и линейные
операторы
23.1. Линейное пространство, определение и примеры
Пусть
F
– множество всех действительных чисел
R
или множество всех комплексных чисел
C.
Множество
V
элементов x, y, z, …
называется линейным
(векторным) пространством
над числовым множеством F,
если для каждых двух элементов x
и y
из V
определена их сумма
для каждогои каждого числаопределено их произведениепричем выполняются следующие аксиомы:
А1) –коммутативность
сложения;
А2) –ассоциативность
сложения;
А3) существует
такой элемент
называемыйнулевым,
что х
+ 0 = х,
А4) для
каждого элемента
существует такой элементназываемыйпротивоположным
к x,
что
А5)
А6)
для всехи
А7)
А8)
Элементы
линейного (векторного) пространства
называются векторами.
Если F
– множество действительных чисел R
или множество комплексных чисел C,
то векторное пространство V
над множеством F
называется соответственно действительным
или комплексным
линейным пространством. Далее, в основном,
будут рассматриваться действительные
линейные пространства.
Векторы
линейного пространстваV
называются линейно-зависимыми,
если существуют числа
не все равные нулю, такие, что
(23.1)
Векторы
называютсялинейно-независимыми,
если равенство (23.1) выполняется только
при условии
Вектор
x
разлагается по векторам (линейно
выражается) через
векторы
еслиЕсли векторылинейно-зависимы, то хотя бы один из них
линейно выражается через остальные.
Линейно-независимая
система векторов
называетсябазисом
пространства, если любой вектор этого
пространства разлагается по векторам
Линейное пространство называетсяконечномерным,
если его базис состоит из конечного
количества векторов, и бесконечномерным
– в противном случае.
Количество
n
векторов базиса конечномерного
пространства V
называется размерностью
пространства V,
что записывают
илигде
Каждую
линейно-независимую систему векторов
конечномерного пространстваможно дополнить до базиса
Если
– базис пространствато любой векторx
из
имеет единственное разложение
(23.2)
Числа
называютсякоординатами
вектора x
в базисе
при этом записывают
Если
некоторое подмножество
само образует линейное пространство
относительно введенных вV
операций сложения и умножения на число,
то
называетсяподпространством
линейного
пространства V.
Пусть
– множество всех матриц-строк, имеющихn
элементов, с обычными операциями сложения
матриц и умножения матрицы на число:
а)
б)
Для
этого множества выполняются аксиомы
А1)–А8). Следовательно, это множество
является линейным пространством. Строки
образуют базис этого пространства,
поэтому оноn–мерно.
Построенное пространство называется
арифметическим
или координатным
линейным пространством
и обозначается
Теорема.
Пусть
– линейное пространство размерностиn.
Тогда существует взаимно-однозначное
соответствие между
и координатным пространством
Из
этой теоремы следует, что при изучении
свойств пространства
достаточно рассмотреть
соответствующие свойства пространства
Пример
1.
Показать, что множество всех многочленов
образует линейное пространство, найти
базис и определить размерность
пространствавсех многочленов с коэффициентами из
множествастепень которых не превосходитn.
Решение.
Нетрудно проверить, что множество всех
таких многочленов образует линейное
пространство относительно обычных
операций сложения многочленов и умножения
многочлена на число, т. е. выполняются
аксиомы А1)–А8). Рассмотрим произвольный
многочлен
тогдаСледовательно,линейно выражается через многочленыПри этомтогда и только тогда, когдат. е.– линейно-независимые векторы, они
образуют базис векторного пространствапричем
Пример
2.
Определить размерность линейного
пространства всех действительных
функций F(R)
с обычными операциями сложения функций
и произведения функции на число.
Решение.
Непосредственно проверяются аксиомы
А1)–А8) линейного пространства,
следовательно F(R)
является векторным пространством.
Далее, функции
являются линейно-независимыми
векторами для любогоn,
т. е.
F(R)
не имеет конечного базиса и является
бесконечномерным.
Пример
3.
Доказать, что множество M(m, n)
всех прямоугольных действительных
(размера
)
матриц с обычными операциями сложения
матриц и умножения матрицы на число
является линейным пространством. Найти
его размерность.
Решение.
Поскольку выполняются аксиомы А1)–А8),
то
M(m, n)
– линейное пространство (убедитесь в
этом самостоятельно).
Рассмотрим
матрицу
в которой элемент, стоящий вi-й
строке и j-м
столбце, равен 1, а все остальные элементы
равны нулю. Всего таких матриц будет
Для любой матрицыимеем:Из этого равенства следует, что любая
матрицаА
линейно выражается через матрицы
Если(нулевая матрица), тоСледовательно, векторы– линейно-независимы и образуют базис
векторного пространстваM(m, n).
