Как найти разность арифметической прогрессии а10

Данный калькулятор предназначен для нахождения шага или разности арифметической прогрессии онлайн.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен сумме предыдущего числа и определенного фиксированного числа. Это неизменное число называется разностью арифметической прогрессии. Другими словами, разность (шаг) арифметической прогрессии – разность между последующим и предыдущим членом.

Если разность арифметической прогрессии положительная, то такую прогрессию называют возрастающей, если же разность отрицательная, то имеет место убывающая арифметическая прогрессия.

Разность арифметической прогрессии можно вычислить по следующим формулам

где a_i и a_j элементы прогрессии

где S_n сумма n первых элементов прогрессии, a₁ – первый элемент прогрессии.

Заполните ячейки калькулятора соответствующими значениями, чтобы найти разность арифметической прогрессии онлайн.

На этой странице находится ответ на вопрос A10 = – 10 , a 16 = – 19 найти разность прогрессии?, из категории
Алгебра, соответствующий программе для 5 – 9 классов. Чтобы посмотреть
другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов
подберите похожие вопросы и ответы в категории Алгебра. Ответ, полностью
соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого
интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе.
Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не
только просмотреть, но и прокомментировать.

На этой странице вы узнаете

• Как правильно расставить шары для бильярда в начале игры? 
• Как Карл Гаусс удивил своего учителя по математике?

Считаем ли мы овец перед сном, добавляем по монетке в копилку или достаем сухарик из упаковки — каждый раз мы интуитивно применяем законы математики, которые рассмотрим в этой статье.

Понятие арифметической прогрессии 

Арифметическая прогрессия является видом «Числовых последовательностей». 

У арифметической прогрессии есть особенность: каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. В последовательности 1, 2, 3, 4 и так далее — члены отличаются друг от друга на единицу. 

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и разности прогрессии. 

Разность прогрессии — то число, на которое отличаются члены прогрессии друг от друга. Разность прогрессии обозначается буквой d. 

Арифметическую прогрессию можно задать формулой. 

a_n+1 = a_n + d

Например, если мы хотим найти третий член арифметической прогрессии, то нужно воспользоваться формулой: a₃ = a₂ + d

Однако бывает, что известны только первый член прогрессии и ее разность. Как быть в этом случае?

Разберемся на примере. Допустим, мы читаем книгу. Количество прочитанных страниц может быть задано с помощью арифметической прогрессии, в которой разность прогрессии и первый ее член равны 1. 

Мы прочитали 10 страниц. Десятая страница будет десятым членом прогрессии. Это 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 страниц, если считать их по отдельности. 

Выделим первую страницу отдельно: 1 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 1 + 9 = 1 + 1 * 9 

Теперь заменим десятый член прогрессии, первый член прогрессии и ее разность на буквенные обозначения: a₁₀ = a₁ + 9 * d.

Заметим, что множитель перед d на один меньше, чем порядковый номер искомого члена прогрессии. Тогда получаем: a₁₀ = a₁ + (10 — 1) * d

Мы можем вывести формулу для n-го члена прогрессии. А выглядит она так. 

a_n = a₁ + d(n — 1)

Допустим, мы хотим купить джинсы. В магазине представлены три ценовых категорий, которые отличаются друг от друга на одинаковую сумму. Мы знаем, что самые дешевые джинсы стоят 1000 рублей, а самые дорогие 3000 рублей. Как найти, сколько стоят джинсы во второй ценовой категории?

Попробуем найти разность арифметической прогрессии. 

Джинсы во второй категории будут стоить 1000 + d, а чтобы найти стоимость третьей категории, нужно прибавить разность прогрессии ко второй категории. Получаем 1000 + d + d = 1000 + 2d.

Мы знаем, что самые дорогие джинсы стоят 3000 рублей. Получаем уравнение 1000 + 2d = 3000, откуда можем выразить разность прогрессии:

(d = frac{3000 — 1000}{2} = 1000)

Тогда джинсы во второй ценовой категории будут стоить 1000 + 1000 = 2000 рублей. 

Можно ли как-то найти это значение, не прибегая к таким большим рассуждениям? Для этого достаточно найти среднее арифметическое двух соседних членов. 

