Как найти размерность величины - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Разме́рность физической величины — выражение, показывающее связь этой величины с основными величинами данной системы физических величин; записывается в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам, в котором численные коэффициенты опущены^[1]^[2].

Говоря о размерности, следует различать понятия система физических величин и система единиц.

Система физических величин и система единиц[править | править код]

Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин^[1].

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными^[1].

Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. В различных системах физических величин используются следующие обозначения размерностей^[3]:

Основная величина	Символ для размерности
Длина	L
Масса	M
Время	T
Электрический ток	I
Термодинамическая температура	Θ
Количество вещества	N
Сила света	J
Сила	F

Далее размерности производных величин обозначаются с использованием этих символов.

Символы размерностей используют также для обозначения систем величин^[4]. Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT. На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС, МКС и МТС. На основе системы LFT, в которой основными величинами являются длина, сила и время, создана система единиц МКГСС^[1].

В Международной системе величин (англ. International System of Quantities, ISQ), на которой базируется Международная система единиц (СИ), в качестве основных величин выбраны длина, масса, время, электрический ток, термодинамическая температура, сила света и количество вещества. Символы их размерностей приведены выше в таблице^[2]. Соответственно Международная система величин обозначается символами LMTIΘNJ.

Размерности производных величин[править | править код]

Для указания размерностей производных величин используют символ dim (от англ. dimension — размер, размерность). Иногда на размерность указывают заключением величины в квадратные скобки: .

Например, для скорости при равномерном движении выполняется

$v={frac {s}{t}},$

где — длина пути, пройденного телом за время . Чтобы определить размерность скорости, в данную формулу следует вместо длины пути и времени подставить их размерности:

${mathrm {dim}}~v={mathrm {LT^{{-1}}}}.$

Аналогично для размерности ускорения получается

${mathrm {dim}}~a={mathrm {LT^{{-2}}}}.$

Из уравнения второго закона Ньютона с учётом размерности ускорения для размерности силы в Международной системе величин и в любой другой системе, где в качестве основных величин используются длина, масса и время, следует:

${mathrm {dim}}~F={mathrm {LMT^{{-2}}}}.$

В общем случае размерность физической величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведённых в различные рациональные степени^[5]. Показатели степеней в этом выражении называют показателями размерности физической величины. Если в размерности величины хотя бы один из показателей размерности не равен нулю, то такую величину называют размерной, если все показатели размерности равны нулю — безразмерной^[1]^[6].

Как следует из сказанного выше, размерность физической величины зависит от используемой системы величин. Так, например, размерность силы в системе LMT, как указано выше, выражается равенством dim F=LMT^-2, а в системе LFT выполняется dim F=F . Кроме того, безразмерная величина в одной системе величин может стать размерной в другой. Например, в системе LMT электрическая ёмкость имеет размерность L и отношение ёмкости сферического тела к его радиусу — безразмерная величина, тогда как в Международной системе величин (ISQ) это отношение не является безразмерным. Однако многие используемые на практике безразмерные числа (например, критерии подобия, постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха, Рейнольдса, Струхаля и др. в механике сплошных сред) характеризуют относительное влияние тех или иных физических факторов и являются отношением величин с одинаковыми размерностями, поэтому, несмотря на то, что входящие в них величины в разных системах могут иметь разную размерность, сами они всегда будут безразмерными.

Проверка размерности[править | править код]

В формулах, имеющих физический смысл, только величины, имеющие одинаковую размерность, могут складываться, вычитаться или сравниваться. Например, сложение массы какого-либо предмета с длиной другого предмета не имеет смысла. Также невозможно сказать, что больше: 1 килограмм или 3 секунды. Из этого правила, в частности, следует, что левые и правые части уравнений должны иметь одинаковую размерность.

Кроме того, аргументы экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций должны быть безразмерными величинами.

Кроме того, значения во всех клетках объекта линейной алгебры, т.е. столбца или же матрицы, должны иметь одинаковую размерность.

Эти правила используются для проверки правильности физических формул. Если в полученном уравнении какое-то из них нарушается, то ясно, что в вычислениях была допущена ошибка.

Формула размерности[править | править код]

Формула размерности зависимой величины (при выбранной системе величин) выводится из требования, чтобы отношение двух численных значений зависимой величины не зависело от выбранных масштабов основных. Это приводит к тому, что размерность зависимой величины всегда имеет вид степенной зависимости.

То есть, формула размерности ${displaystyle [y]=C[x_{1}]^{alpha _{1}}cdot ldots cdot [x_{n}]^{alpha _{n}}}$ , где — зависимая величина, а набор $x_{i}$ — основные. Квадратные скобки обозначают, что в выражении участвуют размерности.

На основании этой формулы можно получить правило размерности (Пи-теорему), которое гласит, что в безразмерных переменных количество параметров задачи можно уменьшить на число размерно-независимых величин.

Анализ размерности[править | править код]

Анализ размерности — метод, используемый физиками для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных размерных параметров сложной физической системы. Иногда анализ размерности можно использовать для получения готовых формул (с точностью до безразмерной константы). Суть метода заключается в том, что из параметров, характеризующих систему, составляется выражение, имеющее нужную размерность.