Таким образом, размерность этого
пространства равна
В частности, для квадратных матриц
порядкаn
она равна
Пример
4.
Доказать, что множество всех геометрических
векторов
в трехмерном пространстве образует
трехмерное векторное пространство V.
Решение.
Если рассмотреть в трехмерном пространстве
декартову систему
координат с соответствующими ортами
то любой векторединственным образом разлагается по
В
стандартном курсе векторной алгебры
показывается, что операции сложения
векторов и умножения вектора на
действительное число
удовлетворяют аксиомам А1)–А8). Поэтому
множество всех геометрических векторовV
образует линейное пространство.
Очевидно,
что в случае равенства
выполняетсяи векторы– линейно-независимы. Таким образом,
пространствоV
имеет размерность 3 и отождествляется
с
если задан базис
Пример
5.
Описать геометрически все подпространства
линейного пространства
Решение.
Любое векторное пространство V
имеет два тривиальных
подпространства V
и
Если– подпространство пространствато вимеется максимальная система
линейно-независимых векторов, предположим,
чтоm
– число векторов этой системы. Если
тоеслитоЕслитоотожествляется с множеством всех
векторов некоторой прямой, проходящей
через начало координат. В случаемножествоможно считать множеством всех векторов
плоскости, проходящей через начало
координат. Всевозможные такие прямые
и плоскости геометрически и описывают
все нетривиальные подпространства
пространства
Пример
6.
Доказать, что векторы
иобразуют базис пространстваи найти координаты векторав этом базисе.
Решение.
Как известно из векторной алгебры, базис
в
образует всякая тройка векторов, для
которой смешанное произведение не равно
нулю. Вычислим его для заданных векторов:
Мы
убедились, что векторы
иобразуют базис. Чтобы определить
координаты вектораразложим его по векторам этого базиса.
Предположим, что
или в координатной
форме
В
координатной форме последнее равенство
равносильно системе уравнений:
Для
нахождения неизвестных коэффициентов
решим систему методом Крамера. Вычислим
определитель этой системы
Далее
находим
Используя
формулы Крамера, находим:
Таким
образом в базисе
справедливо разложениет. е.
Задания
Соседние файлы в папке Часть 5
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Евклидово пространство — это вещественное линейное пространство, в котором зафиксирована симметричная положительно определенная билинейная форма. Значение билинейной формы на паре элементов называется скалярным произведением этих векторов.
Линейные и евклидовы пространства
Определение линейного пространства
Определение:
Множество V элементов х, у, z,… называется линейным пространством (действительным или комплексным), если по некоторому правилу
I. любым двум элементам х и у из V поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый х + у и называемый суммой элементов х и у;
II. любому элементу х из V и каждому числу а (вещественному или комплексному) поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый ах и называемый произведением элемента х на число а, и эти правила сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам:
- (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность);
- х + у = у + х (коммутативность)-,
- во множестве V существует элемент θ такой, что для любого элемента х из V выполняется равенство х + θ = х;
- для любого элемента х из V во множестве V существует элемент (-х) такой, что х + (-х) = θ;
- а(х + у) = ах + ау;
- (а + β)х = ах + βх;
- а( β х) = (а β )х;
- 1х = х.
Элемент θ называется нулевым элементом, а элемент (-х) — противоположным элементу х.
Элементы х, у, z,… линейного пространства часто называют векторами. Поэтому линейное пространство называют также векторным пространством.
Примеры линейных пространств
- Совокупность свободных геометрических векторов V3 в пространстве с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. 1).
Этим же свойством обладают: совокупность V1 векторов на прямой и совокупность V2 векторов на плоскости.
2, Совокупность упорядоченных наборов () из n действительных чисел.
Операции — сложение и умножение на действительное число — вводятся так:
а) сложение —
б) умножение на число —
Обозначение: Rn (n -мерное вещественное координатное пространство).
3. Совокупность всевозможных матриц Rmxn размера m х n с введенными правилами сложения матриц,
и умножения матрицы на число,
В частности, совокупность n-строк, R1xn и совокупность столбцов высоты m, Rmx1, являются линейными пространствами.
4. Множество С(-1, 1) вещественных функций, непрерывных на интервале (-1, I), с естественными операциями сложения функций и умножения функции на число.
Во всех приведенных примерах требования 1-8 проверяются непосредственно.
Простейшие свойства линейных пространств
- Нулевой элемент θ определен однозначно.
Пусть θ1 и θ2 — нулевые элементы пространства V. Рассмотрим их сумму θ1 + θ2. Вследствие того, что θ2 — нулевой элемент, из аксиомы 3 получаем, что θ1+ θ2 = θ1, а так как элемент θ1 — также нулевой, то θ1 + θ2 = θ2 + θ1 = θ2 , т. е. θ1 = θ2 .
