Как найти боковую сторону трапеции
Геометрия – наука, которую начинают изучать еще в школе. Ошибочно думать, что она никак не пригодится в жизни. Иногда необходимы точные размеры фигур, чтобы сделать, к примеру, WEB-дизайн помещения. А фигуры встречаются разные, в том числе и трапеции. Часто надо найти значения их боковых сторон или основания. Давайте в подробностях рассмотрим, как найти боковую сторону данного четырехугольника различной формы, если известны его углы, основания, диагонали, площадь и т.п.
1
Как найти боковую сторону трапеции, если известны основания?
Трапеция – это четырёхугольник, у которого параллельны лишь две стороны. И эти не пересекающиеся отрезки называются основаниями данной фигуры. Трапеции бывают различных вариантов:
- Равнобокие – это те, у которых боковые стороны равны.
- Прямоугольные – имеют у основания один прямой угол.
- Остроугольные, разносторонние – с двумя острыми углами у основания.
- Тупоугольные, разносторонние – с одним тупым углом у основания.
Рассмотрим вариант нахождения боковой стороны (высоты) прямоугольной трапеции, если вам даны значения оснований.
Чтобы решить данную задачу, вам понадобится сделать следующее:
- Проведите вторую высоту – ВН в четырехугольнике.
- Получившийся отрезок ВН = СД, так как основание ВС параллельно АД.
- Образовавшийся треугольник АВС – равнобедренный, ведь АС – биссектриса, соответственно углы у основания равны и АВ = СВ = 10 см.
- Рассмотрим треугольник АВН, фактически у нас известны две стороны его: ВА и АН. АН = АД – CD = 16 – 10 = 6 см.
- Отсюда по теореме Пифагора: ВН² = АВ² – НА² = 64; ВН = 8 см, соответственно и СД тоже равно 8 сантиметров.
Кроме того, если вам известен угол ВАД, то СД = (АД – ВС) • tg α либо СД = АВ • sin α.
Большая боковая сторона рассчитывается по следующим формулам:
- АВ² = СД² + (АД – ВС)²
- АВ = (АД – ВС)/cos ∠ВАН
- АВ = CД/sin ∠ВАН
2
Как найти боковую сторону прямоугольной трапеции, если известны диагонали, площадь, средняя линия?
Если обозначить высоту трапеции – b, большую боковую сторону – c, основания – a и к, диагонали – d1 и d2. Больший угол между ними β, меньший – α, то высоту (боковую сторону трапеции) можно найти по следующим формулам:
b = d2 • d1/ (a + к) • sin α;
или же b = d2 • d1/ (a + к) • sin β
Для того чтоб определить b – меньшую сторону прямоугольной трапеции, с – большую сторону фигуры, с известными данными S – площадью, n – средней линией, применяйте следующие расчеты:
b = S/n = 2S/ (a + к)
с = S/n • sin α = 2S/ (a + к) • sin α
3
Как найти боковые стороны равнобедренной трапеции?
Итак, у равнобокой трапеции АВ = DC. Если вам даны различные величины, то боковые стороны можно найти по нижеприведенным формулам:
- если известны высота – h и угол – α, то АВ = DC = h/ sin α;
- если даны значения оснований и угол – α , то АВ = DC = (a – b)/ cos α;
- если даны диагонали d и основания, то АВ² = DC² = d² – b • a;
- если известны значения средней линии – l, площадь – S, углы – α либо – β (вверху возле основания b, то АВ = DC = S/ l • sin α = S/ l • sin α.
или же:
АВ = DC = S/ (b + a) • sin α = S/ (b + a) • sin β
В дальнейшем, если вы выучите формулы и научитесь верно рисовать чертежи данных фигур, то решить задачку по геометрии вам не составит труда. Ведь по правильной картинке ответ задачи практически виден сразу.
Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.
Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.
Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.
- Длина основания через среднию линию и другое известное
основание - Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при
нижнем основании - Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при
нижнем основании - Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и
углы при нижнем основании - Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и
углы при нижнем основании - Боковую сторону через высоту и угол при нижнем
основании
Длина основания через среднюю линию и известное основание
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:
a = 2m – b
Цифр после
запятой:
Результат в:
Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.
Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании
Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:
a = b + h*(ctga + ctgb)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1
Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24
Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании
Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:
b = a – h*(ctg α + ctg β)
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31
Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.
- Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
- Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35
Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании
Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них
a = b + c * cos α + d * cos β
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82
Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa.
- трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
= (144 – 64)/4 = 20 - В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
4*2*3/2 = 7 + 43
Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем
Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них
b = a – c * cos α – d * cos β
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.
- В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4 - Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
CD = 25 – 10*2*1/2 = 15
Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании
Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней
d = h / sin α
Цифр после
запятой:
Результат в:
Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243
Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)
- В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
22*2/2 = 112 - Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133 - В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269
Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.
Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2). Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.
