Как найти размерность собственного подпространства

Определение. Подпространством линейного пространства Х называется любое его подмножество Х0, которое само является линейным пространством.

Очевидно, что у каждого линейного пространства есть два так называемых несобственных подпространства: состоящее из одного нулевого элемента и состоящее из всех элементов данного пространства. Все остальные подпространства называются собственными. В дальнейшем, если не оговорено противное, все рассматриваемые подпространства мы будем считать собственными. Таким образом, у п-мерного линейного пространства собственные подпространства могут иметь любую размерность от 1 до п – 1. Например, в обычном трехмерном векторном пространстве подпространства могут иметь размерности лишь 1 и 2. Очевидно, что одномерные подпространства – это всевозможные векторы, лежащие на какойнибудь прямой, проходящей через начало координат, а двумерные – всевозможные векторы, лежащие в какой-нибудь плоскости, проходящей через начало координат и, при этом, не лежащие на одной прямой.

Определение. Множество всех элементов линейного пространства, имеющих вид z = x0 + x, где х0 – фиксированный элемент пространства, а х пробегает некоторое подпространство, называется линейным многообразием.

Например, в пространстве трехмерных векторов одномерные линейные многообразия – всевозможные прямые, а двумерные – это всевозможные плоскости. Поэтому в любом конечномерном (п-мерном) линейном пространстве одномерные линейные многообразия обычно называют прямыми, а (п–1)-мерные линейные многообразия – гиперплоскостями. Прямая в линейном пространстве, проходящая через 2 элемента х1 и х2, задается уравнением: х = х1 + t(x2 – x1), где t пробегает всю вещественную ось.

Замечание. Для того, чтобы выяснить, является ли подмножество М линейного пространства подпространством, достаточно проверить следующее: если элементы а М и b M, то и (a + b) M, а так же, что для любого числа λ элемент λа М. Проверять выполнение аксиом Вейля не нужно, так как если они выполняются во всем пространстве, то автоматически выполняются и на его подмножествах. Например, вещественная ось является подпространством в множестве комплексных чисел, а первый квадрант (т. е. множество чисел x + yi, у которых x > 0 и y > 0) – не является, так как при умножении этих чисел на (–1) произведение не входит в 1-й квадрант.

Определение. Линейной оболочкой набора элементов х1, х2, …, хт на-

зывается множество всевозможных линейных комбинаций этих элементов. Стандартное обозначение линейной оболочки: L(x1, x2, …, xm).

Замечание. Линейные подпространства чаще всего задаются как линейные оболочки некоторых элементов или как множества решений однородных систем линейных уравнений.

Замечание. То, что линейная оболочка является подпространством – очевидно, так как сумма двух линейных комбинаций тоже есть линейная комбинация тех же элементов и умножение линейной комбинации на число есть также линейная комбинация тех же элементов.

Замечание. Очевидно и то, что линейная оболочка одного вектора а есть множество векторов вида λа (в пространстве векторов – это прямая, проходящая через начало координат и содержащая данный элемент, т. е. данный вектор). Линейная оболочка двух неколлинеарных векторов – это плоскость, содержащая данные векторы и проходящая через начало координат. Ясно также, что все пространство является линейной оболочкой любого своего базиса.

Теорема 1. Если элементы пространства заданы своими координатами в некотором базисе, то размерность их линейной оболочки равна рангу матрицы из их координат.

Доказательство.

Пусть пространство Х есть линейная оболочка элементов х1, х2, …, хm: Х = L(х1, х2, …, хm), и пусть координаты этих элементов в некотором базисе

таковы: хk = (ak1, ak2, …, akn). Составим матрицу из этих координат: А = (аij). Пусть ранг этой матрицы равен числу r: r(A) = r.

Требуется доказать, что dim X = r. Так как r(A)=r, то в матрице А найдется минор ∆r порядка r, не равный нулю: ∆r ≠ 0. За счет перестановки строк и столбцов можно добиться того, чтобы этот минор занимал левый

перенумерации данных элементов и элементов базиса). Из этого следует, что первые r элементов (т. е. первые r строк матрицы А) линейно независимы. Действительно, если бы они оказались линейно зависимы, то, в частности, оказались бы линейно зависимы и строки минора ∆r, т. е. он был бы равен 0 вопреки предположению. Осталось доказать, что все остальные строки матрицы А линейно зависимы с первыми r, т. е. являются линейными комбинациями первых r строк. Зафиксируем какую-нибудь из этих строк, например, строку с номером i > r. Найдем сначала такие коэффициенты λ1, λ2,…, λr, чтобы первые r элементов i-й строки оказались линейной комбинацией с этими коэффициентами строк минора ∆r. Для этого необходимо, чтобы выполнялись r равенств:

где j = 1, 2,…, r.

