Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.
Содержание
- 1 Формулы для квадратов
- 1.1 Разность квадратов
- 1.1.1 Доказательство
- 1.1 Разность квадратов
- 2 Формулы для кубов
- 3 Формулы для четвёртой степени
- 4 Формулы для n-й степени
- 5 В комплексных числах
- 6 Некоторые свойства формул
- 7 См. также
- 8 Примечания
- 9 Литература
Формулы для квадратов[править | править код]
- – квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
- (квадрат суммы трех чисел (многочленов))
Разность квадратов[править | править код]
Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле[1]:
Доказательство[править | править код]
Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:
Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:
и остаётся
Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.
Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.
Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:
- .
Чтобы это было равно , мы должны иметь
для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.
Формулы для кубов[править | править код]
- – куб суммы (разности) двух чисел
- – сумма (разность) кубов
- – куб суммы
Формулы для четвёртой степени[править | править код]
- (выводится из )
Формулы для n-й степени[править | править код]
- , где
- , где
В комплексных числах[править | править код]
Для произвольной чётной степени:
- , где пробегает все n возможных значений
Для произвольной нечётной степени:
- , где пробегает все n возможных значений
Некоторые свойства формул[править | править код]
- , где
- , где
См. также[править | править код]
- Многочлен
- Бином Ньютона
- Факторизация многочленов
Примечания[править | править код]
- ↑ Разность квадратов (рус.). Математика для всех.
Литература[править | править код]
- М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.
Алгебра
7 класс
Урок № 30
Сумма кубов. Разность кубов
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Формулы сокращённого умножения.
- Сумма кубов, разность кубов.
- Разложение многочлена на множители.
- Тождественные преобразования.
- Вычисление значения числовых выражений.
Тезаурус:
Формулы сокращённого умножения.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a3 + b3= (a + b)(a 2– ab + b2)
a3 – b3= (a – b)(a2 + ab + b2)
Применение:
- упрощение умножения многочленов;
- разложение многочлена на множители;
- вычисление значения числового выражения;
- тождественные преобразования.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Формула суммы кубов.
Рассмотрим произведение;
(a + b)(a2 – ab + b2).
Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 +b3 = a3 + b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Равенство называют формулой суммы кубов.
Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».
Формула разности кубов.
Аналогично докажем формулу разности кубов.
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3= a3 – b3
Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».
a3 – b3= (a – b)(a2+ ab + b2)
Выражения (a2+ ab + b2) и (a2– ab + b2) называют неполным квадратом суммы или разности.
Формула задаёт разложение многочленов:
a3 + b3 и a3 – b3 на два множителя:
(a + b)(a2 – a b+ b2) и (a – b)(a2+ ab + b2).
Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1.
Выполните умножение многочленов:
- ( x + 3)(x2 –3x +9) = x3 + 33 = x3 + 27.
- (2x – 3y)(4x2 +6xy + 9y2) = (2x)3 – (3y)3 = 8x3 –27y3.
Задача 2.
Разложите многочлен на множители:
- x3 – 8 y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y) (x2 +2xy + 4y2 )
- 64 a3 – 27c3 = (4a)3 – (3c)3 = (4a – 3c)(16a2 +12 ac + 9c2).
Задача 3.
Упростите выражение:
(x +2)(x2 – 2x +4) – x(x–3)(x+3).
Решение:
x3 + 23 – x(x2 – 9) = x3 + 8 – x3 + 9x = 8 + 9x.
Ответ: 8 + 9x.
Задача 4.
Доказать, что выражение 1233 + 273 кратно 50.
Используем формулу:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2),
получим: (123 + 27)(1232 –123 · 27 + 272) =150 · (1232 –123 · 27 + 272).
Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.
В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.
- Формула разности кубов
- Доказательство формулы
- Примеры задач
Формула разности кубов
Разность кубов чисел/выражений равняется произведению их разности на неполный квадрат их суммы.
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Полный квадрат суммы выглядит следующим образом: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. В нашем случае во второй скобке напротив второго слагаемого нет множителя 2, поэтому выражение является неполным.
Формула верна и в обратную сторону:
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Примечание: a3 – b3 ≠ (a – b)3
Доказательство формулы
Достаточно просто умножить скобку (a – b) на (a2 + ab + b2), чтобы убедиться в том, что выражение верно, т.е. пойти от обратного:
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3.
Примеры задач
Задание 1
Представьте в виде произведения множителей выражение: (7x)3 – 53.
Решение
(7x)3 – 53 = (7x – 5)((7x)2 + 7x ⋅ 5 + 52) = (7x – 5)(49x2 + 35x + 25)
Задание 2
Представьте выражение 512x3 – 27y3 в виде разности кубов и разложите его на множители.