2. Для любого элемента х противоположный ему элемент (—х) определен однозначно.
Пусть x— и х_ — элементы, противоположные элементу х. Покажем, что они равны.
Рассмотрим сумму х_ + х + x— . Пользуясь аксиомой 1 и тем, что элемент x— противоположен элементу х, получаем:
Аналогично убеждаемся в том, что
Нетрудно убедится также в справедливости следующих свойств:
- Для любого элемента х выполняется равенство 0х = θ.
- Для любого элемента х выполняется равенство —х = (- 1)х.
- Для любого числа а выполняется равенство аθ = θ.
- Из того, что ах = θ, следует, что либо а = 0, либо х = θ.
Линейные подпространства
Непустое подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если для любых элементов х и у из W и любого числа а выполняются следующие условия:
Иногда говорят: «множество W замкнуто относительно указанных операций».
Примеры линейных подпространств
1.Множество векторов на плоскости V2 является линейным подпространством линейного пространства V3.
2. Совокупность решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными
образует линейное подпространство линейного пространства Rnx1. В самом деле, сумма решений однородной системы () является решением этой же системы и произведение решения системы (*) на число также является ее решением.
3. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на интервале (-1, 1) и обращающихся в нуль при t = 0, образует линейное подпространство линейного пространства С(— 1,1).
Сумма f(t) + g(t) функций f(t) и g(t), обращающихся в нуль при t = 0, t(0) = f(0) = 0, и произведение af(t) функции f(t), обращающейся в нуль при t = 0, f(0) = 0, на число а равны нулю при t = 0.
Свойства линейного подпространства
- Если x1, …, хq — элементы линейного подпространства W, то любая их линейная комбинация также лежит в W.
- Линейное подпространство W само является линейным пространством.
Достаточно убедиться лишь в том, что нулевой элемент 0 и элемент, противоположный произвольному элементу из W, лежат в W. Указанные векторы получаются умножением произвольного элемента х ∈ W на 0 и на -1: θ = 0х, -х = (- 1)х.
Сумма и пересечение линейных подпространств
Пусть V — линейное пространство, W1 w W2 — его линейные подпространства. Суммой W1 + W2 линейных подпространств W1 и W2 называется совокупность всевозможных элементов х пространства V, которые можно представить в следующем виде
где x1 лежит в W1, а х2 — в W2. Коротко это можно записать так:
Сумма линейных подпространств W1 и W2 нaзывается прямой, если для каждого элемента х этой суммы разложение (1) единственно (рис. 3).
Обозначение: W1⊕W2
Пересечением W1 ∩ W2 линейных подпространств W1 и W2 линейного пространства V называется совокупность элементов, которые принадлежат одновременно и линейному подпространству W1, и линейному подпространству W2.
Свойства пересечения и суммы линейных подпространств
- Сумма W1 + W2 является линейным подпространством пространства V.
Возьмем в W1 + W2 два произвольных элемента х и у. По определению суммы подпространств найдутся элементы х1, у1, из W1 и х2, у2, из W2 такие, что
Это позволяет записать сумму х + у в следующем виде
Так как то сумма х + у лежит в W1 + W2.
Аналогично доказывается включение ах ∈ W1 + W2.
2. Пересечение W1 ∩ W2 является линейным подпространством пространства V.
3. Если нулевой элемент является единственным общим вектором подпространств W1 й W2 линейного пространства V, то их сумма является прямой — W1 ⊕ W2.
Линейная оболочка
Линейной оболочкой L(X) подмножества X линейного пространства V называется совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов из X,
Последнее читается так: «линейная оболочка L(X) состоит из всевозможных элементов у, представимых в виде линейных комбинаций элементов множества X».
Основные свойства линейной оболочки
- Линейная оболочка L(X) содержит само множество X.
- L(X) — линейное подпространство пространства V.
Сумма линейных комбинаций элементов множества X и произведение линейной комбинации элементов на любое число снова являются линейными комбинациями элементов множества X.
3. L(X) — наименьшее линейное подпространство, содержащее множество X.
Это свойство следует понимать так: если линейное подпространство W содержит множество X , то W содержит и его линейную оболочку L(X).
Пусть W — линейное подпространство, содержащее заданное множество X. Тогда произвольная линейная комбинация элементов множества X — элемент линейной оболочки L(X) — содержится и в подпространстве W.
Пример:
Рассмотрим в линейном пространстве R3 две тройки ξ = (1,1,0) и η = (1,0, I) (рис.4). Множество решений уравнения
является линейной оболочкой L(ξ , η) троек ξ и η.
Действительно, тройки (I, 1, 0) и (1, 0, I) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (2), и значит, любое решение этого уравнения является их линейной комбинацией.
Пример:
Рассмотрим в линейном пространстве С(- ∞, ∞) вещественнозначных функций, непрерывных на всей числовой оси, набор X одночленов 1, х,…, хn:
Линейная оболочка L(X) представляет собой совокупность многочленов с вещественными коэффициентами, степени которых не превосходят n.
Обозначение:
Линейная зависимость
Определение. Система элементов х1 . .. , хq линейного пространства V называется линейно зависимой, если найдутся числа a1,… , аq, не все равные нулю и такие, что
(1)
Если равенство (1) выполняется только при а1 = … = аq = 0, то система элементов x1,…, хq называется линейно независимой.
Справедливы следующие утверждения.
Теорема:
Система элементов x1,…, хq (q ≥ 2) линейно зависима в том и только в том случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных.
Предположим сначала, что система элементов x1,…, xq линейно зависима. Будем Считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент аq. Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на аq ≠ 0 получим, что элемент хq является линейной комбинацией элементов х1 …, хq:
Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных,
то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию
в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 ≠ 0). Значит, система элементов x1,…., хq линейно зависима.
Теорема:
Пусть система элементов х1,…,хq линейно независима и y=. Тогда коэффициенты a1 ,… ,аq определяются по элементу у единственным образом.
Пусть
Тогда
откуда
Из линейной независимости элементов x1…, xq вытекает, что a1 — β1 = … = аq — βq = 0 и, значит,
Теорема:
Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Пусть первые q элементов системы х1 … , хq, xq+1… , xm линейно зависимы. Тогда найдется линейная комбинация этих элементов такая, что
и не все коэффициенты а1 … ,аq равны нулю. Добавляя элементы xq+1… , xm с нулевыми множителями, получаем, что и в линейной комбинации
равны нулю не все коэффициенты.
Пример. Векторы из V2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис.5).
Базис. Размерность
Упорядоченная система элементов e1,…, еn линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства, если элементы e1,…, еn линейно независимы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы п элементов можно построить n! упорядоченных систем.
Пример:
Пусть a, b, с — тройка некомпланарных векторов из Vз (рис.6). Тогда упорядоченные тройки а, b, с; b, с, а; с, а, b; b, а, с; а, с, b и с, b, а — различные базисы V3.
Пусть с = (e1 … еn) — базис пространства V.
Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел такой, что
В силу теоремы 2 числа — координаты элемента х в базисе с — определены однозначно.
Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейших действиях с ними.
и для любого числа а
Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это число.
Координаты элемента часто удобно записывать в виде столбца. Например,
— координатный столбец элемента в базисе e.
Разложим произвольную систему элементов x1,…, хq по базису e,
ли рассмотрим координатные столбцы элементов ч1,…, хq в этом базисе:
Теорема:
Система элементов х1,… ,хq линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе.
Пусть
причем хотя бы один из коэффициентов λk отличен от нуля. Запишем это подробнее
Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что
или, что тоже,
Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов x1,…, xq равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами λ1,…, λg). Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима.
Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу (1).
Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу.
Теорема:
Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда всякая система из то элементов, где т > п, линейно зависима.
4 В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай m = п + 1.
Пусть x1,.. . ,хп+1 — произвольные элементы пространства V. Разложим каждый элемент по базису e = (е1 …, еп):
и запишем координаты элементов х1 …, xn+1 в виде матрицы, отводя j-й столбец координатам элемента xj, j = 1,…, п + 1. Получим матрицу из п строк и п + 1 столбцов —
Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ее строк, столбцы матрицы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов x1…..хп+1, то согласно теореме 4 система элементов x1…..хп+1 также линейно зависима.
Следствие:
Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового числа элементов.
Пусть базис e состоит из п элементов, а базис e’ из п‘ элементов. В силу только что доказанной теоремы из линейной независимости системы е’1,…, е’n заключаем, что п’ ≤ п. Меняя базисы e и e’ местами, в силу этой же теоремы получаем, что п ≤ п’.
Тем самым, п = п’.
Размерностью линейного пространства V называется число элементов базиса этого пространства.
Пример:
Базис координатного пространства R» образуют элементы
Система элементов e1,e2, …,еп линейно независима: из равенства
получаем, что
и значит, a1 = … = an = 0.
Кроме того, любой элемент из R» можно записать в виде линейной комбинации элементов e1…..еп: ‘
Тем самым, размерность пространства R» равна п.
Пример:
Однородная линейная система
имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. п — r, где r — ранг матрицы коэффициентов однородной системы, an — число неизвестных.
Пример:
Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + I.
Так как всякий многочлен P(t) степени не выше п имеет вид
то достаточно показать линейную независимость элементов
Рассмотрим равенство
где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что ао = 0.
Продифференцируем равенство (3) по t:
Вновь положив t = 0, получим, что a1 = 0.
Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что a0 = a1 = … = ап = 0. Это означает, что система элементов e1 = I,… ,en+1 = t» линейно независима. Следовательно, искомая размерность равна n + 1.
Линейное пространство, размерность которого равна п, называется п-мерным.
Обозначение: dim V = п.
Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линейного пространства V равна п.
Ясно, что если W — подпространство n-мерного линейного пространства V, то dim W ≤ п.
Покажем, что в п-мерном линейном пространстве V есть линейные подпространства любой размерности k ≤ п.
Пусть e = (е1 … еn) — базис пространства V. Легко убедиться в том, что линейная оболочка
имеет размерность k.
По определению dim{ θ } = 0.
Теорема:
О пополнении базиса. Пусть система элементов а1.. , аk линейного пространства V размерности п линейно независима и к < п. Тогда в пространстве V найдутся элементы такие, что система а1 … , аk, — базис V.
Пусть b — произвольный элемент линейного пространства V. Если система а1…. , аk, b линейно зависима, то
так как в нетривиальной линейной комбинации
коэффициент μ ≠ 0 вследствие линейной независимости системы а1…., аk.
Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b пространства V, то исходная система a1…, аk была бы базисом согласно определению. Но в силу условия k < п это невозможно. Поэтому должен существовать элемент такой, что пополненная система будет линейно независимой.
Если k + 1 = п, то эта система — базис пространства V.
Если k + 1 < п, то для системы следует повторить предыдущие рассуждения.
Таким способом любую заданную линейно независимую систему элементов можно достроить до базиса всего пространства V.
Пример:
Дополнить систему из двух векторов а1 = (1,2,0,1), а2 = (-1,1.1,0) пространства R4 до базиса этого пространства.
Возьмем в пространстве R4 векторы a3 = (1,0,0,0) и а4 = (0, 1,0,0) и покажем, что система векторов a1,а2,а3,а4 — базис R4.
Ранг матрицы
строками которой являются координаты векторов а1, а2, а3, а4, равен четырем. Это означает, что строки матрицы А, а, значит, и векторы а1, а2, а3, а4 линейно независимы.
Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему k линейно независимых элементов
до базиса пространства R» , матрица
элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п — k строками вида
(0 … 1 … 0)
так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение.
Теорема:
Пусть W1 и W2 — линейные подпространства линейного пространства V. Тогда
Замена базиса
Пусть e = (e1 … еn) и e’ = (е’1, … е’n) — базисы линейного пространства V. Разложим элементы базиса e’ по базису с. Имеем
Эти соотношения удобно записать в матричной форме
(2)
Матрица
называется матрицей перехода от базиса e к базису e’.
Свойства матрицы перехода
- det S ≠ 0.
Доказательство этого свойства проводится от противного.
Из равенства detS = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти столбцы являются координатными столбцами элементов е’1,…, е’n в базисе e. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е’1…..с’n должны быть линейно зависимыми.
Последнее противоречит тому, что e’ — базис. Значит, допущение, что det S = 0, неверно.
2. Если и — координаты элемента х в базисах e и e’ соответственно, то:
(3)
Заменяя в формуле
e’j их выражениями (1), получаем, что
Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем
Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2.
3. S -1 — матрица перехода от базиса e’ к базису e.
Свойство 3 доказывается умножением обеих частей матричного равенства (2) на матрицу S-1 справа.
Евклидовы пространства
Вещественное линейное пространство V называется (вещественным) евклидовым пространством, если любым двум элементам х и у из V ставится в соответствие число, обозначаемое через (х,у), такое, что для любых элементов х, y,z и произвольного вещественного числа а выполняются следующие условия:
4. (х, х) ≥ 0; причем равенство нулю возможно в том и только в том случае, если х = θ.
Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у. Примеры евклидовых пространств.
- В пространстве свободных векторов К] скалярное произведение векторов а и b определяется так:
2. Скалярное произведение произвольных элементов из координатного пространства R» можно определить формулой
3, Линейное подпространство евклидова пространства само является евклидовым пространством.
Пользуясь определением евклидова пространства, нетрудно доказать следующие свойства:
Теорема:
Неравенство Коши—Буняковского. Для любых двух элементов х и у евклидова пространства V справедливо неравенство
Если (х, х) = θ , то х = θ и неравенство выполняется вследствие того, что ( θ , у) = 0.
Обратимся к случаю (х, х) ≠ 0. Тогда (х, х) > 0. По определению скалярного произведения неравенство
справедливо для любых элементов х и у из пространства V и любого вещественного числа t. Запишем неравенство (1) подробнее:
Левую часть последнего неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно t. Из того, что знак этого квадратного трехчлена не изменяется при любых t, заключаем, что его дискриминант неположителен,
Перенося вычитаемое в правую часть, получаем требуемое неравенство.
Замечание:
Часто доказанное неравенство записывают в равносильной форме,
Следует подчеркнуть, что слева в этом неравенстве стоит абсолютная величина (модуль) скалярного произведения, а в правой части — нормы векторов х и у.
Определение:
Длиной (нормой) элемента х называется число |х|, вычисляемое по правилу
Ясно, что |х| ≥ 0 для любого х, причем равенство |х| = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.
Рассмотрим цепочку равенств:
Заменяя второе слагаемое на 2|(х, у)| ≥ 2(х, у) и применяя неравенство Коши—Буняковского |(х,у)| ≤ |х| • |у|, получаем, что
После извлечения квадратного корня приходим к неравенству треугольника:
|х + у| ≤ |х| + |у|
(рис.7).
Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова пространства называется число φ, подчиненное следующим двум условиям:
Определение угла корректно, так как согласно теореме 8 имеем
для любых ненулевых элементов х и у.
Элементы х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Для ортогональных элементов из соотношения (2) вытекает равенство
являющееся обобщением известной теоремы Пифагора’, квадрат длины суммы ортогональных элементов равен сумме квадратов их длин (рис. 8).
Система элементов f1…..f k называется ортогональной, если (fi, fj) =0′ при i ≠ j, и ортонормированной, если
Определение:
Символ
называют символом Кронекера.
Теорема:
Ортонормированная система элементов линейно независима.
Умножая обе части равенства
скалярно на элемент fj, j = 1 ,… ,k, получаем, что
И так как (fj, fj) = 1,то aj = 0, j = 1,…, k.
Метод ортогонализации
Покажем, как, пользуясь заданной системой линейно независимых элементов f1,… ,fk евклидова пространства Е, построить в нем ортонормированную систему из к элементов.
Положим g1 = f1.
Для того, чтобы элемент
был ортогонален элементу g1, необходимо выполнение следующего равенства:
откуда
Тем самым, элемент
ортогонален элементу g1 (рис. 9 а).
Пользуясь построенными элементами g1, g2 и заданным элементом fз, построим элемент
ортогональный как элементу g1, так и элементу g2. Для этого коэффициенты β1 и β2 должны удовлетворять следующим условиям:
откуда
Таким образом, элемент
, (f3,g|) (f3,g2)
ортогонален элементам g1 и g2 (рис. 9 6).
Аналогичными рассуждениями можно показать, что элемент
ортогонален элементам
Делением каждого элемента gi (i = 1…..k) на его длину |g<|, получаем ортонормированную систему
(рис. 10).
Базис e = (e1 … еn) евклидова пространства называется ортонормированным, или ортобазисом, если
Суммируя вышеизложенное, получаем следующий результат.
Теорема:
В любом евклидовом пространстве существует о ртонормированный базис.
Пример:
Методом ортогонализации построить ортоиормированный базис евклидова пространства Е по его базису
Полагаем b1 = a1 и b2 = а2 — ab1. Для того, чтобы вектор
был ортогонален вектору b1, необходимо выполнение неравенства
откуда
Тем самым,
Для того, чтобы вектор
был ортогонален векторам b1 и b2, необходимо выполнение равенств
откуда
Тем самым, вектор
Система векторов b1, b2, b3 ортогональна. Поделив каждый вектор на его длину, получим
— ортонормированный базис пространства Е.
При помощи ортонормированного базиса скалярное произведение элементов вычисляется особенно просто. Пусть e = (e1 … еn) — ортонормированный базис пространства Е. Вычислим скалярное произведение элементов х и у, предварительно разложив их по базису e
Имеем
В частности,
Откуда
Ортогональное дополнение
Пусть W — линейное подпространство евклидова пространства V. Совокупность W⊥ элементов у пространства V, обладающих свойством
(y. х) = 0,
где х — произвольный элемент из W, называется ортогональным дополнением подпространства W. Другими словами, ортогональное дополнение W⊥ состоит из всех элементов у, ортогональных всем элементам подпространства W.
Свойства ортогонального дополнения
- W⊥ — линейное подпространство пространства V. Пусть элементы y1, у2 лежат в W⊥ , т. е.
для любого элемента х из W. Складывая эти равенства и пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем,что
для любого элемента х из W. Это означает, что
Из того, что (у, х) = 0 для любого элемента х из W, вытекает равенство (ау, х) = а(у, х) и, значит, включение ay ∈ W⊥ .
- V = W ⊕ W⊥ .
Свойство 2 означает, что любой элемент х пространства V можно представить, причем единственным образом, в виде суммы элементов из W и W⊥ :
x = y+z. ‘ (*)
Элемент у ∈ W называется ортогональной проекцией элемента х на линейное подпространство W, а элемент z ∈ W⊥ — его ортогональной составляющей (рис. 11).