Но эти равенства есть система r линейных уравнений с r неизвестными λ1, λ2,…, λr. Определитель этой системы – транспонированной матрицы минор ∆rT ≠ 0. Таким образом, по теореме Крамера эта система имеет единственное решение, и коэффициенты λ1, λ2,…, λr находятся однозначно. Осталось доказать, что равенства (4.1) справедливы и при j > r. Для этого вспомним, что все миноры матрицы А порядка, большего r, равны 0. Рассмотрим минор r + 1 порядка:

(к минору ∆r добавлена i-я строка и j-й столбец). Вычтем из его последней строки 1-ю строку, умноженную на λ1, 2-ю – умноженную на λ2, …, r-ю – умноженную на λr. Из равенств (4.1) следует, что получится равенство:

где b = aij – (λ1a1j + λ2a2j + …+ λrj). Раскладывая определитель (4.2) по последней строке, получим ∆r+1 = b∆r = 0. Но ∆r ≠ 0. Отсюда b = 0, т. е.

aij = λ1a1j + λ2a2j +…+ λrj. Это и значит, что j-я строка матрицы А является линейной комбинацией первых r ее строк. Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Элементы хк (k = 1,…,п) образуют базис в п-мерном пространстве тогда и только тогда, когда определитель из их координат не равен нулю.

Теорема 2. Множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным подпространством п-мерного векторного пространства, где п – число неизвестных системы.

Доказательство.

Пусть однородная система задается матричным уравнением АХ = 0, и пусть Х1 и Х2 – какие-то два ее решения, т. е. выполняются равенства: АХ1 = 0, АХ2 = 0, тогда выполняются и равенства: А(Х1 + Х2) = АХ1 + АХ2 = 0 + 0 = 0 и А(λХ1) = λ АХ1 = λ 0 = 0, т. е. сумма решений системы снова является ее

решением и произведение решения на число тоже является ее решением. Это и означает, что множество решений однородной системы является подпространством.

Теорема 3. Размерность множества решений однородной системы равна n–r, где п – число неизвестных системы, а r – ранг матрицы из коэффициентов.

Доказательство. Размерность множества решений однородной системы и базис этого подпространства определяются теоремой Кронекера – Капелли и методом Гаусса решения такой системы. А именно, из теоремы Кронекера – Капелли следует, что размерность множества решений равна n – r, где п – число неизвестных системы, а r – ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных этой системы. Для того чтобы найти базис этого пространства, мы должны найти n – r линейно независимых решений системы, но n – r неизвестных по теореме Кронекера – Капелли можно взять произвольными числами (формула (0.4), в которой правые части bk, k = 1, 2, …, r, равны нулю). Чтобы гарантировать линейную независимость полученных решений, можно каждому из этих произвольных неизвестных по очереди одному дать значение равное 1, а остальным неизвестным значения 0. При каждом таком наборе значений неизвестных (равных единице и нулям) найти соответствующее решение системы. Получим n–r линейно независимых решений, т. е. базис в множестве решений. Таким образом, множество решений однородной линейной системы уравнений является линейным пространством размерности n – r. Теорема доказана.

Теорема 4. Множество всех решений системы линейных уравнений АХ = В является линейным многообразием Z, элементы которого имеют вид z = x0 + x, где х0 – какое-то фиксированное решение данной системы:

при этом х пробегает множество всех решений соответствующей однородной системы:

Доказательство.

То, что все элементы указанного вида являются решениями, очевидно: если выполняются (4.3) и (4.4), то Аz = А(x0 + x) = А x0 + А x = В + 0 = В.

Докажем обратное, т. е. что любое решение данной системы можно представить таким образом. Действительно, любое решение можно пред-

ставить в виде z = x0 + (z – х0) = x0 + у, где у = z – x0, и осталось доказать, что у – решение однородного уравнения (4.10). Но Ау = А(z – x0) = Аz –Ах0 = = В – В = 0.

