Как найти разность неравенств

1. известно, что (1,2<x<1,3) и (17<y<18).

Оценить (x+y).

Содержание:

Неравенства

Существует много задач, при решении которых нужно сравнить некоторые числа или величины, найти значения переменной, удовлетворяющие некоторому неравенству.

В этом параграфе мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенств с переменной, как решать неравенства и их системы.

Числовые неравенства

Вы знаете, что записи

являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа.

Известно, что 25 > 17. Найдем разность левой и правой частей этого неравенства:

25 – 17 = 8 > 0 — разность положительна.

Найдем разность левой и правой частей неравенства 7 10:

7 – 10 = -3 0 — разность отрицательна.

Из равенства 15=15 имеем:

15-15 = 0 — разность равна нулю.

Следовательно, существует зависимость между соотношениями «>», «», «=» и значением разности левой и правой частей соответствующего неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение.

Определение:

• Число а больше числа b, если разность а – b — положительное число;
• Число а меньше числа b, если разность а – b — отрицательное число;
• Число а равно числу b, если разность а – b равна нулю.

Так как разность чисел а и b может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равна нулю, то для любых чисел а и b выполняется одно и только одно из трех соотношений: а > b, a b или а = b.

Используя данное определение, сравним числа и . Для этого найдем их разность:

Разность данных чисел — число положительное, поэтому > .

Следовательно, для сравнения двух чисел а и b достаточно образовать разность а – b и выяснить, является она положительным числом, отрицательным числом или нулем. Если а – b > 0, то а > b; если а – b 0, то а b; если а – b = 0, то а = b.

На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит правее точки, изображающей меньшее число (см. рис. 1).

Рис. 1

В неравенствах используют знаки: «>» — меньше, «>» — больше, «≤ »— меньше или равно (не больше), «≥» — больше или равно (не меньше).

Неравенства, образованные при помощи знаков «» или «>», называют строгими неравенствами, а неравенства, образованные при помощи знаков «≤» или «≥», называют нестрогими.

Из определения соотношений «больше», «меньше», «равно» следует, что а ≥ b, если a – b ≥ 0; a ≤ b, если а – b ≤ 0.

Числовые неравенства могут быть верными и неверными. Например, 5 8; 1,2 ≥ -1 — верные неравенства, 21 > 30 — неверное неравенство.

Доказательство неравенств

Докажем, что при любом значении а справедливо неравенство

(Еще говорят: докажем неравенство а(а – 4) (а – 2)².)

Для этого образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

а(а – 4) – (a – 2)² = а² – 4а – а² + 4а – 4 = -4.

Так как разность а(а – 4) – (а – 2)² отрицательна при любом значении а, то неравенство а(а – 4) (а – 2)² справедливо также при любом значении а.

Пример:

Доказать неравенство, если .

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Разность мы представили в виде дроби, числитель которой неотрицателен, так как он является квадратом некоторого числа, а знаменатель положителен как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и разность, неотрицательны: . Следовательно, неравенство справедливо при любых положительных числах а и b.

Если в доказанном неравенстве принять, что b = 1, то получим верное неравенство:

Итак, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше 2.

Пример:

Доказать неравенство

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Следовательно,

Для положительных чисел а и b число называют их средним геометрическим (или средним пропорциональным). Неравенство

справедливо и при любых положительных числах а и b. 11оэтому среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Пример:

Доказать, что неравенство 10a² -6а + 2ab + b² + 2 > 0 справедливо при любых действительных числах а и b.

Решение:

Так как (3а – 1 )² ≥ 0, (а + b)² ≥ 0 при любых действительных числах а и b, то (За – 1)² + (а + b)² + 1 > 0.

Примечание. При доказательстве неравенства при помощи определения соотношений «больше», «меньше» или «равно» разность левой и правой части неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности.

Выражение, полученное после преобразований, принимает неотрицательные значения, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п.

Выражение принимает отрицательные значения, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п.

Свойства числовых неравенств

Свойство 1 | Если а > b, то b а.

Доказательство: Если а > b, то а – b — положительное число. Противоположное ему число – (а – b) = b – а является отрицательным. Так как b – а 0, то b а.

Свойство 2 | Если а b и b с, то а с.

