1 случаев, то значение признака у случая m + 1 будет медианным. Если в ряду четное число 2m случаев, то медиана равна средней арифметической из двух срединных значений.

Формулы для исчисления медианы при нечетном и четном числе вариантов:

Пример 25.

Дано девять вариантов признака х, расположенных в возрастающем порядке:

Вычислить медиану.

Имеем нёчетное число вариантов:

Находим медиану

Пример 26.

Дано 12 вариантов признака х, расположенных в возрастающем порядке:

Ищем медиану.

Имеем четное число вариантов:

При исчислении медианы интервального вариационного ряда сначала находят интервал, содержащий медиану, путем использования накопленных частот или частостей. Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот или частостей, превышающая половину всего объема совокупности.

Для нахождения медианы при постоянстве плотности внутри интервала, содержащего медиану, используют следующую формулу:

где —нижняя граница медианного интервала;

k — интервальная разность;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

— частота медианного интервала.

Пример 27.

По данным табл. 7 вычислить медиану.

Используем табл. 9, в которой дана колонка накопленных частот. Так как вариационный ряд содержит 200 единиц, то медиана будет 100-й единицей, входящей в интервал 49,938— 49,943 (определяется из колонки 3 табл. 9 по накопленной частоте 121, первой из накопленных частот, которая превышает половину всего объема вариационного ряда). Следовательно:

Вычислим медиану:

Медиана может быть определена и графически по кумуляте или огиве. Для определения медианы по кумуляте последнюю ординату, пропорциональную сумме всех частот или частостей, делят пополам. Из полученной точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и дает значение медианы.

П р и м е р 28. По графику 5 определить медиану.

Последняя ордината, как видно из графика, равна 200. Деление этой ординаты пополам дает точку А (100). Перпендикуляр из точки А до пересечения с кумулятой дает точку В. Абсцисса точки В, равная 49,941, и будет медианой.

Медиана обладает тем свойством, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от средней арифметической).

Доказательство. Допустим, что в упорядоченном вариационном ряду, состоящем из n вариантов, в качестве начала отсчета отклонений взят вариант, расположенный так, что число вариантов меньше его m, а больше n—m.

Найденную сумму абсолютных величин отклонений от этого варианта обозначим

Если теперь передвинуть начало отсчета на один вариант вверх так, чтобы вариантов, величина которых меньше начала отсчета, было m—1, а больше n—m+1, то при этом сумма абсолютных величин отклонений вариантов меньших, чем начало отсчета, от начала отсчета уменьшится на m • с, где с — разность между старым и новым началами отсчета.

В то же время сумма абсолютных величин отклонений больших вариантов от нового начала отсчета отклонений увеличится на (n—m) • с. Новая сумма абсолютных отклонений окажется равной

Следовательно, при таком передвижении начала отсчета вверх новая сумма абсолютных отклонений будет уменьшаться до тех пор, пока т. е. пока m больше половины n.

При сумма абсолютных отклонений будет, следовательно, наименьшей, а затем при дальнейшем передвижении начала отсчета начнет увеличиваться.

Теперь следует учесть, что n-й вариант, расположенный в середине вариационного ряда, и есть медиана.

Таким образом, минимальное свойство медианы будет доказано.

Это свойство медианы может быть использовано при проектировке расположения трамвайных и троллейбусных остановок, бензоколонок, ссыпных пунктов и т. д.

Например, на шоссе длиной 100 км имеется 10 гаражей. Для проектирования строительства бензоколонки были собраны данные о числе предполагаемых ездок на заправку с каждого гаража. Результаты обследования представлены в табл, на стр. 45.

Нужно поставить бензоколонку так, чтобы общий пробег автомашин на заправку был наименьшим.

Решение: Вариант 1. Если бензоколонку поставить на середине шоссе, т. е. на 50-м километре, то пробеги с учетом числа ездок составят:

а) в одном направлении: 43 • 10 + 24 • 15 + 22 • 5 + 13 • 20 +

+ 10-5 + 4-25 = 1310 км;

б) в противоположном направлении: 10-15 + 28-30 + 36-10 +

+ 42-65 = 4080 км.

Общий пробег в оба направления окажется равным 5390 км.

Вариант 2. Уменьшения пробега можно достигнуть, если бензоколонку поставить на 63,85-м километре (средний участок шоссе с учетом числа ездок).

В этом случае пробеги составят:

а) в одном направлении: 56,85-10 + 37,85-15 + 35,85-5 + 26,85 -20 + 23,85-5+17,85 • 25 + 3,85 -15 = 2475,75 км;

б) в противоположном направлении: 14,15-30 + 22,15-10 + 28,15-65 = 2475,75 км.

Общий пробег в оба направления составит 4951,5 км и окажется меньше, чем при первом варианте, на 438,5 км.

Вариант 3. Наилучший результат, т. е. минимальный общий пробег, будет получен в том случае, если мы поставим бензоколонку на 78-м километре, что будет соответствовать медиане.

Тогда пробеги составят:

а) в одном направлении: 71 • 10 + 52 • 15 + 50 • 5 + 41 • 20 + 38-5 + 32-25+ 18-15 = 3820 км;

б) в противоположном направлении: 8 • 10+14 • 65 = 990 км.

Общий пробег равен 4810 км, т. е. он оказался меньше общих пробегов, рассчитанных по предыдущим вариантам.

Мода

Модой () называется вариант, наиболее часто, встречающийся в данном вариационном ряду. Для дискретного ряда мода, являющаяся характеристикой вариационного ряда, определяется по частотам вариантов и соответствует варианту с наибольшей частотой.