Следствие 2. Любое линейное многообразие размерности п – 1 в п-мер- ном векторном пространстве (такие подпространства называются гиперп-

лоскостями) может быть задано как множество векторов (х1, х2, …, хп), удовлетворяющих одному линейному уравнению а1х1 + а2х2 +… + апхп = с, где хотя бы один из числовых коэффициентов а1, а2,…, ап не равен 0.

Определение. Пересечением двух подпространств X и Y называется новое подпространство, состоящее из всех тех элементов, которые входят и в X, и в Y. Оно обозначается символом Z X Y.

Определение. Суммой этих подпространств называется новое подпространство S X Y, состоящее из всех тех элементов, которые представимы в виде s = x + y, где х Х, у Y.

Замечание. То, что Z и S действительно являются подпространствами, легко проверить самим. Например, если s1 S и s2 S, т. е. s1 = x1 + y1, s2 =

= x2 + y2, то s = s1 + s2 = x1 + y1 + x2 + y2 = (x1 + х2) + (у1 + y2) Х + Y. Ана-

логично проверяется, что из s S следует, что λs S при любом λ. Замечание. Если подпространства X и Y задаются как линейные обо-

лочки некоторых множеств: Х = L(x1, x2, …, xm), Y = L(у1, у2, …, ук), то, очевидно, что Х + Y является линейной оболочкой всего набора заданных

элементов, т. е. Х + Y = L(x1, x2, …, xm, у1, у2, …, ук). И размерность, и базис этого подпространства находятся стандартным методом. Пересечение этих

Если известны координаты данных векторов x1, x2, …, xm, у1, у2, …, ук, то подставляя их в (4.6), получим однородную систему п линейных уравнений с неизвестными α1, α2, …, αm, β1, β2,…, βk. Решая эту систему методом Гаусса и находя базисные элементы множества решений (т. е. конкретные линейно независимые наборы чисел α1, α2, …, αm, β1, β2,…, βk), подставим их в левые (или правые) части уравнений (4.5). Получим базисные элементы пространства Z X Y. Если же пространства X и Y задаются как множества решений однородных систем линейных уравнений, то их пересечение задается как множество решений однородной системы, полученной объединением всех уравнений обеих данных систем, поэтому размерность и базис пересечения находятся стандартным методом Гаусса по теореме Кронекера – Капелли.

Замечание. Сумма двух подпространств X и Y называется прямой суммой, если пересечение этих двух подпространств есть нулевой элемент: X Y 0 . Таким образом, прямая сумма подпространств – это обычная сумма, а термин «прямая» несет дополнительную информацию об их пересечении.

Теорема 5 (о связи размерностей подпространств, их суммы и пере-

сечения). Для любых двух линейных подпространств X и Y линейного про-

Для этого выберем какой-нибудь базис е1, е2, …, еr в пространстве

Z X Y и дополним его элементами еr+1’, er+2’, …, ek’ и е1’’, е2’’, …, еm’’ до базисов в пространствах X и Y соответственно. Докажем, что набор

является базисом в X + Y. Для этого надо доказать, что система (4.10) полная и линейно независима. Полнота этой системы очевидна, так как если s X + Y, то s = x + y = (α1е1 + α2е2 +…+ αrеr + αr+1 еr+1’ + αr+2 er+2’ +…+ αkek’) +

+ (β1е1 + β2е2 +…+ βrеr + βm+1е1’’+ βm+2е2’’+…+ βmеm’’), т. е. является ли-

нейной комбинацией элементов (4.10).

Докажем линейную независимость этих элементов. Предположим противное, т. е. что выполняется равенство:

принадлежит одновременно и X, и Y. Значит, он принадлежит и их пересечению. Следовательно, а раскладывается только по базису пространства

В силу единственности разложения элемента по базису из (4.12) и (4.13) следует, что все коэффициенты cr+1’ = cr+2’ = … = ck’ = 0. Аналогично доказывается, что c1’’= c2’’= …= cm’’= 0. Но тогда из (4.11) следует,

что с1е1 + с2е2 + …+ сrеr = 0 . Так как элементы базиса линейно независимы, то в последнем равенстве все коэффициенты равны 0. Итак, если запи-

сать равенство (4.11), то в нем все коэффициенты обязательно равны 0. А это и значит, что элементы (4.10) линейно независимы и, следовательно, образуют базис в X + Y. Так как в базисе (4.11) число элементов равно r + (k – r) + (т – r) = k + m – r, то равенство (4.9), а значит, и равенство (4.7) доказано.

