Как найти размер шара - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

У этого термина существуют и другие значения, см. Шар (значения).

Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения[править | править код]

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы[править | править код]

Площадь поверхности и объём шара радиуса (и диаметром d = 2r ) определяются формулами:

$S= 4pi r^{2}$

$S= pi d^{2}$

$V={frac {4}{3}}pi r^{3}$

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке . Уравнение окружности этого круга : $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ , откуда $y^{2}=R^{2}-x^{2}$ .

Функция $y={sqrt {R^{2}-x^{2}}},xin (0;R)$ непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

${1 over 2}V=pi int limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=pi cdot {Bigl .}left(R^{2}x-{frac {x^{3}}{3}}right){Bigr |}_{0}^{R}=pi cdot (R^{3}-{frac {R^{3}}{3}})={frac {2}{3}}pi R^{3}$

Откуда $V={frac {4}{3}}pi R^{3}$ Ч. т. д.

$V={frac {pi d^{3}}{6}}$

Доказательство

$d=2r, V={4 over 3} pi r^3 = {4 over 3} pi left ( {d over 2} right )^3 = {4 over 3} pi frac {d^3} {8} = frac {pi d^3} {6}$ Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения[править | править код]

Пусть дано метрическое пространство (X,rho) . Тогда

$B_{r}(x_{0})={xin Xmid rho (x,x_{0})<r}.$

$D_{r}(x_{0})={xin Xmid rho (x,x_{0})leqslant r}.$

Замечания[править | править код]

Шар радиуса с центром $x_{0}$ также называют -окрестностью точки $x_{0}$ .

Свойства[править | править код]

$B_{1}(x)={x},;overline {B_{1}(x)}={x},;D_{1}(x)=X.$

Объём[править | править код]

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:^[1]

${displaystyle V_{n}(R)={frac {pi ^{n/2}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

${displaystyle V_{2k}(R)={frac {pi ^{k}}{k!}}R^{2k}}$

${displaystyle V_{2k+1}(R)={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={frac {2(k!)(4pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}}$

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

${displaystyle V_{n}(R)={frac {2^{left[{frac {n+1}{2}}right]}pi ^{left[{frac {n}{2}}right]}}{n!!}}R^{n}}$

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

${displaystyle R_{n}(V)={frac {Gamma (n/2+1)^{1/n}}{sqrt {pi }}}V^{1/n}}$

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

${displaystyle R_{2k}(V)={frac {(k!V)^{1/2k}}{sqrt {pi }}}}$

${displaystyle R_{2k+1}(V)=left({frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}pi ^{k}}}right)^{1/(2k+1)}}$

Рекурсия[править | править код]

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности n-2 (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

${displaystyle V_{n}(R)={frac {2pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)}$

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

${displaystyle V_{n}(R)=R{sqrt {pi }}{frac {Gamma ({frac {n+1}{2}})}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}V_{n-1}(R)}$

То же без гамма-функции:

${displaystyle {begin{aligned}V_{2k}(R)&=Rpi {frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=Rpi {frac {(2k-1)(2k-3)cdots 5cdot 3cdot 1}{(2k)(2k-2)cdots 6cdot 4cdot 2}}V_{2k-1}(R),\V_{2k+1}(R)&=2R{frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{frac {(2k)(2k-2)cdots 6cdot 4cdot 2}{(2k+1)(2k-1)cdots 5cdot 3cdot 1}}V_{2k}(R).end{aligned}}}$

Пространства младших размерностей[править | править код]