Доказательство: По условию а b и b с, поэтому a – b и b – с — отрицательные числа. Сумма двух отрицательных чисел является отрицательным числом, поэтому (а – b) + (b – с) = а – b + b – с = а – с 0. Так как а – с 0, то а с.

Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунке 3.

Рис.3

Аналогично можно доказать утверждение: если а > b и b > с, то а > с.

Свойство 3 | Если к обеим частям верною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а b и с — любое число. Докажем, что а + с b + с. Рассмотрим разность (а + с) – (b + с) = а + с – b – с = а – b. Так как а b, то а – b 0. Следовательно, (а + с) – (b+ с) 0, поэтому а + с b + с.

Аналогично проводится доказательство для случая а > b и любого числа с.

Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный. то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а b + с — верное неравенство. Прибавим к обоим ее частям число -с, получим верное неравенство а + (-с) b + с + (-с) или а – с b. Итак, если перенести слагаемое с в левую часть неравенства, изменив его знак на противоположный, то получим верное неравенство.

Свойство 4 | Если обе части верною неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а b. Докажем, что ас bc, если с — положительное число, и ас > bc. если с — отрицательное число. Рассмотрим разность:

ас -bc = c(a – b).

По условию а b, поэтому а – b 0. F.c л и с > 0, то и произведении с(а – b) первый множитель положительный, а второй — отрицательный. Поэтому с(а – b) 0. В данном случае ас – bc 0, откуда ас bc.

Если c 0, то произведение с(a – b) положительно как произведение двух отрицательных множителей. Тогда и ас – bc > 0, откуда ас > bс.

Аналогично проводится доказательство, если имеем неравенство а > b.

Справедливой является и часть свойства, касающаяся деления обеих частей неравенства на некоторое число, так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.

Следствие. Если a и b — положительные числа и а b, то •

Доказательство: Разделим обе части неравенства а b на положительное число ab. Получим:

Это следствие можно использовать при сравнении чисел, обратных данным. Например, поскольку .

Замечание. Двойное неравенство а b с можно записать в виде двух неравенств: а b и b с. Если а b и b с, то для любого числа m справедливы неравенства: а + m b + m и b + m с + m, откуда а + m b + m с + m.

Итак, если ко всем частям верного двойною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Аналогично можно обосновать утверждения:

Пример:

Известно, что –1 x 3. Оцените значение выражения:

а) х — 3; б) -х; в) 2х – 5.

Решение:

а) Прибавим ко всем частям неравенства -1 х 3 число -3, получим:

—1 — 3 x – 3 3 — 3, откуда -4 х – 3 0.

б) Умножим все части неравенства -1 x 3 на -1, получим:

1 > -х > -3, или -3 -х 1.

в) Умножим все части заданного неравенства на 2, получим: -2 2х 6. Теперь прибавим ко всем частям полученного неравенства число -5, получим:

-2 – 5 2х – 5 6 – 5, откуда -7 2х – 5 1.

Пример:

Доказать, что а³ + 1 ≥ а² + а, если а ≥ -1.

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её:

Значения выражения (а – 1)² являются неотрицательными. По условию а ≥ -1, прибавим к обеим частям этого неравенства число 1, получим: а + 1 ≥ 0. Поэтому

(а – 1)² (а + 1) ≥ 0.

Следовательно, если а ≥ -1, то неравенство а³ + 1 ≥ а² + а является верным.

Сложение и умножение числовых неравенств. Оценка значений выражений

Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами.

Сложение числовых неравенств

Возьмем верные числовые неравенства с одинаковыми знаками: -3 4 и 5 7. Сложим эти неравенства почленно. Получим верное неравенство того же знака, а именно: -3 + 5 4 + 7 или 2 11. В общем случае справедливо такое свойство:

Свойство 5 | Если почленно сложить верные неравенства одного знака, сохранив их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а b и с d. Нужно доказать, что а + с b + d. Чтобы получить сумму а + с, прибавим к обеим частям первого неравенства число с, а чтобы получить сумму b + d, прибавим к обеим частям второго неравенства число b. Получим верные неравенства: а + с b + с, b + с b + d. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что а + с b + d.

Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, то а + с > b + d.