Следствие 3. Если сумма подпространств X и Y прямая, то dim X Y dim X dimY .

Следствие 4. Если dim X Y dim X , то dim X Y dimY .

Заметим, что в этом случае пространство Y является подпространством пространства X, и следовательно, их сумма совпадает с Х, а пересечение – с Y.

Замечание. Нахождению размерностей и базисов данных подпространств, а также их суммы и пересечения посвящен разбор 2-го типового задания в разд. 9 («Решение типовых примеров»).

5.МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ

ИУНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ

Определение. Расстоянием (метрикой) в данном множестве объектов М называется сопоставление каждым двум объектам х М и у М некоторого вещественного числа ρ(х, у), называемого «расстоянием между х и у», по любому фиксированному правилу, лишь бы выполнялись следующие три аксиомы:

1)ρ(х, у) ≥ 0, причем ρ(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;

2)ρ(х, у) = ρ(у, х);

3)ρ(х, у) ≤ ρ(х, z) + ρ(z, у), где x, y, z – любые элементы данного множества М.

Замечание. Обычно первую из перечисленных аксиом называют «неотрицательностью метрики», вторую – «симметричностью метрики», третью – «неравенством треугольника».

Определение. Метрическим пространством называется множество объектов любой природы, в котором введена метрика, или (что, то же)

расстояние.

Наличие в множестве М метрики позволяет ввести в нем важные новые понятия: открытый и замкнутый шар, сферу, окрестность элемента (элементы метрического пространства часто называют его точками).

Определение. Открытым шаром радиуса r с центром в элементе х0 называется множество всех тех элементов х М, которые удалены от центра меньше, чем на r, т. е. для которых выполняется неравенство ρ(х, х0) < r.

Определение. Замкнутым шаром радиуса r с центром в элементе х0 называется множество всех тех элементов х М, которые удалены от центра не больше, чем на r, т. е. для которых выполняется неравенство

ρ(х, х0) ≤ r.

Определение. Сферой радиуса r с центром в элементе х0 называется множество всех тех элементов х М, которые удалены от центра на расстояние r, т. е. для которых выполняется равенство ρ(х, х0) = r.

Замечание. Очевидно, что замкнутый шар состоит из открытого шара и граничной сферы.

Определение. Окрестностью элемента х0 называется любой открытый шар с центром в данном элементе.

В частности, ε-окрестностью элемента х0 называется открытый шар радиуса ε с центром в точке х0.

Замечание. Наличие понятий «расстояние», «окрестность» позволяет ввести в метрических пространствах понятие «предела».

тавление каждому элементу х М вещественного числа ||х|| по любому фиксированному правилу, лишь бы выполнялись следующие три аксиомы:

1)||x|| ≥ 0, причем ||x|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2)||αx|| = |α|∙||x||;

3)||x + у|| ≤ ||x|| + ||у||.

Замечание. Обычно первую из перечисленных аксиом называют «неотрицательностью нормы», вторую – «однородностью нормы», третью – «неравенством треугольника».

Определение. Нормированным пространством называется линейное

пространство, в котором введена норма.

Упражнение. Покажите, что функция x, y , определенная на множестве вещественных чисел по формуле

Утверждение. Нормированное пространство одновременно можно рассматривать и как метрическое, так как в нем всегда можно ввести метрику по следующей формуле:

Доказательство.

Надо проверить, что функция (5.1) удовлетворяет всем трем аксиомам метрики. Выполнение первых двух аксиом метрики с очевидностью следует из первых двух аксиом нормы. Докажем, что для нее выполняется и правило треугольника:

ρ(х, у) = ||x – y|| = ||x – z + z – y|| ≤ ||x – z|| + ||z – y|| = ρ(х, z) + ρ(z, у).

Замечание. Сходимость в нормированном пространстве, т. е. выполне-

Замечание. Так как по определению нормированное пространство Х обязательно линейно, то в нем можно рассматривать ряды из его элементов:

n 1

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует предел по-

n

следовательности его частных сумм Sn xk , т. е. существует предел

k 1

S lim Sn , где элемент S, называется суммой данного ряда.

n

Такие ряды обладают многими привычными свойствами числовых рядов, в частности, для них справедлив (и также доказывается) необходимый признак сходимости.

