При помощи нашего калькулятора вы легко сможете узнать длину стороны вписанного в круг квадрата.
Для того что бы найти длину стороны вписанного в круг квадрата, нам необходимо узнать длину ребра этого квадрата. Для этого нам необходимо разделить квадрат по диагонали на два равнобедренных треугольника, при этом основание у этих треугольников будет равно диаметру круга.
Следующим действиям мы должны определиться с известной нам величиной круга в которую вписан квадрат, а именно нам должна быть известна:
- либо площадь круга, обозначаемая буквой S,
- либо периметр круга, обозначаемый буквой P,
- либо радиус круга, обозначаемый буквой R,
- либо диаметр круга, обозначаемый буквой D.
Начнем по порядку, мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник и для того, что бы узнать длину его ребер нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора исходя из которой
c2 = 2a2,
Таким образом
a =
√
c2/2
Теперь для того что бы найти длину ребра треугольника (которое равно стороне нашего квадрата) нам необходимо узнать длину основания треугольника, которое равно диаметру круга
D = c
1. Если нам известна площадь круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
2. Если нам известна длина круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
D=P/π
3. Если нам известен радиус круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
D=2R
Соответственно если мы знаем диаметр круга который равен основанию треугольника полученного путем разделения квадрата на две части по диагонали,
c=D
мы можем узнать длину сторон квадрата используя теорему Пифагора
Квадрат вписанный в окружность
Обновлено 28.02.2022
Содержание
- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в квадрат
- Радиус описанной окружности около квадрата
- Сторона квадрата
- Площадь квадрата
- Периметр квадрата
- Диагональ квадрата
- Свойства
Определение
Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.
Формулы
Радиус вписанной окружности в квадрат
- Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
[ r=frac{a}{2} ]
- Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:
[ r=frac{P}{8} ]
- Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:
[ r=frac{sqrt S}{2} ]
- Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:
[ r=frac{ R}{sqrt 2} ]
- Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:
[ r=frac{ d}{2sqrt 2} ]
Радиус описанной окружности около квадрата
- Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
[ R=afrac{sqrt 2}{ 2} ]
- Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:
[ R=frac{ P}{4 sqrt 2} ]
- Радиус описанной окружности около квадрата, если известна площадь:
[ R=frac{sqrt 2S}{ 2} ]
- Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:
[ R= r sqrt2 ]
- Радиус описанной окружности около квадрата, если известна диагональ:
[ R=frac{d}{2} ]
Сторона квадрата
- Сторона квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
[ a=sqrt S ]
- Сторона квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
[ a=frac{ d}{sqrt 2} ]
- Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
[ a=frac{ P}{4} ]
Площадь квадрата
- Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
[ S=a^2 ]
- Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
[ S=4r^2 ]
- Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
[ S=2R^2 ]
- Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
[ S=frac{ P^2}{ 16} ]
- Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
[ S=frac{ d^2}{ 2} ]
Периметр квадрата
- Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
[ P=4a ]
- Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
[ P=4sqrt S ]
- Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
[ P=8r ]
- Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
[ P=4Rsqrt 2 ]
- Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
[ P=2dsqrt 2 ]
Диагональ квадрата
- Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
[ d=asqrt 2 ]
- Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
[ d=sqrt 2S ]
- Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
[ d=frac{ P}{2 sqrt 2} ]
- Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
[ d=2rsqrt 2 ]
- Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
[ d=2R ]
Свойства
- Все углы в квадрате прямые.
- Все стороны квадрата равны.
- Сумма всех углов квадрата 360°.
- Диагонали квадрата одновременно равны, пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов.
- Точка пересечения диагоналей квадрата является центром вписанной и описанной окружности.
- Диагонали квадрата перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам.
- Квадрат обладает симметрией.
Все формулы стороны квадрата
1. Формула стороны квадрата через диагональ
a – сторона квадрата
d – диагональ квадрата
Формула стороны квадрата, ( a ):
2. Формула стороны квадрата через радиус вписанной окружности
a – сторона квадрата
R – радиус вписанной окружности
D – диаметр вписанной окружности
Формула стороны квадрата, ( a ):
3. Формула стороны квадрата через радиус описанной окружности
a – сторона квадрата
R – радиус описанной окружности
D – диаметр описанной окружности
d – диагональ
Формула стороны квадрата, ( a ):
4. Формула стороны квадрата через площадь и периметр
a – сторона квадрата
S – площадь квадрата
P – периметр квадрата
Формула стороны квадрата, ( a ):
5. Формула стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата
a – сторона квадрата
C – линия выходящая из угла на середину стороны квадрата
Формула стороны квадрата, ( a ):
Квадрат. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):
Можно дать и другие определение квадрата.
Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).
Свойства квадрата
- Длины всех сторон квадрата равны.
