Как найти размер сечения прямоугольной балки

Расчет балки, подбор прямоугольного сечения

1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣFx = 0:    HA = 0
ΣMA = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры  в точке A: 
 - q1*3*(3/2) + RB*3 - M1 + P1*4.5 = 0
ΣMB = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры  в точке B: 
 - RA*3 + q1*3*(3 - 3/2) - M1 + P1*1.5 = 0
2. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные : 
HA = 0 (кН)
3. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры  в точке B
RB = ( q1*3*(3/2) + M1 - P1*4.5) / 3 = ( 40*3*(3/2) + 30 - 10*4.5) / 3 = 55.00 (кН)
4. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры  в точке A
RA = ( q1*3*(3 - 3/2) - M1 + P1*1.5) / 3 = ( 40*3*(3 - 3/2) - 30 + 10*1.5) / 3 = 55.00 (кН)
5. Выполним проверку ΣFy = 0:    RA - q1*3 + RB + P1 =  55.00 - 40*3 + 55.00 + 10 = 0

Поперечная сила Q:
Q(x1) =  + RA - q1*(x1 - 0)
Значения Q на краях участка:
Q1(0) =  + 55 - 40*0 = 55 (кН)
Q1(3) =  + 55 - 40*3 = -65 (кН)
На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
x = 1.38
Изгибающий момент M:
M(x1) =  + RA*(x1) - q1*(x1)2/2
Значения M на краях участка:
M1(0) =  + 55*(0) - 40*02/2 = 0 (кН*м)
M1(3) =  + 55*(3) - 40*32/2 = -15 (кН*м)
Локальный экстремум в точке x = 1.38:
M1(1.38) =  + 55*(1.38) - 40*(1.38 - 0)2/2 = 37.81 (кН*м)

Поперечная сила Q:
Q(x2) =  + RA - q1*3 + RB
Значения Q на краях участка:
Q2(3) =  + 55 - 40*3 + 55 = -10 (кН)
Q2(4) =  + 55 - 40*3 + 55 = -10 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2) =  + RA*(x2) - q1*3*[(x2 - 3) + 3/2] + RB*(x2 - 3)
Значения M на краях участка:
M2(3) =  + 55*(3) - 40*3*(0 + 1.50) + 55*(3 - 3) = -15 (кН*м)
M2(4) =  + 55*(4) - 40*3*(1 + 1.50) + 55*(4 - 3) = -25 (кН*м)

Поперечная сила Q:
Q(x3) =  + RA - q1*3 + RB
Значения Q на краях участка:
Q3(4) =  + 55 - 40*3 + 55 = -10 (кН)
Q3(4.50) =  + 55 - 40*3 + 55 = -10 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3) =  + RA*(x3) - q1*3*[(x3 - 3) + 3/2] + RB*(x3 - 3) + M1
Значения M на краях участка:
M3(4) =  + 55*(4) - 40*3*(1 + 1.50) + 55*(4 - 3) + 30 = 5 (кН*м)
M3(4.50) =  + 55*(4.50) - 40*3*(1.50 + 1.50) + 55*(4.50 - 3) + 30 = 0 (кН*м)

Обычно в инженерной
практике проверку прочности балок
производят по нормальным наибольшим и
касательным напряжениям [2]. Нормальные
напряжения σ зависят от величины
изгибавшего момента, а касательные
τ – от величины поперечной силы.
Касательные напряжения в сечениях балки
обычно не играют существенной роли,
поэтому размеры сечения балок определяют
из условия прочности по нормальным
максимальным напряжениям:

,

где М_max
–
наибольший (по абсолютной величине)
изгибающий момент, известный из эпюры
изгибающих моментов ().

Сечение балки
подбирается по моменту сопротивления
относитель­но нейтральной оси:

.
(3.10)

Для балки
прямоугольного сечения

.

Числовые значения
моментов сопротивления стандартных
профилей проката указаны в соответствующих
государственных стандартах на прокат,
а на балки двутавровые приведены в
таблицах приложения Г. Следует подбирать
номер профиля, имеющий большее стандартное
ближайшее значение. Допустимо принимать
и меньшее ближайшее значение W_х^СТ,
однако оно должно удовлетворять условию:

.

Момент сопротивления
при изгибе

_{Подходит швеллер
№ 8 (Wx=22,4
см}³_{,
площадь сечения А=8,98 см}²_).

Определим
прямоугольное сечение (рисунок 3.10) при

Рисунок 3.10 –
Сечение швеллера и прямоугольное сечение

_{Площадь
прямоугольного сечения}

_{A=bh=16,27
см}²
_{≈
в 2 раза больше площади швеллера.}

3.4 Совместное действие изгиба и кручения

Сочетание деформаций
изгиба и кручения испытывает большинство
валов, которые обычно представляют
собой прямые брусья круглого или
кольцевого сечения.

Возникающие от
изгиба нормальные напряжения достигают
максимального значения в волокнах,
наиболее удаленных от нейтральной оси:

,

где М – максимальный
изгибающий момент, Нм;

W
– осевой момент сопротивления сечения,
м³.

Для вала круглого
сечения

Максимальные
касательные напряжения при кручении
возникают в точках контура поперечного
сечения:

где W_p
– полярный момент сопротивления сечения
(W_p=2W),
м³;
Т
– крутящий момент, Нм.