Пример 1. Обычное трехмерное векторное пространство является нормированным (а значит, и метрическим), так как в нем в качестве нормы можно взять длину вектора (она удовлетворяет всем трем аксиомам нормы). Таким образом, понятие нормы является обобщением понятия длины вектора.

Аналогично, нормированным является и пространство строк длины п (столбцов высоты п), если ввести в нем норму по формуле

То, что функция (5.2) удовлетворяет первым двум аксиомам нормы – очевидно; неравенство треугольника следует из того, что эти пространства являются унитарными, что будет доказано позднее.

Упражнение. Проверить самостоятельно, что в пространстве строк (столбцов) можно ввести и другие нормы, а именно, что нормами являются

тром в начале координат на плоскости, в которой введена одна из этих норм? Пример 2. Линейное пространство С[a, b], состоящее из непрерывных

на [a, b] функций, является нормированным с нормой

и, следовательно, с метрикой

( f , ) || f || max | f (t) (t) | .

t [a, b]

Первые 2 аксиомы нормы для (5.3) выполняются с очевидностью; неравенство треугольника следует из свойств абсолютной величины: для каждого t [a, b] выполняется неравенство:

Переходя в этом неравенстве к максимуму по t, получим неравенство треугольника.

Открытый шар радиуса R с центром в элементе f0(t) в этом пространстве – это множество всех непрерывных на [a, b] функций f(t), графики которых расположены между графиками функций f0(t) – R и f0(t) + R. Сфера радиуса R с центром в элементе f0(t) состоит из функций f(t), графики которых расположены между графиками функций f0(t) – R и f0(t) + R и (обязательно) имеют общие точки с этими графиками. Замкнутый шар состоит из объединения открытого шара и его граничной сферы.

Например, в пространстве С[0, 1] ε-окрестность функции х2 состоит из всевозможных непрерывных функций, графики которых целиком лежат в полосе между кривыми у = х2 – ε и у = х2 + ε. Сходимость последовательностей и рядов в пространстве С[a, b] называется равномерной сходимостью и иногда обозначается не одной, а двумя стрелочками: xn x0 .

Пример 3. Пространство Lp[a, b] (где р – заданное число, удовлетворяющее неравенству 1 ≤ р ≤ ∞) состоит из функций, у которых существует

при р < ∞ (при р = ∞ формула для нормы сложнее). То, что (5.4) действительно задает норму, примем без доказательства. В частности, функции

b

из L1[a, b] (т. е. функции, у которых сходится интеграл || f || | f (x) | dx )

a

называются абсолютно интегрируемыми на [a, b].

Замечание. Выяснению вопроса о том, входит ли данная функция или данная последовательность в то или иное пространство и, если входит, то какова норма этого элемента в рассматриваемом пространстве, посвящено задание № 6 в разд. 10 «Индивидуальные задания» этого пособия, и разбор соответствующего примера в разд. 9 «Решение типовых примеров».

Пример 4. Элементами пространства lp (где р – заданное число, удовлетворяющее неравенству 1 ≤ р ≤ ∞) являются числовые последовательности х = (х1, х2, …, хп, …), но не все, а только те, у которых сходится ряд

| x |p ; и норма такого элемента при р > 1 задается равенством:

n 1

а при р = ∞ – равенством:

x sup | xn | .

n 1, 2,…

Например, l1 состоит из последовательностей, для которых сходится

ряд x1 | xn | . Заметим, что в конечномерном (п-мерном) простран-

n 1

стве при р=2 нормы (5.2) и (5.6), очевидно, совпадают.

Определение. Скалярным произведением в линейном пространстве М называется функция, сопоставляющая каждым двум элементам х, у М число (х, у), удовлетворяющая следующим аксиомам:

1)(х, х) ≥ 0, причем (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х есть нулевой элемент;

2)(х, у) = ( y, x) , где черта сверху означает комплексное сопряжение;

3)(αх + βу, z) = α(x, z) + β(y, z), для любых чисел α, β и любых элементов х, у, z М.

Замечание. Если линейное пространство М вещественно, то скалярное произведение (х, у) принимает вещественные значения, и во второй аксиоме не надо ставить знак комплексного сопряжения.

Следствие (свойство полулинейности по второму множителю):

(x, αy + βz) = (x, y) (x, z) .

Доказательство.