При анализе размерностей формул размерность левой части уравнения должна быть равна размерности правой части уравнения. Отсутствие такого равенства говорит о неверности формулы. Однако наличие такого равенства не даёт стопроцентной гарантии верности формулы.

См. также[править | править код]

Физическая величина
Мера физической величины
Именованные числа
Безразмерная величина
Пи-теорема

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Чертов А. Г. Единицы физических величин. — М.: Высшая школа, 1977. — С. 7—9. — 287 с.
↑ ¹ ² Международный словарь по метрологии: основные и общие понятия и соответствующие термины / Пер. с англ. и фр.. — 2-е изд., испр. — СПб.: НПО «Профессионал», 2010. — С. 17. — 82 с. — ISBN 978-5-91259-057-3.
↑ Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 18. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
↑ РМГ 29-99. Метрология. Основные термины и определения. Дата обращения: 29 апреля 2013. Архивировано 11 октября 2014 года.
↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. – М., Наука, 1979. – Тираж 50 000 экз. – с. 433
↑ Сена Л. А. Размерность // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4 Пойнтинга—Робертсона эффект — Стримеры. — С. 244. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.

См. также[править | править код]

Размерности физических величин в системе СИ

Литература[править | править код]

Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1977. — 336 c.

Источник

Размер, значение, обозначение, размерность физической величины

По
определению, измеряемые ФВ имеют
качественную и количественную
характеристики.

Размер
ФВ
– количественная
определенность ФВ, присущая конкретному
объекту, явлению или процессу.

Значение
ФВ
– выражение ее размера в виде некоторого
числа принятых для нее единиц.

Обозначение
единицы ФВ
– сокращенное наименование (русское
или международное) единицы, применяемое
после числовых значений.

Размерность
ФВ
– формализованное отражение качественного
различия ФВ.

Размерность
выражается в форме степенного одночлена,
отражающего связь данной ФВ с основными
ФВ. По международным рекомендациям
размерность обозначается символом dim
(dimension – размерность):

dim
Z
= L^
M^
T^γ
I^ε
^η
J^μ
N^λ,

где
L,
M
– условные обозначения основных ФВ: L
– длина; M
– масса; T
– время; I-
сила тока;

 –
термодинамическая температура; J
– сила света; N
– количество вещества.

,
,
γ…
– целые или дробные, положительные или
отрицательные числа.

Для
определения размерности ФВ исходными
являются уравнения соотношения между
ФВ. В левой части уравнения та величина,
размерность которой нужно определить,
а в правой – величины, единицы которых
являются основными (м,
кг, с, А, К, кд, моль).
Эту зависимость нужно вывести на
основании уравнений связи. Примеры:

Определить
dim F.

F
= m*a a =
v =F == L*dim
F = L*M*T^-2

Определить
размерность мощности электрического
тока dim
P.

a)
P = U*I U =
q = I*t A = F*L F = m*a a =v =

b)
a
=
F =A =U =P == L²*m*t
^-3
dim
P = L²MT^-3

Произведем
некоторые преобразования:

Р
=
=;
А = Р ·;
[А] = Вт·с или кВт·ч, т.е. потребители
оплачивают работу электрического тока.

Табл.2
– Основные единицы СИ

Величина	Единица
Наименование	Размерность	Наименование	Обозначение	Определение
Международное	Русское
Длина	L	метр	m	м	Метр – единица длины, равная пути, пройденному в вакууме светом за интервал времени 1/299 792 458 с (XVII ГКМВ, 1983)
Масса	M	килограмм	kg	кг	Килограмм- единица массы, равная массе международного прототипа килограмма (III ГКМВ, 1901)
Время	T	секунда	s	с	Секунда – единица времени. Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Сила электрического тока	I	ампер	A	А	Ампер – единица силы электрического тока. Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2·10^-7 Н (IX ГКМВ, 1948)
Термодинамическая температура		кельвин	K	К	Кельвин – единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды (XIII ГКМВ, 1967)
Количество вещества	N	моль	mol	моль	Моль – единица количества вещества. Моль есть количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде – 12 массой 0, 012 кг. При применении моля структурные элементы должны быть специфицированы и могут быть атомами, ионами, электронами и другими частицами или специфицированными группами частиц (XIV ГКМВ, 1971)
Сила света	J	кандела	cd	кд	Кандела – единица силы света. Кандела есть сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540*10¹² Гц, электрическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср (XVI ГКМВ, 1979)

Таблица
3 – Производные единицы СИ, имеющие
специальные наименования и обозначения