В случае интервального распределения с равными интервалами модальный интервал (т. е. содержащий моду) определяется пр наибольшей частоте, а при неравных интервалах — по наибольшей плотности.

Вычисление моды производится по следующей формуле:

где
– нижняя граница модального интервала;

k—интервальная разность;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, последующего за модальным.

Пример 29.

По данным табл. 7 находим моду.

Наибольшая частота, равная 49 (колонка 2, табл. 7), соответствует интервалу 49,938—49,943, который и будет модальным.

Следовательно:

Подставляя в формулу найденные значения, вычислим моду

Как видно из разобранного примера и примера 27, для данного вариационного ряда мода и медиана очень близки друг к другу.

Симметричные вариационные ряды

Вариационные ряды, в которых частоты вариантов, равно отстоящих от средней, равны между собой, называются симметричными. Особенностью симметричных вариационных рядов является равенство трех характеристик: средней арифметической, моды и медианы:

Этим пользуются для распознания симметричности вариации в тех случаях, когда она затушевана тем, что средняя приходится не на середину интервала и не на границу между двумя интервалами, т. е. в результате сдвига интервалов группировки ряд частот как таковых оказывается не вполне симметричным.

Пример 30.

По данным табл. 7 определить среднюю и сопоставить с модой и медианой, вычисленными по этим же данным в примерах 27 и 29.

Вычисляем среднюю (см. табл. 26):

Найденную среднюю сопоставляем с модой и медианой, вычисленными ранее:
(из примера 27);

(из примера 29);

Полученные характеристики по своей величине близки друг к другу, что дает нам основание считать данный вариационный ряд не очень отклоняющимся от симметричного.

Асимметричные вариационные ряды

Вариационные ряды, в которых расположение вариантов вокруг средней неодинаково, т. е. частоты по обе стороны от средней изменяются по-разному, называются асимметричными или скошенными. Различают левостороннюю и правостороннюю асимметрию.

Меры колеблемости (вариации) признака

Средние величины, характеризуя вариационный ряд одним числом, не учитывают вариацию признака, между тем эта вариация существует. Для измерения вариации признака математическая статистика применяет ряд способов.

Вариационный размах (R) (или широта распределения) есть разность между экстремальными (крайними) значениями вариационного ряда. Он представляет собой величину неустойчивую, чрезвычайно зависящую от случайных обстоятельств; применяется в качестве приблизительной оценки вариации.

В последнее время вариационный размах стал применяться в ряде отраслей промышленности при статистическом изучении качества продукции.

где — наибольший вариант вариационного ряда;

— наименьший вариант вариационного ряда.

Среднее линейное отклонение или простое среднее отклонение (р —ро) представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений вариантов от средней.

В зависимости от отсутствия или наличия частот вычисляют среднее линейное отклонение невзвешенное или взвешенное:

где прямые скобки, в которых заключены разности между вариантами и средней, показывают, что непосредственное суммирование и суммирование после взвешивания производится без учета знаков.

Средний квадрат отклонения — дисперсия (обычно обозначаемый или ) наиболее часто применяется и в теории и на практике в качестве меры колеблемости признака. Если дисперсию вычисляют для всей совокупности, то ее обозначают а и называют общей дисперсией:

Дисперсия невзвешенная

Дисперсия взвешенная

Таким образом, общая дисперсия есть средняя арифметическая из квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической.

Среднее квадратическое отклонение ( или ) представляет собой квадратный корень из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение невзвешенное

Среднее квадратическое отклонение взвешенное

Достоинством этого показателя по сравнению со средним линейным отклонением () является то, что при его вычислении никакого условного допущения о необходимости суммирования отклонений вариантов от средней без учета их знаков мы не делаем, а используем формулу средней квадратической (см. формулу на стр. 25), по которой при возведении отклонений в квадрат их знак безразличен.

Учитывая, что среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение представляют собой абсолютные величины, выраженные в тех же единицах измерения, что и варианты, для характеристики колеблемости признака используют относительные показатели – коэффициенты вариации (V), представляющие собой отношение среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней, выраженное в процентах (или в долях единицы):

Коэффициент вариации по среднему линейному отклонению

Коэффициент вариации по среднему квадратическому отклонению
Видоизмененный показатель коэффициента вариации по среднему линейному отклонению () представляет собой показатель неровноты (Н). Он применяется в текстильной промышленности в. качестве меры колеблемости при изучении неровноты пряжи (по толщине, весу и другим показателям)

Показатель неровноты невзвешенный

Показатель неровноты взвешенный

— общая средняя;

— количество вариантов, величина которых меньше, чем общая средняя;

n — объем вариационного ряда;

—средняя из вариантов меньших, чем общая средняя;

— сумма частот вариантов, меньших общей средней;

—сумма частот всех вариантов.

Доказательство (для показателя неровноты невзвешенного) .

Подставляя в формулу вместо его значение

получаем:

(без умножения на 100).

Разделим весь вариационный ряд на две части. Пусть в первую часть включены варианты меньшие, чем общая средняя, а во вторую — большие, чем общая средняя.

Тогда

где

—сумма отклонений вариантов, больших, чем общая средняя, от общей средней дает положительную величину;

— сумма отклонений вариантов меньших, чем общая средняя, от общей средней дает отрицательную величину.

Но так как представляет сумму абсолютных значений отклонений, перед вторым слагаемым ставим знак минус. Наос-новании свойства средней арифметической о том, что 0, делаем вывод, что и следовательно,

Учитывая, что под знаком суммы слагаемых будет выносим из-под знака суммы:

Делим и умножаем числитель на

Пример 31.

