Алгебра
7 класс
Урок № 20
Сумма и разность многочленов
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Алгебраические выражения.
- Многочлен.
- Сумма и разность многочленов.
- Стандартный вид многочлена.
- Правила раскрытия скобок (заключения в скобки).
Тезаурус.
Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.
Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.
Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел
Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.
Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представлен произведением числового множителя и натуральных степеней разных переменных.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.
Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из произведения одних и тех же степеней, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Многочлен – сумма одночленов.
Каждый одночлен, являющийся слагаемым многочлена, называют членом многочлена.
Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Перед нами следующее выражение 123+5 и 45-89. Можем ли между ними поставить знаки «+» или «–» и, соответственно, найти значение полученного выражения?
Конечно, да.
123 + 5 и 45 – 89
(123 + 5) + (45 – 89) = 84
(123 + 5) – (45 – 89) = 172
Оказывается, аналогичные арифметические операции можно выполнять и с многочленами, т.е. найти сумму и разность многочленов.
Посмотрим, как можно выполнить данные действия с многочленами.
Найдём многочлен равный сумме многочленов. Как это сделать?
Оказывается, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Например, сумма многочленов (а + с) и (k + х) равна многочлену (а + с) + (k + х) или а + с + k + х. Последний переход от левой части к правой называют раскрытием скобок.
Найдём многочлен равный разности многочленов. Как это сделать?
Оказывается, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.
Например, разность двух многочленов а + с и k + х равна многочлену (а + с) – (k + х) или а + с – k – х. Последний переход от левой части к правой, так же как и при нахождении суммы, называют раскрытием скобок.
Рассмотрим правила раскрытия скобок.
Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключённых в скобки.
Например:
(а + с) + (х – у) = а + с + х – у
Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.
Например:
(а + с) + (х – у) = а + с – х + у
Стоит обратить внимание, что если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак плюс.
Например,
(d + k) – (m + n) = d + k – m –n
Обратный переход от правой части к левой в похожих выражениях называют заключением в скобки.
Рассмотрим правило заключения в скобки:
Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобки все его члены с теми же знаками.
Например:
а – с – k – х = (а – с) + (-k – х)
А чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками.
Например:
а – с – k – х = (а – с) – (k + х)
Рассмотрим, как использовать эти правила для преобразования многочлена в стандартный вид. Пример:
Преобразуем разность многочленов в многочлен стандартного вида
( 5а– 4х + 15) – (10а + 13х – 14) = 5а- 4х + 15 – 10а – 13х + 14 = -5а – 17х + 29
Для выполнения задания, сначала будем использовать правило раскрытия скобок при нахождении разности многочленов. А затем приведём полученный многочлен к стандартному виду.
Итак, сегодня мы получили представление о том, как найти сумму и разность многочленов и, используя правило раскрытия скобок, приводить многочлен к стандартному виду.
Задание на сумму и разность многочленов.
Выполним следующее задание по теме: «Сумма и разность многочленов».
Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна 9х – 4.
Решение:
Данное задание можно выполнить следующим образом.
Назовем неизвестный многочлен у, тогда можно составить следующее выражение, исходя из условия.
у + (3х + 1) = 9х -4
Найдём отсюда у
у = (9х – 4) – (3х + 1)
Раскроем скобки по правилу раскрытия скобок.
у = 9х – 4 – 3х + 1
Приведём многочлен к стандартному виду.
у = 6х – 3
Это и есть тот многочлен, который удовлетворяет условию задания.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Приведите многочлен к стандартному виду (аt2 – 5t2) – (10хt – 4t2) + (5хt + 11аtt).
Решение: Для решения задания, вспомним правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Если знак «+», то скобки можно опустить, не меняя знак, а если перед скобкой знак «–», то скобки можно опустить, меняя знак каждого слагаемого в скобках. Далее приведём к стандартному виду полученный многочлен, выделив в нём подобные члены.
(аt2 – 5t2) – (10хt – 4t2) + (5хt + 11аtt) = аt2 – 5t2 – 10хt + 4t2 + 5хt +11аt2 = 12аt2 – t2 – 5хt.