Таким образом, при
сочетании изгиба и кручения опасными
будут точки (для конкретного поперечного
сечения), наиболее удаленные от нейтральной
оси.

Применив третью
теорию прочности, получим

.

Расчетная формула
для круглых валов принимает вид:

,

где М
_экв.
– эквивалентный момент, Нм;

[σ]
– допускаемое
напряжение на растяжение для материала
вала, Па.

Если величина и
направление нагрузки во время работы
вращающегося вала остаются неизменными,
то напряжения изгиба в теле вала будут
изменяться во времени по симметричному
циклу – I циклу
нагружения (рисунок 3.11).

Рисунок 3.11 – График
изменения во времени напряжения изгиба
I
цикл

При действии на
вал нагрузок в разных плоскостях силы
раскладывают на две взаимно перпендикулярные
плоскости, за одну из которых выбирают
плоскость действия одной из сил.

Суммарный изгибающий
момент определится как геометрическая
сумма моментов, действующих во взаимно
перпендикулярных плоскостях
рассматриваемого сечения:

где М_i^в
и М_i^гор
– изгибающие
моменты в i
– м сечении,
действующие в вертикальной и в
горизонтальной плоскостях соответственно.

Эквивалентный
момент определится по формуле:

,

Диаметр вала в
опасном сечении
рассчитывается из условия прочности:

.

Примечание –
При решении задач все необходимые
вычисления следует сначала проделать
в общем виде, обозначая все данные и
искомые величины буквами, после чего
вместо буквенных обозначений подставить
их числовые значения и найти результат.
На расчетных эскизах размеры должны
быть проставлены теми же буквами, какие
имеются в расчетных формулах.

Пример 4.
Построить
эпюры изгибающих, крутящего, суммарного
изгибающего моментов и определить
диаметр вала (рисунок 3.12) в опасном
сечении.

Т = 0,2 кНм, F
= 2 кН, q
= 4 кН/м, a
= 0,2м, b
=1,2а = 0,24м,

с = 0,8а = 0,16м, [σ]
= 110МПа.

Решение:

Плоскость yz:

Плоскость хz:

Из условия прочности
наиболее нагруженного сечения А определим
диаметр вала.

Рисунок 3.12 –
Расчетная
схема и эпюры вала

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ЗАДАЧА 1

Расчет бруса на
осевое растяжение (сжатие)

Сечение бруса
квадратное. Материал – сталь. Допускаемое
напряжение [σ]
= 100 МПа. Модуль продольной упругости Е
= 2·10⁵
МПа. Исходные данные к расчету см. в
таблице + рисунок.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Расчетные схемы

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ЗАДАЧА 2 РАСЧЕТ
ВАЛА НА КРУЧЕНИЕ

Сечение вала
круглое, сплошное и кольцевое. Допускаемое
напряжение кручения [τ]=25
МПа. Модуль сдвига G=8∙10⁴
МПа

Расчетные схемы

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ЗАДАЧА 3
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ
ПРИ ИЗГИБЕ

Для данной балки подобрать сечения
двутавра и прямоугольника (h/b=2).
Допускаемое напряжения изгиба [σ]=160
МПа

Расчетные схемы
задачи 3

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Сталь прокатная
– балки двутавровые (ГОСТ 8239-83)

h
– высота профиля;

b
– ширина;

d
– толщина;

t
– средняя толщина;

R
и r
– внутренний и наружный радиусы
скруглений;

J
– момент инерции;

W
– момент сопротивления;

i
– радиус инерции;

S
– статический момент полусечения

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Расчет железобетонных балок прямоугольного сечения с одиночным армированием по прочности нормального сечения

Преподаватель ГБУ КО ПОО «КИТиС» А.Н.Панина

Различают 2 расчетных случая

Расчетная схема прочности нормальных сечений изгибаемых элементов (общий случай)

• Рассмотрим элемент прямоугольной формы. В общем случае элемент армируется предварительно напряженной ( Asp и A’sp ) и ненапрягаемой ( As и A’s ) арматурой в растянутой ( Asp, As ) и в сжатой зонах ( A’sp , A’s )

Расчет элементов прямоугольного профиля с одиночной арматурой

К элементам с одиночной арматурой относятся элементы, у которых рабочая (расчетная) арматура располагается только в растянутой зоне.

Порядок расчета

• 1.Определяем расчетное сопротивление бетона осевому сжатию   (СП 52-101-2003 Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры), по классу бетона, при расчете необходимо учесть коэффициент   – условий работы бетона, тогда: 
• 2.Определяем расчетную высоту сечения, по формуле: 
•   где:   -высота сечения, см;
• a -расстояние, от центра тяжести рабочего стержня до крайнего нижнего волокна бетона, cм (2 …3 см).
• 3.Определением коэффициент  α    , по формуле: 
•   где:   -ширина сечения, см;
• α    R   -если условие выполняется, следовательно армирование одиночное, если не выполняется – двойное ( α R  – граничный коэффициент, зависит от класса арматуры, коэффициента   и класса бетона).
• 4.Производим расчет площади поперечного сечения рабочей арматуры, по формуле: 

• где:   -коэффициент зависящий от  α   , определяется по таблице;
• R s -расчетное сопротивление арматуры осевому растяжению (СП 52-101-2003 Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры), кН/см 2 ;
• 5.По значению  A s , по сортаменту, определяем диаметр и количество стержней, конструктивно устанавливая их в элементе в зависимости от ширины сечения.