По данным табл. 27 о крепости одиночной нити (в г) вычислим показатели вариации признака: вариационный размах, показатель неровноты, коэффициенты вариации по среднему линейному отклонению и среднему квадратическому отклонению.

Вычисляем R:

Находим среднюю:

Находим Н. Интервал 190—200 расчленяем на две части: 190—192,16 и 192,16—200.
Аналогично поступаем с частотами: так как вся частота данного интервала равна 69, то, предполагая равномерное распределение признака внутри интервала, получим, что на величину, равную единице интервала, приходится 6,9 единицы частот (абсолютная плотность); на новый интервал (190—192,16), в котором интервальная разность равна 2,16, придется 6,9*2,16 = 14,9 единицы частот. Для простоты возьмем 15. Суммируя частоты вариантов, меньших общей средней, получим 255 (см. колонку 5 табл. 27). Суммируя произведения х

Вычисляем и .

Учитывая одно из свойств средней, а именно, что сумма отклонений от средней, соответствующим образом взвешенных, равна нулю, практически поступают следующим образом. В колонке 7 табл. 27, несмотря на знак прямых скобок, указывающих на абсолютную величину отклонений, для отрицательных отклонений от средней знак минус оставляют и ведут вычисление только до перемены знака на плюс. Взвешивают отрицательные отклонения от средней (колонка 8 табл. 27) и, так как сумма взвешенных положительных отклонений от средней должна быть равна сумме взвешенных отрицательных отклонений от средней, для определения общей суммы взвешенных отклонений найденную сумму удваивают.

Получаем:

Вычисляем

Между средним квадратическим отклонением и средним линейным отклонением существует определенное соотношение (такое же соотношение, как между и ). По свойству мажорантности всегда больше

Если объем совокупности достаточно большой и распределение признака в вариационном ряде близко к нормальному (см. раздел IV), то связь между и определяется по формуле:

Отклонения от 125 в обе стороны зависят от близости распределения к нормальному.

Пример 32.

По данным примера 31. найти соотношение между и

Имеем:

Это отношение не намного отличается от теоретического (1,25), что косвенно свидетельствует о близости взятого распределения к нормальному.

Свойства дисперсии

Средний квадрат отклонения — дисперсия — обладает рядом свойств, которые позволяют упростить вычисления.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

где с — постоянная величина;

— дисперсия постоянной величины.

2) Если все значения вариантов признака х уменьшить на постоянную величину, то дисперсия не изменится. Это позволяет вычислить дисперсию вариационного ряда путем вычитания из вариантов начала отсчета

где — дисперсия вариантов х;

—дисперсия вариантов, уменьшенных вычитанием

Доказательство для невзвешенной дисперсии

Имеем: со средней со средней

Тогда

3) Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных величин (см. стр. 115 и далее) равна сумме их дисперсий:

4) Если все значения вариантов х уменьшить в k раз, то дисперсия уменьшится в раз:

где —дисперсия из частных, полученных в результате деления вариантов на постоянную величину k.

Доказательство для невзвешенной дисперсии

Имеем: со средней со средней Тогда:

Отсюда:

5) Дисперсия суммы двух случайных величин, связанных корреляционной зависимостью, равна сумме их дисперсий плюс удвоенное произведение среднеквадратических отклонений на коэффициент корреляции между этими случайными величинами

где — коэффициент корреляции между величинами у и х, определяемый по формуле

(Значение его как меры тесноты связи см. раздел «Корреляция».)

Пример 33.

Даны случайные величины у и х, связанные корреляционной зависимостью так, что =0,5.

Найти дисперсию суммы этих случайных величин (для простоты дан пример без взвешивания).

Находим средние:

Определяем дисперсии:

Используя рассматриваемую формулу, имеем:

Убедимся, что если х + у = z, то получаем три значения z: 4, 8 и 9.
Находим: среднюю

дисперсию

т. е.

Результаты вычисления, произведенные по непосредственным данным и суммированным, совпадают.

6) Дисперсия суммы двух случайных величин, связанных Линейной функциональной зависимостью (см. раздел «Корреляция»), равна сумме их дисперсий плюс или минус удвоенное произведение среднеквадратических отклонений:

В данной формуле знак плюс или минус определяется характером связи. При прямолинейной связи у с х знак, о котором идет речь, совпадает со знаком Если то в формуле берем знак плюс, если то берем знак минус.

Пример 34.

Даны две случайные величины х и у, связанные уравнением у=2+Зх.

Найти дисперсию суммы этих случайных величин. Находим средние:

Определяем дисперсии по формуле:

Используем рассматриваемую формулу. В данном случае берем знак плюс:

Убеждаемся, что если х + у = z, то получаем три значения z: 6, 14 и 22.

Находим: среднюю

дисперсию

т. е.

Вычисление дисперсии методом отсчета от условного нуля

Практически расчет дисперсии производят по формуле, упрощающей вычисления. Эта формула получена с учетом свойств дисперсии, а расчет по ней называется отсчетом от условного нуля:

Доказательство. Возьмем выражение произведем некоторые преобразования и получим:

Так как второе слагаемое в фигурной скобке равно нулю: то, продолжая преобразования, получаем:

Отсюда:

Пример 35.

По данным табл. 27 (колонки 2 и 3) рассчитать дисперсию, используя формулу, упрощающую вычисления. Располагаем данные, необходимые для ее вычисления, в таблице (см. табл. 30).