- Все углы квадрата прямые.
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:
Диагональ квадрата
Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
 . |
(1) |
Из равенства (1) найдем d:
 . |
(2) |
Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.
Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:
Ответ: 
Окружность, вписанная в квадрат
Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):
Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:
 |
(3) |
Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.
Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:
Ответ: 
Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:
 |
(4) |
Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:
Ответ: 
Окружность, описанная около квадрата
Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):
Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.
Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:
 |
(5) |
Из формулы (5) найдем R:
 |
(6) |
или, умножая числитель и знаменатель на 
, получим:
 . |
(7) |
Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:
Ответ: 
Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.
Из формулы (1) выразим a через R:
 . |
(8) |
Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен 
Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя 
в (8), получим:
Ответ: 
Периметр квадрата
Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:
 |
(9) |
где 
− сторона квадрата.
Пример 6. Сторона квадрата равен 
. Найти периметр квадрата.
Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:
Ответ: 
Признаки квадрата
Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.
Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. 
Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть
 |
(10) |
Так как AD и BC перпендикулярны, то
Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда
 |
(12) |
Эти реугольники также равнобедренные. Тогда
Из (13) следует, что
 |
(14) |
Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).
Онлайн калькулятор длины стороны вписанного в круг квадрата. Как узнать длину стороны вписанного в круг квадрата.
Вычислить длину стороны вписанного квадрата через:
Радиус круга R:
Для того что бы найти длину стороны вписанного в круг квадрата, нам необходимо узнать длину ребра этого квадрата. Для этого нам необходимо разделить квадрат по диагонали на два равнобедренных треугольника, при этом основание у этих треугольников будет равно диаметру круга.
Следующим действиям мы должны определиться с известной нам величиной круга в которую вписан квадрат, а именно нам должна быть известна:
- либо площадь круга, обозначаемая буквой S,
- либо периметр круга, обозначаемый буквой P,
- либо радиус круга, обозначаемый буквой R,
- либо диаметр круга, обозначаемый буквой D.
Начнем по порядку, мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник и для того, что бы узнать длину его ребер нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора исходя из которой
Теперь для того что бы найти длину ребра треугольника (которое равно стороне нашего квадрата) нам необходимо узнать длину основания треугольника, которое равно диаметру круга
1. Если нам известна площадь круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
2. Если нам известна длина круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
3. Если нам известен радиус круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:
Соответственно если мы знаем диаметр круга который равен основанию треугольника полученного путем разделения квадрата на две части по диагонали,
мы можем узнать длину сторон квадрата используя теорему Пифагора
[spoiler title=”источники:”]
http://matworld.ru/geometry/kvadrat.php
http://tamali.net/calculator/inscribed/square/edge/
[/spoiler]
Как найти площадь квадрата вписанного в круг
Как найти площадь квадрата, вписанного в круг! Как мы видим из ниже переведённого скрина, то диагональ квадрата равна диаметру круга!
О площади квадрата мы тоже говорили, и возьмем оттуда нашу формулу площади.
И собственно нам останется выразить сторону квадрат через диагональ!
d² = а² + b² или для квадрата => d² = 2а²
Из этого неравенства надо вывести чему равна сторона а….
d² = 2а² => d²/2 = а² => а² = d²/2
Далее нам понадобится та площадь из верхней ссылки(площадь квадрата…) и в ней нам нужно заменить сторону в квадрате на верхнее выражение…
S = a²
и получим…
Чему рана площадь квадрата вписанного в круг
S = d²/2
Другими словами, площадь квадрата, вписанного в круг равна квадрату диагонали деланного на два!
Если вам нужно вывести данную формулу через радиус, то давайте сделаем это…
Как мы знаем, что диаметр равен двум радиусам:
d = 2R
Заменим верхнее в нижним и получим:
S = (2R)²/2 => S = (4R²)/2 => S = 2(R²/2)
Написать что-нибудь…
площадь круга вписанного в квадрат ,
найти площадь круга вписанного в квадрат ,
площадь квадрата вписанного в круг равна ,
площадь квадрата вписанного в круг ,
площадь квадрата вписанного в круг равна ,
формула площади круга вписанного в квадрат ,
Читайте статью, чтобы знать, как находить площадь квадрата разными способами.
Содержание
- Как найти сторону квадрата, зная его площадь?
- Как найти диагональ квадрата, если известна его площадь?
- Как найти площадь квадрата через диагональ?
- Как найти площадь квадрата, зная его периметр?
- Как найти площадь квадрата вписанного в окружность с заданным радиусом?
- Как найти площадь квадрата описанного около окружности с заданным радиусом?