Умножение числовых неравенств

Возьмем верные неравенства: 7 > 2 и 5 > 3. Почленно перемножим их. Получим верное неравенство 7 • 5 > 2 • 3 или 35 > 6.

Почленно перемножим неравенства -3 1 и -4 6. Получим неверное неравенство 12 6.

В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем следующее свойство.

Свойство 4 | Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, сохранив при этом их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а b и с d, где a, b, c и d — положительные числа. Нужно доказать, что ас bd. Умножим обе части неравенства а b на положительное число с, а обе части неравенства c d — на положительное число b. Получим верные неравенства: ас be, be bd. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что ас bd.

Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, где а, b, с и d — положительные числа, то ас > bd.

Следствие. Если а b, а и b — положительные числа, n — натуральное число, то

При доказательстве следствия достаточно взять н неравенств а b и почленно их перемножить.

Оценка значений выражений

Рассмотрим пример.

Пример:

Дано: 11 x 14 и 1 у 2. Оценить: а) сумму х + у; б) разность х – у; в) произведение xy; г) частное .

Решение:

а) Оценим сумму х + у.

Применим к неравенствам 11 х и 1 у свойство о почленном сложении неравенств. Получим: 12 х + у. Применим это же свойство к неравенствам х 14 и у 2. Получим: х + у 16. Результат запишем в виде двойного неравенства 12 х + у 16.

Сокращенно эти преобразования записывают так:

Общая схема оценки суммы имеет такой вид:

б) Оценим разность х – у.

Зная, как оценивается сумма, представим разность х – у в виде суммы х + (-у).

Сначала оценим значение выражения -у. Умножив все части неравенства 1 у 2 на -1, получим: -1> –у > -2 или -2 –у -1. Согласно свойству о почленном сложении неравенств получим:

Общая схема оценки разности имеет такой вид:

в) Оценим произведение ху.

Поскольку 11 х 14 и 1 у 2, то х и у — положительные числа. Применим к неравенству 11 х и 1 у свойство о почленном умножении неравенств. Получим: 11 ху. Применим это же свойство к неравенствам х 14 и y 2. Получим: ху 28. Результат запишем в виде двойного неравенства 11 ху 28.

Сокращенно эти преобразования записывают гак:

Общая схема оценки произведения имеет такой вид:

г) Оценим частное .

Представим частное в виде произведения . Поскольку 1 у 2,

то или . Согласно свойству о почленном умножении неравенств получим:

то есть .

Общая схема оценки частного имеет такой вид:

Пример:

Доказать неравенство (m + n)(mn + l) ≥ 4mn, где m ≥ 0, n ≥ 0.

Решение:

Используем известное неравенство , где а ≥ 0, b ≥ 0.

Запишем это неравенство для чисел m и n, а потом — для чисел mn и 1. Получим два верных неравенства:

Умножим обе части каждого неравенства на 2:

Почленно перемножив эти неравенства, получим:

Примечание. При доказательстве неравенства из примера 1 мы использовали известное неравенство, доказанное ранее. Особенность использованного способа доказательства неравенств состоит в том, что:

1. записываем несколько неравенств, доказанных ранее;
2. перемножив (или сложив) эти неравенства, приходим к доказываемому неравенству.

Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки

Понятие о неравенстве с одной переменной и его решении

Рассмотрим неравенство 2х + 5 > 11. При одних значениях x данное неравенство превращается в верное числовое неравенство, при других — в неверное. Например, при х = 5 получим верное числовое неравенство 2 • 5 + 5 > 11; 15 > 11, а при х = 1 получим неверное числовое неравенство 2 • 1 + 5 > 11; 7 > 11.

Если нужно найти все значения х, при которых неравенство 2х + 5 > 11 является верным, то говорят, что нужно решить неравенство 2х + 5 > 11, содержащее одну переменную х.

При х = 5 неравенство 2х + 5 > 11 является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства или удовлетворяет данному неравенству.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, превращающее его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенство с одной переменной преимущественно имеет бесконечное множество решений. Так, решениями неравенства 2х + 5 > 11 являются числа

и т. п. Множества решений неравенства иногда можно записывать в виде числовых промежутков.

Числовые промежутки

Рассмотрим несколько примеров.