Величина дисперсии совпадает с величиной, полученной в примере 31, но в данном случае вычисления в значительной мере упрощены.

Из формулы вытекает еще одна формула дисперсии.

При получаем:

или

где — средняя из квадратов вариантов.

— квадрат средней

Так, если вычислить дисперсию по данным табл. 27, пользуясь этой формулой, то получим:

Результат совпадает с дисперсией, полученной по этим данным в примере 31.

Частные дисперсии

Для каждой группы вариантов вариационного ряда может быть исчислена наряду с частной средней и дисперсия, которая называется частной дисперсией или внутригрупповой,

(невзвешенная);

(взвешенная),

Где — частная средняя i-й группы;

—частная дисперсия i-й группы.

( означает суммирование по i-й части совокупности).

Средняя из частных дисперсий

Из частных, т. е.

внутригрупповых, дисперсий может быть найдена средняя, которая обозначается

Средняя из частных дисперсий служит для характеристики среднего рассеяния признака внутри групп.

Межгрупповая дисперсия

Частные средние по группам могут не совпадать с общей средней Мерой колеблемости частных средних вокруг общей средней является меж-
групповая дисперсия — дельта квадрат в среднем

Правило сложения вариаций

Между общей дисперсией, средней из частных дисперсий и межгрупповой дисперсией “существует такая связь:

Это — правило сложения вариации (или дисперсий).

Доказательство.

Пусть общая совокупность состоит из t групп численностью и

Частные средние общая средняя и дисперсия

Частные дисперсии можно записать следующим образом.

откуда

Суммируя для всей совокупности, получаем:

Умножим обе части этого равенства на тогда

Вычитая из обеих частей равенства получим:

Левая часть равенства представляет собой общую дисперсию, т. е. . В правой части первое слагаемое есть средняя из частных дисперсий, т. е. а разность двух последних выражений— межгрупповая дисперсия Тогда:

Пример 36.

Используя данные табл. 27 и расчленяя вариационный ряд на две группы (1-я группа с интервала 120—130 до интервала 190—200 включительно, а 2-я группа с •интервала 200—210 до интервала 260—270), исчислить частные дисперсии, среднюю из частных дисперсий и межгрупповую дисперсию.

Начинаем расчет с 1-й группы (см. табл. 33):

= 195; k= 10;

Для 2-й группы получаем (по тем же формулам):

Вычисляем среднюю из частных дисперсий:

Находим межгрупповую дисперсию, используя общую среднюю для всего вариационного ряда, найденную в примере 31 и равную 192,16

Для получения общей дисперсии используем правило сложения вариации:

Результат совпадает с дисперсией, вычисленной в примере 31 по табл. 27 без расчленения вариационного ряда на две группы.

Вариация альтернативного признака

Наряду с количественной вариацией признака может иметь место и качественная вариация. Если, имеются два взаимно исключающих друг друга варианта, то вариация признака называется альтернативной.

Так, например, рассмотрение выпущенной продукции с точки зрения ее качества, т. е. пригодности к дальнейшему использованию, дает альтернативный признак. Обозначая наличие признака 1, а отсутствие — 0 и долю вариантов, обладающих данным признаком, — р, а долю вариантов, не обладающий им, — q

и замечая, что p + q=1, получаем сначала среднюю:

, а затем дисперсию альтернативного признака:

Следовательно,

§ 35. Из дисперсии альтернативного признака извлечением корня находится среднее квадратическое отклонение:

Пример 37.

Совокупность состоит из 10000 электрических, лампочек, включающих в свой состав 20 бракованных. Найти дисперсию признака и среднее квадратическое отклонение.

Находим долю брака и долю доброкачественных лампочек:

По формуле вычислим дисперсию:

а затем среднее квадратическое отклонение:

Попытки измерить колеблемость признака путем нахождения средней арифметической из квадратов разностей вариантов во всех возможных их попарных сочетаниях не вносят-ничего принципиально нового.

Можно доказать, что этот показатель представляет собой дисперсию, умноженную на 2, т. е.

Пусть, например, имеются варианты:

1; 3; 5; 6; 10.

Исчислим среднюю и дисперсию:

Вычислим абсолютные разности всех возможных попарных сочетаний, включая и сочетания каждого варианта с ним же:

1) Разности попарных сочетаний с первым вариантом

1 — 1=0; 3—1=2; 5—1=4; 6—1 = 5; 10—1=9.

2) Разности попарных сочетаний со вторым вариантом

3 — 3 = 0; 3—1 =2; 3 —5 = 2; 3 — 6 = 3; 3—10 = 7

и далее:

5 —5 = 0; 5—1 =4; 5 —3 = 2; 5 —6= 1; 5—10 = 5;

6 — 6 = 0; 6—1 =5; 6 — 3 = 3; 6 — 5= 1; 6—10 = 4;

10 — 10 = 0; 10 — 1 = 9; 10 —3 = 7; 10 —5 = 5; 10 —6 = 4.

Находим сумму квадратов 25 разностей и делением на 25 — среднюю арифметическую из квадратов разностей:

Замечаем, что этот же результат можно получить умножением дисперсии () на 2:

9,2*2=18,4.

Квартили и децили

Как уже было показано, медиана — это вариант, который делит упорядоченный вариационный ряд на две равные по объему группы. В каждой группе аналогично можно найти также вариант, делящий ее на две подгруппы. Такие варианты называются квартилями.

Различают нижний и верхний квартили. Иногда вычисляют и децили, т.е. такие варианты, которые делят вариационный ряд на 10 равных по объему групп.

