Как найти разность дробей с разным знаменателем

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

58-28

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5−2=3. Получается, что 58-28=38.

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде ab-cb=a-cb.  

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 8321 при выделении целой части получится 8321=32021.

Теперь просто вычтем 3 из него: 32021-3=2021.

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1. После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065-1362=10651-1362=1065·621·62-1362=6603062-1362==66030-1362=6601762=106446

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид —

  или

  ,

• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например,

   или

   .

2. Алгебраические — состоят из переменных, например,

   . В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например

и

.

Неправильной — такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например,

. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается —

.

Основные свойства дробей:

1. Дробь не имеет значения, если знаменатель равен нулю.

2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

3. Равными называют

   и

   в том случае, если a × d = b × c.

4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.

Прежде, чем зафиксировать ответ, важно проверить возможность сокращения.

Рассмотрим это правило на примере:

Вычитание дробей с разными знаменателями

Как вычитать дроби с разными знаменателями? Для этого приводим их к общему знаменателю и находим разность числителей.

Рассмотрим пример, в котором нужно найти разность

и

.

Как решаем:

• Первым делом нам нужно привести дроби к общему знаменателю. Для определения единого знаменателя понадобится найти наименьшее общее кратное — НОК.

• Чтобы найти НОК, раскладываем знаменатели 9 и 15 на простые множители:

  9 = 3 × 3

  15 = 3 × 5

• Сначала выпишем множители из первого разложения: 3 × 3. Теперь добавим множитель из второго разложения, которого не было в первом — это 5. Перемножаем и получаем НОК:

  НОК (9, 15) = 3 × 3 × 5 = 45

• Найдем дополнительные множители. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

  45 : 9 = 5

  45 : 15 = 3

• Полученные числа умножим на соответствующие дроби:

  и
  

• Перейдем к вычитанию заданных чисел:

  

Ответ:

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа

Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.

Разберем для наглядности пример разности 3 и

.

Как решаем:

• Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:

  .

• Вычтем одну дробь из другой:

Ответ: две целых одна седьмая.

Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби

Для вычитания натурального числа из обыкновенной дроби нужно последовать тому же алгоритму, что и в предыдущем примере. А именно: перевести натуральное число в вид дроби, привести все к единому знаменателю, найти разность.

Рассмотрим пример разности

и 3.

Как решаем:

А еще можно вот так:

• Представим

  в виде смешанной дроби, для этого разделим делитель на делимое:

• Произведем вычитание:

Математика

5 класс

Урок № 59

Вычитание дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– вычитание дробей с одинаковыми знаменателями;

– вычитание дробей с разными знаменателями;

– проверка вычитания сложением.

Тезаурус

Разность двух дробей – это дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Разность двух дробей с общим знаменателем – это дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 272.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. / П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009, стр.142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. / И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вспомним, что такое разность дробей. Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Будем пока рассматривать случаи, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого.

Какую часть корзинки осталось набрать?

Давайте подумаем, как построить ход решения и какими арифметическими действиями его сопроводить?

Так как Таня ходила за ягодами два раза, то найти, сколько всего ягод она набрала, нам поможет арифметическое действие – сложение:

Вопрос в задаче – какую часть корзинки осталось набрать?

Значит, нам нужно из объёма всей корзинки, вычесть ту часть, которую Таня уже набрала.

Сделаем проверку:

Сумма разности и вычитаемого действительно равна уменьшаемому.

Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем.

Например, найдём разность семи восьмых и трёх пятых. Знаменатели дробей взаимно простые числа, поэтому общий знаменатель равен их произведению, т. е. сорока.

Не забываем умножить дополнительные множители и на числители. В итоге получаем дробь одиннадцать сороковых.

Решим задачу. Две сестры помогли маме помыть посуду.

Младшая – ?

Найдём разность всей вымытой посуды и той части, которую вымыла старшая дочь.

Итак, чтобы найти разность двух дробей, нужно определить равные или разные у них знаменатели, а затем использовать то правило вычитания дробей, которое подходит в конкретном случае.

Вычитание обыкновенных дробей

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. На ветке сидели воробьи. Когда четверть воробьёв улетела, их осталось 9. Сколько воробьёв было на ветке?

По рисунку видно, что в трёх равных оставшихся частях 9 воробьёв, значит в одной части:

1. 9 : 3 = 3 – воробья в одной части.

Одна часть воробьёв улетела, значит, улетело 3.

Тогда:

1. 3 + 9 = 12 – воробьёв было всего на ветке.

Или можно ответить на вопрос так: в одной части 3 воробья, а всего таких частей 4, значит:

1. 3 ∙ 4 = 12 – воробьёв было всего на ветке.

Ответ: 12 воробьёв сидело на ветке.

№2. Выберите выражения, в которых в результате вычитания получается единица.

Решение: найдём результаты каждого выражения.

Мы видим, что только в двух выражениях в результате получилась единица. Это и есть верные ответы.

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают
числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

Пример.

В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями
записывают так:

Вычитание правильной дроби из единицы

Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде
неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

Знаменатель вычитаемой дроби равен 7, значит, единицу представляют как неправильную
дробь

и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число
в виде смешанного числа.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби,
знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью

и вместо 3 записали смешанное
число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части
вычитают дробную часть.

При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

Первый случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части
уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого
(что вычитаем).

Пример.

Второй случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей разные знаменатели.

В этом случае вначале нужно

привести к общему знаменателю
дробные части, а затем
выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Пример.

Третий случай вычитания смешанных чисел

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и
во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

3 < 14

Поэтому, вспомнив
вычитание правильной дроби из целого числа, займём единицу из целой части и представим
эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным 18.

Сложим полученную неправильную дробь

и дробную часть
уменьшаемого и получим:

Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания
смешанных чисел.

• Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части
  вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу. Эту единицу
  превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
• Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
• Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Содержание:

• Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• Вычитание дробей с разными знаменателями
• Вычитание смешанных дробей

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от
числителя первой дроби отнять числитель второй, а
знаменатель оставить без изменений.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы вычислить дроби с разными знаменателями, нужно вначале привести их к наименьшему
общему знаменателю, а затем отнимать их как дроби с одинаковым знаменателем.

Вычитание смешанных дробей

Чтобы вычесть одно смешанное число из другого смешанного числа, надо, если это возможно, от целого отнять целое, а от дроби отнять дробь.

В случае, когда дробь вычитаемого больше, чем дробь уменьшаемого, поступают следующим образом: берут одну единицу
(целое) из целого числа уменьшаемого, записывают его как неправильную дробь, числитель и знаменатель которой равны между
собой и равны знаменателю дробной части, и прибавляют к дробной части, далее отнимают две смешанные дроби, как описано выше.

Аналогичным образом поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.

Замечание. Производить операции со
смешанными числами можно и иначе: записать смешанное число в виде
неправильной дроби и уже работать далее как с
обыкновенными дробями.

Читать следующую тему: умножение дробей.