По 2-й и 3-й аксиомам скалярного произведения выводим

(x, αy + βz) =

( y z, x) ( y, x) (z, x) ( y, x) (z, x) (x, y) (x, z) .

Пример. Если (х, у) = 2 + 3i, тогда ((1 – 2i)x, (2 + i)y) = (1 – 2i)(2 – i) (х, у) = = (2 – i – 4i + 2i2)(2 + 3i) = (–5i)(2 + 3i) = 15 – 10i.

Определение. Унитарным (гильбертовым) пространством называ-

ется линейное пространство, в котором введено скалярное произведение. В гильбертовом пространстве можно ввести норму по формуле:

значит, и метрику по формуле:

(x, y) x y (x y, x y) .

То, что функция, задаваемая (5.6), удовлетворяет первым двум аксиомам нормы, очевидно. Но для того, чтобы установить, что для нее справедливо также неравенство треугольника, нужно доказать очень важное неравенство Коши – Буняковского – Шварца (кратко – неравенство КБШ).

Теорема (о неравенстве КБШ). Модуль скалярного произведения двух элементов не превосходит произведения норм сомножителей, т. е.:

При этом равенство в (5.7) достигается тогда и только тогда, когда элементы х и у пропорциональны.

Доказательство.

Зафиксируем некоторые элементы x, y. Пусть α – вещественное число. Рассмотрим скалярное произведение вектора х + αу самого на себя (оно неотрицательно по определению):

A(α) = ||x + αy||2 = (х + αу, х + αу) = (х, х) + (αу, х) + (х, αу) + (αу, αу).

Так как α вещественно, его можно выносить из любого сомножителя.

Поэтому A(α) = ||x||2 + α(y, x) + α(x, y) + α2||y||2. Но ( y, x) (x, y) и (y, x) + (x, y) = 2Re(x, y).

Значит, A(α) = ||x||2 + 2α Re(x,y) + α2||y||2 ≥ 0. Так как квадратный трехчлен A(α) ≥ 0 при всех α, то его дискриминант ≤ 0, и поэтому:

Из (5.8) следует (5.7). Действительно, пусть r = |(x,y)|, a arg(x,y) = φ.

Тогда (x, y) = reiφ. Вместо x возьмем x1= x∙e–iφ, а так как φ – вещественно,

то ||x1||=||x||. Поэтому Re(x1, y) = Re(xe–iφ, y) = Re(e–iφ(x, y)) = Re(e–iφ reiφ) =

= Re(r) = r = |(x, y)|. Из (5.8) с х1 вместо х получаем

||x||ּ||y|| = ||x1||ּ||y|| ≥ |Re(x1, y)| = |(x, y)|,

и неравенство (5.10) доказано.

При этом равенство в (5.7) означает, что дискриминант квадратного трехчлена А(α) равен 0. Следовательно, квадратный трехчлен имеет только один корень α0, т. е. А(α0) = ||x + α0 у||2 = 0. По первой аксиоме нормы от-

сюда следует, что x + α0у = 0, т. е. что x = –α0у, а это и значит, что х и у пропорциональны.

Теорема доказана полностью.

Следствие. Функция (5.6) удовлетворяет неравенству треугольника и, следовательно, является нормой.

Доказательство.

По неравенству КБШ:

||x + y||2 = (x + y, x + y) = ||x||2 + 2Re(x, y) + ||y||2 ≤ ||x|| + 2|(x, y)| + ||y||2 ≤ ≤ ||x||2 + 2||x|| ∙ ||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2,

извлекая корень из полученного неравенства, получаем неравенство треугольника.

Замечание. В унитарных пространствах ввиду неравенства КБШ можно ввести понятие угла между элементами, а именно:

Абсолютная величина дроби в формуле (5.9) ввиду (5.7) всегда не превосходит единицы.

Определение. Конечномерное (п-мерное) вещественное унитарное пространство называется евклидовым (п-мерным) пространством.

Определение. Элементы х и у унитарного пространства называются ортогональными (и записывается это так: х у), если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если выполняется равенство:

(х, у) = 0.

Пример. Введем в пространстве L2[а, b] (частный случай пространства Lр[а, b] при р = 2) скалярное произведение функций x(t) и y(t) формулой:

Легко проверить, что (5.10) действительно задает скалярное произведение, т. е. что выполняются соответствующие аксиомы. Вычислим, например, скалярное произведение функций x(t) = t2 и y(t) = t3 в пространстве

Так как (t2, t3) ≠ 0, то элементы t2 и t3 не ортогональны на (0, 1). Тем не менее, легко проверить, что они ортогональны на (–1, 1). Вычислим для примера норму функции x= t2:

15 .