Решение
512x3 – 27y3 = ((8x)3 – (3y)3) = (8x – 3y)((8x)2 + 8x ⋅ 3y + (3y)2) = (8x – 3y)(64x2 + 24xy + 9y2)
Формула суммы кубов
Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):
$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$
и найдём из неё сумму двух кубов:
$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$
$$= (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) =$$
$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$
Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.
Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $
Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:
$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$
Формула разности кубов
Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):
$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$
и найдём из неё разность двух кубов:
$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$
$$ = (a-b)((a-b)^2+3ab) = (a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab) = $$
$$ = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.
Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$
Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:
$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Примеры
Пример 1. Разложите на множители:
а) $ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2 )$
б) $ m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2 ) $
в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $
г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$
д) $ frac{1}{8} k^6-8 = ( frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(frac{1}{2} k^2-2)(frac{1}{4} k^4+k^2+4) $
е) $27+ frac{m^3}{125} = 3^3+(frac{m}{5})^3 = (3+frac{m}{5})(9-frac{3m}{5}+frac{m^2}{25})$
Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8
$$ frac{19^3-11^3}{8} = frac{(19-11)(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = frac{8(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = $$
$ = 19 ^2+19cdot11+11^2 $
Что и требовалось доказать.
Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).
Рассмотрим куб со стороной (a+b), в противоположные углы которого вписаны кубы со сторонами a и b.
Объемы кубов: $V_{a+b} = (a+b)^3, V_a = a^3, V_b = b^3$
Объём фигуры, закрашенной оранжевым: $V_{ор} = a(a+b)^2-V_a = a(a^2+2ab+b^2 )-a^3$ $= 2a^2 b+ab^2$
Объём фигуры, закрашенной синим: $V_{син} = b(a+b)^2-V_b = b(a^2+2ab+b^2 )-b^3$ $= a^2 b+2ab^2$
Общий объём:
$$ V_{a+b} = V_a+V_b+V_{ор}+V_{син} $$
$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$
$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$
$$ = (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) = $$
$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$
Мы получили формулу суммы кубов.
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Запомните!
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Примеры:
- 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
Квадрат суммы
Запомните!
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе
плюс квадрат второго числа.
(a + b)2 =
a2 + 2ab + b2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 1122.
- Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1 - Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
1122 = (100 + 12)2 - Воспользуемся формулой квадрата суммы:
1122 = (100 + 12)2 = 1002 +
2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
Предостережение!
(a + b)2 не
равно (a2 + b2)
Квадрат разности
Запомните!
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе
плюс квадрат второго числа.
(a − b)2 =
a2 − 2ab + b2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a − b)2 = (b − a)2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b)2 =
a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2
Куб суммы
Запомните!
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа
на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b)3 =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт «a3».
- Два многочлена посередине имеют коэффициенты
3. - Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
(a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле
идёт понижение
степени «a» и увеличение степени
«b». В этом можно убедиться:
(a + b)3 =
a3b0 +
3a2b1 + 3a1b2 +
b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Предостережение!
(a + b)3
не равно a3 + b3
Куб разности
Запомните!
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное
произведение квадрата первого числа на второе
плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b)3 =
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a3 »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.
(a − b)3 =
+ a3 −
3a2b
+ 3ab2 −
b3
=
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Запомните!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a3 + b3 =
(a + b)(a2 − ab + b2)
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
- Первая скобка — сумма двух чисел.
- Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a2− ab + b2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Запомните!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a3 − b3 =
(a − b)(a2 + ab + b2)
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Примеры:
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
15 ноября 2015 в 10:23
Кристина Костенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Кристина Костенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
(x+y+z)3=
0
Спасибо
Ответить
12 июня 2016 в 1:59
Ответ для Кристина Костенко
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Перемножить тупо лень?
0
Спасибо
Ответить
6 сентября 2015 в 19:02
Артур Хорішко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Артур Хорішко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
(3ч-4)в квадрате=0,25
0
Спасибо
Ответить
2 сентября 2016 в 15:41
Ответ для Артур Хорішко
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
полагаю, что имеется ввиду пример:
(3 · x ?4)2=0,25
Применим формулу «разность квадратов» и решим квадратное уравнение, найдя корни.
9 · x2 ? 2 · 3 · 4 · x + 16 = 0,25
9x2-24x+15,75=0
D=9
x1=1,5
x2=1
Произведем проверку подставив в исходное выражение каждый из получившихся корней:
1) (3 · 1,5 ?4)2=0,25
0,52=0,25
2) (3 ·
?4)2=0,25
-0,52=0,25
0
Спасибо
Ответить