Величина	Единица
Наименование	Размерность	Наименование	Обозначение	Выражение через основные и производные единицы СИ
между-народное	русское
Плоский угол	1	радиан	rad	рад	m·m^-1=1
Телесный угол	1	стерадиан	sr	ср	m²·m^-2=1
Частота	Т ^-1	герц	Hz	Гц	s^-1
Сила	L М Т ^-2	ньютон	N	Н	m·kg·s^-2
Давление	L ^-1 М Т ^-2	паскаль	Ра	Па	m ^-1·kg·s^-2
Энергия, работа, количество теплоты	L ² М Т ^-2	джоуль	J	Дж	m ²·kg·s^-2
Мощность	L ² М Т ^-3	ватт	W	Вт	m ²·kg·s^-3
Электрический заряд, количество электричества	T I	кулон	С	Кл	s·А
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила	L ²М Т ^-3I ^-1	вольт	V	В	m ²·kg·s^-3·Α^-1
Электрическая емкость	L ^-2М ^-1Т ⁴I ²	фарад	F	Ф	m ^-2·kg ^-1·s⁴·Α²
Электрическое сопротивление	L ² М Т ^-3 I ^-2	ом	Ω	Ом	m ²·kg·s^-3·Α^-2
Электрическая проводимость	L ^-2 М ^-1 Т ³I²	сименс	S	См	m ^-2·kg ^-1·s³·Α²
Поток магнитной индукции, магнитный поток	L ² М Т ^-2I^-1	вебер	Wb	Вб	m ²·kg·s^-2·Α^-1
Плотность магнитного потока, магнитная индукция	М Т ^-2I^-1	тесла	Т	Тл	kg·s^-2·Α^-1
Индуктивность, взаимная индуктивность	L ² М Т ^-2I^-2	генри	Н	Гн	m ²·kg·s^-2·Α^-2
Температура Цельсия	Θ	градус Цельсия	⁰С	⁰С	К
Световой поток	J	люмен	lm	лм	cd · sr
Освещенность	L^-2 J	люкс	lx	лк	m ^-2cd · sr
Активность нуклида в радиоактивном источнике (активность радионуклида)	Т^-1	беккерель	Bq	Бк	s ^-1
Поглощенная доза ионизирующего излучения, керма	L ² Т ^-2	грей	Gy	Гр	m ²· s^-2
Эквивалентная доза ионизирующего излучения, эффективная доза ионизирующего излучения	L ² Т ^-2	зиверт	Sv	Зв	m ²· s^-2
Активность катализатора	N T ^-1	катал	kat	кат	mol · s ^-1
Примечания: 1. В таблицу 3 включены единица плоского угла – радиан и единица телесного угла – стерадиан. 2. В международную систему единиц при ее принятии в 1960 г. на ХI ГКМВ входило три класса единиц: основные, производные и дополнительные (радиан и стерадиан). ГКВМ классифицировала единицы радиан и стерадиан как «дополнительные, оставив открытым вопрос о том, являются они основными единицами или производными». В целях устранения двусмысленного положения этих единиц Международный комитет мер и весов в 1980г. решил интерпретировать класс дополнительных единиц СИ как класс безразмерных производных единиц, для которых ГКМВ оставляет открытой возможность применения или неприменения их в выражениях для производных единиц СИ. В 1995 г. ХХ ГКМВ постановила исключить класс дополнительных единиц СИ, а радиан и стерадиан считать безразмерными производными единицами СИ (имеющими специальные наименования и обозначения), которые могут быть использованы или не использованы в выражениях для других производных единиц СИ (по необходимости). 3. Единица катал введена в соответствии с резолюцией 12 ХХI ГКМВ. 4.Температура Цельсия определяется выражением t = Т – Т₀, где Т₀ = 273,15 К, Т – термодинамическая температура, t – температура Цельсия

Таблица
4 – Внесистемные единицы, допустимые к
применению наравне с единицами СИ

Наименованиевеличины	Единица
Наименование	Обозначение	Соотношение с единицей СИ	Область применения
между-народное	русское
Масса	тонна	t	т	1 · 10³ kg	Все области
атомная единица массы ^{1) 2)}	u	а.е.м.	1,66054 · 10^-27 kg (приблизительно)	Атомная физика
Время ^{2) 3)}	минута час сутки	min h d	мин ч сут	60 s 3600 s 86400 s	Все области
Плоский угол ²⁾	градус ^{2) 4)} минута ²⁾⁴⁾ секунда²⁾⁴⁾	…º …’ …”	…º …’ …”	(π/180) rad = 1,745329…·10^-2 rad (π/10800) rad = 2,908882…·10^-4 rad (π/648000) rad = 4,848137..·10^-6 rad	Все области
град (гон)	gon	град	(π/200) rad = 1,57080…·10^-2 rad	Геодезия
Объем, вместимость	литр⁵⁾	1	л	1 · 10^-3 m³	Все области
Длина	Астрономичес- кая единица, световой год, парсек	ua 1y рс	а.е. св.год. пк	1,49598 · 10¹¹ m (приблизительно) 9,4605 · 10¹⁵ m (приблизительно) 3,0857 · 10¹⁶ m (приблизительно)	Астрономия
Оптическая сила	диоптрия	–	дптр	1 · m ^-1	Оптика
Площадь	гектар	ha	га	1 · 10⁴m ²	Сельское и лесное хозяйство
Энергия	электрон-вольт	eV	эВ	1,60218 · 10 ^-19 J (приблизительно)	Физика
киловатт-час	kW ·h	кВт · ч	3,6 · 10⁶ J (приблизительно)	Для счетчиков электрической энергии
Полная мощность	вольт-ампер	V·А	В·А		Электротехника
Реактивная мощность	вар	var	вар		Электротехника
Электричес-кий заряд, количество электричест-ва	ампер-час	А · h	А · ч	3,6 · 10³ С	Электротехника
1) Здесь и далее см. ГСССД 1 – 87 2) Наименования и обозначения единиц времени (минута, час, сутки), плоского угла (градус, минута, секунда), астрономической единицы, диоптрии и атомной единицы массы не допускается применять с приставками. 3) Допускается также применять другие единицы, получившие широкое распространение, например неделя, месяц, год, век, тысячелетие. 4) Обозначение единиц плоского угла пишут над строкой. 5) Не рекомендуется применять при точных измерениях. При возможности смешения обозначения l («эль») с цифрой 1 допускается обозначение L.