1) Неравенству -2 х 3 удовлетворяют все действительные числа больше -2 и меньше 3, то есть все действительные числа, лежащие на числовой прямой между числами -2 и 3. Множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству -2 х 3, называют числовым промежутком или просто промежутком и обозначают (-2; 3) (читают: «промежуток от -2 до 3»). На координатной прямой его изображают так:

Рис. 4

Промежуток заштриховывают, точки -2 и 3 изображают «пустыми» («выколотыми»).

Число 2,2 удовлетворяет двойному неравенству -2 х 3, а число 4 ему не удовлетворяет. Говорят, что число 2,2 принадлежит промежутку (-2; 3), а число 4 ему не принадлежит.

Рис. 5

2) Неравенству -2 х 3 удовлетворяют все действительные числа, которые лежат между числами -2 и 3 или равны числам -2 или 3. Множество таких чисел обозначают так: [-2; 3] (читают: «промежуток от -2 до 3, включая -2 и 3»). На координатной прямой его изображают так:

Рис. 6

3) Множества чисел, удовлетворяющих двойным неравенствам -2 ≤ х 3 и -2 х ≤ 3, обозначают соответственно [-2; 3) и (-2; 3] (читают: «промежуток от -2 до 3, включая -2» и «промежуток от -2 до 3, включая 3»). Эти промежутки изображают на координатной прямой так:

Рис. 7 а Рис. 7 б

4) Неравенству х >4 удовлетворяют все действительные числа больше 4. На координатной прямой чти числа изображают точками, лежащими справа от точки с координатой 4. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 4, изображают полупрямой, находящейся справа от точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; ).

*Рис. 8

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≥ 4, изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают [4; ) (читают: «промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4»),

Рис. 9

5) Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 8, записывают (; 8) и читают «промежуток от минус бесконечности до 8». Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≤ 8, записывают (; 8] и читают: «промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8». На координатной прямой эти числовые промежутки изображают гак:

Рис. 10 а

Рис. 10 б

6) Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так:

Объединение и пересечение числовых промежутков

Рассмотрим два промежутка: [-1; 4) и (2; 7).

Рис. 11

Промежуток [-1; 7) образуют все числа, принадлежащие промежутку [-1; 4) или промежутку (2: 7). Говорят, что промежуток [-1; 7) является объединением промежутков [-1;4) и (2; 7). Записывают: , где — знак объединения.

Определение: Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.

Промежуток (2; 4) образуют все общие числа из промежутков [-1; 4) и (2; 7), то есть все числа, принадлежащие каждому из промежутков [-1; 4) и (2; 7). Говорят, что промежуток (2; 4) является пересечением промежутков [-1; 4) и (2; 7). Записывают:, где — знак пересечения.

Определение: Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих каждому из этих промежутков.

Для тех, кто хочет знать больше.

Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки [-2; 1] и (3;4). Чисел, принадлежащих обоим этим промежуткам, пет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множество. Его обозначают символом. Записывают: . Объединением промежутков [-2; 1] и (3; 4) является множество , не являющееся числовым промежутком (оно «состоит» из двух промежутков).

Рис. 12

Для промежутков множество общих чисел содержит только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так: {1}. Записывают: . Легко найти, что .

Рис. 13

Пример:

Указать наименьшее и наибольшее действительные числа, принадлежащие промежутку:

Решение: а) ;

б) -2; наибольшего действительно числа, принадлежащего этому промежутку, нет. (Это следует из таких соображений. Предположим, что m — наибольшее число из промежутка [-2; 3). Так как m 3, то можно рассматривать промежуток (m; 3), любое число из которого больше m. Следовательно, число m на промежутке [-2; 3) не является наибольшим.);

в) наименьшего числа нет; 4,8;

г) ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет.

Пример:

Отметить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков: а) ; б) .

Решение:

а) Модулем числа х является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число х на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, соответствующие тем точкам координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не больше 5.

Следовательно, решениями неравенства являются все числа, принадлежащие промежутку [-5; 5].

б) Решениями неравенства являются числа, которым соответствуют те точки координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не меньше 5 (больше 5 или равном 5), то есть значения х, удовлетворяющие неравенству или неравенству .