Определение. Последовательность е1, е2, …, еп,… ненулевых элементов унитарного пространства называется ортогональной системой элементов, если любые два элемента этой системы ортогональны между собой: (еi, ej) = 0 при i ≠ j; она называется ортонормальной (или декартовой), если нормы всех ее элементов равны единице: ||ek|| = 1, k = 1, 2,…

Замечание. Для того, чтобы ортогональную систему превратить в ортонормальную, достаточно каждый ее элемент поделить на его норму.

Утверждение. Если элементы х и у заданы своими координатами в ортонормальном базисе е1, е2, …, еп: х = (х1, х2, …, хп), у = (у1, у2, …, уп), то их скалярное произведение обязательно вычисляется по формуле:

n

(x, y) xk yk ,

k1

вчастности, в вещественном (т. е. в евклидовом) пространстве – по формуле:

n

(x, y) xk yk .

k 1

Доказательство.

Так как (ei, ej) = 0 при i ≠ j и (ei, ei) = 1, то

Что и требовалось доказать.

Теорема (единственность разложения). Если элемент х разложен по

(конечной или бесконечной) ортогональной системе е1, е2, …, еп, …:

то коэффициенты в этом разложении определяются однозначно формулой

в частности, если система {en} ортонормальна, то сп = (х, еп).

Доказательство.

Пусть выполняется равенство (5.11). Домножим его скалярно справа на еп. Умножение по свойству линейности скалярного произведения можно

производить в случае конечного числа слагаемых почленно (для бесконечного числа слагаемых примем это без доказательства). Получим:

В силу ортогональности системы {en} все слагаемые справа, кроме сп(еп, еп), равны 0, а сп(еп, еп) = сп||еп||2, т. е. равенство (5.13) имеет вид:

(х, еп) = сп|| еп||2,

а это и есть равенство (5.12), что и требовалось доказать.

Определение. Представление элемента х в виде линейной комбинации элементов ортогональной системы называется разложением х по этой системе. В бесконечномерном унитарном пространстве такое разложение называется рядом Фурье элемента х по этой системе, а коэффициенты разложения сп называются коэффициентами Фурье.

Можно показать, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве ряд Фурье сходится. Это основывается на неравенстве Бесселя

Если система элементов en – ортогональный базис пространства, то справедливо равенство Парсеваля (аналог теоремы Пифагора)

Пример. Тригонометрической системой функций на (–l, l) называется бесконечный набор функций следующего вида:

Докажем, что тригонометрическая система (5.23) ортогональна в пространстве L2[–l, l]. Так как скалярное произведение в этом пространстве вводится формулой (5.10), то доказательство сводится к проверке шести равенств:

Проверка предоставляется читателю. Нормы элементов системы (5.14) вычисляются по формулам:

Так как система (5.14) ортогональна, то можно функции из L2[–l, l] раскладывать в ряды Фурье по этой системе. Кроме того эта система функций является базисом в пространстве L2[–l, l]. Такие ряды называются

тригонометрическими рядами Фурье. Эти ряды имеют вид

где коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

Вопрос о том, для каких точек х в формуле (5.15) можно поставить знак равенства вместо «~», окончательно не решен до сих пор. Достаточные условия даются условиями Дирихле, которые здесь не обсуждаются. Однако знак равенства здесь понимают в смысле среднеквадратичной сходимости ряда Фурье к функции f(x).

Если система элементов {en} не ортогональна, то ее можно ортогонализовать. Это часто выполняют с помощью процесса Грама – Шмидта.

Если система элементов {en} не ортогональна, то говорить о рядах Фурье по ней не приходится. Однако ее можно попытаться ортогонализовать.

Определение. Ортогонализацией системы элементов {en} называется отыскание таких коэффициентов αij, при которых новая система элементов {en΄}:

e1‘ 11e1 ,

e2‘ 21e1 22e2 ,

. . . . . . . . . . . . . . (5.16) en‘ n1e1 n2e2 … nnen ,

. . . . . . . . . . . . . .

является ортонормальной.

Теорема. Если при любом натуральном п первые п элементов данной системы {en} линейно независимы, то эта система допускает ортогонализацию.