Продолжение
таблицы 4

Некоторые
относительные и логарифмические величины
и их единицы, допустимые к применению
наравне с единицами СИ

Наименование величины	Единица
Наимено-вание	Обозначение	Значение
между-народное	русское
1. Относительная величина (безразмерное отношение физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную): КПД; относительное удлинение; относительная плотность; деформация; относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; магнитная восприимчивость; массовая доля компонента; молярная доля компонента и т.п.	единица процент промилле миллионная доля	1 % ‰ ppm	1 % ‰ млн ^-1	1 1 · 10 ^-2 1 · 10 ^-3 1 · 10 ^-6
2. Логарифмическая величина (логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную): уровень звукового давления; усиление;ослабление и т.п. ²⁾	бел ¹⁾ децибел	В dB	Б дБ	1 В = lg (Р₂/Р₁) при Р₂ = 10 Р₁ 1 В = 2 lg (F₂ /F₁) при F₂ = ·F₁ где Р₁ и Р₂ – одноименные энергетические величины (мощность, энергия, плотность энергии и т.п.); F₁ и F₂– одноименные «силовые» величины (на-пряжение, сила тока, на-пряженность поля и т.п.) 0,1 В
3. Логарифмическая величина (логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную): уровень громкости	фон	phon	фон	1 phon равен уровню громкости звука, для которого уровень звукового давления равногромкого с ним звука частотой 1000 Нz равен 1 dB
4. Логарифмическая величина (логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную): частотный интервал	октава декада	– –	окт дек	1 октава равна log₂ (f₂/ f₁) при f₂/f₁ = 2; 1 декада равна lg (f₂/f₁) при f₂/f₁=10, где f₂и f₁– частоты
5. Логарифмическая величина (натуральный логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную)	непер	Np	Нп	1 Np = 0,8686 В=8,686… dB
Примечание: 1. При выражении в логарифмических единицах разности уровней мощностей или амплитуд двух сигналов всегда существует квадратичная связь между отношением мощностей и соответствующим ему отношением амплитуд колебаний, поскольку параметры сигналов определяют для одной и той же нагрузки Z, т.е.: В теории автоматического регулирования часто определяют логарифм отношения F_вых/ F_вх. В этом случае между отношением мощностей и отношением соответствующих напряжений нет квадратичной зависимости. Вместе с тем по ранее сложившейся практике применения логарифмических единиц, не смотря на отсутствие квадратичной связи между отношением мощностей и соответствующим ему отношением амплитуд колебаний, и в этом случае принято единицу «бел» определять следующим образом: 1 В = lg (P_вых/Р_вх) при Р_вых = 10 Р_вх 1В = 2 lg (F_вых/ F_вх) при F_вых = F_вх Задача установления связи между напряжениями и мощностями , если ее ставят, решается путем анализа электрических или других цепей. 2. В соответствии с международным стандартом МЭК 27-3 при необходимости указать исходную величину ее значение помещают в скобках за обозначением логарифмической величины, например для уровня звукового давления: L_p(re 20μPa) = 20 dB ; Lp (исх. 20 мкПа) = 20 дБ = 20 дБ (re- начальные буквы слова reference, т.е. исходный). При краткой форме записи значение исходной величины указывают в скобках за значением уровня, например 20 dB (re20μPa) или 20 дБ (исх. 20 мкПа)

Таблица
5 – Внесистемные единицы, временно
допустимые к применению, до принятия
международных решений

Наименование величины	Единицы	Область применения
Наименование	Обозначение	Соотношение с единицей СИ
между-народное	русское
Длина	морская миля	n mile	миля	1852 m (точно)	Морская навигация
Масса	карат	–	кар	2 · 10^-4 kg (точно)	Добыча и производство драгоценных камней и жемчуга
Линейная плотность	текс	tex	текс	1 · 10^-6 kg/ m (точно)	Текстильная промышленность
Скорость	узел	kn	уз	0,514(4) m/s	Морская навигация
Ускорение	гал	Gal	Гал	0,01 m/s²	Гравиметрия
Частота вращения	оборот в секунду оборот в минуту	r/s r/min	об/с об/мин	1 s ^-1 (1/60) s^-1 =0,016(6) s^-1	Электротехника
Давление	бар	bar	бар	1 · 10⁵ Ра	Физика

Таблица
6 – Множители и приставки, используемые
для образования наименований и обозначений
десятичных кратных и дольных единиц
СИ