Покажем, как по заданным элементу х и линейному подпространству W найти его ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую г.
Можно считать, что в линейном подпространстве W задан ортонормированный базис e1…..еk. Запишем искомый элемент у в виде линейной комбинации
Подставляя это выражение в формулу (*):
и умножая обе части полученного равенства последовательно на элементы e1,…, еk, в предположении z ⊥ W приходим к соотношениям
Элементы
обладают требуемыми свойствами. *
Пример:
Найти ортогональную проекцию вектора х = (4, 2, 3, 5) на линейное подпространство W ⊂ R4, заданное системой уравнений
Векторы a1 = (1,0,0,-1) и а2 = (0,1,-1,0) образуют фундаментальную систему решений и, следовательно, базис подпространства W. Кроме того, векторы a1 и а2 ортогональны. Для того, чтобы построить ортонормированный базис подпространства W, достаточно разделить эти векторы на иx длины. В результате получим
Вектор
является ортогональной проекцией вектора х = (4,2, 3, 5), на подпространство W, а вектор
— его ортогональной составляющей.
Унитарные пространства
Унитарным пространством называется линейное комплексное пространство U, в котором каждой упорядоченной паре элементов х и у из U ставится в соответствие число — скалярное произведение (х, у) так, что для любых элементов х, у и z из U и любого комплексного числа а выполняются следующие соотношения:
- (у, х) = (х, у) (черта в правой части указывает на операцию комплексного сопряжения);
- (x + y,z) = (x,z) + (y,z);
- (ах, у) = а(х, у);
- (х, х) ≥ 0, причем равенство (х, х) = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.
Пример:
В координатном пространстве Сn, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п комплексных чисел, скалярное произведение можно ввести так
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Не удалось разобраться с заданием:
Найдите размерность линейного пространства всевозможных многочленов от одной переменной степени не выше 3, если для любого многочлена f(x) из этого пространства известно, что f(2)=f(3)=0.
Я размышляла так: многочлены степени не выше 3 это многочлены вида: [math]ax^{3} + bx^{2} + cx + d.[/math] Это пространство задается базисом[math]x^{3}, x^{2}, x, 1[/math]
Соответственно, получаем
[math]8a + 4b + 2c + d = 0[/math]
[math]27a + 9b + 3c + d = 0;[/math]
Вычитаем, получаем
[math]9a + 5b + c = 0;[/math]
[math]c = -19a – 5b;[/math]
Таким образом, [math]c[/math] это линейная комбинация [math]a[/math] и [math]b[/math] и базис представляет из себя [math]x^{3}, x^{2}, 1[/math]. А размерность получается равна 3. Но ответ неправильный, подозреваю весь ход моих рассуждений неверен. Направите на правильный путь?
Ранг системы векторов равен 3, поэтому размерность линейной оболочки также равна 3. Из последней матрицы также можно определить, что в качестве базиса линейной оболочки можно выбрать векторы , , .
Общий вид векторов линейной оболочки:
Из последней матрицы также следует, что дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор .
2.12. Доказать, что многочлены вида образуют линейное подпространство в пространстве Р2. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Решение:
Поскольку
то многочлены данного вида образуют линейную оболочку для системы многочленов и поэтому образуют линейное подпространство пространства Р2.
Данные вектора, очевидно, линейно независимы и поэтому образуют базис своей линейной оболочки.
Количество векторов базиса подпространства равно 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2, и сами вектора образуют в ней базис: . Очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является линейно независимый с ними вектор
2.13. Доказать, что многочлены вида образуют линейное подпространство в пространстве Р3. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Решение:
Поскольку
=
то многочлены данного вида образуют линейную оболочку для системы многочленов и поэтому образуют линейное подпространство пространства Р3.
Находим ранг данной системы: в каноническом базисе многочлены данной системы могут быть записаны как . Находим ранг этой системы векторов:
Ранг системы векторов равен 3, поэтому размерность подпространства L также равна 3, и сами вектора образуют в ней базис: . Из последней матрицы также следует, что очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор
2.14. Пусть L – множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию . Доказать, что L – линейное подпространство в пространстве Р2. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Решение:
Множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию , образует подпространство в Р2, поскольку при умножении таких многочленов на любое число и сложении получается многочлен, для которого выполняется указанное свойство.
При этом если многочлен принадлежит этому подпространству, то
Пространство решений последнего уравнения имеет размсерность 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2. Выбирая два базисных решения последнего уравнения, получаем базис подпространства L: . Очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор
2.15. Пусть L – множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию . Доказать, что L – линейное подпространство в пространстве Р2. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Решение:
Множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию , образует подпространство в Р2, поскольку при умножении таких многочленов на любое число и сложении получается многочлен, для которого выполняется указанное свойство.
При этом если многочлен принадлежит этому подпространству, то
Пространство решений последнего уравнения имеет размсерность 2, поэтому размерность подпространства L также равна 2. Выбирая два базисных решения последнего уравнения, получаем базис подпространства L: . Очевидным дополнением этого базиса до базиса всего пространства является вектор
2.16. В пространстве Р2 задана система многочленов , , . Найти размерность и базис линейной оболочки этой системы многочленов. Записать общий вид многочленов, принадлежащих линейной оболочке. Дополнить базис линейной оболочки до базиса пространства Р2.
Решение:
В данную систему входят 3 вектора, что равно размерности пространства Р2.
В каноническом базисе многочлены данной системы могут быть записаны как . Находим ранг этой системы векторов:
Ранг системы векторов равен 2, следовательно, размерность линейной оболочки данных векторов также равен 2. В качестве базиса линейной оболочки можно взять два первых вектора системы, т.е.
Общий вид многочленов принадлежащих линейной оболочке этих векторов: , Для дополнения базиса линейной оболочки до базиса пространства Р2, как следует из последней матрицы определения ранга, можно выбрать вектор .
2.17. Образуют ли многогчлены , , , базис в пространстве Р3?
Решение:
Данная система включает 4 многочлена, что равно размерности пространства Р3, поэтому для того, чтобы доказать, что данная система образует базис в пространстве Р3 многочленов степени не выше 3, достаточно доказать ее линейную независимость. В каноническом базисе многочлены данной системы могут быть записаны как . Определитель, составленный из координат этих векторов, равен
Следовательно, данная система векторов линейно независима, т.е. данная система многочленов образует базис в Р3.
2.18. Доказать, что система многочленов образует базис в пространстве Р2 многочленов степени не выше 2. Найти матрицу перехода от базиса S к каноническому базису и координаты многочлена в базисе S.
Решение:
Данная система включает 3 многочлена, что равно размерности пространства Р2, поэтому для того, чтобы доказать, что данная система образует базис в пространстве Р2 многочленов степени не выше 2, достаточно доказать ее линейную независимость. В каноническом базисе многочлены данной системы могут быть записаны как . Определитель, составленный из координат этих векторов, равен
Следовательно, данная система векторов линейно независима, т.е. данная система многочленов образует базис в Р2.
Матрица перехода от канонического базиса к базису S имеет вид:
,
следовательно, матрица перехода от базиса S к каноническому базису имеет вид:
Многочлен в каноническом базисе имеет координаты (-3;4,-7) поэтому в базисе S он имеет координаты
,
т.е. , где
2.19. Установить, являются ли заданные множества подпространствами пространства Рn. В случае положительного ответа найти базис и размерность подпространства.
1) Множество многочленов степени не выше n, у которых коэффициенты при нечетных степенях равны нулю.
2) Множество многочленов f(x) степени не выше n, таких, что f(x0)=0 для некоторого .
3) Множество многочленов f(x) степени не выше n, таких, что f(x0)=1 для некоторого .
Решение:
1) Множество многочленов степени не выше n, у которых коэффициенты при нечетных степенях равны нулю: при умножении таких многочленов на любое число и сложении получается многочлен, у которого коэффициенты при нечетных степенях равны нулю. Следовательно, множество таких многочленнов образует подпространство пространства Рn. В качестве базиса такого подпространства можно выбрать систему многочленов (x, x3, …, xk), где k – наибольшее нечетное число, не превосходящее n.
2) Множество многочленов f(x) степени не выше n, таких, что f(x0)=0 для некоторого : при умножении таких многочленов на любое число и сложении получается многочлен, для которого также выполняется условие f(x0)=0. Следовательно, множество таких многочленнов образует подпространство пространства Рn. В качестве базиса такого подпространства можно выбрать систему многочленов (x–x0, x(x–x0), …, xn-1(x–x0), т.к. если f(x0)=0, то многочлен f(x) делится без остатка на x–x0 и частным является многочлен степени n-1.
3) Множество многочленов f(x) степени не выше n, таких, что f(x0)=1 для некоторого , не является подпространством пространства Рn, поскольку, например, при умножении такого многочлена на 2 получается многочлен, для которого f(x0)=2 и который поэтому не принадлежит данному множеству.
2.21. Доказать, что матрицы вида образуют линейное подпространство в пространстве матриц М22. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Решение:
Линейность данного множества матриц следует из линейности операций умножения матриц на число и сложения матриц, например:
При этом каждая матрица данного подпространства может быть представлена в виде:
Отсюда следует, что размерность подпространства L равна 3 и вкачестве его базиса можно взять матрицы .
Для дополнения этого базиса до базиса всего пространства М22 можно выбрать матрицу