Для доказательства потребуются новые понятия.

Определение. Матрицами Грама данной системы называются матрицы:

элементами Грама en‘ называются элементы, вычисляемые по формуле:

(en , e1) (en , e2 ) … (en , en 1) en

Доказательство теоремы.

Докажем, что искомыми элементами вида (5.16) являются элементы:

То, что (5.17) есть элементы вида (5.16), видно из разложения определителя (5.17) по последнему столбцу. Ортогональность элементов (5.17) элементам данной системы, т. е. равенства:

следует из того, что для скалярного умножения элемента (5.17) на еk надо каждый элемент последнего столбца определителя (5.17) скалярно умножить на еk, но при этом получится определитель с двумя одинаковыми

столбцами – п-м и k-м, а такой определитель равен нулю. Отсюда уже следует ортогональность системы (5.17), т. е. равенства (en* , ek* ) 0 . Действительно,

k

en* , ek* Ajk en* , e j 0 ввиду (5.19) (здесь Ajk – алгебраические дополне-

j 1

ния соответствующих элементов определителя (5.17), а k < п). Наконец,

e* 2 e* , e* A e A e … A e A e , e*

n n n 1n 1 2n 2 n 1,n n 1 nn n n

n1

Ajn e j , en* Ann en , en* .

j1

Но в силу (5.19) все слагаемые суммы в последнем равенстве равны

Отсюда и следует, что элементы (5.18) имеют единичную норму и, следовательно, образуют ортонормальную систему элементов. Теорема доказана.

Следствие 1. Если элементы {en} линейно независимы, то все их определители Грама п, положительны.

Доказательство. Действительно, так как норма любого ненулевого элемента положительна, то из (5.20) следует, что все эти определители – одного знака. При этом, 0 = 1 > 0, поэтому и все п > 0. Следствие доказано.

Следствие 2. Признак линейной зависимости. Элементы {e1, e2,…,en}

унитарного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда их определитель Грама равен нулю.

Доказательство.

Необходимость. Пусть данные элементы линейно зависимы. Тогда один из них есть линейная комбинация остальных. Для определенности,

пусть это en 1e1 2e2 … n 1en 1. Подставим это выражение в каждое

скалярное произведение последней строки определителя п и дважды воспользуемся свойством линейности: сначала свойством линейности скалярного произведения, а затем свойством линейности определителя. Получим из п серию из п–1 определителя, каждый из которых имеет две одинаковых строки и, следовательно, равен нулю, что и требовалось доказать.

тогда и сам элемент (5.17) является нулевым. А это и значит, что данные элементы – линейно зависимы (явную линейную зависимость можно

получить, раскладывая определитель в равенстве en* = 0 по последнему

столбцу Ап1е1 + Ап2е2 +…+ Аппеп = 0). Следствие доказано.

Пример 1. В 3-мерном векторном пространстве заданы декартовы ко-

ординаты трех векторов: а1 = (1, 2, –2), а2 = (–1, 0, 2), а3 = (0, 2, –3). Требу-

ется их ортогонализовать. Для этого вычислим элементы Грама по форму-

ле (5.17), а затем элементы (5.18): (а1, а2) = 1(–1) + 2 ∙ 0 + (–2) ∙ 2 = –5, (а1, а3) = 10, (а2, а3) = –6, (а1, а1) = 9, (а2, а2) = 5, (а3, а3) = 13, 0 = 1,

Пример 2. Пусть р(х) – заданная на (a, b) функция, принимающая на (a, b) только положительные значения (в дальнейшем будем называть ее «весом»).

Пространством L2 [( a, b), р(х)] («пространством с весом») называ-

ется множество всех тех функций f(x), для которых сходится интеграл

b

p(x) | f (x) |2 dx , в котором введено скалярное произведение по формуле:

a

b

(f(x), g(x)) = p(x) f (x)g(x)dx ,

a

и, следовательно, норма по формуле:

Рассмотрим множество вещественнозначных функций и возьмем в качестве веса р(х) = 1 на (–1, 1). Ортогонализуем функции {1, x, x2,…, xn,…}. Полученные многочлены называются многочленами Лежандра.

В индивидуальных заданиях будут предложены другие веса, по которым нужно будет ортогонализовать те же функции и получить соответствующие ортогональные многочлены.

Найдем хотя бы 4 первые многочлена Лежандра: