Как найти разность арифметической прогрессии решение - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Многие слышали об арифметической прогрессии, но не все хорошо представляют, что это такое. В данной статье дадим соответствующее определение, а также рассмотрим вопрос, как найти разность прогрессии арифметической, и приведем ряд примеров.

Математическое определение

Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:

a_{n + 1}-a_n = d

Здесь n означает номер элемента a_n в последовательности, а число d – это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).

О чем говорит знание разности d? О том, как “далеко” друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a₄, a10, но, как правило, используют первое число, то есть a₁.

Формулы для определения элементов прогрессии

В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.

Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:

a_n = a₁ + (n – 1) * d

Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.

Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.

Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:

a_n = a₁ + (n – 1) * d;

a_m = a₁ + (m – 1) * d

Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:

a_n = a₁ + (n – 1) * d;

a_n– a_m = (n – 1) * d – (m – 1) * d = d * (n – m)

Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a₁). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:

d = (a_n– a_m) / (n – m), где n > m

Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между “старшим” и “младшим” членами, то есть n > m (“старший” – имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более “младшего” элемента).

Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.

Далее в статье приведем примеры решения задач на вычисления d и на восстановление числового ряда алгебраической прогрессии. Здесь же хотелось бы отметить один важный момент.

В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.

Рекомендуется по указанным причинам самостоятельно решать подобные задачи. Кроме того, они не являются сложными.

Решение без использования формул

Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.

Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз – восьмой, наконец, третий раз – девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:

3 + 5 + 5 + 5 = 18

Таким образом, неизвестная разность d = 5.

Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.

Задача, подобная предыдущей

Теперь решим похожую задачу, но изменим входные данные. Итак, следует найти разность прогрессии арифметической, если а3 = 2, а9 = 19.

Конечно, можно прибегнуть снова к методу решения “в лоб”. Но поскольку даны элементы ряда, которые стоят относительно далеко друг от друга, такой метод станет не совсем удобным. А вот использование полученной формулы быстро приведет нас к ответу:

d = (а₉ – а₃) / (9 – 3) = (19 – 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Здесь мы округлили конечное число. Насколько это округление привело к ошибке, можно судить, проверив полученный результат:

a₉ = a₃+ 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Этот результат отличается всего на 0,1 % от значения, данного в условии. Поэтому использованное округление до сотых можно считать успешным выбором.

Задачи на применение формулы для an члена

Рассмотрим классический пример задачи на определение неизвестной d: найти разность прогрессии арифметической, если а1 = 12, а5 = 40.

Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a₁, тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для a_n члена. В данном случае имеем:

a₅ = a₁ + d * (5 – 1) => d = (a₅ – a₁) / 4 = (40 – 12) / 4 = 7

Мы получили точное число при делении, поэтому нет смысла проверять точность рассчитанного результата, как это было сделано в предыдущем пункте.

Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.

Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:

a₈ = a₁ + d * (8 – 1) => d = (a₈ – a₁) / 7 = (37 – 16) / 7 = 3

Что еще следует знать о прогрессии арифметической

Помимо задач на нахождение неизвестной разности или отдельных элементов, часто необходимо решать проблемы суммы первых членов последовательности. Рассмотрение этих задач выходит за рамки темы статьи, тем не менее для полноты информации приведем общую формулу для суммы n чисел ряда:

∑ⁿ_{i = 1}(a_i) = n * (a₁+ a_n) / 2

Источник

Математическое определение

Вам будет интересно:Как называли извозчика в старину? Извозчики на Руси: как назывались и что делали?

an + 1-an = d

Здесь n означает номер элемента an в последовательности, а число d – это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).

О чем говорит знание разности d? О том, как “далеко” друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a4, a10, но, как правило, используют первое число, то есть a1.

Вам будет интересно:Система Поливанова: особенности и история кириллизации японского языка

Формулы для определения элементов прогрессии

Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:

an = a1 + (n – 1) * d

an = a1 + (n – 1) * d;

am = a1 + (m – 1) * d

an = a1 + (n – 1) * d;

an – am = (n – 1) * d – (m – 1) * d = d * (n – m)

Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a1). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:

d = (an – am) / (n – m), где n > m

Решение без использования формул

3 + 5 + 5 + 5 = 18

Таким образом, неизвестная разность d = 5.

Задача, подобная предыдущей

d = (а9 – а3) / (9 – 3) = (19 – 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

a9 = a3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Задачи на применение формулы для an члена

Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a1, тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для an члена. В данном случае имеем:

a5 = a1 + d * (5 – 1) => d = (a5 – a1) / 4 = (40 – 12) / 4 = 7

Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.

Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:

a8 = a1 + d * (8 – 1) => d = (a8 – a1) / 7 = (37 – 16) / 7 = 3

Что еще следует знать о прогрессии арифметической

∑ni = 1(ai) = n * (a1 + an) / 2

Источник

Данный калькулятор предназначен для нахождения шага или разности арифметической прогрессии онлайн.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен сумме предыдущего числа и определенного фиксированного числа. Это неизменное число называется разностью арифметической прогрессии. Другими словами, разность (шаг) арифметической прогрессии – разность между последующим и предыдущим членом.

Если разность арифметической прогрессии положительная, то такую прогрессию называют возрастающей, если же разность отрицательная, то имеет место убывающая арифметическая прогрессия.

Разность арифметической прогрессии можно вычислить по следующим формулам

где a_i и a_j элементы прогрессии

где S_n сумма n первых элементов прогрессии, a₁ – первый элемент прогрессии.

Заполните ячейки калькулятора соответствующими значениями, чтобы найти разность арифметической прогрессии онлайн.

Источник

Определение

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.

-ый элемент арифметической прогрессии

Чтобы найти -ый элемент, нужно к элементу прибавить разность арифметической прогрессии.

$[a_n=a_{n-1}+d,]$

где — разность арифметической прогрессии, — -ый элемент арифметической прогрессии.

Выразим -ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.

$[a_{2}=a_{1}+d]$

$[a_{3}=a_{2}+d=a_1+d+d=a_1+2d]$

$[a_{4}=a_{3}+d=a_1+2d+d=a_1+3d]$

Получаем, что

Пример 1. Найти -ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен , а разность .

Решение.

$a_{10}=a_1+d(10-1)=2+0,5(10-1)=2+4,5=6,5.$

Ответ: .

Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен , а -ый — -ти.

Решение.

$[a_{10}=a_1+9d]$

Вычтем из второго уравнения первое: $a_{10}-a_5=a_1-a_1+9d-4d.$

$d=frac{a_{10}-a_5}{9-4}=frac{18-15}{5}=frac{3}{5}=0,6.$

Ответ: .

Сумма арифметической прогрессии

Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:

$[S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n;]$

$[S_n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}cdot n.]$

Докажем первую формулу.

$[S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+ldots+a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}]$

$[S_n=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+ldots+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}]$

Сложим почленно два последних равенства.

Получаем,

$[S_n+S_n=a_1+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+ldots +a_2+a_{n-1}+a_1+a_n]$

Так как, $a_k+a_{n-(k-1)}=a_1+d(k-1)+a_n-d(k-1)=a_1+a_n,$ то

Следовательно,

$[S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.]$

Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение.

Ответ: .

Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен , а разность арифметической прогрессии равна . Найдите сумму первых элементов данной арифметической прогрессии.

Решение.

$S_10=frac{2 cdot 15+2(10-1)}{2}cdot 10 =(30+18)cdot 5=48cdot 5=240.$

Ответ: .

Пример 5. Арине надо решить задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила задач, а в последний она запланировала решить задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.

Решение. Для решения задачи мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$[S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.]$

По условии задачи: Надо найти

$[270=frac{10+17}{2}cdot n;]$

$[270=frac{27}{2}cdot n;]$

Ответ:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

$[a_{n}=frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}]$

Доказательство основывается на том, что

$[a_{n-k}+a_{n+k}=a_n-d cdot k+a_n+d cdot k=2 cdot a_n.]$

Пример 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

Найдите .

Решение.

$x=frac{16+10}{2}=13$

Ответ: .

Источник

Арифметическая прогрессия

Понятие арифметической прогрессии
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Свойства арифметической прогрессии
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Примеры

п.1. Понятие арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой a_n, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена a_n-1 и некоторого постоянного числа d: $$ mathrm{ a_n=a_{n-1}+d, ninmathbb{N}, nleq 2 } $$ Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Например:
1. Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, … является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

2. Последовательность 12, 9, 6, 3, 0, –3, –6, … является арифметической прогрессией с разностью d = –3.

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: a_n = a_n-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

a₂ = a₁ + d, $qquad$ a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d,…

Получаем:

a_n = a₁ + (n – 1)d

Например:
Найдём a₇, если известно, что a₁ = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a₇ = a₁ + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

a_n = dn + (a₁ – d)

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a₁ – d.

При d > 0 прогрессия линейно возрастает

При d < 0 прогрессия линейно убывает

Следствие: любую арифметическую прогрессию можно задать формулой: $$ mathrm{ a_n=dn+b, ninmathbb{N}, binmathbb{R}, dinmathbb{R}} $$ где d, b – некоторые числа.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{a_nright} – text{арифметическая прогрессия} Leftrightarrow a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ a_n=frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}, ninmathbb{N}, ninmathbb{N}, n geq k+1 } $$

Например:
Найдём a₉, если известно, что a₇ = 10, a₁₁ = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: (mathrm{a_9=frac{a_7+a_{11}}{2}=frac{10+15}{2}=12,5})

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если {a_n} – арифметическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство сумм членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow a_m+a_k=a_p+a_q } $$ Следствие: сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ a_1 + a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=… } $$

Например:
Найдём a₆, если известно, что a₂ = 5, a₄ = 10, a₈ = 20
По равенству сумм индексов a₂ + a₈ = a₄ + a₆
Откуда a₆ = a₂ + a₈ – a₄ = 5 + 20 – 10 = 15

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна произведению среднего арифметического её крайних членов и количества членов: $$mathrm{ S_n=frac{a_1+a_n}{2}n} $$

Если учесть, что a_n = a₁ + d(n – 1), получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}n} $$

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +…+ 100
В этом случае a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
(mathrm{ S_{100}=frac{1+100}{2}cdot 100=5050})

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a₇ = 10, a₁₅ = 42
Найдем разность данных членов: a₁₅ – a₇ = (a₁ + 14d) – (a₁ + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a₇ = a₁ + 6d = a₁ + 6 · 4 = 10 ⇒ a₁ = 10 – 24 = –14
Ответ: a₁ = –14, d = 4

б) a₁₀ = 95, S₁₀ = 500
Сумма прогрессии: (mathrm{S_{10}=frac{a_1+a_{10}}{2}cdot 10Rightarrow 500=(a_1+95)cdot 5Rightarrow a_1+95=100Rightarrow a_1=5})
10-й член: (mathrm{a_{10}=a_1+9dRightarrow95=5+9dRightarrow 9d=90Rightarrow d=10})
Ответ: a₁ = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму (mathrm{underbrace{1+3+5+…}_{100 text{слагаемых}}})
По условию a₁ = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
(mathrm{S_{100}=frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=frac{2cdot 1+2cdot 99}{2}cdot 100=10000})
Формула n-го члена данной прогрессии: (mathrm{a_n=a_1+d(n-1)=dn+(a_1-d)=2n-1})
100-й член (mathrm{a_{100}=2cdot 100-1=199})
Ответ: S₁₀₀ = 10000, a₁₀₀ = 199

Пример 3*. Сколько членов арифметической прогрессии 10, 16, 22, … находится между числами 110 и 345?
По условию a₁ = 10, d = 16 – 10 = 6
Формула n-го члена данной прогрессии a_n = a₁ + d(n – 1) = dn + (a₁ – d) = 6n + 4
Заданные числа могут быть членами данной прогрессии или находиться по «соседству» с ними. Подставим их в формулу для n-го члена: begin{gather*} mathrm{ 6k+4=110Rightarrow 6k=106Rightarrow k=17frac23Rightarrow 17lt klt 18 }\ mathrm{ 6m+4=345Rightarrow 6m=341Rightarrow m=56frac56Rightarrow 56lt mlt 57 } end{gather*} Ближайший сосед справа к 100 – это a₁₈ = 6 · 18 + 4 = 112, k = 18
Ближайший сосед слева к 345 – это a₅₆ = 6 · 56 + 4 = 340, m = 56

Количество членов прогрессии в заданном интервале:

n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39

Ответ: 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a₁₁ + a₁₁ = a₁ + a₂₁
Откуда a₁ + a₂₁ = 2a₁₁ = 14
Искомая сумма: (mathrm{S_{21}=frac{a_1+a_{21}}{2}cdot 21=frac{14}{2}cdot 21=147})
Ответ: 147

Пример 5. Величины углов выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии.
Сумма углов выпуклого пятиугольника S₅ = 180° · (5 – 2) = 540°
Если углы образуют арифметическую прогрессию, то: $$ mathrm{ S_5=frac{a_1+a_5}{2}cdot 5=540^circRightarrow a_1+a_5=216^circ } $$ По свойству суммы индексов: a₃ + a₃ = a₁ + a₅
Откуда: (mathrm{a_3=frac{a_1+a_5}{2}=108^circ})
Ответ: 108°

Пример 6. При каких значениях x числа x² – 11, 2x² + 29, x⁴ – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

a₂ – a₁ = a₃ – a₂
(2x² + 29) – (x² – 11) = (x⁴ – 139) – (2x² + 29)
x⁴ – 3x² – 208 = 0 ⇒ (x² + 13)(x² – 16) = 0 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4

Ответ: x = ±4

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d < 0 и: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{a_1+a_2+a_3=9} & \ mathrm{a_1^2+a_2^2+a_3^2=99} & end{array}right. $$ Используем свойство прогрессии: (mathrm{a_2=frac{a_1+a_3}{2}}). Получаем из первого уравнения:

3a₂ = 9 ⇒ a_2 = 3

Тогда a₁ = a₂ – d = 3 – d, a₃ = a₂ + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

(3 – d)² + 3² + (3 + d)² = 99
9 – 6d + d² + 9 + 9 + 6d + d² = 99
2d² = 72 ⇒ d² = 36 ⇒ d = ±6

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a₁ = a₂ – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a₇ = a₁ + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27

Источник

Математическое определение

Формулы для определения элементов прогрессии

Решение без использования формул

Задача, подобная предыдущей

Задачи на применение формулы для an члена

Что еще следует знать о прогрессии арифметической

Математическое определение

Формулы для определения элементов прогрессии

Решение без использования формул

Задача, подобная предыдущей

Задачи на применение формулы для an члена

Что еще следует знать о прогрессии арифметической

Определение

Сумма арифметической прогрессии

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия

п.1. Понятие арифметической прогрессии

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

п.3. Свойства арифметической прогрессии

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

п.5. Примеры

Вам также может понравиться

Почему масло стреляет на сковороде как исправить

Как найти стабильную удаленную работу

Тэо это как составить

Добавить комментарий Отменить ответ