- В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
13)/3/2 = 103 - В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
90 - В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
(36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430
Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina.
- В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
100 – 96 = 4 - Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2 - В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2 - Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28
Виды трапеций
Существуют следующие виды трапеций:
- Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб. - Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
треугольник. - Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
градусов.
Свойства трапеции
- Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
- Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
отрезок с длиной боковой стороны. - Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
Коэффициент
подобия – k = AD/BC.
Отношение площадей треугольников — k^2. - Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
площадь. - В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
- Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
боковых сторон лежат на одной прямой. - Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
линии.
1. Формула длины основания трапеции через среднюю линию
a – нижнее основание
b – верхнее основание
m – средняя линия
Формулы длины оснований :
2. Формулы длины сторон через высоту и углы при нижнем основании
a – нижнее основание
b – верхнее основание
c , d – боковые стороны
α, β – углы трапеции
h – высота трапеции
Формулы всех четырех сторон трапеции:
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
a – нижнее основание
b – верхнее основание
d1 , d2 – диагонали трапеции
α , β – углы между диагоналями
h – высота трапеции
Формулы длины сторон трапеции:
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 21 сентября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами
Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
- Основы трапеции – параллельные стороны
- Боковые стороны – две другие стороны
- Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
- Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Основные свойства трапеции
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD
3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
BC : AD = OC : AO = OB : DO
d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2
Сторона трапеции
Формулы определения длин сторон трапеции:
a = b + h · ( ctg α + ctg β )
b = a – h · ( ctg α + ctg β )
a = b + c· cos α + d· cos β
b = a – c· cos α – d· cos β
4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:
Средняя линия трапеции
Формулы определения длины средней линии трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
Высота трапеции
Формулы определения длины высоты трапеции:
h = c· sin α = d· sin β
2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| a + b | a + b |
3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| 2 m | 2 m |
4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
Диагонали трапеции
Формулы определения длины диагоналей трапеции:
d 1 = √ a 2 + d 2 – 2 ad· cos β
d 2 = √ a 2 + c 2 – 2 ac· cos β
2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
| d 1 = | √ | d 2 + ab – | a ( d 2 – c 2 ) |
| a – b |
| d 2 = | √ | c 2 + ab – | a ( c 2 – d 2 ) |
| a – b |
d 1 = √ h 2 + ( a – h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2
d 2 = √ h 2 + ( a – h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2
d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab – d 2 2
d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab – d 1 2
Площадь трапеции
Формулы определения площади трапеции:
1. Формула площади через основания и высоту:
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d 1 d 2 | · sin γ | = | d 1 d 2 | · sin δ |
| 2 | 2 |
4. Формула площади через четыре стороны:
| S = | a + b | √ | c 2 – | ( | ( a – b ) 2 + c 2 – d 2 | ) | 2 |
| 2 | 2( a – b ) |
5. Формула Герона для трапеции
| S = | a + b | √ ( p – a )( p – b )( p – a – c )( p – a – d ) |
| | a – b | |
где
| p = | a + b + c + d | – полупериметр трапеции. |
| 2 |
Периметр трапеции
Формула определения периметра трапеции:
1. Формула периметра через основания:
Окружность описанная вокруг трапеции
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d 1 |
| 4√ p ( p – a )( p – c )( p – d 1) |
где
a – большее основание
Окружность вписанная в трапецию
Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
Другие отрезки разносторонней трапеции
Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
| KM = NL = | b | KN = ML = | a | TO = OQ = | a · b |
| 2 | 2 | a + b |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то
Площадь
или где – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Как найти боковые стороны трапеции вписанную окружность
Формулы трапеции
Для расчёта всех основных параметров трапеции воспользуйтесь калькулятором.
Виды трапеции
- Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
- Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне
Свойства трапеции
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
- Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
- Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований
Формулы площади произвольной трапеции
Площадь трапеции через основания и высоту
Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
Площадь трапеции через четыре стороны
Формулы площади равнобедренной трапеции
Площадь трапеции через стороны
Площадь трапеции через стороны и угол
$$ S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC)) $$ $$ S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC)) $$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
$$ S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB) $$
Площадь трапеции если в нее вписана окружность
Формулы сторон произвольной трапеции
Основание через другое основание и среднюю линию
$$ AB = 2 * FE — DC $$ $$ DC = 2 * FE — AB $$
Основание через другое основание, диагонали и угол между ними
$$ DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD) $$ $$ AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD) $$ $$ AD = $$ $$ BC = $$
Формулы сторон равнобедренной трапеции
Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание
Длина боковой стороны через диагональ и основания
Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними
Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции
Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании
Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании
Формулы сторон прямоугольной трапеции
$$ DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD) $$ $$ AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD) $$ $$ DC = AB + sqrt $$ $$ AB = DC — sqrt $$
Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними
Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту
Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG) $$ DC = — AB $$ $$ AB = — DC $$
Формулы диагоналей произвольной трапеции
Длина диагоналей через четыре стороны
Длина диагоналей по теореме косинусов
Длина диагоналей через высоту
Длина диагоналей через стороны и другую диагональ
Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей
Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей
Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей
Формулы диагоналей равнобедренной трапеции
Длина диагоналей через стороны
Длина диагоналей по теореме косинусов
Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании
Длина диагоналей через сторону и высоту
Формулы диагоналей прямоугольной трапеции
Формулы средней линии произвольной трапеции
Длина средней линии через основания
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
Длина средней линии через площадь и высоту
Формулы средней линии равнобедренной трапеции
Длина средней линии через основания
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$ FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC) $$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
Длина средней линии через площадь и боковую сторону
Формулы средней линии прямоугольной трапеции
Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании
Длина средней линии через основания и боковые стороны
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
Формулы высоты произвольной трапеции
Длина высоты через четыре стороны
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$ AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD) $$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними
Длина высоты через площадь и основания
Длина высоты через площадь и среднюю линию
Формулы высоты равнобедренной трапеции
Длина высоты через по сторонам
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию
Длина высоты через диагонали и углы между ними
Длина высоты через площадь и основания
Длина высоты через площадь и среднюю линию
Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции
Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.