Ответ: 12аt2 – t2 – 5хt
2. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:
3x4 – 12x3 – 3x2 + 5x – 14
Варианты ответов:
- (3x4 – 12x3 – 3x2) + (5x – 14)
- (3x4 – 12x3) – (3x2 + 5x – 14)
- (3x4 – 12x3) – (3x2 – 5x + 14)
Решение:
При выполнении задания можно сначала проанализировать ответы. По условию выражение должно быть составлено в виде разности двучлена и трехчлена. Поэтому первый ответ не подходит, т. к. в нём представлена сумма.
Ответы два и три очень похожи. Для нахождения верного ответа, заключим в скобки исходное выражение, как в ответах 2 и 3. Т. к. мы найдем разность, то по правилу заключения в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками. Поэтому правильный ответ №3.
3x4 – 12x3 – 3x2 + 5x – 14 = (3x4 – 12x3) – (3x2 – 5x + 14)
Ответ: (3x4 – 12x3) – (3x2 – 5x + 14).
Александр Мельник
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Сумма многочленов
Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.
Пример 1
Сложим многочлены ${3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5$ и ${6b}^6-{ab}^5+{3a}^5$
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:
[left({3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5right)+({6b}^6-{ab}^5+{3a}^5)]
Раскроем скобки:
[{3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6-{ab}^5+{3a}^5]
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
[{2ab}^5+ {12b}^6+{16a}^5]
Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.
Однако при сложении в некоторых случаях мы можем получить одночлен.
Пример 2
Сложим многочлены ${3ab}^5- {6b}^6+{13a}^5$ и ${6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5$
Запишем эти многочлены как сумму:
[left({3ab}^5- {6b}^6+{13a}^5right)+({6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5)]
Раскроем скобки:
[{3ab}^5- {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5]
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
[{4ab}^5]
Получили одночлен.
Разность многочленов
Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример.
Пример 3
Вычтем из многочлена ${3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5$ многочлен ${6b}^6-{ab}^5+{3a}^5$.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:
[left({3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5right)-({6b}^6-{ab}^5+{3a}^5)]
Раскроем скобки:
Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.
[{3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5-{6b}^6+{ab}^5-{3a}^5]
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
[{4ab}^5+{10a}^5]
Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.
Однако при вычитании одного многочлена из другого в некоторых случаях мы можем получить одночлен.
Пример 4
Вычтем из многочлена ${3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5$ многочлен ${1{3a}^5-6b}^6+3{ab}^5$.
Запишем эти многочлены как разность:
[left({3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5right)-(1{3a}^5+-{6b}^6+3{ab}^5)]
Раскроем скобки:
[{3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6-3{ab}^5-1{3a}^5]
Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
[{12b}^6]
Получили одночлен.
