Как найти размер планеты орбиты

Планета – это обращающееся вокруг звезды несамосветящееся космическое тело, недостаточно массивное, чтобы быть звездой, но достаточно массивное, чтобы принять форму, близкую к шару. Мы видим планеты на небе потому, что они отражают свет, падающий на них от Солнца. Погасло бы Солнце, погасли бы и планеты на небе.

В Солнечной системе насчитывается 8 больших планет. Они обращаются вокруг Солнца в одну и ту же сторону. Если смотреть из точки над северным полюсом Солнца, то обращение планет будет происходить против часовой стрелки . Траектория движения планеты вокруг Солнца называется орбитой планеты. Скорость, с которой планета движется по орбите, называется орбитальной скоростью планеты. Орбитальные скорости планет различны. Чем ближе планета к Солнцу (т.е. чем меньше радиус её орбиты), тем выше её орбитальная скорость.

В порядке удаления от Солнца планеты расположены так: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун. В пределах Солнечной системы расстояния удобно выражать в астрономических единицах (а.е.). 1 а.е. = 149 597 870,9 км.

Отношения между временем (Т), скоростью (V) и расстоянием (S) следующие: Т = S : V, S = T · V, V = S : T. Применительно к обращению по орбите:

Т – промежуток времени, в течение которого планета совершает 1 полный оборот вокруг Солнца по отношению к звёздам. Этот промежуток времени называют сидерическим периодом обращения вокруг Солнца (период обозначают буквой Р) или сидерическим годом.

V – орбитальная скорость планеты.

S – расстояние, которое проходит планета за 1 год. Это ни что иное, как длина орбиты планеты (длину обозначают буквой L). Период обращения, длина орбиты и орбитальная скорость взаимосвязаны: Р = L : V, L = Р · V, V = L : Р. Зная любые два из этих параметров, можно вычислить третий.

Длину орбиты (длину окружности) вычисляют исходя из её радиуса (среднего расстояния планеты от Солнца): L = 2πR. Если вместо L в вышеприведённые уравнения поставить 2πR, то получим: P = 2πR : V, 2πR = P · V, V = 2πR : Р. Число π (“Архимедово число”) ≈ 3,14.

Название планеты	Среднее расстояние от Солнца R, км	Среднее расстояние от Солнца R, а.е.	Длина орбиты L, млн км	Орбитальная скорость V, км/с	Сидерический период обращения вокруг Солнца Р (год)
Меркурий	57 900 000	0,387	364	48	87,97 земных суток
Венера	108 200 000	0,723	680	35	224,70 земных суток
Земля	149 600 000	1,000	940	30	365,26 земных суток
Марс	227 900 000	1,524	1 430	24	1,88 земных лет
Юпитер	778 500 000	5,204	4 890	13	11,86 земных лет
Сатурн	1 433 000 000	9,582	9 004	10	29,46 земных лет
Уран	2 877 000 000	19,23	18 080	7	84,32 земных лет
Нептун	4 503 000 000	30,10	28 290	5	164,79 земных лет

Решим задачу: какую часть длины своей орбиты пролетит Марс за то время, пока Земля пролетит половину длины своей орбиты?

1) Половину длины своей орбиты Земля пролетит за 365,26 суток : 2 = 182,63 суток.

2) Найдём, какую часть года Марса составляют 182,63 суток. 182,63 суток : (1,88 земных лет · 365,26 суток/году) ≈ 0,27 или ≈ 1/4. Соответственно, за 1/4 года Марс пролетит 1/4 своей орбиты.

В понимании учёных птолемеевской эпохи планеты обращались вокруг Солнца по идеальным окружностям. Только в начале XVII века великий немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер пришёл к выводу, что планеты должны обращаться вокруг Солнца не по окружностям, а по эллипсам. Открытый им первый закон движения планет (I закон Кеплера) так и гласит: “Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце”. Эллипс выглядит так (точками показаны фокусы эллипса):

Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, а наиболее удалённая – афелием. Орбиты планет, конечно, не так сильно вытянуты, как эллипс на рисунке. Они близки к окружностям, но у каждой из них имеется свой перигелий и афелий. Орбитальная скорость планеты в перигелии максимальна, а в афелии – минимальна. Например, у Земли в перигелии скорость 30,27 км/с, а в афелии – 29,27 км/с. 

Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн были известны с древнейших времён. Их никто не открывал, поскольку они видны невооружённым глазом. Уран и Нептун невооружённым глазом не видны (Уран виден на пределе возможностей человеческого глаза), поэтому их смогли открыть только после изобретения телескопа. Уран был случайно открыт английским астрономом Вильямом Гершелем в 1781 г., а Нептун был найден в 1846 г. немецким астрономом Иоганном Галле по результатам вычислений английского математика Урбена Леверье. Долгое время к планетам относили Плутон – космическое тело диаметром всего 2 400 км, открытое американским астрономом Клайдом Томбо в 1930 г. С 2006 г. Плутон относят к классу карликовых планет.