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1
2	$pi R^{2}$	${displaystyle {frac {V^{1/2}}{sqrt {pi }}}}$
3	${displaystyle {frac {4pi }{3}}R^{3}}$	${displaystyle left({frac {3V}{4pi }}right)^{1/3}}$
4	${displaystyle {frac {pi ^{2}}{2}}R^{4}}$	${displaystyle {frac {(2V)^{1/4}}{sqrt {pi }}}}$
5	${displaystyle {frac {8pi ^{2}}{15}}R^{5}}$	${displaystyle left({frac {15V}{8pi ^{2}}}right)^{1/5}}$
6	${displaystyle {frac {pi ^{3}}{6}}R^{6}}$	${displaystyle {frac {(6V)^{1/6}}{sqrt {pi }}}}$
7	${displaystyle {frac {16pi ^{3}}{105}}R^{7}}$	${displaystyle left({frac {105V}{16pi ^{3}}}right)^{1/7}}$
8	${displaystyle {frac {pi ^{4}}{24}}R^{8}}$	${displaystyle {frac {(24V)^{1/8}}{sqrt {pi }}}}$
9	${displaystyle {frac {32pi ^{4}}{945}}R^{9}}$	${displaystyle left({frac {945V}{32pi ^{4}}}right)^{1/9}}$
10	${displaystyle {frac {pi ^{5}}{120}}R^{10}}$	${displaystyle {frac {(120V)^{1/10}}{sqrt {pi }}}}$

Пространства старших размерностей[править | править код]

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры[править | править код]

Пусть $mathbb{R}^d$ — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда

если (пространство — прямая), то

${displaystyle B_{r}(x_{0})={xin mathbb {R} mid |x-x_{0}|<r}=left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}right),}$

${displaystyle D_{r}(x_{0})={xin mathbb {R} mid |x-x_{0}|leq r}=left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}right].}$

— открытый и замкнутый отрезок соответственно.

— открытый и замкнутый диск соответственно.

— открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

Тогда

См. также[править | править код]

Шаровой слой
Гиперсфера
Сферический слой

Примечания[править | править код]

↑ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

Литература[править | править код]

Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы[править | править код]

Вычисление объема и площади шара. Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано из оригинала 8 августа 2011 года.
Онлайн-калькуляторы. Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано из оригинала 9 января 2019 года.
Математические этюды. Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано из оригинала 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара

Источник

{V= dfrac{4}{3} pi R^3}

На этой странице вы можете рассчитать объем шара. Предлагаем вам 4 формулы и калькуляторы для них. Различаются они исходными данными. Вы можете найти объем шара зная его радиус, диаметр, длину окружности или площадь поверхности. Просто введите значение в калькулятор и получите мгновенный результат.

Шар – это геометрическое тело, состоящее из точек пространства, которые удалены от центра на одинаковое расстояние. Это расстояние называют радиусом шара.

Содержание:

калькулятор объема шара
формула объема шара через радиус
формула объема шара через диаметр
формула объема шара через длину окружности
формула объема шара через площадь поверхности
примеры задач

Формула объема шара через радиус

{V = dfrac{4}{3} pi R^3}

R – радиус шара

Формула объема шара через диаметр

{V = dfrac{1}{6} pi D^3}

D – диаметр шара

Формула объема шара через длину окружности

Эта формула легко выводится из формулы объема шара через его радиус и формулы для нахождения длины окружности {L = 2pi r}

{V = dfrac{L^3}{6 pi^2}}

L – длина окружности

Формула объема шара через площадь поверхности

{V = sqrt{ dfrac{S^3}{36 pi}}}

S – площадь поверхности

Примеры задач на нахождение объема параллелепипеда

Задача 1

Найдите объем шара радиус которого равен 12см.

Решение

Используем формулу шара через радиус. Просто подставим в нее значение радиуса шара и вычислим объем.

V = dfrac{4}{3} pi R^3 = dfrac{4}{3} pi cdot 12^3 = dfrac{4}{3} pi cdot 1728 = dfrac{4 cdot 1728}{3} pi = 2304 cdot pi : см^3 approx 7238.22947 : см^3

Ответ: 2304 cdot pi : см^3 approx 7238.22947 : см^3

Чтобы убедиться в правильности решения задачи, воспользуемся калькулятором .

Задача 2

Найдите объем шара диаметр которого равен 12см.

Решение

В этой задаче воспользуемся формулой шара через диаметр.