«Сумма и разность многочленов» 👇
Примеры задач на сложение и вычитание многочленов
Пример 5
Упростить следующие выражения:
а) $left(x^2-45x+12right)+left(8x^2-12xright)-(16x^2-2x)$
б) $left(a^2-a-3right)-left(a^2+4right)-(2a-7)$
в) $left(6ab-2a^2right)-left(3ab+4a^2+1right)-(-ab-2a^2-1)$
г) $-left(2xy^2-xy+yright)+3xy^2-4y-(5xy-xy^2)$
д) $left({8m}^3-3m^2right)-(7+{8m}^3-2m^2)$
Решение:
а) $left(x^2-45x+12right)+left(8x^2-12xright)-(16x^2-2x)$
Для начала раскроем скобки:
[x^2-45x+12+8x^2-12x-16x^2+2x]
Теперь приведем подобные слагаемые, получим:
[{-7x}^2-55x+12]
б) $left(a^2-a-3right)-left(a^2+4right)-(2a-7)$
Раскроем скобки:
[a^2-a-3-a^2-4-2a+7]
Приведем подобные слагаемые, получим:
[-3a]
в) $left(6ab-2a^2right)-left(3ab+4a^2+1right)-(-ab-2a^2-1)$
Раскроем скобки:
[6ab-2a^2-3ab-4a^2-1+ab+2a^2+1]
Приведем подобные слагаемые, получим:
[4ab-4a^2]
г) $-left(2xy^2-xy+yright)+3xy^2-4y-(5xy-xy^2)$
Раскроем скобки:
[-2xy^2+xy-y+3xy^2-4y-5xy+xy^2]
Приведем подобные слагаемые, получим:
[2xy^2-4xy-5y]
д) $left({8m}^3-3m^2right)-(7+{8m}^3-2m^2)$
Раскроем скобки:
[{8m}^3-3m^2-7-{8m}^3+2m^2]
Приведем подобные слагаемые, получим:
[-m^2-7]
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Алгебра
- Сложение и вычитание многочленов
Советуем посмотреть:
Введение в алгебру
Линейное уравнение с одной переменной
Решение задач с помощью уравнений
Тождественно равные выражения. Тождества
Степень с натуральным показателем
Свойства степени с натуральным показателем
Одночлены
Многочлены
Умножение одночлена на многочлен
Умножение многочлена на многочлен
Разложение многочленов на множители
Формулы сокращенного умножения
Функции
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Алгебра
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Номер 309,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 310,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 320,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 322,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 324,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 330,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 333,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 336,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1152,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 10,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 204,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Сложение и вычитание многочленов
- Сложение многочленов
- Вычитание многочленов
В результате сложения многочленов, так же, как и в результате вычитания одного многочлена из другого, всегда получится многочлен.
Сложение многочленов
Чтобы сложить два многочлена, надо составить их сумму, раскрыть скобки и, если это возможно, упростить получившееся выражение, сделав приведение подобных членов.
Пример 1. Найдите сумму многочленов 4xy – 2nz5 и -0,7nz5.
Решение: Сначала составим сумму многочленов:
(4xy – 2nz5) + (-0,7nz5).
Теперь нам нужно раскрыть скобки, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:
(4xy – 2nz5) + (-0,7nz5) = 4xy – 2nz5 – 0,7nz5.
Попробуем упростить получившееся выражения с помощью приведения подобных членов:
4xy – 2nz5 – 0,7nz5 = 4xy – 2,7nz5.
Суммой данных многочленов является многочлен 4xy – 2,7nz5.
Пример 2. Найдите многочлен, равный сумме многочленов:
5a2 – 7ax + 3x2 и 2a2 – 4ax – 8x2.
Решение:
(5a2 – 7ax + 3x2) + (2a2 – 4ax – 8x2) = 5a2 – 7ax + 3x2 + 2a2 – 4ax – 8x2 = 7a2 – 11ax – 5x2.
Суммой данных многочленов является многочлен 7a2 – 11ax – 5x2.
Из данных примеров можно сделать вывод, что сложить два многочлена – это значит представить их сумму в виде многочлена стандартного вида.
Вычитание многочленов
Чтобы вычесть один многочлен из другого, надо составить их разность, раскрыть скобки и, если это возможно, упростить получившееся выражение, сделав приведение подобных членов.
Пример. Найдите разность многочленов
5a2 – 7ax + 3x2 и 2a2 – 4ax – 8x2.
Решение: Сначала составим разность многочленов:
(5a2 – 7ax + 3x2) – (2a2 – 4ax – 8x2).
Раскроем скобки, следуя правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак –
(минус). Правила раскрытия скобок вы можете посмотреть тут.
(5a2 – 7ax + 3x2) – (2a2 – 4ax – 8x2) = 5a2 – 7ax + 3x2 – 2a2 + 4ax + 8x2.
Теперь посмотрим, можем ли мы упростить выражение с помощью приведения подобных членов:
5a2 – 7ax + 3x2 – 2a2 + 4ax + 8x2 = 3a2 – 3ax + 11x2.
Разностью данных многочленов является многочлен 3a2 – 3ax + 11x2.