Десятичный множитель	Приставка	Обозначение приставки	Десятичный множитель	Приставки	Обозначение приставки
между-народное	русское	между-народное	русское
10²⁴	иотта	Y	И	10 ^-1	деци	d	д
10²¹	зетта	Z	З	10 ^-2	санти	c	с
10¹⁸	экса	Е	Э	10 ^-3	милли	m	м
10¹⁵	пета	P	П	10 ^-6	микро	μ	мк
10¹²	тера	T	Т	10 ^-9	нано	n	н
10⁹	гига	G	Г	10 ^-12	пико	p	п
10⁶	мега	M	М	10 ^-15	фемто	f	ф
10³	кило	k	к	10 ^-18	атто	a	а
10²	гекто	h	г	10 ^-21	зепто	z	з
10¹	дека	da	да	10 ^-24	иокто	у	и

Таблица
7 – Единицы количества информации

Наименование величины	Единица	Применение
Наименование	Обозначение	Значение
международное	русское
Количество информации ¹⁾	бит ²⁾ байт ^2) 3)	bit B (bуte)	бит Б (байт)	1 1 Б = 8 бит	Единица инфор-мации в двоичной системе счисления (двоичная единица информации)
1) Термин «количество информации» используют в устройствах цифровой обработки и передачи информации, например в цифровой вычислительной технике (компьютерах), для записи объема запоминающих устройств, количества памяти, используемой компьютерной программой. 2) В соответствии с международным стандартом МЭК 60027-2 единицы «бит» и «байт» применяют с приставками СИ. 3) Исторически сложилась такая ситуация, что с наименованием «байт» некорректно (вместо 1000=10³ принято 1024 = 2¹⁰) использовали (и используют) приставки СИ: 1 Кбайт = 1024 байт, 1 Мбайт = 1024 Кбайт, 1 Гбайт = 1024 Мбайт и т.д. При этом обозначении Кбайт начинают с прописной буквы «К» в отличие от строчной буквы «к» для образования множителя 10³.

Таблица
8 – Единицы, допускавшиеся к временному
применению до 01.01.1980 (примеры)

Наименование величины	Единица	Значение в единицах СИ
Наименование	Обозначение
международное	русское
Давление	миллиметр ртутного столба		мм рт.ст.	133, 332 Па
Мощность	лошадиная сила		л.с.	735,499 Вт
Скорость	километр в час		км/ч	≈ 0,28 м/с
Количество теплоты	калория		кал	4, 1868 Дж
Масса	центнер		ц	100 кг

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
#
03.05.2015364.54 Кб22ес.doc
#
#

Источник

Термин «размерность» имеет и другие значения, см. Размерность (значения).

Разме́рность физической величины — выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные. Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов основных единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, которые называются показателями Р. Так, например, Р. скорости LT⁻¹, где Т представляет собой Р. времени, а L — Р. длины. Эти символы обозначают единицы времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута, час, метр, сантиметр и т.д.).

В БСЭ имеется следующее определение размерности: Размерность физической величины — выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные. Это определение не соответствует стандарту, кроме того, размерность физической величины и единица измерений физической величины синонимами не являются.

Термин размерность может относиться также к единице измерения физической величины. Часто абстрагируются от конкретных единиц измерения и описывают размерности в терминах основных физических величин, таких, например, как длина, масса и время, которые обозначают символами L, M и T, соответственно. Размерность записывают, как произведение этих символов, каждый из которых возведён в рациональную степень.

Например, размерность скорости — расстояние, делённое на время (L/T), а размерность силы — масса, умноженная на расстояние и делённая на время в квадрате (ML/T²). В механике размерность любой величины может быть выражена через расстояние (которое физики часто называют «длиной»), массу и время. Электрические и магнитные величины также могут быть выражены через эти три размерности с использованием, например, закона Кулона. Однако, при использовании СИ иногда бывает удобнее ввести размерность такой основной физической величины, как электрический ток (I).

Некоторые из физических величин безразмерны в любой системе единиц, например, постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха, Рейнольдса, Струхаля и др. в механике сред.

В СИ определены семь единиц основных физических величин, размерности которых считаются независимыми друг от друга. Поскольку система физических величин принципиально отличается от системы единиц, то в некоторых системах физических величин возможен иной перечень основных физических величин, чем в СИ.

Проверка размерности

Анализ размерности

Основная статья: Анализ размерности

См. также

Физическая величина
Именованные числа
Отвлечённые (безразмерные) числа

Ссылки

Размерность физических величин
Энциклопедический словарь:РАЗМЕРНОСТЬ (физической величины)

Безразмерные величины в физике

Понятия	Размерность физической величины · Безразмерная величина · π-Теорема · Критерий подобия

Числа	Аббе · Альфвена · Архимеда · Атвуда · Багнольда · Био · Бонда · Бринкмана · Булыгина · Вебера · Вайсенберга · Галилея · Гартмана · Гей-Люссака · Грасгофа · Гретца · Гуше · Дамкёлера · Деборы · Дерягина · Дина · капиллярности · Кармана · Каулинга · Кирпичёва · Клаузиуса · Кнудсена · Коссовича · Коши · Лапласа · Лундквиста · Лыкова · Льюиса · Лященко · Маха · Марангони · Мортона · Нуссельта · Ньютона · Онезорге · Пекле · Поснова · Прандтля (магнитное, турбулентное) · Пуазёйля · Рейнольдса (магнитное) · Ричардсона · Россби · Роуза · Рошко · Руарка · Рэлея · Стэнтона · Стокса · Струхаля · Суратмана · Тейлора · Уомерсли · Фёдорова · Фруда · Фурье · Хагена · Чандрасекара · Шмидта · Шервуда · Эйлера · Эккерта · Экмана · Элсассера · Этвёша

Источник

Наверняка вы помните, как учитель физики использовал для проверки решения задачек методику размерностей. Этот волшебный способ был понятен далеко не всем и хотелось как-то осознать его глубинную сущность. Ведь обычно всё кончалось чем-то из серии – “даа, ты сложил бананы и ананасы, у тебя ответ точно неверный.