Сторона BC по трём сторонам
Сторона BC через основания и угол ∠BCD
Сторона BC через Сторону AD
Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD
Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD
Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами
Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.
- Основы трапеции — параллельные стороны
- Боковые стороны — две другие стороны
- Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
- Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Основные свойства трапеции
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD
3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
BC : AD = OC : AO = OB : DO
d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2
Сторона трапеции
Формулы определения длин сторон трапеции:
a = b + h · ( ctg α + ctg β )
b = a — h · ( ctg α + ctg β )
a = b + c· cos α + d· cos β
b = a — c· cos α — d· cos β
4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:
Средняя линия трапеции
Формулы определения длины средней линии трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
Высота трапеции
Формулы определения длины высоты трапеции:
h = c· sin α = d· sin β
2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| a + b | a + b |
3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
| h = | sin γ · | d 1 d 2 | = | sin δ · | d 1 d 2 |
| 2 m | 2 m |
4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
Диагонали трапеции
Формулы определения длины диагоналей трапеции:
d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β
d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β
2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
| d 1 = | √ | d 2 + ab — | a ( d 2 — c 2 ) |
| a — b |
| d 2 = | √ | c 2 + ab — | a ( c 2 — d 2 ) |
| a — b |
d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2
d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2
d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2
d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2
Площадь трапеции
Формулы определения площади трапеции:
1. Формула площади через основания и высоту:
3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d 1 d 2 | · sin γ | = | d 1 d 2 | · sin δ |
| 2 | 2 |
4. Формула площади через четыре стороны:
| S = | a + b | √ | c 2 — | ( | ( a — b ) 2 + c 2 — d 2 | ) | 2 |
| 2 | 2( a — b ) |
5. Формула Герона для трапеции
| S = | a + b | √ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d ) |
| | a — b | |
| p = | a + b + c + d | — полупериметр трапеции. |
| 2 |
Периметр трапеции
Формула определения периметра трапеции:
1. Формула периметра через основания:
Окружность описанная вокруг трапеции
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d 1 |
| 4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1) |
a — большее основание
Окружность вписанная в трапецию
Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
Другие отрезки разносторонней трапеции
Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
| KM = NL = | b | KN = ML = | a | TO = OQ = | a · b |
| 2 | 2 | a + b |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то
Площадь
или где – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
[spoiler title=”источники:”]
http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-bokovye-storony-trapetsii-vpisannuyu-okruzhnost
[/spoiler]
Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье продолжим разбор задач из 23 задания ОГЭ по математике. Задача, которую будем решать может встретиться для параллелограмма и прямоугольника. Для ромба и квадрата смысла иметь не будет, поскольку диагонали квадрата и ромба взаимно перпендикулярны.
Задача
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10
Построим чертеж и напишем условие для задачи
Решение
1) Докажем, что треугольник ABF – прямоугольный с прямым углом BFA. Обозначим углы цифрами, как это на рисунке ниже.
2) Воспользуемся теоремой Пифагора, и найдем сторону АВ, которая является гипотенузой.
Ответ 26.
P.S. При проверке такой задачи на экзамене, многие учащиеся выполняют сразу же второй пункт, без доказательства, что треугольник прямоугольный. Но в таком случае возникает спор, какой балл ставить на экзамене. Некоторые ставят 2 балла, аргументируя это тем, что задача №23 не на доказательство, а на вычисление. Но есть те, кто ставит 1 или 0 баллов. А как считаете Вы, какой балл стоит выставлять без первого пункта решения?
Вам понравился материал? Поблагодарить легко! Будем весьма признательны, если поделитесь этой статьей в социальных сетях, поставите лайк и подпишитесь на мой блог