Из данного примера можно сделать вывод, что вычесть один многочлен из другого – это значит представить их разность в виде многочлена стандартного вида.
Алгоритмы сложения и вычитания многочленов
Чтобы сложить два многочлена , достаточно между ними поставить знак «+». Аналогично складывают три и больше многочленов.
Чтобы найти разность двух многочленов , нужно второй многочлен заключить в круглые скобки, поставить перед ним знак «-» и раскрыть скобки.
Аналогично вычитают три и больше многочлена.
Сумма и разность произвольных многочленов – также многочлены.
О правилах раскрытия скобок – см. §4 данного справочника.
Внимание!
Не забудьте поменять знаки при вычитании многочленов!
Неправильно: (a+b)-(c+d) ≠ a+b-c+d
Правильно: (a+b)-(c+d) = a+b-c-d
Чтобы не делать ошибок, используйте скобки при вычитании и раскрывайте скобки по правилам.
Примеры
Пример 1. Найдите сумму и разность многочленов:
а) $ 9x^3-7x^2+8 и 5x^2+x-2$
Сумма:
$ 9x^3-7x^2+8+5x^2+x-2 = 9x^3+(-7+5) x^2+x+(8-2)=9x^3-2x^2+x+6 $
Разность:
$ 9x^3-7x^2+8-(5x^2+x-2) = 9x^3-7x^2+8-5x^2-x+2 = $
$ = 9x^3+(-7-5) x^2-x+(8+2) = 9x^3-12x^2-x+10 $
б) $-frac{3}{5} xy+xy^2-frac{1}{6} и 1 frac{2}{3} xy-xy^2+1 $
Сумма:
$-frac{3}{5} xy+xy^2-frac{1}{6}+ 1 frac{2}{3} xy-xy^2+1 = (-frac{3}{5}+1 frac{2}{3})xy+0 cdot xy^2+(- frac{1}{6}+1)=$
$ =(1+frac{10-9}{15})xy+frac{5}{6} = 1 frac{1}{15} xy+ frac{5}{6} $
Разность:
$ -frac{3}{5} xy+xy^2-frac{1}{6}- (1 frac{2}{3} xy-xy^2+1) = -frac{3}{5} xy+xy^2-frac{1}{6}- 1frac{2}{3} xy+xy^2-1 = $
$ = (-frac{3}{5}-1 frac{2}{3})xy+(1+1)xy^2+(-frac{1}{6} -1) = (-1-frac{9+10}{15})xy+2xy^2-1 frac{1}{6} = $
$ =-2 frac{4}{15} xy+2xy^2-1 frac{1}{6} $
Пример 2. Вычислите значение выражения, если x = -5
а) $ 16x^4-x^3-(15x^4-x^3+1) = 16x^4-x^3-15x^4+x^3-1 = x^4-1 $
Подставляем: $ (-5)^4-1 = 625-1 = 624 $
б) $ 3x^3-2x^2+x-8-(x^3-2x^2+x) = 3x^3-2x^2+x-8-x^3+2x^2-x = 2x^3-8 $
Подставляем: $ 2 cdot (-5)^3-8 = 2 cdot (-125)-8 = -258 $
Пример 3. При каком значении x значение трёхчлена $ 2x^2+5x-3$ больше значения двучлена $2x^2+1$ на 4?
По условию: $ (2x^2+5x-3 )-(2x^2+1) = 4 $
$ 2x^2+5x-3-2x^2-1 = 4 $
5x-4 = 4
5x = 8
$ x = frac{8}{5} = 1,6 $
Ответ: 1,6
Пример 4. Какой многочлен нужно сложить с многочленом $ 2x^2+x-16 $, чтобы получить $x^3-x^2+2$?
Обозначим неизвестный многочлен P(x). По условию:
$ 2x^2+x-16+P(x) = x^3-x^2+2 $
$ P(x) = x^3-x^2+2-(2x^2+x-16) = x^3-x^2+2-2x^2-x+16 = x^3-3x^2-x+18 $
Ответ: $ x^3-3x^2-x+18 $