Ты делил бананы на обезьян? 0_о

Нельзя делить бананы на ананасы” Что же, давайте освежим эту методику в голове и наконец-то разберемся, как всё это работает.

Физический смысл размерности

Проверка задачки размерностями делается очень просто. В расчётную формулу подставляются единицы измерения каждой из величин и на выходе мы должны получить именно ту размерность, в которой измеряют искомую величину.

Проверка размерности

С величинами в размерностях можно смело совершать все те же действия, что мы делаем и с обычными переменными или даже числами. Их можно сокращать, умножать, делить, возводить в степень и т.п. и т.д.

Для использования нужно помнить всякие “физические фишки”. Скажем, что такое Паскаль с физической точки зрения? Это единица измерения давления, которая состоит из Ньютонов / Метр квадратный.

Оно и логично – физический смысл механического давления в том, что силу в 1 Ньютон растащили на квадратный метр и таким образом нажали на объект. Площадь точки приложения силы равна тут одному метру.

Смысл Паскаля

Ещё нужно помнить, что все единицы должны быть приведены к системе СИ, но это уже технический момент.

Однако, нам интересно понять, в чем же тут истинный физический смысл процесса работы с размерностями и есть ли он вообще.

Физический смысл этого вопроса во многом опирается на физический смысл каждого рассматриваемого физического понятия. Это не то, что мы нашли волшебную таблетку и как мартышки смогли перечеркивать лишние буквы.

Вот в примере с разбором Паскаля мы выяснили, что физический смысл давления в 1 Паскаль – это воздействии некоторой силы, величиной 1 Ньютон, имеющей площадь точки приложения 1 Метр квадратный. Так можно разобрать абсолютно любую величину. Вопрос во времени и упрямстве. Иногда проще принять на веру стандартный набор знаний из учебника. Но это не значит, что мы не сможем вывести любую, даже самую сложную, расчётную формулу и это не значит, что где-то наврет работа с размерностями. Нельзя отделять размерности от физических величин. Несмотря на то, что это в некотором смысле привязанная характеристика, она учит нас работать с физическими данными. В физике нет голых цифр. Это всегда что-то. Из этого и следует смысл фразы физика из начала статьи – нельзя складывать бананы с яблоками, потому что это также бессмысленно для решения задачи, как сложить количество поездов на линии с количеством пассажиров.

Все формулы, которые мы имеем в физике – это не набор операторов, как в программировании, а физический смысл, приправленный простейшей арифметикой (мы не говорим про сложные решения, где математика уже высшая :)…) . Причем, математические действия тоже используются именно на уровне смысла процесса, а не как только лишь циферки.

Как вникнуть в смысл размерности? Простой пример

Если вам сложно воспринимать это, то попробуйте начать вот с чего.

Единица измерения длины в СИ – это метр. Единичная длина, стало быть, тоже 1 метр. У нас есть дорога, длина которой 1000 метров. Это значит, что единичная длина уложилась туда 1000 раз.

Теперь мы хотим узнать, за какое время можно проехать это расстояние на осле.

Движение осла характеризуется скоростью. Физический смысл скорости простой – какое расстояние осел способен преодолеть в единицу времени? Единица времени у нас секунда. За секунду осёл способен пройти пускай 50 метров. Значит, за 1 секунду осел способен преодолеть отрезок, равный 50 единичным мерам длины. Скорость измеряется в м/с. Вот и логично выходит, что физический смысл скорости однозначно коррелирует с единицей измерения.

Ну а мы то искали время. Там есть простая формула, которая следует из здравого смысла. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. Сколько раз влезет количество метров, которое есть в секунду, в общую длину?

Расстояние в метрах, скорость в метрах в секунду. Делим метры на метр/секунду. Посокращали всё и получили секунды.

Вот и выходит, что вся методика проверки размерностей строится на физическом смысле, а заодно на знании истинного смысла математических действий.

Так можно проверить абсолютно любую величину, только анализ более глубокий и сложный. Ну а если не анализировать так глубоко каждый раз, остаётся просто арифметически работать с буковками в размерности, что и делал ваш препод по физике. Кстати, если там появится производная, нам нужно просто помнить, что и у производной есть физический смысл. Говоря простыми словами – понимать, что такое производная в окружающей жизни.

Кода речь идёт про более диковинные размерности всё тоже логично.

Возьмем, например, ускорение. Оно измеряется в метрах в секунду в квадрате.

Что это такое? Да тоже всё просто!

Что такое ускорение с физической точки зрения? Это изменение скорости за единицу времени. Машина ехала со скоростью 10 метров в секунду. Понятие скорости мы расписали выше. Кстати, вышло, что осел едет быстрее машины 🙂 Но не о том…По пробкам, скорее всего, так и выйдет.

Точно!