Планеты вместе с Солнцем и Луной участвуют в суточном вращении звёздного неба, а значит восходят в восточной части горизонта, поднимаются, опускаются и заходят в западной части горизонта. Как известно, причиной суточного вращения является осевое вращение Земли. Но поскольку сами планеты обращаются вокруг Солнца и мы наблюдаем за ними с движущейся Земли, планеты постепенно смещаются относительно звёзд. Такое движение называют видимым годовым движением (или перемещением) планет. Видимое годовое движение планет и орбитальное движение – не одно и то же. По орбите планеты всегда движутся в одну и ту же сторону с почти постоянными скоростями. А на небе они могут замедлять своё движение, останавливаться, пятиться назад, описывая петли и зигзаги (“планетес” в переводе означает “блуждающее светило”).

Видимое перемещение планет – кажущееся, мнимое. Вот так выглядела на небе петля Марса в 2009-2010 гг.:

По отношению к земной орбите планеты разделяют на внешние (верхние) и внутренние (нижние). Внутренние планеты находятся внутри земной орбиты (Меркурий и Венера), а внешние – снаружи (Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун). От этого во многом зависят условия видимости планет на звёздном небе. Условия видимости – это время суток, когда планета видна (вечером, ночью, под утро), это продолжительность видимости (от нескольких минут до 12 часов), это высота над горизонтом (чем выше поднимется планета, тем лучше её изображение в телескопе), это её видимый угловой диаметр (чем он больше, тем больше подробностей можно разглядеть на планете в телескоп). Условия видимости планеты постоянно изменяются, улучшаются или ухудшаются.

Важны и конфигурации (расположения), которые образуют планеты с Солнцем и Землёй. 

Для внутренних планет (Меркурия и Венеры) характерны верхние и нижние соединения, а также западные и восточные элонгации (наибольшие видимые на небе удаления от Солнца). Для внешних планет (Марса, Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна) характерны соединения, противостояния, а также западные и восточные квадратуры.

Нижнее соединение внутренней планеты – планета находится между Солнцем и Землёй и поэтому не видна, кроме случаев, когда диск планеты проецируется на диск Солнца (явление перемещения диска планеты по диску Солнца называется прохождением; пример – прохождение Венеры по диску Солнца 8 июня 2012 года). При этом планета находится на минимальном расстоянии от Земли.

Верхнее соединение внутренней планеты – планета не видна, так как находится за Солнцем. Расстояние от Земли до планеты максимальное.

Западная элонгация внутренней планеты – планета видна в виде серпа утром перед восходом Солнца. Элонгации – наилучшее время для наблюдений внутренней планеты.

Восточная элонгация внутренней планеты – планета видна в виде серпа вечером после захода Солнца.

Соединение внешней планеты – планета не видна, так как находится за Солнцем. Расстояние до планеты максимальное.

Противостояние внешней планеты – Земля находится между Солнцем и планетой; планета видна всю ночь в виде полностью освещённого диска. Противостояния – наилучшее время для наблюдений внешних планет. Расстояние до планеты минимальное, видимый диаметр диска максимальный.

Западная квадратура внешней планеты – планета видна во второй половине ночи в восточной стороне небосвода.

Восточная квадратура внешней планеты – планета видна в первой половине ночи в западной стороне небосвода.

Из схемы легко понять, что внутренние планеты никогда не бывают в противостоянии и не могут быть видны всю ночь. Внешние планеты никогда не проецируются на диск Солнца. Разберём следующую конфигурацию планет:

С Марса:

– можно увидеть Венеру вечером после захода Солнца (Солнце правее Венеры и, следовательно, раньше зайдёт за горизонт), Венера выглядит в форме серпа, повёрнутого вправо;

– можно увидеть Землю утром перед восходом Солнца (Солнце левее Земли и, следовательно, восходит позже Земли), диск Земли освещён чуть больше половины, выпуклость влево;

– Солнце, Венеру и Землю одновременно увидеть нельзя, т.к. все они находятся над горизонтом в дневное время суток, а небо на Марсе днём весьма светлое;

– Венера движется быстрее Марса, следовательно, расстояние между ними будет сокращаться, пока не наступит нижнее соединение;

– Венера на небе Марса будет приближаться к Солнцу и продолжительность её видимости по вечерам будет уменьшаться.