Следовательно, множеством решений неравенства является объединение промежутков, то есть

Решение неравенств с одной переменной. Равносильные неравенства

Пример:

Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 м длиннее другой. Какими могут быть стороны участка, чтобы для его ограждения хватило сетки длиной 46 м?

Решение:

Пусть длина меньшей стороны участка равна х м, тогда длина большей —

(х + 5 )м, а периметр участка — 2(х + х + 5) = (4х + 10) (м). По условию периметр не превышает 46 м. поэтому 4х + 10 ≤ 46.

Чтобы найти стороны участка, нужно решить неравенство 4х + 10 ≤ 46 с одной переменной х.

При решении неравенства его преобразуют, заменяя более простыми неравенствами с теми же решениями.

Неравенства, имеющие одни и тс же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.

Замену неравенства равносильным» ему неравенствами выполняют на основании таких свойств:

1. если выполнить тождественные преобразования некоторой чисти неравенства, которые не меняют допустимые значения переменной, то получим неравенство, равносильное данному;
2. если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое, uxwhug его знак ни противоположный, то получим неравенство, равносильное данному;
3. если обе чисти неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному;
4. если обе чисти неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Используя эти и свойства, решим неравенство:

Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком, получим неравенство

равносильное заданному неравенству.

В правой части неравенства 4х ≤ 46 – 10 приведем подобные слагаемые, получим:

Разделив обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство

Следовательно, неравенство 4х + 10 ≤ 46 равносильно неравенству х ≤ 9, и ему удовлетворяют все числа не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка .

Рис. 16

Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили через х м. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, то х может принимать значения из промежутка (0; 9|. Итак, меньшая сторона участка не должна превышать 9 м, большая же сторона на 5 м длиннее нее.

Для тех, кто хочет знать больше.

Решая неравенство

мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком и получили неравенство

Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны.

Пусть х = а — любое решение неравенства (1), тогда 4а + 10 ≤ 46 — верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4а ≤ 46- 10. Из того, что последнее неравенство является верным, следует, что число а является решением неравенства (2).

Пусть х = b — любое решение неравенства (2), тогда 4b ≤ 4b – 10 — верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое -10 из правой части неравенства в левую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4b + 10 ≤ 46. Из того, что последнее неравенство является верным, следует, что число b является решением неравенства (1).

Мы показали, что любое решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и любое решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть являются равносильными.

Равносильность неравенств 4х ≤ 46 – 10 и 4х ≤ 36, а также неравенств 4х ≤ 36 и х ≤ 9 доказывают аналогично.

Пример:

Решить неравенство 3(5х– 1)+ 10 > 7 — 2(1 -6х) и отметить на координатной прямой множество его решений.

Решение:

Раскроем скобки:

перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а остальные — в правую часть:

приведем подобные слагаемые:

разделим обе части неравенства на 3:

Ответ.

Пример:

Решить неравенство , отметить на координатной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка.

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, то есть на 18. Получим:

Ответ, (; 4,2].

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Умножим все части неравенства на 2: -4 ≤ 3х – 1 ≤ 10. Прибавим ко всем частям неравенства число 1:

Разделим все части неравенства на 3, получим: .

Ответ. .

Пример:

Решить неравенство:

Решение:

а) Решениями неравенства |2х-3| ≤ 5 являются числа, удовлетворяющие двойному неравенству

Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим:

Разделим все части неравенства на 2:

Ответ. [-1; 4].

б) Модуль числа — число неотрицательное, поэтому модуль числа не может быть меньше числа -4. Неравенство |3х – 1| -4 не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

в) Выражение 2х – 1, стоящее под знаком модуля, должно принимать значения меньше-5 или больше 5. Итак, 2х — 1 -5 или 2х- 1 > 5.

Если нужно найти все значения х, удовлетворяющие неравенству 2х – 1 -5 или неравенству 2х – 1 > 5, то говорят, что нужно решить совокупность неравенств, которую записывают гак:

Решая каждое неравенство совокупности, получим:

Решениями совокупности являются значения х, удовлетворяющие неравенству х -2 или неравенству х > 3.