Итак, ускорение – это скорость измерения скорости. Машина ехала со скоростью 10 метров в секунду. Ускорение появляется, когда машина разгоняется.

Первую секунду она ехала 10 м/с, а вторую 20 м/с. Ускорением будет являться скорость изменения скорости. Считается оно просто. Конечная скорость минус начальная, разделить на время изменения. Вот и вылезает м/с в квадрате. (2м/с/-1м/с)/с = м/с2. Видите, опять у нас физическая единица измерения коррелирует с физическим смыслом. И так происходит абсолютно всегда.

В этом и есть физический смысл проверки решения задачки методом размерностей.

Пожалуйста, подпишитесь и обязательно возвращайтесь за новым контентом на проект! Возврат подписчика сейчас очень важен для существования канала! Виноват ДЗЕН…

Присоединяйся к моей телеге и читайте лучшее на бусти проекта!

Статьи по теме на канале:

Ещё кое-что полезное:

Путеводитель по научно-популярным каналам ДЗЕНа: смотрите здесь
Каталог публикаций моего канала с рубриками есть тут

Источник

Цели:

шире использовать полученные теоретические
знания по физике;
вооружить учащихся большим набором способов
решения задач.

1. Понятие размерности

Для начала упорядочим некоторые понятия, с
которыми мы имели дело раньше и с теми, которые
встретятся нам в будущем. К таким физическим
понятиям относятся: наименование, название
физической величины, в выбранной системе единиц,
размерность, обозначение и определяющее
уравнение.
Разберём это на некоторых примерах взятых из
раздела «Механика» и знакомых нам. Для краткости
сведём всё это в таблицу.

Название физ. величины	Обозначение	Определяющее уравнение	Наименование	Размерность
Площадь	S	S = a³	м²	кв. метр	L²
Объём	V	V = а³	м³	куб. метр	L³
Скорость	V	V = S/t	м/с; м с^–1	метр в сек.	L T^–1
Ускорение	а	а =	м/с²; м с^–2	метр в секунду за секунду	L T^–2
Плотность			кг/м³; кг м^–3	кг на куб. метр	M L^–3

Это простые и часто встречающиеся понятия,
причём название физической величины вытекает из
определяющего её уравнения. Но ряд физических
величин имеют «клички». Название величины не
следует прямо, как прежде, из определяющего
уравнения.

Например.

Наименование величины – сила. Название единицы
измерения – Ньютон. Вспомним материал 7-го
класса. Что такое Ньютон? Это такая сила, которая
за 1 секунду изменяет скорость тела массой 1 кг на
1 метр в секунду. Примером одной из сил является
вес тела. Мы знаем, что вес тела равен Р = mg,
где m – масса тела , а g – ускорение
свободного падения.
Из физики 8-го класса мы знаем, что ускорение
измеряется в м/с². Значит, если речь идёт о
весе тела Р, то он равен произведению массы
тела на ускорение. Отсюда можно сделать вывод,
что и любая другая сила F равна произведению
массы тела на полученное в результате действия
силы ускорение, т.е. F = ma.

Обратим внимание на то, что, если масса тела
равна 1 кг и полученное ускорение равно 1 м/с²,
то и сила будет равна единице силы, то есть 1-му
Ньютону. Тогда размерность Ньютона будет
[ F ] = кг = кг м /с²
= M L T^–2. Заметим, что определяющим
уравнением будет уравнение F = ma. Обратите
внимание, что название единицы силы не кг м/с²,
а Ньютон – «кличка». Просто громоздкое
наименование единицы заменили на «Ньютон» в
честь знаменитого английского учёного Ньютона.
Таких имён «кличек» которые носят единицы
измерения физических величин много. В механике
это Джоуль, Герц, Ватт.
Каждой такой единице присуща ей размерность,
которая показывает, из каких основных единиц
системы СИ «приготовлена», «сделана» такая
единица, в какой степени входят в состав этой
величины основные единицы и где они находятся в
числителе или в знаменателе.
Что такое определяющее уравнение? Это уравнение,
которое следует из определения физической
величины.

Например.

1. Скорость – это физическая величина равная
отношению пути, пройденного телом, ко времени за
которое этот путь пройден. Отсюда следует
определяющее уравнение V = S/t.
2. Работа – это физическая величина равная
произведению силы, приложенной к телу на путь,
который прошло тело под действием этой силы.
Отсюда следует определяющее уравнение: A = F S.
До введения интернациональной системы единиц
(СИ), существовал несколько систем единиц.
Так в одной из них основными единицами были:
единица массы – грамм; единица длины –
сантиметр; единица времени – секунда. Эта
система единиц называлась СГС.
Были и другие системы единиц. Но масса есть масса
в любой системе. Будь она в кг, или в г, или в мг.
Поэтому, независимо от выбранной системы единиц,
принято размерность выражать в символах. Масса –
М. Длина – L. Время – Т.

В таблице выше соответствующая колонка
называется просто размерность.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить размерность Джоуля. Определяющее
уравнение A = F S
2. Определить размерность Ватта. Определяющее
уравнение N = A / t
3. Определить размерность Герца. Определяющее
уравнение = 1 / Т
4. Определить размерность Паскаля. Определяющее
уравнение р = F/S
5. Определить размерность момента силы.
Определяющее уравнение М = F L.

2. Проверка правильности решения задач по
размерности

«Видкиль воно взялось и на щоб воно сдалось»
Украинская пословица.

Откуда взялась размерность мы рассмотрели.
Рассмотрим где, и как она может быть применена и
её особенности.
Рассмотрим решение нескольких задач:
1. Определить расстояние между Землёй и Солнцем,
если луч света, двигаясь со скоростью 3 х 108 м/с,
проходит это расстояние примерно за 8,5 минут?
2. Какое расстояние по прямой может пройти ракета
за 1 минуту, двигаясь от места старта с ускорением
20 м/с²?
3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, пошел
на обгон и в течение 10 секунд двигался с
ускорением 2 м/с². Какой путь прошел
автомобиль за это время?
4. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, перед
поворотом в течение 10 секунд двигался
равнозамедленно с ускорением – 2 м/с². Какой
путь прошел автомобиль за это время?

Решения:

Проанализируем решение этих задач.

1. Что общего было в этих задачах? (Определялся
путь S)
2. В чём различие в этих задачах? (В каждой
задаче описывается различное движение, а значит,
применяются различные уравнения для определения
пути)

То есть различие в том, что одна и та же величина
(путь) определяется через различные величины. В №
1 через V и t. В № 2 через а и t. В
№ 3 и № 4 через V_о, a, t.
Эти величины имеют различные размерности, а в
результате произведенных действий получается во
всех случаях одна и та же размерность – метр.
Произведём, не используя модулей этих величин,
предлагаемые действия только с размерностями.

1. S = V t = 2. S = . 3.4. S = V0t ± = ± =L±L= L

Отсюда следует закономерность: В правильно
составленном уравнении, размерность правой его
части равна размерности его левой части.
Эту закономерность можно применить для проверки
правильности решения задач.
Допустим, задачу №3 решили с ошибкой (она очень
часто встречается), записав
уравнение так S = V_о + at²/2
, тогда S = 15 + 2 х 10² /2 = 65 (м). Так как
правильный ответ неизвестен, то неясно, как
проверить правильность решения, и найти причину
ошибки.
То ли ошибка в вычислениях, то ли в
преобразованиях, то ли в неправильном написании
правильно выбранного уравнения?
Проверяя правильность решения по наименованию
можно найти причину ошибки.
Как это сделать? Вместо модулей величин
подставить размерности величин и сравнить
размерности левой и правой части уравнения.
(использовать, указанную выше, закономерность )

Отсюда следует, L =/= 1 + Т. Задача решена
неверно. Где ошибка? В правой части уравнение
представляет двучлен. Одна его часть имеет
размерность L, а другая L/T. Как из
этого выражения L/T получить L? Нужно
умножить его на Т. Тогда получим размерность
первого члена L. Первый член и второй член правой
части уравнения будут иметь размерность L,
то есть L + L = L. Левая и правая части будут
иметь одинаковую размерность. Значит, первый
член правой части уравнения должен иметь вид не V_о,
а V_о t.
Теперь, предположим, решающий допустил другую
ошибку. В уравнении S = V_оt +at²/2
вместо знака «+» поставил знак «–». Поможет ли
здесь метод размерности указать на ошибку?
Решение задачи № 4 говорит о том, что задача
решена правильно. L = L – L = L, но модуль
величины другой.
Отсюда следует второй вывод: метод
размерностей может подсказать ошибочность
физического направления решения, но не может
подсказать ошибочность математического
действия.
Решим несколько задач по кинематике и сделаем
проверку их правильности решения, применив метод
размерности.

Задача № 1.

За время равное 2 с, тело, двигаясь прямолинейно
и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость
при этом увеличилась в 3 раза. Определить
ускорение тела.

Сделаем проверку решения методом размерности.
Размерности левой и правой части уравнения
совпадают, значит, задача решена правильно.

Задача №2.

Тело, двигаясь от остановки равноускоренно, за
первые 5 секунд движения прошло путь 10 м. Какой
путь пройдёт это тело за 10 секунд от начала
движения?

Задача № 3. Тело, двигаясь
равноускоренно, за 5 секунд движения прошло путь
100 м , а за 10 сек. – 300 м. Определить начальную
скорость движения тела.

Мы проделали громоздкие преобразования. Не
допустили ли мы ошибку? Воспользуемся знанием
закономерности размерности и проверим свою
работу.
L T–1 =
Следовательно, задача решена верно.
Подставим числовое значение входящих величин и
получим числовой ответ задачи.

V0 = (м/с)

Задача №4. Во сколько раз скорость
пули при вылете её из ствола винтовки больше
скорости этой пули при прохождении ею 1/3 ствола?

Источник

Система физических величин и система единиц[править | править код]

Размерности производных величин[править | править код]

Проверка размерности[править | править код]

Формула размерности[править | править код]

Анализ размерности[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Размер, значение, обозначение, размерность физической величины

Проверка размерности

Анализ размерности

См. также

Ссылки

Физический смысл размерности

Как вникнуть в смысл размерности? Простой пример

Статьи по теме на канале:

Ещё кое-что полезное:

Вам также может понравиться

Поиск как найти свой пароль

Как найти промокод на мегафоне

Как найти умные книги

Добавить комментарий Отменить ответ