При отношении объема двух подгрупп, как к имеем нижний квартиль при отношении объемов подгрупп к верхний квартиль а при отношениях объемов групп к к и т.д. —децили.
Формулы для расчетов в интервальном ряду:

нижнего квартиля

верхнего квартиля

где — минимальная граница интервала, содержащего нижний квартиль (определяется по накопленным частотам);

—то же, для верхнего квартиля;

k — интервальная разность;

—накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

—то же, для верхнего квартиля;

—частота интервала, содержащего нижний квартиль;

—то же, для верхнего квартиля.

Вычисление децилей ничем принципиально не отличается от вычисления медианы и квартилей. Так, первый и второй децили могут быть вычислены по формулам:

и т.д.

Пример 38.

По данным табл. 7 вычислить нижний и верхний квартили (рекомендуется предварительно вспомнить вычисление медианы).

Используем табл. 9, в которой дана колонка накопленных частот. Нижний квартиль рассчитывается по соответствующей формуле Из итога колонки 2 табл. 9 видно, что численность совокупности для этого ряда равна 200 единицам. Следовательно, нижний квартиль соответствует 50-й единице. По колонке накопленных частот (3) видим, что нижний квартиль содержится в интервале 49,933—49,938, потому что первая из накопленных частот, превышающих 50, — это накопленная частота данного интервала.

Следовательно:

Находим нижний квартиль:

Верхний квартиль отвечает 150-й единице и содержится в интервале 49,943-49,948 (так как первая из накопленных частот, превышающая 150, равна 164 и соответствует данному интервалу).

Находим верхний квартиль:

Квартиль

В качестве характеристики колеблемости вариационного ряда применяется относительный показатель, подобный коэффициенту вариации, но для вычисления которого используются нижний и верхний квартили и медиана. Этот показатель называют квартилем без добавления слова нижний или верхний. Он исчисляется по формуле:

где — половина межквартильного расстояния.

Пример 39.

По результатам исчисления медианы, а также нижнего и верхнего квартилей по табл. 7 (см. примеры 27 и 38) найти квартиль.

Имеем:

Интересно, что величина коэффициента вариации, по данным табл. 7, довольно близка к полученной величине квартиля:

Моменты распределения

Обобщающими характеристиками вариационных рядов являются моменты распределения. Характер распределения может быть определен с помощью небольшого числа моментов. Способ моментов был разработан русским математиком П. Л. Чебышевым и успешно применен А. А. Марковым для рассмотрения возможностей использования закона нормального распределения при изучении сумм: большого, но конечного числа независимых случайных величин.

Средняя из k-x степеней-отклонений вариантов х от некоторой постоянной величины А называется моментом k-гo порядка:

При исчислении средней в качестве весов могут быть использованы частоты, частости или вероятности (см. раздел II). При использовании в качестве весов частот или частостей моменты называются эмпирическими, а при использовании вероятностей — теоретическими.

Порядок момента определяется величиной k. Эмпирический момент k-гo порядка находится как отношение суммы произведений k-x степеней отклонений вариантов от постоянной величины А на частоты к сумме частот:

В зависимости от выбора постоянной величины А различают следующие моменты:

1) Если постоянная величина А равна нулю (А=0), то моменты называются начальными. Приводим формулу всех начальных моментов:

Тогда:

при k = 0 получаем

при k=1

при k=2

при k = 3

при k = 4

и т. д. Практически используют моменты первых четырех порядков.

Пример 40.

Вычислить начальные моменты первых четырех порядков, если варианты х имеют как отрицательные, так и положительные значения.

Располагаем все расчеты в таблицу:

Вычисляем моменты:

2) Если А не равно нулю, а некоторой произвольной величине (начало отсчета), то моменты называются начальными относительно и обозначаются

При подстановке различных значений k получаем начальные моменты относительно
при k=0

при k=1

при k=2

при k=3

при k=4

и т.д.

Из формулы момента первого порядка вытекает, что т. е. средняя арифметическая равна началу отсчета плюс начальный момент первого порядка относительно начала отсчета. Если отклонения х от имеют общий множитель С, то на него можно разделить отклонения, а по окончании вычислений полученный момент умножить на этот множитель в соответствующей степени, т. е.

Отсюда следует, что

При сравнении с вычислением средней методом отсчета от условного нуля видно, что (см. стр. 37) и тождественны. Поэтому вычисление средней методом отсчета от условного нуля иногда называют методом моментов.

Пример 41.

Вычислить начальные моменты относительно = 20 первых четырех порядков по данным колонок 1 и 2 табл. 35.

Располагаем все расчеты в таблицу:
Таблица 35

Возьмем в качестве вариант, равный 20, вычислим колонку 3, разделим все отклонения от начала отсчета на общий множитель С, равный 2, и получим значения в колонке 4, для которых начальные моменты вычислены в примере 40.

Для получения нужно найденные в примере 40 начальные моменты умножить на С, равное 2, в соответствующей степени:

Практически при нахождении начальных моментов относительно поступают следующим образом:

из всех вариантов вычитают начало отсчета и находят отклонения
делят эти отклонения на общий множитель
находят начальные моменты для

путем умножения найденных начальных моментов на получают начальные моменты относительно
3) Если за постоянную величину А взять среднюю то моменты называются центральными и обозначаются

Тогда:

при k = 0

центральный момент нулевого порядка равен единице
при k=1

центральный момент первого порядка равен нулю
при k = 2

центральный момент второго порядка равен дисперсии и служит мерой колеблемости признака

при k = 3

центральный момент третьего порядка служит мерой асимметрии распределения признака. Если распределение симметрично, то
При k = 4

центральный момент четвертого порядка

Пример 42.