С Земли:

– Венеру не видно, она за Солнцем (расстояние до Венеры максимальное, но будет постепенно сокращаться);

– Венера восходит и заходит вместе с Солнцем;

– через несколько недель Венера выйдет из-за Солнца и будет видна по вечерам;

– Марс виден по вечерам, его диск освещён больше половины, выпуклость вправо;

– Земля движется быстрее Марса, убегает от него, расстояние между ними увеличивается;

– продолжительность видимости Марса уменьшается, вскорости наступит соединение Марса с Солнцем (Марс будет за Солнцем).

С Венеры (считаем, что атмосфера как у Земли):

– Землю не видно, она за Солнцем (соединение), расстояние до Земли максимально;

– Земля восходит и заходит одновременно с Солнцем;

– Венера движется быстрее Земли и будет постепенно догонять её, расстояние будет сокращаться;

– скоро Землю можно будет увидеть по вечерам после захода Солнца (Венера имеет обратное вращение);

– Марс виден по вечерам, расстояние между Венерой и Марсом сокращается, видимый размер Марса будет увеличиваться;

– условия видимости Марса улучшаются, скоро наступит противостояние и Марс будет виден всю ночь.

Расстояния между Землёй и планетами постоянно изменяются. Поэтому изменяются и видимые (угловые) размеры планет на земном небе. Вот в каких пределах они изменяются:

Меркурий      4,5 – 13,0”  

Венера          9,7 – 66,0”

Марс             3,5 – 25,1”

Юпитер         29,8 – 50,1”

Сатурн          14,5 – 20,1”

Уран             3,3 – 4,1”

Нептун          2,2 – 2,4”

Планеты также разделяют на планеты земной группы и планеты-гиганты.

Планеты земной группы (Меркурий, Венера, Земля и Марс) сравнительно близко расположены к Солнцу и поэтому получают от него значительное количество тепла и света. Для поддержания жизни на Земле, например, это является определяющим фактором. Планеты земной группы небольшие, сравнительно медленно вращаются вокруг своих осей, имеют твёрдую поверхность, высокую плотность, имеют мало спутников (Земля – 1, Марс – 2) или не имеют их вообще (Меркурий и Венера).

Планеты-гиганты (Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун) расположены сравнительно далеко от Солнца и, следовательно, слабо освещаются и согреваются его лучами. Планеты-гиганты в несколько раз по диаметру превосходят Землю, довольно быстро вращаются вокруг своих осей, не имеют твёрдой поверхности, имеют низкую плотность, обладают обширными системами спутников (у Юпитера известно 67 спутников на сегодняшний день). Кроме того, у всех планет-гигантов обнаружены кольца (особенно мощными и красивыми кольцами обладает Сатурн). Кольца состоят из отдельных частиц различного размера. Частицы обращаются вокруг планет подобно спутникам.

Движение вокруг оси называется вращением, а движение вокруг Солнца или планеты – обращением.

Все звёзды и планеты вращаются вокруг своих осей. Такое вращение называется осевым. Осевое вращение звёзд и планет приводит к их сжатию с полюсов. Строго говоря, ни одна звезда, ни одна планета не является по форме шаром. Чем быстрее вращается планета, тем сильнее она сжата с полюсов. Сжатие с полюсов называется полярным сжатием. При этом полярный диаметр планеты всегда короче экваториального диаметра. Например, у Земли полярный диаметр на 43 км короче экваториального (43 км от среднего диаметра Земли 12 750 км составляет ≈ 0,003). Поскольку планеты земной группы твёрдые и сравнительно медленно вращаются, их полярное сжатие небольшое. В отличие от них планеты-гиганты являются газо-жидкими телами. Их быстрое осевое вращение придаёт им сплюснутую форму, которая хорошо заметна не только на фотографиях, но и в небольшие телескопы. Например, полярный диаметр Сатурна короче экваториального на 11 800 км (11 800 км от среднего диаметра Сатурна 114 000 км составляет ≈ 0,1). О планетах говорят, что они имеют форму эллипсоида вращения.

Период вращения планеты по отношению к звёздам называется сидерическим периодом вращения или звёздными сутками.

Название планеты	Сидерический период вращения
Меркурий	58 суток 15,5 часов
Венера	243 суток 0,6 часов
Земля	23 часа 56 минут 04,1 секунды
Марс	24 часа 37 минут 22,7 секунды
Юпитер	9 часов 55,5 минуты
Сатурн	10 часов 34,2 минуты
Уран	17 часов 14,4 минуты
Нептун	15 часов 57,3 минуты

Самые длинные звёздные сутки на Венере. Весьма интересно также, что Венера вращается по отношению к другим планетам в обратную сторону, т.е. с востока на запад. Самые короткие звёздные сутки у Юпитера. Нужно помнить, что планеты-гиганты газо-жидкие и поэтому вращаются неравномерно, как и Солнце. Например, экваториальные зоны Юпитера совершают полный оборот за 9 часов 50,5 минут, а зоны в средних широтах – за 9 часов 55,5 минут, т.е. на 5 минут дольше! Поэтому не имеет смысла говорить о периодах вращения планет-гигантов с точностью до секунд (как у Земли и Марса). У планет-гигантов в таблице приведены периоды вращения на средних широтах.