Ответ. х -2 или х > 3. (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков:

Линейные неравенства с одной переменной

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Множеством решений неравенства является числовой промежуток

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

При любом значении х значение левой части неравенства 0 • х > -8 равно нулю, а нуль больше -8. Поэтому множеством решений данного неравенства является множество всех действительных чисел, то есть промежуток

Ответ.

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Неравенство 0 • х – 5 не имеет решений, так как при любом х значение

ее левой части равно нулю, а нуль не меньше -5.

Ответ. Решений нет.

В результате преобразований мы привели первое неравенство к неравенству 15х 30, второе — к неравенству 0 • х > -8, третье — к неравенству О • х -5. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

Неравенства вида ах > b, ax>b, ах b, ах b, где а и b — некоторые известные числа, а х — переменная, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Если ,то для решения линейного неравенства с одной переменной нужно разделить обе части неравенства на а. Если то или решением неравенства является любое число, или неравенство не имеет решений. Выделим следующие основные шаги решения неравенств:

1. если неравенство содержит дроби, то обе части неравенства умножает на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство;
2. если в неравенства есть скобки, то раскрываем их;
3. переносим слагаемые, содержащие переменную, в одну часть неравенства (как правило, в левую), а слагаемые, не содержащие переменной, — в другую часть (как правило, в правую);
4. приводим подобные слагаемые;
5. если получили линейное неравенство и коэффициент при переменной не равен нулю, то делим на него обе части неравенства;
6. если коэффициент при переменной равен нулю, то неравенство или не имеет решений, или его решением является любое число.

Пример:

Найти область определения функции .

Решение:

Область определения функции образуют те значения х, при которых выражение 8 – 2х принимает неотрицательные значения. Следовательно, нужно решить неравенство 8 – 2х ≥ 0. Получим:

Областью определения функции является промежуток .

Ответ.

Пример:

Решить неравенство (а + 3)х 5 с параметром а.

Решение:

Рассмотрим три случая: 1) а + 3 0; 2) а + 3 = 0; 3) а + 3 > 0.

1) Если а + 3 0, то есть а -3, то, разделив обе части неравенства на отрицательное число а + 3, получим:

2) Если а + 3 = 0, то есть а = -3, то получим неравенство 0 • х 5, решением которою является любое число.

3) Если а + 3 > 0. то есть а > —3, то

Ответ. Если а -3, то ; если а = -3, то решением неравенства является любое число; если а > -3, то

Системы линейных неравенств с одной переменной

Понятие системы неравенств с одной переменной и ее решения

Пример:

Одна хозяйка купила на рынке 10 кг помидоров и заплатила за них больше 18 руб. Вторая хозяйка купила такие же помидоры и заплатила за 5 кг меньше 14 руб. По какой цене покупали помидоры хозяйки?

Решение:

Пусть цена 1 кг помидоров х руб., тогда 10 кг стоят 10х руб., что по условию задачи больше 18 руб., то есть 10х > 18.

5 кг помидоров стоят 5х руб., что по условию задачи меньше 14 руб., то есть 5х 14.

Чтобы решить задачу, нужно найти те значения х, при которых верным будет как неравенство 10х > 18, так и неравенство 5х 14.

Если нужно найти те значения переменной, которые удовлетворяют двум неравенствам, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Для нашей задачи систему записывают так:

Решив каждое из неравенств системы, получим:

Следовательно, значения х должны удовлетворять условию 1,8 х 2.8, то есть цена 1 кг помидоров больше 1 руб. 80 к., но меньше 2 руб. 80 к.

Значение х = 2 является решением обоих неравенств системы

поскольку каждое из числовых неравенств 10 • 2 > 18 и 5 • 2 14 является

верным. Такое значение х называют решением системы неравенств.

Определение: Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором выполняется каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Рассмотрим примеры.

Пример:

Решить систему неравенств

Решение:

Решим каждое из неравенств системы:

Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих первому неравенству последней системы, — промежуток , и множество чисел, удовлетворяющих второму неравенству, — промежуток .

Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие обеим промежуткам, то есть их пересечению:

Пример:

Решить систему неравенств

Решение:

На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству , и множество чисел, удовлетворяющих неравенству .

Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие промежутку

Ответ.

Пример:

Решить систему неравенств

Решение:

На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 2, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х -3.

Общих решений неравенства не имеют.

Ответ. Решений нет.