Вычислим центральные,моменты первых четырех порядков по данным табл. 36 (колонки 1, 2).

Располагаем все расчеты в таблицу (см. табл. 36). Получаем:

§ 40. Существует связь между начальными моментами первых четырех порядков вариантов и начальным моментом 4-го порядка вариантов для случая, когда варианты меньше вариантов на единицу:

где — четвертый начальный момент вариантов

В правой части формулы все начальные моменты (от нулевого порядка до четвертого порядка) вариантов .

Практически данная формула используется для проверки

вычисления начальных моментов первых четырех порядков вариантов путем вычисления начального момента 4-го порядка новых вариантов полученных прибавлением к вариантам единицы.

Если исчисления непосредственно из данных по формуле

и по формуле связи между моментами дают тождественные результаты, то это свидетельствует о правильности всех начальных моментов первых четырех порядков, вычисленных для вариантов

Пример 43.

Проверим правильность начальных моментов первых четырех порядков, вычисленных в примере 40.

Располагаем все расчеты в таблицу:

В колонке 3 записываем новые варианты путем прибавления к старым вариантам единицы.

Получаем по формуле:

Для расчетов по формуле связи между моментами привлекаем данные из примера 40:

Получаем:

Результаты совпадают, следовательно, начальные моменты первых четырех порядков в примере 40 вычислены правильно.

Вычисление центральных моментов, привлекаемых в качестве характеристик вариационного ряда, по формуле

с точки зрения вычислительной техники довольно громоздко. Поэтому сначала вычисляют начальные моменты-относительно а для нахождения центральных моментов используют формулу перехода от начальных моментов, вычисленных относительно к центральным:

Знаки в формуле чередуются.

и т. д. обозначают числа сочетаний из: k по 1; k по 2; k по 3 и т. д.

Полагая в этой формуле k равным 0, 1, 2, 3, 4 и т. д., можем получить центральные моменты различных порядков:

Для вычисления центральных моментов высших порядков по найденным центральным моментам низших порядков и начальным моментам относительно подставляем в формулу третьего центрального момента величину найденную из формулы второго центрального момента:

т. е.

Пример 44.

Используя данные примера 41, где вычислены начальные моменты относительно = 20, вычислим центральные моменты первых четырех порядков по соответствующим формулам и сверим полученные результаты с центральными моментами, вычисленными в примере 42.

Из примера 41 имеем:

По формулам центральных моментов получаем, используя начальные моменты:

Сравнивая центральные моменты первых четырех порядков, вычисленные по указанным формулам, с центральными моментами, вычисленными в примере 42 непосредственно по формуле убеждаемся в сравнительной простоте исчисления центральных моментов по приведенным в этом параграфе формулам.

Аналогично используются и формулы центральных моментов высших порядков по центральным моментам низших порядков.

Вычислим третий центральный момент по второму центральному моменту и начальным относительно моментам:

Вычислим и четвертый центральный момент по третьему и второму центральным моментам и начальным относительно моментам:

Исчисление центральных моментов сводится к:

нахождению начальных моментов и их проверке:
нахождению начальных моментов относительно произвольно выбранного начала отсчета
использованию формул перехода от начальных моментов относительно произвольно выбранного начала отсчета к центральным моментам

Пример 45.

По данным табл. 38 (колонки 1, 2 и 3) вычислить центральные моменты первых четырех порядков:

Начнем с вычисления начальных моментов. Для этого выбираем = 44,5, находим отклонения вариантов х от и делим эти отклонения на общий множитель с=3.

Все действия производим в табл. 38 и получаем колонку (колонка 4). Далее, произведя расчеты по формуле находим начальные моменты. Для этого рассчитываем колонки 5, 6, 7 и 8.

Для простоты расчета числа колонки 5 получают перемножением чисел, расположенных в колонках 2 и 4, числа колонки 6 получают перемножением чисел колонок 4 и 5, числа колонки 7— перемножением чисел колонок 4 и 6 и т. д.

Проверяем вычисление начальных моментов первых четырех порядков. Для этого вычисляем колонки 9 и 10.

Числа колонки 9 получают прибавлением к числам колонки 4 единицы. Числа колонки 10 (а можно и 8) получают, используя таблицу, имеющую следующий вид:

В колонке 1 таблицы указаны частоты (m) от 1 до 50, а в верхнем заголовке — числа х’ или х”. Произведения или находятся на пересечении соответствующей строки и столбца.

Так, если

если

и т. д. (см. приложение VII).

Используя формулу получаем:

Исчисляя непосредственно по формуле получаем:

Результаты вычисления по двум формулам совпадают, что свидетельствует о правильности расчета первых четырех начальных моментов.

Находим начальные моменты первых четырех порядков относительно выбранного начала отсчета 44,5 по формуле

Находим центральные моменты, используя формулы перехода от начальных моментов, вычисленных относительно

Вычисление моментов способом сумм

Вычисление моментов при равно отстоящих значениях признака может производиться двумя способами: 1) способом произведений, использованным нами ранее во всех случаях вычислений моментов, и 2) способом сумм, являющимся более упрощенным.

Таблица, в которой производятся все подготовительные расчеты для вычисления начальных четырех моментов, включает в себя колонки х и m и, кроме этого, 4 нумерованные колонки.

Рассмотрим пример вычисления начальных моментов способом сумм по данным табл. 38 (см. табл. 40).