(a_n = frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2})

Докажем это. Если рассмотреть член а_n, то член до него будет равен a_{n — 1} = a_n — d, а член после него a_{n + 1} = a_n + d. Тогда их среднее арифметическое равно (frac{a_{n — 1} + a_{n+1}}{2} = frac{a_n — d + a_n + d}{2} = frac{2a_n}{2} = a_n). 

Проверим на нашей задаче. 

(a_2 = frac{a_1 + a_3}{2} = frac{1000 + 3000}{2} = frac{4000}{2} = 2000). Все верно. 

Чтобы найти разность прогрессии, достаточно вычесть из любого члена прогрессии предыдущий к нему. 

d = a_n+1 — a_n

Найдем сумму всех членов арифметической прогрессии. Разумеется, их можно сложить: a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n. Но тогда нужно вычислять все члены прогрессии, а их может быть очень много. 

В этом случае используется формула суммы арифметической прогрессии. Ее удобство в том, что используются только первый и последний член прогрессии. 

(S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n)

Немного преобразуем формулу: 

(S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n = frac{a_1 + a_1 + d(n — 1)}{2} * n = frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} * n) — это формула суммы членов арифметической прогрессии через первый член и ее разность. 

Решим небольшую задачу. Марина решила сделать картину из страз. По схеме у нее есть 15 рядов, в каждом из которых страз на три больше, чем в предыдущем. В первом ряду 6 страз. Сколько всего страз понадобится, чтобы выложить эти ряды?

Воспользуемся формулой арифметической прогрессии. Но прежде найдем, сколько страз в последнем, пятнадцатом ряду:

a₁₅ = 6 + 3 * (15 + 1) = 6 + 3 * 14 = 6 + 42 = 48

Тогда по формуле суммы арифметической прогрессии всего Марине понадобится: 

(S_{15} = frac{6 + 48}{2} * 15 = frac{54}{2} * 15 = 27 * 15 = 405) страз. 

Виды арифметических прогрессий

Существует всего три вида арифметической прогрессии. 

1. Возрастающая арифметическая прогрессия. 

Разность прогрессии — положительное число, то есть d > 0, а каждый следующий член прогрессии больше предыдущего. 

Прогрессия 2, 4, 6, 8 является возрастающей. 

2. Убывающая арифметическая прогрессия. 

Разность прогрессии — отрицательное число, то есть d < 0, а каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего. 

Примером убывающей арифметической прогрессии может служить 100, 95, 90, 85 и так далее.  

3. Стационарная арифметическая прогрессия. 

В этой арифметической прогрессии разность будет равна 0, то есть d = 0. Следовательно, члены прогрессии не будут отличаться друг от друга. 

Например, прогрессия 3, 3, 3, 3, 3 будет являться стационарной. 

Фактчек

• Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и разности прогрессии. 
• Разность арифметической прогрессии — это число, на которое отличаются члены прогрессии. 
• Чтобы найти n-ый член прогрессии, необходимо воспользоваться одной из трех формул: a_n+1 = a_n + d, a_n = a₁ + d(n — 1) или (a_n = frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}). 
• Чтобы найти разность прогрессии, достаточно из любого члена прогрессии вычесть предыдущий ему член прогрессии. 
• По формуле (S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n) можно найти сумму n членов прогрессии. 
• Арифметическая прогрессия может быть убывающей, возрастающей или стационарной. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какая прогрессия является арифметической?

1. 3, 7, 11, 15
2. 1, 1, 2, 3, 5
3. 2, 4, 8, 16
4. 1, 4, 16, 25

Задание 2. 
Первый член арифметической прогрессии равен 10, а ее разность равна -5. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии. 

1. Семнадцатого члена такой арифметической прогрессии не существует
2. 0
3. −70
4. −75 

Задание 3. 
Пятый член арифметической прогрессии равен 16, а седьмой член равен 20. Найдите шестой член арифметической прогрессии. 

1. 2
2. 18
3. 17,5
4. Невозможно найти шестой член арифметической прогрессии. 

Задание 4. 
Каждый день Миша катается на велосипеде, причем с каждым разом увеличивает расстояние на 2 км. В первый день он проехал 3 км. Сколько всего км проедет Миша за пять дней?

1. 14
2. 17
3. 11
4. 35

Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 2 4. — 4