Как найти разность кубов формула

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

  • 1 Формулы для квадратов
    • 1.1 Разность квадратов
      • 1.1.1 Доказательство
  • 2 Формулы для кубов
  • 3 Формулы для четвёртой степени
  • 4 Формулы для n-й степени
  • 5 В комплексных числах
  • 6 Некоторые свойства формул
  • 7 См. также
  • 8 Примечания
  • 9 Литература

Формулы для квадратов[править | править код]

  • (apm b)^{2}=a^{2}pm 2ab+b^{2} – квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
  • left(a+b+cright)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Разность квадратов[править | править код]

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле[1]:

{displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}

Доказательство[править | править код]

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

{displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

{displaystyle ba-ab=0}

и остаётся

{displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

{displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}.

Чтобы это было равно {displaystyle a^{2}-b^{2}}, мы должны иметь

{displaystyle ba-ab=0}

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов[править | править код]

  • (apm b)^{3}=a^{3}pm 3a^{2}b+3ab^{2}pm b^{3} – куб суммы (разности) двух чисел
  • a^3pm b^3=(apm b)(a^2mp ab+b^2) – сумма (разность) кубов
  • left(a+b+cright)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc – куб суммы

Формулы для четвёртой степени[править | править код]

  • (apm b)^{4}=a^{4}pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}pm 4ab^{3}+b^{4}
  • {displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из a^{2}-b^{2})
  • {displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{sqrt {2}}ab+b^{2})}

Формулы для n-й степени[править | править код]

  • {displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
  • {displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}, где nin N
  • {displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
  • {displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}, где nin N

В комплексных числах[править | править код]

  • {displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
  • {displaystyle a^{3}pm b^{3}=left(apm bright)left(a+{frac {mp 1+{sqrt {3}}i}{2}}bright)left(a+{frac {mp 1-{sqrt {3}}i}{2}}bright)}
  • {displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)}
  • {displaystyle a^{4}+b^{4}=left(a+{frac {1+i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {-1+i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {-1-i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {1-i}{sqrt {2}}}bright)}

Для произвольной чётной степени:

  • {displaystyle a^{n}pm b^{n}=prod (a+{sqrt[{n}]{mp 1}}b)}, где {displaystyle {sqrt[{n}]{mp 1}}} пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

  • {displaystyle a^{n}pm b^{n}=prod (a+{sqrt[{n}]{pm 1}}b)}, где {displaystyle {sqrt[{n}]{pm 1}}} пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул[править | править код]

  • {displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}, где nin N
  • {displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}, где nin N

См. также[править | править код]

  • Многочлен
  • Бином Ньютона
  • Факторизация многочленов

Примечания[править | править код]

  1. Разность квадратов (рус.). Математика для всех.

Литература[править | править код]

  • М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

Алгебра

7 класс

Урок № 30

Сумма кубов. Разность кубов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Формулы сокращённого умножения.
  • Сумма кубов, разность кубов.
  • Разложение многочлена на множители.
  • Тождественные преобразования.
  • Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

a3 + b3= (a + b)(a 2– ab + b2)

a3 – b3= (a – b)(a2 + ab + b2)

Применение:

  • упрощение умножения многочленов;
  • разложение многочлена на множители;
  • вычисление значения числового выражения;
  • тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Формула суммы кубов.

Рассмотрим произведение;

(a + b)(a2 – ab + b2).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 +b3 = a3 + b3

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Равенство называют формулой суммы кубов.

Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Формула разности кубов.

Аналогично докажем формулу разности кубов.

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3= a3 – b3

Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

a3 b3= (a b)(a2+ ab + b2)

Выражения (a2+ ab + b2) и (a2– ab + b2) называют неполным квадратом суммы или разности.

Формула задаёт разложение многочленов:

a3 + b3 и a3 – b3 на два множителя:

(a + b)(a2 – a b+ b2) и (a – b)(a2+ ab + b2).

Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Выполните умножение многочленов:

  1. ( x + 3)(x2 –3x +9) = x3 + 33 = x3 + 27.
  2. (2x – 3y)(4x2 +6xy + 9y2) = (2x)3 – (3y)3 = 8x3 –27y3.

Задача 2.

Разложите многочлен на множители:

  1. x3 – 8 y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y) (x2 +2xy + 4y2 )
  2. 64 a3 – 27c3 = (4a)3 – (3c)3 = (4a – 3c)(16a2 +12 ac + 9c2).

Задача 3.

Упростите выражение:

(x +2)(x2 – 2x +4) – x(x–3)(x+3).

Решение:

x3 + 23 – x(x2 – 9) = x3 + 8 – x3 + 9x = 8 + 9x.

Ответ: 8 + 9x.

Задача 4.

Доказать, что выражение 1233 + 273 кратно 50.

Используем формулу:

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2),

получим: (123 + 27)(1232 123 · 27 + 272) =150 · (1232 123 · 27 + 272).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

  • Формула разности кубов

  • Доказательство формулы

  • Примеры задач

Формула разности кубов

Разность кубов чисел/выражений равняется произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Полный квадрат суммы выглядит следующим образом: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. В нашем случае во второй скобке напротив второго слагаемого нет множителя 2, поэтому выражение является неполным.