Вся таблица делится на две части чертой, проведенной против частости, соответствующей В каждой части таблицы суммирование частот производится отдельно. Для верхней части таблицы в колонке 1 идут накопленные частоты начиная сверху, а для нижней части таблицы — начиная снизу. В остальных колонках накопление производится так же и заканчивается на одну клетку раньше, чем в предыдущей колонке.

Для получения ( —) суммируются числа верхней части таблицы, а для ( + ) —нижней части таблицы.

Величины S и D получаются сложением и вычитанием(—) и ( + ). Так: S =(-) + ( + ), a D = (—) — ( + ).

Для вычисления начальных моментов по способу сумм используют следующие формулы:

Как видим, результаты вычислений по способу сумм совпадают с результатами примера 45.

Нормированные моменты

Второй центральный момент равен дисперсии, т. е. Если среднее квадратическое отклонение т. е. корень из дисперсии, иначе говоря, корень из второго центрального момента принять за стандарт, то отношение центрального момента k-гo порядка к стандарту в k-й степени сбудет называться нормированным моментом и обозначаться

Пример 46. По найденным в примере 45 центральным моментам найти нормированные моменты первых четырех порядков.

Из примера 45 имеем:

Находим сначала стандарт:

а затем нормированные моменты:

Использование нормированных моментов

Нормированные моменты используются при изучении вариационных рядов. Третий нормированный момент называется мерой или. косости вариационного ряда.Знак перед указывает на направление асимметрии ряда. Если то вариационный ряд будет с левосторонней скошенностью, а если — с правосторонней скошенностью. В симметричном ряде

Четвертый нормированный момент называется мерой крутости.

Если то распределение высоковершинное, если то распределение низковершинное, если то распределение близко к нормальному (см. раздел IV).

По результатам вычисления нормированных моментов в примере 46 видно, что отрицателен (—0,81), т. е. распределение с незначительной правосторонней скошенностью, а больше 3. Это указывает на высоковершинность данного распределения. В целом данное распределение не очень сильно отличается от нормального.

Коэффициент асимметрии

В качестве показателя отклонения вариационного ряда от симметрии применяется простой эмпирический коэффициент асимметрии представляющий собой отношение разности между средней арифметической и модой к среднему квадратическому отклонению:

Если то скошенность левосторонняя;

если то скошенность правосторонняя;

если то вариационный ряд симметричен.

Пример 47.

По данным примера 31 (табл. 27) вычислим коэффициент асимметрии.

Имеем:

Вычислим моду по формуле

В данном случае асимметрия небольшая и скошенность левосторонняя.

Законы распределения случайных величин
Дисперсионный анализ
Математическая обработка динамических рядов
Корреляция – определение и вычисление
Статистическая проверка гипотез
Статистические оценки
Теория статистической проверки гипотез
Линейный регрессионный анализ

Источник

Расчет моды

Теперь посмотрим, как рассчитать моду. Мода – это то значение в анализируемой совокупности данных, которое встречается чаще других, поэтому нужно посмотреть на частоты значений и отыскать максимальное из них. Например, в наборе данных 3, 4, 6, 7, 3, 5, 3, 4 модой будет значение 3 – повторяется чаще остальных. Это в дискретном ряду, и здесь все просто. Если данных много, то моду легче всего найти с помощью соответствующей гистограммы. Бывает так, что совокупность данных имеет бимодальное распределение.

Без диаграммы очень трудно понять, что в данных не один, а два центра. К примеру, на президентских выборах предпочтения сельских и городских жителей могут отличаться. Поэтому распределение доли отданных голосов за конкретного кандидата может быть «двугорбым». Первый «горб» – выбор городского населения, второй – сельского.

Немного сложнее с интервальными данными, когда вместо конкретных значений имеются интервалы. В этом случае говорят о модальном интервале (при анализе доходов населения, например), то есть интервале, частота которого максимальна относительно других интервалов. Однако и здесь можно отыскать конкретное модальное значение, хотя оно будет условным и примерным, так как нет точных исходных данных. Представим, что есть следующая таблица с распределением цен.

Для наглядности изобразим соответствующую диаграмму.

Требуется найти модальное значение цены.

Вначале нужно определить модальный интервал, который соответствует интервалу с наибольшей частотой. Найти его так же легко, как и моду в дискретном ряду. В нашем примере это третий интервал с ценой от 301 до 400 руб. На графике – самый высокий столбец. Теперь нужно определить конкретное значение цены, которое соответствует максимальному количеству. Точно и по факту сделать это невозможно, так как нет индивидуальных значений частот для каждой цены. Поэтому делается допущение о том, что интервалы выше и ниже модального в зависимости от своей частоты имеют разные вес и как бы перетягивают моду в свою сторону. Если частота интервала следующего за модальным больше, чем частота интервала перед модальным, то мода будет правее середины модального интервала и наоборот. Давайте еще раз посмотрим на рисунок, чтобы понять формулу, которую я напишу чуть ниже.

На рисунке отчетливо видно, что соотношение высоты столбцов, расположенных слева и справа от модального определяет близость моды к левому или правому краю модального интервала. Задача по расчету модального значения состоит в том, чтобы найти точку пересечения линий, соединяющих модальный столбец с соседними (как показано на рисунке пунктирными линиями) и нахождении соответствующего значения признака (в нашем примере цены). Зная основы геометрии (7-й класс), по данному рисунку нетрудно вывести формулу расчета моды в интервальном ряду.

Формула моды имеет следующий вид.