Через орбиту любой планеты можно провести плоскость – плоскость орбиты. Плоскости орбит планет не совпадают. К плоскости орбиты Земли они наклонены под углами от 0,77º (Уран) до 7º (Меркурий). 

          

Оси вращения планет наклонены к плоскостям их орбит под различными углами:

Меркурий – 90,0º

Венера – 87,4º

Земля – 66,5º

Марс – 64,8º

Юпитер – 86,9º

Сатурн – 63,3º

Уран – 7,8º

Нептун – 61,7º

Чем больше наклон оси к плоскости орбиты планеты, тем меньше на планете выражена смена времён года. На Меркурии, Венере, Юпитере смены времён года нет. У остальных планет смена времён года присутствует. Особенно она выражена у Урана, который движется по орбите “лёжа на боку”:

Массы и размеры планет определяют силу тяжести на их поверхностях, которая прежде всего указывает, может ли данная планета удерживать вокруг себя атмосферу. Меркурий – самая маленькая из планет, атмосфера на нём практически отсутствует. Большинство спутников планет и астероиды также не имеют атмосфер. Марс – чуть больше по размерам, атмосфера на Марсе есть, но довольно разреженная (не путать со словом “разряженная”). Разреженная – значит, малоплотная, имеет малую плотность. Наиболее протяжёнными и плотными атмосферами обладают планеты-гиганты, особенно Юпитер и Сатурн.

Название планеты	Масса планеты, кг	Масса планеты относительно массы Земли	Диаметр планеты, км	Диаметр планеты относительно диаметра Земли
Меркурий	3,33·1023	0,056	4 880	0,38
Венера	4,87·1024	0,815	12 104	0,95
Земля	5,97·1024	1	12 756	1
Марс	6,42·1023	0,107	6 792	0,53
Юпитер	1,90·1027	317,8	143 000	11,2
Сатурн	5,68·1026	95,2	120 500	9,4
Уран	8,68·1025	14,5	51 100	4,0
Нептун	1,02·1026	17,1	49 500	3,9

Атмосферы планет – это смеси различных газов. В атмосферах Венеры и Марса в основном присутствует углекислый газ (химическая формула СО₂), в атмосфере Земли – азот (N₂) и кислород (О₂), в атмосферах планет-гигантов – водород (Н₂) и гелий (Не). Газы из атмосфер планет медленно и непрерывно улетучиваются в космическое пространство. Это явление называется диссипацией атмосфер или планетным ветром.

Подробнее о физической природе планет читай в энциклопедии “Планеты” В. Сурдина (выпуск 2000 года, поэтому там Плутон всё ещё отнесён к планетам).

Движение планетыбудет вполнеопределено, если известныплоскость,
в которой лежит ее орбита, размеры и
форма этой орбиты, ее ориентировка в
плоскости и, наконец, момент времени, в
который планета находится в определенной
точке орбиты. Величины, определяющие
орбиты планеты, называются элементами
ее орбиты.

За основную плоскость, относительно
которой определяется положение орбиты,
принимается плоскость эклиптики.

Две точки, в которых орбита планеты
пересекается с плоскостью эклиптики,
называются узлами — восходящим и
нисходящим.Восходящий узелтот,
в котором планета пересекает эклиптику,
удаляясь от ее южного полюса.

Эллиптическую орбиту планеты определяют
следующие 6 элементов (рис. 28):

1. Наклонение i плоскости орбиты к
плоскости эклиптики. Наклонение может
иметь любые значения между 0 и 180°. Если
0
i < 90°, то планета движется вокруг Солнца
(С) в том же направлении, что и Земля
(прямое движение); если 90° < i < 180°, то
планета движется в противоположном
направлении (обратное движение).

2. Долгота (гелиоцентрическая) восходящего
узла
,
т.е. угол между направлениями из центра
Солнца на восходящий узел и на точку
весеннего равноденствия. Долгота
восходящего узла может иметь любые
значения от 0 до 360°.

Долгота восходящего узла
и наклонение i определяют положение
плоскости орбиты в пространстве.

3. Угловое расстояние
перигелия от узла, т.е. угол между
направлениями из центра Солнца на
восходящий узел,
и на перигелий П. Он отсчитывается в
плоскости орбиты планеты в направлении
ее движения и может иметь любые значения
от 0 до 360°.