V = dfrac{1}{6} pi D^3 = dfrac{1}{6} pi cdot 12^3 = dfrac{1}{6} pi cdot 1728 = dfrac{1728}{6} pi = 288 pi : см^3 approx 904.77868 : см^3

Ответ: 288 pi : см^3 approx 904.77868 : см^3

И снова в проверке ответа нам поможет калькулятор .

Задача 3

Найдите объем шара диаметр которого равен 6см.

Решение

Эта задача аналогична задаче 2.

V = dfrac{1}{6} pi D^3 = dfrac{1}{6} pi cdot 6^3 = dfrac{1}{6} pi cdot 216 = dfrac{216}{6} pi = 36 pi : см^3 approx 113.09734 : см^3

Ответ: 36 pi : см^3 approx 113.09734 : см^3

И снова в проверке ответа нам поможет калькулятор .

Источник

Объём шара

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Объём шара

Чтобы посчитать объём шара, ограниченного сферой, воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чему равен объём шара, если:

V_шара =

Округление числа π: Округление ответа:

Чему равен объём шара, если:

Площадь поверхности шара S_пов =

V_шара =

Округление числа π: Округление ответа:

Просто введите данные, и получите ответ.

Теория

Объём шара через радиус

Чему равен объём шара V_шара, если его радиус r?

Формула

V_шара = ⁴⁄₃ ⋅ π ⋅ r³ , где π ≈ 3.14…

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических сантиметрах, если его радиус r = 2 см:

V_шара = 4/3 ⋅ 3.14 ⋅ 2³ = 4/3 ⋅ 3.14 ⋅ 8 = 100.48/3 ≈ 33.493 см³

Объём шара через диаметр

Чему равен объём шара V_шара, если его диаметр d?

Формула

V_шара = ¹⁄₆ ⋅ π ⋅ d³

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических метрах, если его диаметр d = 0.5 м:

V_шара = 1/6 ⋅ π ⋅ 0.5³ = (3.14 ⋅ 0.125) / 6 ≈ 0.0654 м³

Объём шара через длину окружности

Чему равен объём шара V_шара, если длина его окружности L?

Формула

V_шара = ^L³⁄_6π²

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических миллиметрах, если длина окружности у него L = 50 мм:

V_шара = ^50³ ⁄ _{6 ⋅ 3.14²} = 125000 / 59.1576 ≈ 2113 мм³

Объём шара через площадь поверхности шара

Чему равен объём шара V_шара, если площадь его поверхности S_пов?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических сантиметрах, если площадь поверхности у него S_пов = 225 см²:

V_шара = √ 225³ ⁄ (36 ⋅ 3.14) = √ 11390625 ⁄ 113.04 = √ 11390625 ⁄ 113.04 ≈ 317.44 см³

См. также

Источник

Калькулятор объема шара

Рассчитайте онлайн объем любой шарообразной фигуры по ее радиусу или диаметру.

Что известно

Длина

Размерность

Раcсчитать

Что такое калькулятор объема шара или сферы?

Калькулятор объема шара — это онлайн инструмент, который используется для быстрого расчета объема шара по его радиусу или диаметру. Объем шара представляет собой объем пространства, которое занимает шар в трехмерном пространстве.

Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом для учебных заданий или практических задач, связанных с расчетами объемов шаров. Он также может использоваться в различных профессиональных областях, где необходимы точные расчеты объемов, например, в архитектуре, инженерии, физике и т.д.

🌎 Где можно применить калькулятор объема шара?

Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом в различных областях и сферах деятельности, например:

Архитектура и строительство: при проектировании и строительстве куполов, бассейнов, шарообразных крыш и других шарообразных конструкций.
Медицина: при расчете объема опухолей, кровеносных сосудов, сердца и других органов.
Производство и промышленность: при расчете объема шарообразных резервуаров, емкостей, шарообразных деталей и т.д.
Космология: при расчете объема планет, галактик и других космических объектов.
Физика: при расчете объема и массы материалов, например, при изучении свойств и характеристик материалов.
Образование: при выполнении учебных заданий и проектов в школе, вузе и других образовательных учреждениях.
Различные хобби и увлечения: при создании шарообразных фигур, скульптур, шариков для игр и других творческих проектов.

Калькулятор объема шара может быть полезным инструментом во многих ситуациях, когда необходимо быстро и точно вычислить объем шара.

🔮 В чем преимущество шарообразной формы?

Шарообразная форма имеет несколько преимуществ, которые делают ее полезной в различных областях:

Минимальная поверхность: шарообразная форма имеет минимальную поверхность в отношении своего объема. Это значит, что на единицу объема шара приходится меньше поверхности, чем на единицу объема других форм, что может быть полезно, например, для сокращения издержек при производстве.
Равномерность нагрузки: шарообразная форма имеет равномерное распределение нагрузки на поверхности, что позволяет ей лучше выдерживать внешнее давление.
Сферическая симметрия: шарообразная форма имеет сферическую симметрию, что означает, что она выглядит одинаково при любом повороте вокруг своей оси. Это может быть полезным, например, при проектировании оптических систем, таких как линзы и зеркала.
Простота: шарообразная форма является одной из самых простых геометрических форм, и ее параметры (радиус, диаметр, объем и т.д.) легко вычисляются.
Эстетика: шарообразная форма считается эстетичной и привлекательной для взгляда. Она широко используется в дизайне, искусстве и архитектуре для создания красивых и уникальных форм.

Как вычислить объем шара через радиус?

Калькулятор объема шара обычно использует стандартную математическую формулу для расчета объема шара, которая основана на его радиусе. Формула для расчета объема шара выглядит следующим образом:

V = (4/3) * π * r³

где V – объем шара, r – радиус шара, pi – константа, примерно равная 3.14159.

Как вычислить объем шара через диаметр?

Чтобы вычислить объем шара через его диаметр, можно использовать следующую формулу:

V = (4/3) * π * (d/2)³

где V – объем шара, d – диаметр шара, π – число Пи, математическая константа, равная приблизительно 3,14159.

Для расчета объема шара нужно возвести значение d/2 в куб и умножить результат на 4/3 и на π.

❓ Вопросы и ответы

А вот несколько ответов на часто задаваемы вопросе о шаре и его объеме.

Как пользоваться онлайн калькулятором объема шара?

Для того, чтобы использовать калькулятор объема шара, нужно ввести значение радиуса шара или его диаметра в соответствующее поле калькулятора, затем калькулятор автоматически рассчитает объем шара.

Что такое шар?

Шар — это трехмерная геометрическая фигура, которая представляет собой идеальную сферу в трёхмерном пространстве. Все точки поверхности шара находятся на одинаковом расстоянии от его центра.

Для чего нужен расчет объема шара?

Расчет объема шара может быть полезен для решения различных задач в науке, технике и повседневной жизни. Например, зная объем шара, можно вычислить массу сферического объекта, если известна его плотность. Также расчет объема шара может использоваться при проектировании сферических емкостей или устройств.

Какой материал лучше всего подходит для изготовления шаров?

Для изготовления шаров часто используют различные материалы, в том числе металлы, стекло, пластмассу и резину. Выбор материала зависит от конкретной задачи и требований к изделию. Например, если необходима высокая прочность, то лучше выбрать металлический шар, а если необходимо обеспечить прозрачность, то следует выбрать стеклянный шар.

Как найти радиус шара, если известен его объем?

Радиус шара может быть найден по формуле: r = ³√(3V/4π), где r – радиус шара, V – объем шара, π – число пи (3.14159265…).

Как найти диаметр шара, если известен его радиус?

Диаметр шара равен удвоенному радиусу, то есть d = 2r, где d – диаметр шара, r – радиус шара.

Формула объема шара через радиус: значение

Объем шара V вычисляется по формуле (см. ниже), где R — радиус шара, число «пи» — π — математическая константа, ≈ 3,14.

Данная формула является базовой!

Формула для вычисления объема шара, если известен радиус R шара

Формула объема шара через диаметр: значение

Воспользуйтесь базовой формулой: V=4/3*π*R³.
Радиус R — это ½ диаметра D или R=D/2.
Отсюда: V=4/3*π*R³ → V=(4π/3)*(D/2)³ → V=(4π/3)*(D³/8)→ V= πD³/6.

Или

Формула вычисления объема шара, если известен диаметр D шара

Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание

Задача 1.

Радиус шара равен 10 см. Найди его объем.

Пример вычисления объема шара, если радиус шара задан в условии задачи

Задача 2.

Диаметр шара равен 10 см. Найди его объем.

Пример вычисления объема шара, если диаметр шара задан в условии задачи

Задача 3.

Соотношение диаметра Луны и диаметра Земли 1:4. Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?

Решение:

Пример решения задачи

Ответ: в 64 раза.

Важно: существует множество онлайн калькуляторов, позволяющих быстро найти заданную величину. Например, сервис Webmath.

Формула полной поверхности шара, сферы через радиус: значение

Площадь поверхности сферы/шара S вычисляется по формуле (см. ниже), где R — радиус шара, число «пи» — π — математическая константа, ≈ 3,14.

Данная формула является базовой!

Формула для вычисления площади полной поверхности шара, если известен радиус R шара

Формула полной поверхности шара, сферы через диаметр: значение

Воспользуйтесь базовой формулой: S = 4*π*R².
Радиус R — это ½ диаметра D или R=D/2.
Отсюда: S=4*π*R² → S=4*π*(D/2)² → S=(4π)*(D²/4)→ S = (4πD²)/4 → S = πD².

Или

Формула вычисления площади полной поверхности шара, если известен диаметр D шара

Примеры вычисления площади поверхности, сферы шара, через радиус и диаметр шара: описание

Задача 4.

Пример решения задачи

Задача 5.

Пример решения задачи

Задача 6.

Пример решения задачи

Как найти объем шара через площадь поверхности шара, сферы: пример решения задачи

Задача 7.

Пример решения задачи.

Задача 8.

Пример решения задачи.

Видео: ЕГЭ математика. Объем и площадь поверхности тел вращения.

Источник

Связанные определения[править | править код]

Основные геометрические формулы[править | править код]

Определения[править | править код]

Замечания[править | править код]

Свойства[править | править код]

Объём[править | править код]

Рекурсия[править | править код]

Пространства младших размерностей[править | править код]

Пространства старших размерностей[править | править код]

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки на онлайн калькуляторы[править | править код]

Содержание:

Формула объема шара через радиус

Формула объема шара через диаметр

Формула объема шара через длину окружности

Формула объема шара через площадь поверхности

Примеры задач на нахождение объема параллелепипеда

Объём шара

Онлайн калькулятор

Теория

Объём шара через радиус

Формула

Пример

Объём шара через диаметр

Формула

Пример

Объём шара через длину окружности

Формула

Пример

Объём шара через площадь поверхности шара

Формула

Пример

См. также

Калькулятор объема шара

Оглавление:

Что такое калькулятор объема шара или сферы?

🌎 Где можно применить калькулятор объема шара?

🔮 В чем преимущество шарообразной формы?

Как вычислить объем шара через радиус?

Как вычислить объем шара через диаметр?

❓ Вопросы и ответы

Как пользоваться онлайн калькулятором объема шара?

Что такое шар?

Для чего нужен расчет объема шара?

Какой материал лучше всего подходит для изготовления шаров?

Как найти радиус шара, если известен его объем?

Как найти диаметр шара, если известен его радиус?

Похожие калькуляторы

Есть что добавить?

Формула объема шара через радиус: значение

Формула объема шара через диаметр: значение

Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание

Формула полной поверхности шара, сферы через радиус: значение

Формула полной поверхности шара, сферы через диаметр: значение

Примеры вычисления площади поверхности, сферы шара, через радиус и диаметр шара: описание

Как найти объем шара через площадь поверхности шара, сферы: пример решения задачи

Видео: ЕГЭ математика. Объем и площадь поверхности тел вращения.

Вам также может понравиться

Как найти проблему реферата

Черные риэлторы москвы как найти

Как исправить юбилеи

Добавить комментарий Отменить ответ