Где Мо – мода,

x – значение начала модального интервала,

h – размер модального интервала,

f_Мо – частота модального интервала,

f_Мо-1 – частота интервала, находящего перед модальным,

f_Мо1 – частота интервала, находящего после модального.

Второе слагаемое формулы моды соответствует длине красной линии на рисунке выше.

Рассчитаем моду для нашего примера.

Таким образом, мода интервального ряда представляет собой сумму, состоящую из значения начального уровня модального интервала и отрезка, который определяется соотношением частот ближайших интервалов от модального.

Видео

Мода и медиана

Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.

Рассмотрим следующую выборку: шестеро спортсменов, а также время в секундах за которое они пробегают 100 метров

Элемент 14 встречается в выборке чаще других, поэтому элемент 14 назовем модой.

Рассмотрим еще одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат

Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой. Говоря простым языком, носить iphone модно.

Конечно элементы выборки в этот раз выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.

Рассмотрим следующую выборку: семеро спортсменов, а также их рост в сантиметрах:

Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 183, 184, 185, 188, 190

В получившейся выборке 7 элементов. Посередине этой выборки располагается элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как 184 называют медианой упорядоченной выборки.

Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Отметим, что данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.

В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило нам быстро указать медиану

Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.

К примеру, рассмотрим выборку в которой не семеро спортсменов, а шестеро:

Построим этих шестерых спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 184, 186, 188, 190

В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы посередине. Если указать элемент 184 как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа — три. Если как медиану указать элемент 186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа — два.

В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.

Вернемся к нашим спортсменам. В упорядоченной выборке 180, 182, 184, 186, 188, 190 посередине располагаются элементы 184 и 186

Найдем среднее арифметическое элементов 184 и 186

Элемент 185 является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом 185 нет среди остальных спортсменов. Рост в 185 см используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что срединный рост спортсменов составляет 185 см.

Поэтому более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.

Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.

Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», поскольку и то и другое используют для определения среднего значения. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медиану, равную 185. Этот же результат можно получить путем определения среднего арифметического элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190

Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:

Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1

Определим среднее арифметическое для данной выборки — получим значение 2,2

По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов 2,2 очка

Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6

В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеет не более одного очка.

Среднее арифметическое

Понятие среднего значения часто используется в повседневной жизни.

Примеры:

средняя зарплата жителей страны;
средний балл учащихся;
средняя скорость движения;
средняя производительность труда.

Речь идет о среднем арифметическом — результате деления суммы элементов выборки на их количество.

Среднее арифметическое — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.

Вернемся к нашему примеру

Узнаем сколько в среднем мы тратили в каждом из шести дней:

Теория для решения данных задач. Формулы для расчета моды и медианы

Модой в статистике называется величины признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам. Обозначают медиану символом.

Распределительные средние – мода и медиана, их сущность и способы исчисления.

Данные показатели относятся к группе распределительных средних и используются для формирования обобщающей характеристики величины варьирующего признака.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие. Для дискретного ряда (ряд, в котором значение варьирующего признака представлены отдельными числовыми показателями) модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:

где:— нижняя граница модального интервала;

— величина модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным;

Медиана (Ме) — это значение варьирующего признака, приходящееся на середину ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, т.е. величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Главное свойство медианы в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. При исчислении медианы интервального ряда сначала определяются медианы интервалов, а затем определяется какое значение варьирующего признака соответствует данной частоте. Для определения величины медианы используется формула:

где:— нижняя граница медианного интервала;

— величина медианного интервала;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

— частота медианного интервала;

Медианный интервал не обязательно совпадает с модальным.

Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.

Интервальный вариационный ряд и его характеристики

п.1. Построение интервального вариационного ряда по данным эксперимента

п.2. Гистограмма и полигон относительных частот, кумулята и эмпирическая функция распределения

п.3. Выборочная средняя, мода и медиана. Симметрия ряда

п.4. Выборочная дисперсия и СКО

п.5. Исправленная выборочная дисперсия, стандартное отклонение выборки и коэффициент вариации

п.6. Алгоритм исследования интервального вариационного ряда

п.7. Примеры

Показатели степени вариации

Вариационные ряды и их характеристики

Виды вариации

Пример 1.

Частость

Границы интервалов

Пример 2.

Пример 2а.

Свойства сумм

Величина интервала

Плотность распределения

Пример 3.

Расщепление интервалов

Пример 4.

Графические методы изображения вариационных рядов

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 10.

Средние величины

Степенная средняя

Пример 11.

Пример 12.

Пример 13.

Пример 14.

Математические свойства средней арифметической

Пример 15.

Пример 16.

Пример 17.

Пример 18.

Пример 19.

Пример 20.

Пример 21.

Пример 22.

Метод отсчета от условного нуля

Пример 23.

Метод стандартизации средних

Мажорантность средних

Пример 24.

Медиана

Пример 25.

Пример 26.

Пример 27.

Мода

Пример 29.

Симметричные вариационные ряды

Пример 30.

Асимметричные вариационные ряды

Меры колеблемости (вариации) признака

Пример 31.

Пример 32.

Свойства дисперсии

Доказательство для невзвешенной дисперсии

Доказательство для невзвешенной дисперсии

Пример 33.

Пример 34.

Вычисление дисперсии методом отсчета от условного нуля

Пример 35.

Частные дисперсии

Средняя из частных дисперсий

Межгрупповая дисперсия

Правило сложения вариаций

Пример 36.

Вариация альтернативного признака

Пример 37.

Квартили и децили

Пример 38.

Квартиль

Пример 39.

Моменты распределения

Пример 40.