Угловое расстояние перигелия
определяет положение орбиты в ее
плоскости.

4. Большая полуось
эллиптической орбиты, которая однозначно
определяет сидерический период обращения
Т планеты.

5. Эксцентриситет орбиты
где а и b — полуоси эллиптической орбиты.

Большая полуось
и эксцентриситет е определяют размеры
и форму орбиты.

6. Момент прохождения через перигелий
t₀, или положение планеты на орбите
в какой-нибудь определенный момент
времени t.

Зная момент прохождения через перигелий
t₀и другие элементы орбиты, можно
определить положение планеты в плоскости
ее орбиты для любого момента времени
t.

Положение планеты на орбите определяется
двумя величинами: радиусом-вектором r
и истинной аномалией q. Истинной аномалией
планеты называется угол ПСР (рис. 29)
между направлением из Солнца (С) на
перигелий П и радиусом-вектором планеты
Р. Радиус-вектор r и истинная аномалия
q вычисляются по формулам

r = a (1 — e cos E), (2.9)

(2.10)

где Е =
ПON
и называется эксцентрической аномалией.

Эксцентрическая аномалия Е вычисляется
из уравнения Кеплера

M = E — e sin E, (2.11)

где М — угол, называемый средней
аномалией. Средняя аномалия представляет
собой дугу круга, которую описала бы
планета за время (t—t₀), если бы она
двигалась равномерно по окружности
радиуса а со средней угловой скоростью,
т.е.

(2.12)

Вычисление положения планеты на орбите
для некоторого момента времени t
проводится в следующей последовательности:

1) по формуле (2.12), в которой известны
Т и (t — t₀), определяют
среднюю аномалию М;

2) по формуле (2.11), при известных е и М,
методом последовательных приближений
находят эксцентрическую аномалию Е;

3) по формулам (2.9) и (2.10) вычисляют
радиус-вектор r и истинную аномалию q .

Определив положение планеты на орбите
для заданных моментов времени, можно
вычислить для этих же моментов ее
пространственные гелиоцентрические
координаты. Зная же элементы орбиты
Земли и вычислив для тех же моментов
положение Земли на ее орбите, можно
определить геоцентрические координаты
планеты и найти ее расстояние от центра
Земли.

Определение видимых координат
планеты по элементам их орбит называется
вычислением эфемерид, т.е. таблиц,
в которых положения планет даются на
любые избранные моменты времени (иногда
на много лет вперед).

Обратная задача, т.е. определение
элементов орбит по наблюденным
координатам, называется определением
орбит. Вычисление эфемерид и определение
орбит — основные задачи теоретической
астрономии.

Соседние файлы в папке Лекции

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Наименование разделов и тем	Содержание учебного материала, лабораторные  работы и практические занятия, самостоятельная работа обучающихся	Объем часов	Уровень освоения
Законы движения небесных тел. Определение расстояний и размеров тел в Солнечной системе.	Законы Кеплера. Определение расстояний и размеров тел в Солнечной системе. Горизонтальный параллакс.  Формулирование законов Кеплера. Воспроизведение формул для определения расстояний и размеров тел в Солнечной системе. Воспроизведение определений терминов и понятий (паралактическое смещение, горизонтальный параллакс). Применение полученных знаний для решения задач на законы Кеплера, на определение расстояний и линейных размеров тел.	2	2

Тема 3.2. Законы движения небесных тел. Определение расстояний и размеров тел в Солнечной системе.

3.2.1. Законы движения небесных тел.

Важную роль в формировании представлений о строении Солнечной системы сыграли также законы движения планет, которые были открыты Иоганном Кеплером (1571—1630) и стали первыми естественнонаучными законами в их современном понимании. Работы Кеплера создали возможность для обобщения знаний по механике той эпохи в виде законов динамики и закона всемирного тяготения, сформулированных позднее Исааком Ньютоном. Многие ученые вплоть до начала XVII в. считали, что движение небесных тел должно быть равномерным и происходить по «самой совершенной» кривой— окружности. Лишь Кеплеру удалось преодолеть этот предрассудок и установить действительную форму планетных орбит, а также закономерность изменения скорости движения планет при их обращении вокруг Солнца.

В своих поисках Кеплер исходил из убеждения, что «в мире правит число», высказанного еще Пифагором. Он искал соотношения между различными величинами, характеризующими движение планет, — размеры орбит, период обращения, скорость. Кеплер действовал фактически вслепую, чисто эмпирически. Он пытался сопоставить характеристики движения планет с закономерностями музыкальной гаммы, длиной сторон описанных и вписанных в орбиты планет многоугольников Иоганн Кеплер и т. д.