Формула верна и в обратную сторону:

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

Примечание: a3 – b3 ≠ (a – b)3

Доказательство формулы

Достаточно просто умножить скобку (a – b) на (a2 + ab + b2), чтобы убедиться в том, что выражение верно, т.е. пойти от обратного:

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3.

Примеры задач

Задание 1
Представьте в виде произведения множителей выражение: (7x)3 – 53.

Решение
(7x)3 – 53 = (7x – 5)((7x)2 + 7x ⋅ 5 + 52) = (7x – 5)(49x2 + 35x + 25)

Задание 2
Представьте выражение 512x3 – 27y3 в виде разности кубов и разложите его на множители.

Решение
512x3 – 27y3 = ((8x)3 – (3y)3) = (8x – 3y)((8x)2 + 8x ⋅ 3y + (3y)2) = (8x – 3y)(64x2 + 24xy + 9y2)

Формула суммы кубов

Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):

$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$

и найдём из неё сумму двух кубов:

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

$$= (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) =$$

$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$

Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.

Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $

Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:

$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$

Формула разности кубов

Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):

$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$

и найдём из неё разность двух кубов:

$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$

$$ = (a-b)((a-b)^2+3ab) = (a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab) = $$

$$ = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$

Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.

Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$

Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:

$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

а) $ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2 )$

б) $ m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2 ) $

в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $

г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$

д) $ frac{1}{8} k^6-8 = ( frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(frac{1}{2} k^2-2)(frac{1}{4} k^4+k^2+4) $

е) $27+ frac{m^3}{125} = 3^3+(frac{m}{5})^3 = (3+frac{m}{5})(9-frac{3m}{5}+frac{m^2}{25})$

Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8

$$ frac{19^3-11^3}{8} = frac{(19-11)(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = frac{8(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = $$

$ = 19 ^2+19cdot11+11^2 $

Что и требовалось доказать.

Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).

Пример 3*

Рассмотрим куб со стороной (a+b), в противоположные углы которого вписаны кубы со сторонами a и b.
Объемы кубов: $V_{a+b} = (a+b)^3, V_a = a^3, V_b = b^3$
Объём фигуры, закрашенной оранжевым: $V_{ор} = a(a+b)^2-V_a = a(a^2+2ab+b^2 )-a^3$ $= 2a^2 b+ab^2$
Объём фигуры, закрашенной синим: $V_{син} = b(a+b)^2-V_b = b(a^2+2ab+b^2 )-b^3$ $= a^2 b+2ab^2$

Общий объём:

$$ V_{a+b} = V_a+V_b+V_{ор}+V_{син} $$

$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

$$ = (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) = $$

$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$

Мы получили формулу суммы кубов.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Запомните!
!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Примеры:

  • 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
  • 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!
!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе
плюс квадрат второго числа.

(a + b)2 =
a2 + 2ab + b2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел
, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 1122.

  • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.


    112 = 100 + 1
  • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.

    1122 = (100 + 12)2
  • Воспользуемся формулой квадрата суммы:

    1122 = (100 + 12)2 = 1002 +
    2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

  • (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2

Предостережение!

(a + b)2 не
равно (a2 + b2)

Квадрат разности

Запомните!
!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе
плюс квадрат второго числа.

(a b)2 =
a2 2ab + b2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)2 = (b − a)2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)2 =
a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2

Куб суммы

Запомните!
!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа
на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b)3 =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

  • Выучите, что в начале идёт «a3».
  • Два многочлена посередине имеют коэффициенты
    3.
  • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
    (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле
    идёт понижение
    степени «a» и увеличение степени
    «b». В этом можно убедиться:

    (a + b)3 =
    a3b0 +
    3a2b1 + 3a1b2 +
    b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Предостережение!

(a + b)3
не равно a3 + b3

Куб разности

Запомните!
!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное
произведение квадрата первого числа на второе
плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b)3 =
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«».
Перед первым членом «a3 »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «», затем опять «+» и т.д.


(a − b)3 =
+ a3
3a2b
+ 3ab2
b3
=
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!
!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a3 + b3 =
(a + b)(a2 ab + b2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

  • Первая скобка — сумма двух чисел.
  • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
    (a2− ab + b2)

    Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Запомните!
!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a3 − b3 =
(a − b)(a2 + ab + b2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

  • a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
  • (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

15 ноября 2015 в 10:23

Кристина Костенко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Кристина Костенко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(x+y+z)3=

0
Спасибоthanks
Ответить

12 июня 2016 в 1:59
Ответ для Кристина Костенко

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


Перемножить тупо лень?

0
Спасибоthanks
Ответить

6 сентября 2015 в 19:02

Артур Хорішко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Артур Хорішко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(3ч-4)в квадрате=0,25

0
Спасибоthanks
Ответить

2 сентября 2016 в 15:41
Ответ для Артур Хорішко

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197


полагаю, что имеется ввиду пример:
(3 · x ?4)2=0,25
Применим формулу «разность квадратов» и решим квадратное уравнение, найдя корни.
9 · x2 ? 2 · 3 · 4 · x + 16 = 0,25
9x2-24x+15,75=0
D=9
x1=1,5
x2=1 

Произведем проверку подставив в исходное выражение каждый из получившихся корней:
1) (3 · 1,5 ?4)2=0,25
0,52=0,25
2) (3 ·

  ?4)2=0,25
-0,52=0,25

0
Спасибоthanks
Ответить


Добавить комментарий