- Примеры решения задач на тему «Площадь квадрата»
- Видео: Вычисление площади квадрата
Квадрат — это равносторонний прямоугольник. У данного правильного и плоского четырехугольника равенство во всех сторонах, углах и диагоналях. Из-за того что существует такое равенство, формула для вычисления площади и других характеристик, немного видоизменяется по сравнению с иными математическими фигурами. Но это не делает задачи слишком сложными. Давайте разберем все формулы и решения задач в этой статье.
Как найти сторону квадрата, зная его площадь?
Площадь S прямого и квадратного угольников вычисляется по формуле: a умножить на b. Но так как у квадрата полное равенство сторон, то его площадь будет равна: S=(a) во второй степени. Как узнать величину стороны квадрата, зная его площадь?
- Если известна площадь квадратного угольника, то сторону находим путем исчисления площади из-под квадратного корня.
- К примеру, площадь угольника равна 49, то чему равняется сторона?
- 49=(а) во второй степени. Решение: а=корень из 49=7. Ответ: 7.
Если нужно найти сторону квадратного угольника, площадь которого состоит слишком длинного числа, тогда воспользуйтесь калькулятором. Наберите сначала число площади, а потом нажмите знак корня на клавиатуре калькулятора. Получившееся число и будет ответом.
Как найти диагональ квадрата, если известна его площадь?
В этом примере будем использовать теорему Пифагора. У квадрата все стороны равны, а диагональ d мы будем рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Теперь находим диагональ квадрата, если известна его площадь:
- Чтобы не расписывать всю теорему Пифагора будем решать по второму варианту: d=a√2, где а — это сторона квадрата.
- Итак, нам известна площадь квадрата, например, она равна 64. Значит одна сторона а=√64=8.
- Получается d=8√2. Корень из 2 не получается целым числом, поэтому в ответе можно написать именно так: d=8√2. Но, если хочется вычислить значение, тогда воспользуйтесь калькулятором: √2= 1,41421356237 и умножьте на 8, получается 11, 3137084.
Важно: Обычно в математике не оставляют в ответе цифры с большим количеством чисел после запятой. Нужно округлять или оставить с корнем. Поэтому ответ на нахождение диагонали, если площадь равна 64 будет таким: d=8√2.
Как найти площадь квадрата через диагональ?
Формула нахождения площади квадрата через диагональ простая:
Теперь напишем решение по нахождению площади квадрата через диагональ:
- Диагональ d=8.
- 8 в квадрате равняется 64.
- 64 разделить на 2 равно 32.
- Площадь квадрата равна 32.
Совет: У этой задачи есть еще одно решение через теорему Пифагора, но оно более сложное. Поэтому используйте решение, которое мы рассмотрели.
Как найти площадь квадрата, зная его периметр?
Периметр квадратного угольника P — это сумма всех сторон. Чтобы найти его площадь, зная его периметр, нужно сначала вычислить сторону квадратного угольника. Решение:
- Допустим периметр равен 24. Делим 24 на 4 стороны, получается 6 — это одна сторона.
- Теперь используем формулу нахождения площади, зная чему равна сторона квадратного угольника: S=а в квадрате, S=6 в квадрате=36.
- Ответ: 36
Как видите, зная периметр квадрата, просто найти его площадь.
Как найти площадь квадрата вписанного в окружность с заданным радиусом?
Радиус R — это половина диагонали квадрата, вписанного в окружность. Теперь можем найти диагональ по формуле: d=2*R. Далее находим площадь квадрата вписанного в окружность с заданным радиусом:
- Диагональ равна 2 умножить на радиус. Например радиус равен 5, тогда диагональ равна 2*5=10.
- Выше было описано, как находить площадь квадрата, если известна диагональ: S=диагональ в квадрате разделить на 2. S=10*10 и разделить на 2=50.
- Ответ — 50.
Эта задача немного сложнее, но тоже легко решаемая, если знать все формулы.
Как найти площадь квадрата описанного около окружности с заданным радиусом?
На картинке видно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны. Сторона находится по формуле обратной той, которая изображена на картинке: а=2*r. Потом уже находим площадь квадрата описанного около окружности с заданным радиусом по формуле S=а в квадрате. Решение:
- Допустим, радиус равен 7. Сторона квадрата а равна 2*7=14.
- S=14 в квадрате=196.
Если понять суть решения подобных задач, то можно решать их быстро и просто. Давайте рассмотрим еще несколько примеров.
Примеры решения задач на тему «Площадь квадрата»
Чтобы закрепить пройденный материал и запомнить все формулы, необходимо решить несколько примеров задач на тему «Площадь квадрата». Начинаем с простой задачи и движемся к решению более сложных:
Теперь вы знаете, как пользоваться формулой площади квадрата, а значит, вам любая задача под силу. Успехов в дальнейшем обучении!