Кеплеру необходимо было построить орбиты планет, перейти от экваториальной системы координат, указывающих положение планеты на небесной сфере, к системе координат, указывающих ее положение в плоскости орбиты. Он воспользовался при этом собственными наблюдениями планеты Марс, а также многолетними определениями координат и конфигураций этой планеты, проведенными его учителем Тихо Браге.Орбиту Земли Кеплер считал (в первом приближении) окружностью, что не противоречило наблюдениям. Для того чтобы построить орбиту Марса, он применил способ, который показан на рисунке 3.5.

Пусть нам известно угловое расстояние Марса от точки весеннего равноденствия во время одного из противостояний планеты — его прямое восхождение  α₁, которое выражается углом Т₁М₁ где Т₁ — положение Земли на орбите в этот момент, а М₁ — положение Марса. Очевидно, что спустя 687 суток (таков звездный период обращения Марса) планета придет в ту же точку своей орбиты. Если определить прямое восхождение Марса на эту дату, то, как видно из рисунка 3.5, можно указать положение планеты в пространстве, точнее, в плоскости ее орбиты. Земля в этот момент находится в точке Т₂, и, следовательно, угол T₂M₁ есть не что иное, как прямое восхождение Марса — α₂. Повторив подобные операции для нескольких других противостояний Марса, Кеплер получил еще целый ряд точек и, проведя по ним плавную кривую, построил орбиту этой планеты.

Изучив расположение полученных точек, он обнаружил, что скорость движения планеты по орбите меняется, но при этомрадиус-вектор планеты за равные промежуткивремени описывает равные площади.Впоследствии эта закономерность получила название второго закона Кеплера.

Этот закон, который часто называют законом площадей, иллюстрируется рисунком 3.6. Радиус-вектором называют в данном случае переменный по своей величине отрезок, соединяющий Солнце и ту точку орбиты, в которой находится планета. АА₁ ВВ₁ и СС₁ — дуги, которые проходит планета за равные промежутки времени. Площади заштрихованных фигур равны между собой.

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют силы тяготения, остается неизменной при любых движениях тел этой системы. Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий планеты, которая движется вокруг Солнца, неизменна во всех точках орбиты и равна полной энергии. По мере приближения планеты к Солнцу возрастает ее скорость — увеличивается кинетическая энергия, но вследствие уменьшения расстояния до Солнца уменьшается энергия потенциальная.

Установив закономерность изменения скорости движения планет, Кеплер задался целью определить, по какой кривой происходит их обращение вокруг Солнца. Он был поставлен перед необходимостью сделать выбор одного из двух возможных решений:     1) считать, что орбита Марса представляет собой окружность, и допустить, что на некоторых участках орбиты вычисленные координаты планеты расходятся с наблюдениями (из-за ошибок наблюдений) на 8′; 2) считать, что наблюдения таких ошибок не содержат, а орбита не является окружностью. Будучи уверенным в точности наблюдений Тихо Браге, Кеплер выбрал второе решение и установил, что наилучшим образом положения Марса на орбите совпадают с кривой, которая называется эллипсом, при этом Солнце не располагается в центре эллипса. В результате был сформулирован закон, который называется первым законом Кеплера.

Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Как известно, эллипсом называется кривая, у которой сумма расстояний от любой точки Р до его фокусов есть величина постоянная. На рисунке 3.6 обозначены: О – центр эллипса; F и F₁ — фокусы эллипса; АВ — его большая ось. Половина этой величины (а), которую обычно называют большой полуосью, характеризует размер орбиты планеты. Ближайшая к Солнцу точка А называется перигелий, а наиболее удаленная от него точка В — афелий. Отличие эллипса от окружности характеризуется величиной его эксцентриситета: е = OS/OA. В том случае, когда эксцентриситет равен О, фокусы и центр сливаются в одну точку — эллипс превращается в окружность.

Примечательно, что книга, в которой в1609 г. Кеплер опубликовал первые два открытых им закона, называлась «Новая астрономия, или Физика небес, изложенная в исследованиях движения планеты Марс…».

Оба этих закона, опубликованные в 1609 г., раскрывают характер движения каждой планеты в отдельности, что не удовлетворило Кеплера. Он продолжил поиски «гармонии» в движении всех планет, и спустя 10 лет ему удалось сформулировать третий закон Кеплера.

Квадраты звездных периодов обращения планет относятся между собой, как кубы больших полуосей их орбит.

Формула, выражающая третий закон Кеплера, такова:

где Т₁ и Т₂ — периоды обращения двух планет; а₁ и а₂ — большие полуоси их орбит.

