Как найти разность кубов формула

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов[править | править код]

• – квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
• (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Разность квадратов[править | править код]

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле^[1]:

Доказательство[править | править код]

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

и остаётся

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

.

Чтобы это было равно , мы должны иметь

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов[править | править код]

• – куб суммы (разности) двух чисел
• – сумма (разность) кубов
• – куб суммы

Формулы для четвёртой степени[править | править код]

• 
• (выводится из )
• 

Формулы для n-й степени[править | править код]

• 
• , где
• 
• , где

В комплексных числах[править | править код]

• 
• 
• 
• 

Для произвольной чётной степени:

• , где пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• , где пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул[править | править код]

• , где
• , где

См. также[править | править код]

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

Алгебра

7 класс

Урок № 30

Сумма кубов. Разность кубов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Сумма кубов, разность кубов.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² – b²

a³ + b³= (a + b)(a ²– ab + b²)

a³ – b³= (a – b)(a² + ab + b²)

Применение:

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Формула суммы кубов.

Рассмотрим произведение;

(a + b)(a² – ab + b²).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

(a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + ba² – ab² +b³ = a³ + b³

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Равенство называют формулой суммы кубов.

Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Формула разности кубов.

Аналогично докажем формулу разности кубов.

(a – b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – ba² – ab² – b³= a³ – b³

Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

a³ – b³= (a – b)(a²+ ab + b²)

Выражения (a²+ ab + b²) и (a²– ab + b²) называют неполным квадратом суммы или разности.

Формула задаёт разложение многочленов:

a³ + b³ и a³ – b³ на два множителя:

(a + b)(a² – a b+ b²) и (a – b)(a²+ ab + b²).

Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Выполните умножение многочленов:

1. ( x + 3)(x² –3x +9) = x³ + 3³ = x³ + 27.
2. (2x – 3y)(4x² +6xy + 9y²) = (2x)³ – (3y)³ = 8x³ –27y³.

Задача 2.

Разложите многочлен на множители:

1. x³ – 8 y³ = x³ – (2y)³ = (x – 2y) (x² +2xy + 4y² )
2. 64 a³ – 27c³ = (4a)³ – (3c)³ = (4a – 3c)(16a² +12 ac + 9c²).

Задача 3.

Упростите выражение:

(x +2)(x² – 2x +4) – x(x–3)(x+3).

Решение:

x³ + 2³ – x(x² – 9) = x³ + 8 – x³ + 9x = 8 + 9x.

Ответ: 8 + 9x.

Задача 4.

Доказать, что выражение 123³ + 27³ кратно 50.

Используем формулу:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²),

получим: (123 + 27)(123² –123 · 27 + 27²) =150 · (123² –123 · 27 + 27²).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

• Формула разности кубов

• Доказательство формулы

• Примеры задач

Формула разности кубов

Разность кубов чисел/выражений равняется произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Полный квадрат суммы выглядит следующим образом: (a + b)² = a² + 2ab + b². В нашем случае во второй скобке напротив второго слагаемого нет множителя 2, поэтому выражение является неполным.

Формула верна и в обратную сторону:

(a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³

Примечание: a³ – b³ ≠ (a – b)³

Доказательство формулы

Достаточно просто умножить скобку (a – b) на (a² + ab + b²), чтобы убедиться в том, что выражение верно, т.е. пойти от обратного:

(a – b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³.

Примеры задач

Задание 1
Представьте в виде произведения множителей выражение: (7x)³ – 5³.

Решение
(7x)³ – 5³ = (7x – 5)((7x)² + 7x ⋅ 5 + 5²) = (7x – 5)(49x² + 35x + 25)

Задание 2
Представьте выражение 512x³ – 27y³ в виде разности кубов и разложите его на множители.

Решение
512x³ – 27y³ = ((8x)³ – (3y)³) = (8x – 3y)((8x)² + 8x ⋅ 3y + (3y)²) = (8x – 3y)(64x² + 24xy + 9y²)

Формула суммы кубов

Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):

$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$

и найдём из неё сумму двух кубов:

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

$$= (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) =$$

$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$

Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.

Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $

Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:

$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$

Формула разности кубов

Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):

$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$

и найдём из неё разность двух кубов:

$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$

$$ = (a-b)((a-b)^2+3ab) = (a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab) = $$

$$ = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$

Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.

Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$

Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:

$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

а) $ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2 )$

б) $ m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2 ) $

в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $

г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$

д) $ frac{1}{8} k^6-8 = ( frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(frac{1}{2} k^2-2)(frac{1}{4} k^4+k^2+4) $

е) $27+ frac{m^3}{125} = 3^3+(frac{m}{5})^3 = (3+frac{m}{5})(9-frac{3m}{5}+frac{m^2}{25})$

Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8

$$ frac{19^3-11^3}{8} = frac{(19-11)(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = frac{8(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = $$

$ = 19 ^2+19cdot11+11^2 $

Что и требовалось доказать.

Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).

Общий объём:

$$ V_{a+b} = V_a+V_b+V_{ор}+V_{син} $$

$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

$$ = (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) = $$

$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$

Мы получили формулу суммы кубов.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Примеры:

• 15² − 2² = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a² − 4b²с² = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  
  
  112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  
  112² = (100 + 12)²
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  
  112² = (100 + 12)² = 100² +
  2 · 100 · 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²

Предостережение!

(a + b)² не
равно (a² + b²)

Квадрат разности

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)² = (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)² =
a² −2ab + b² = b² − 2ab + a² = (b − a)²

Куб суммы

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a³».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты
  3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
  (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле
  идёт понижение
  степени «a» и увеличение степени
  «b». В этом можно убедиться:
  
  (a + b)³ =
  a³b⁰ +
  3a²b¹ + 3a¹b² +
  b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

(a + b)³
не равно a³ + b³

Куб разности

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a³ »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)³ =
+ a³ −
3a²b
+ 3ab² −
b³
=
a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a²− ab + b²)
  
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

• a² + 2a + 1 = (a + 1)²
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a²c² − 16b²

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---