Как найти разность множеств онлайн

Алгебра множеств — это математический аппарат, позволяющий выполнять над множественными объектами операции сложения и вычитания. Разность двух множеств — это алгебраическая операция, результатом которой является совокупность элементов, содержащее все элементы первого аргумента, не входящие во второй.

Теория множеств

Теорию множеств разработал немецкий математик Георг Кантор. Перевод математического аппарата на теоретико-множественный язык произвел переворот в современной науке. Ключевая мысль, на которой базируется канторовская теория, состоит в элементарном понятии пересчета предметов при помощи взаимно-однозначного соответствия.

Представьте себе античного пастуха, который не имеет представления о числах и счете. Как он может узнать, сколько у него овец и все ли они вернулись с выгула? Ответ элементарный и в тоже время исключительно математический. Выпуская стадо из загона, пастух постепенно откладывает столько камней, сколько овец вышло пастись. Вечером он загоняет стадо и возвращает камни на место. Если несколько животных потерялось, то он сразу это увидит по тому, сколько камней осталось не переложенными. Этот примитивный прием счета предметов лег в основу канторовской теории: взаимно-однозначное соответствие элементов множества камней и множества овец.

Понятие множества

Множество — элементарный математический объект, не сводимый к определению через другие термины. В классическом определении под множеством определяют совокупность неупорядоченных элементов, мыслимых как одно целое. Примерами реальных множеств выступают множества людей на планете, набор домов на улице или совокупность звезд на небе.

Каждое множество имеет подмножество, то есть набор элементов с общей характеристикой, которые принадлежат конкретной совокупности. В примере выше подмножествами множества людей будет совокупность жителей Европы, подмножеством для набора домов станут только кирпичные дома, а подмножеством всех существующих звезд выступят звезды галактики Млечный путь.

Георг Кантор пришел к выводу, что любой математический объект можно представить в виде определенного множества. Например, число 13 — это одноэлементное множество A = {13}, которое принадлежит надмножеству натуральных чисел. Как и с числами, с множествами легко выполнять алгебраические операции, то есть складывать и вычитать. Согласно аксиомам теории множеств, результат операции над совокупностями элементов должен также приводить к множеству. Пустое множество — нуль алгебры множеств, представляющий собой пустой набор элементов. Если из A вычесть A, то мы получим пустое множество.

Мощность множества

Мощность множества — это количество объектов, которое оно в себя включает. Число 13 как одноэлементное множество характеризуется мощностью, равной единице, а мощность пустого множества равна нулю. Множества можно сравнивать по мощности. Равномощными называются объекты, между элементами которых можно установить взаимно-однозначное отношение. Как и говорилось выше, множество камней и множество овец — это два равномощных математических объекта и именно с ними легко оперировать в прикладных задачах. Примером равномощных объектов в реальности можно привести базы данных. К примеру, множество студентов и множества их оценок по разным предметам в базе данных университета.

Разность множеств

Разность двух множеств A и B — это третьей множество C, каждый элемент которого принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Математическим языком разность двух совокупностей записывается как A/B, а читается как «A без B». Такое прочтение позволяет интуитивно понять результат операции вычитания множеств.

Наша программа позволяет определить разность двух множеств разной мощности. Калькулятор работает с неупорядоченными объектами, поэтому порядковый номер элементов для него не важен. Для решения задач на разность множеств вам потребуется ввести в ячейку калькулятора совокупность чисел через запятую. Вы можете оперировать как целыми числами, так и десятичные дробями. Так как числа перечисляются через запятую, отделять целую часть от дробной требуется точкой. Например, множество рациональных чисел запишем как Q = {0,25; 0,75; 1,75}.

Пример работы калькулятора

Простая задача

В учебнике по теории множеств для чайников приведена простая задача. Есть множество X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и множество Y = {2, 4, 6, 7}. Требуется найти разность этих двух элементов. Вспомним, что разность X/Yчитается как X без Y, следовательно, решением данной задачи будет множество Z, содержащее элементы совокупности X за вычетом элементов Y. Общие для X и Y члены в данном случае — это 2, 4, 6. Объект X без этих элементов выглядит как {1, 3, 5}. Это и будет наше множество Z.

Заключение

Теория множеств находит широкое применение в прикладных науках. Используйте наш калькулятор для решения примеров по данной теме или для проверки результатов ваших вычислений.