Вот что писал Кеплер после открытия этого закона: «То, что 16 лет тому назад я решил искать, <…> наконец найдено, и это открытие превзошло все мои самые смелые ожидания…»

Действительно, третий закон заслуживает самой высокой оценки. Ведь он позволяет вычислить относительные расстояния планет от Солнца, используя при этом уже известные периоды их обращения вокруг Солнца. Не нужно определять расстояние от Солнца каждой из них, достаточно измерить расстояние от Солнца хотя бы одной планеты. Величина большой полуоси земной орбиты — астрономическая единица (а. е.) — стала основой для вычисления всех остальных расстояний в Солнечной системе.

Пример решения задач

Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось ее орбиты?

3.2.2. Определение расстояний и размеров тел в Солнечной системе.

Представление о Земле как о шаре, который свободно, без всякой опоры находится в космическом пространстве, является одним из величайших достижений науки древнего мира.

Считается, что первое достаточно точное определение размеров Земли провел греческий ученый Эратосфен (276— 194 до н. э.), живший в Египте. Идея, положенная в основу измерений Эратосфена, весьма проста: измерить длину дуги земного меридиана в линейных единицах и определить, какую часть полной окружности эта дуга составляет. Получив эти данные, можно вычислить длину дуги в 1°, а затем длину окружности и величину ее радиуса, т. е. радиуса земного шара. Очевидно, что длина дуги меридиана в градусной мере равна разности географических широт двух пунктов: φ_B – φ_A.

Для того чтобы определить эту разность, Эратосфен сравнил полуденную высоту Солнца в них в один и тот же день. Измерив высоту Солнца h_B(рис. 3.8) в полдень 22 июня в Александрии, где он жил, Эратосфен установил, что Солнце отстоит от зенита на 7,2°. В этот день в полдень в городе Сиена (ныне Асуан) Солнце освещает дно самых глубоких колодцев, т. е. находится в зените h_A.

Следовательно, длина дуги составляет 7,2°. Расстояние между Сиеной (А) и Александрией (В) около 5000 греческих стадий — l.

Стадией в Древней Греции считалось расстояние, которое проходит легко вооруженный греческий воин за тот промежуток времени, в течение которого Солнце, коснувшееся горизонта своим нижним краем, целиком скроется за горизонт.

Несмотря на кажущееся неудобство такой единицы и достаточную громоздкость словесного определения, ее введение выглядело вполне оправданным, учитывая, что строгая периодичность небесных явлений позволяла использовать их движение для счета времени.

Обозначив длину окружности земного шара через L, получим такое выражение: 

откуда следует, что длина окружности земного шара равняется 250 000 стадий.

Точная величина стадии в современных единицах неизвестна, но, зная, что расстояние между Александрией и Асуаном составляет 800 км, можно полагать, что 1 стадия = 160 м. Это означает, что результат, полученный Эратосфеном, практически не отличается от современных данных, согласно которым длина окружности Земли составляет 40 000 км.

Эратосфен ввел в практику использование терминов «широта» и «долгота». Видимо, появление этих терминов связано с особенностями формы карт того времени: они повторяли по очертаниям побережье Средиземного моря, которое длиннее по направлению запад-восток (по долготе), чем с севера на юг (по широте).

Определить географическую широту двух пунктов оказывается гораздо проще, чем измерить расстояние между ними. Зачастую непосредственное измерение кратчайшего расстояния между этими пунктами оказывается невозможным из-за различных естественных препятствий (гор, рек и т. п.). Поэтому применяется способ, основанный на явлении параллактического смещения и предусматривающий вычисление расстояния на основе измерений длины одной из сторон (базиса — ВС) и двух углов В и С в треугольнике ABC(рис. 3.9).

Параллактическим смещением называется изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя.

Чем дальше расположен предмет, тем меньше его параллактическое смещение, и чем больше перемещение наблюдателя (базис измерения), тем больше параллактическое смещение.

Для определения длины дуги используется система треугольников — способ триангуляции, который впервые был применен еще в 1615 г. Пункты в вершинах этих треугольников выбираются по обе стороны дуги на расстоянии 30 — 40 км друг от друга так, чтобы из каждого пункта были видны по крайней мере два других. Основой для вычисления длин сторон во всех этих треугольниках является размер базиса АС (рис. 3.10). Точность измерения базиса длиной в 10 км составляет около 1 мм. Во всех пунктах устанавливают геодезические сигналы — вышки высотой в несколько десятков метров. С вершины сигнала с помощью угломерного инструмента (теодолита) измеряют углы между направлениями на два-три соседних пункта. Измерив углы в треугольнике, одной из сторон которого является базис, геодезисты получают возможность вычислить длину двух других его сторон. Проводя затем измерение углов из пунктов, расстояние между которыми вычислено, можно узнать длину двух очередных сторон в треугольнике. Зная длину сторон этих треугольников, можно определить длину дуги АВ.

В какой степени форма Земли отличается от шара, выяснилось в конце XVIII в. Для уточнения формы Земли Французская академия наук снарядила сразу две экспедиции. Одна из них работала в экваториальных широтах Южной Америки в Перу, другая — вблизи Северного полярного круга на территории Финляндии и Швеции. Измерения показали, что длина одного градуса дуги меридиана на севере больше, чем вблизи экватора. Последующие исследования подтвердили, что длина дуги одного градуса меридиана увеличивается с возрастанием географической широты. Это означало, что форма Земли — не идеальный шар: она сплюснута у полюсов. Ее полярный радиус на 21 км короче экваториального.

Для школьного глобуса масштаба 1:50 000 000 отличие этих радиусов будет всего 0,4 мм, т. е. совершенно незаметно.

Отношение разности величин экваториального и полярного радиусов Земли к величине экваториального называется сжатием. По современным данным оно составляет 1/298 или 0,0034. Это означает, что сечение Земли по меридиану будет не окружностью, а эллипсом, у которого большая ось проходит в плоскости экватора, а малая совпадает с осью вращения.

В XX в. благодаря измерениям, точность которых составила 15 м, выяснилось, что земной экватор также нельзя считать окружностью. Сплюснутость экватора составляет всего 1/30 000 (в 100 раз меньше сплюснутости меридиана). Более точно форму нашей планеты передает фигура, называемая эллипсоидом, у которого любое сечение плоскостью, проходящей через центр Земли, не является окружностью.

В настоящее время форму Земли принято характеризовать следующими величинами:

• экваториальный радиус – 6378,160 км;
• полярный радиус – 6356,777 км;
• сжатие эллипсоида – 1 : 298,25;
• средний радиус – 6371,032 км;
• длина окружности экватора – 40075,696 км.

13.2 Определение расстояний в Солнечной системе.

Горизонтальный параллакс

Измерить расстояние от Земли до Солнца удалось лишь во второй половине XVIII в., когда был впервые определен горизонтальный параллакс Солнца. По сути дела, при этом измеряется параллактическое смещение объекта, находящегося за пределами Земли, а базисом является ее радиус.

Горизонтальным параллаксом (р) называется угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный лучу зрения (рис. 3.11).

Из треугольника OASможно выразить величину — расстояние OS = D:

,

где R— радиус Земли. По этой формуле можно вычислить расстояние в радиусах Земли, а зная его величину, — выразить расстояние в километрах.

Очевидно, что чем дальше расположен объект, тем меньше его параллакс. Наибольшее значение имеет параллакс Луны, который меняется в связи с тем, что Луна обращается по эллиптической орбите, и в среднем составляет 57′. Параллаксы планет и Солнца значительно меньше. Так, параллакс Солнца 8,8Ѕ. Такому значению параллакса соответствует расстояние до Солнца, примерно равное 150 000 000 км. Это расстояние принимается за одну астрономическую единицу (1 а. е.) и используется при измерении расстояний между телами Солнечной системы.

Известно, что для малых углов sin p ≈ p, если угол р выражен в радианах. В одном радиане содержится 206 265Ѕ. Тогда, заменяя sin р на р и выражая этот угол в радианной мере, получаем формулу в виде, удобном для вычислений:

или (с достаточной точностью)

Во второй половине XX в. развитие радиотехники позволило определять расстояния до тел Солнечной системы посредством радиолокации. Первым объектом среди них стала Луна. Затем радиолокационными методами были уточнены расстояния до Венеры, Меркурия, Марса и Юпитера. На основе радиолокации Венеры величина астрономической единицы определена с точностью порядка километра. Столь высокая точность определения расстояний — необходимое условие для расчетов траекторий полета космических аппаратов, изучающих планеты и другие тела Солнечной системы. В настоящее время благодаря использованию лазеров стало возможным провести оптическую локацию Луны. При этом расстояния до лунной поверхности измеряются с точностью до сантиметров.

Пример решения задач.

На каком расстоянии от Земли находится Сатурн, когда его горизонтальный параллакс равен 0,9″?

13.4. Определение размеров светил

Зная расстояние до светила, можно определить его линейные размеры, если измерить его угловой радиус ρ (рис. 3.12).

Формула, связывающая эти величины, аналогична формуле для определения параллакса:

Учитывая, что угловые диаметры даже Солнца и Луны составляют примерно 30′, а все планеты видны невооруженному глазу как точки, можно воспользоваться соотношением: sin ρ ≈ ρ. Тогда:

 и .

Следовательно,

.

Если расстояние Dизвестно, то

где величина ρ выражена в радианах.

Пример  решения задач

Чему равен линейный диаметр Луны, если она видна с расстояния 400 000 км под углом примерно 30′?