Следовательно, систему линейных неравенств с одной переменной можно решить, используя следующую схему:

1. решаем каждое неравенство системы;
2. отмечаем множество решений каждого неравенства на одной координатной прямой;
3. находим пересечение множеств решений неравенств и записываем множество решений системы в виде промежутка или соответствующего неравенства.

Примечание.

1. Если система неравенств приводится к виду где а b, то решениями системы являются х a, то есть х меньше меньшего из чисел а и b.
2. Если система неравенств приводится к виду где а > b, то решениями системы являются x > а, то есть x больше большего из чисел а и b.

Пример:

Решить неравенство .

Решение:

Найдем значения х, при которых значения выражений, стоящих под знаком модуля, равны нулю:

Значения х = -1 и х = 2 разбивают координатную прямую на три промежутка.

Раскроем модули на каждом из промежутков и решим соответствующие неравенство.

1) х —1 или х принадлежит промежутку , что сокращенно записывают так: (знак читают: «принадлежит»). При таких значениях х выражение х + 1 принимает отрицательные значения, поэтому; выражение х – 2 также принимает отрицательные значения, поэтому . Тогда неравенство будет иметь вид .

Решим полученное неравенство:

Кроме того, значения х должны удовлетворять неравенству х -1, а значит, и

системе неравенств Множеством решений этой системы является промежуток (-2.5; -1).

2) , или . Значения выражения х + 1 при таких значениях х неотрицательны, поэтому ; выражение х -2 принимает отрицательные значения, поэтому . Заданное неравенство на промежутке [-1; 2) без знака модуля имеет вид: х + 1 – х + 2 6, откуда 0 • х 3. Решениями последнего неравенства являются любые числа. Поэтому все числа из промежутка [-1; 2) являются решениями заданного неравенства.

3) , или На этом промежутке выражения х + 1 и х – 2 принимают неотрицательные значения, поэтому . Заданное неравенство на промежутке без знака модуля запишется так: х + 1 + х – 2 6, откуда 2х 7; х 3,5.

Значения х должны удовлетворять двум неравенствам: и х 3,5, то есть

системе множеством решений которой является промежуток [2; 3,5).

Итак, множеством решений заданного неравенства является объединение промежутков (-2,5; -1), [-1; 2) и |2; 3,5), то есть промежуток (-2,5; 3,5).

Ответ. (-2,5; 3,5).

Пример:

При каких значениях х имеет смысл выражение

Решение:

Данное выражение имеет смысл при тех значениях х, при которых каждое из выражений 2х + 9 и 5 + х принимает неотрицательные значения. Поэтому искомые значения л должны удовлетворять систему неравенств

Решим полученную систему:

Общими решениями неравенств являются значения х, удовлетворяющие неравенству х > -4,5.

Ответ, х > -4,5.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Дробь положительна только тогда, когда ее числитель и знаменатель положительны или когда они оба отрицательны. Поэтому решение данного неравенства сводится к решению двух систем неравенств:

Решениями первой системы являются значения х, удовлетворяющие неравенству х > 2, а второй — неравенству х – 1.

Ответ, х -1 или х > 2. (Множество решений можно записать в виде объединения промежутков:

Замечание. Решение неравенства (х – 2)(х + 1) > 0 также сводится к решению двух систем, приведенных в предыдущем примере. Поэтому множеством решений этого неравенства также является .

Пример:

Решить двойное неравенство .

Решение:

Данное двойное неравенство можно записать в виде системы

Решим систему:

Ответ. [-3; -0,5).

Заметим, что двойное неравенство в упражнении 3 можно решать и на основании свойств равносильности неравенств (см. пункт 5, упражнение 3).

Как известно, возникновение чисел обусловлено потребностями практической деятельности человека. Применение чисел требовало умения их сравнивать. Делать это люди научились много тысячелетий назад.

Где в «Началах» Евклида сугубо геометрически было обосновано неравенство , где а и b рассматривались как длины отрезков.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию неравенства

, где а > 0, b > 0.

На отрезке MN длиной а + b как на диаметре построим полуокружность, О — ее центр, МК – a, KN – b. Проведем перпендикуляры РО и LK к прямой MN, где Р и L — точки полуокружности. Треугольник MLN — прямоугольный , LK — его высота, поэтому .

Отрезок РО — радиус полуокружности, поэтому .

Поскольку .

Это известное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое можно распространить па случай большего количества чисел, называют еще неравенством Коши.

Огюстен Луи Коши — известный французский математик. Он является автором более 800 работ по арифметике и теории чисел, алгебре, математическому анализу, теоретической и небесной механике, математической физике и т. п. Были периоды, когда Коши каждую неделю подавал в Парижскую Академию наук новую математическую работу. Скорость, с какой Коши переходил от одного предмета к другому, позволила ему проложить в математике немало новых путей. Многие теоремы, определения, признаки носят его имя.

Приведем еще два известных неравенства, которые, как и неравенство Коши, используют для доказательства многих математических утверждений, в частности, для доказательства других неравенств.

Неравенство Коши — Буняковского:

где — любые действительные числа.

О В. Я. Буняковском читайте в рубрике «Отечественные математики».

Неравенство Бернулли:

где — натуральное число.

Якоб Бернулли — швейцарский математик, профессор Базельского университета. Основные его работы посвящены математическому анализу, но особое внимание ученый уделял теории вероятностей. Немало теорем названы его именем. Бернулли положил начало одному из разделов прикладной математики — математической статистике.

Неравенства

• В этом параграфе вы узнаете, в каком случае число а считают больше (меньше) числа b, каковы свойства числовых неравенств, в каких случаях можно складывать и умножать числовые неравенства, что называют решением неравенства с одной перемен­ной, решением системы неравенств с одной пере­менной.
• Вы научитесь оценивать значения выражений, доказывать неравенства, решать линейные неравен­ства и системы линейных неравенств с одной пере­менной.

На практике вам часто приходится сравнивать величи­ны. Например, площадь России (603,7 тыс. км2) больше площади Франции (551 тыс. км2), высота горы Роман-Кош (1545 м) меньше высоты горы Говерлы (2061 м), расстояние от Киева до Харькова (450 км) равно 0,011 длины эква­тора.

Когда мы сравниваем величины, нам приходится срав­нивать числа. Результаты этих сравнений записывают в виде числовых равенств и неравенств, используя знаки =, >, < .

Если число а больше числа b, то пишут а > b; если число а меньше числа b, то пишут а < b.

Очевидно, что . Справедливость этих неравенств следует из правил сравнения дей­ствительных чисел, которые вы изучили в предыдущих классах.

Однако числа можно сравнивать не только с помо­щью изученных ранее правил. Другой способ, более уни­версальный, основан на таких очевидных соображениях: если разность двух чисел положительна, то уменьшаемое больше вычитаемого, если же разность отрицательна, то уменьшаемое меньше вычитаемого.

Если разность двух чисел положительна, то уменьшаемое больше вычитаемого, если же разность отрицательна, то уменьшаемое меньше вычитаемого.

Эти соображения подсказывают, что удобно принять такое определение.

Определение: Число a считают больше числа b, если разность а — b является положительным числом. Число а считают меньше числа b, если разность а — b является отрицательным числом.

Это определение позволяет задачу о сравнении двух чисел свести к задаче о сравнении их разности с нулем. Напри­мер, чтобы сравнить значения выражений и рассмотрим их разность:

Поскольку , то .

Заметим, что разность чисел а и b может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равной нулю, поэтому для любых чисел а и b справедливо одно и только одно из таких соотношений:

Если, то точка, изображающая число a на координатной прямой, лежит правее точки, изображающей число b (рис. 1).

Часто в повседневной жизни мы пользуемся высказываниями «не больше», «не меньше». Например, в соответствии с санитарными нормами количество учеников в 9 классе должно быть не больше чем 35. Дорожный знак, изображенный на рис. 2, означает, что скорость движения автомобиля должна быть не меньше 30 км/ч.

Числовые неравенства

В математике для высказывания «не больше» используют знак (читают: «меньше или равно»), а для выражения «не меньше» — знак (читают: «больше или равно»). Если или , то верно

Если или , то верно неравенство

Например, неравенства верны. Заметим, что, например, неравенство неверно.

Знаки называют знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.

Пример:

Докажите, что при любых значениях а верно неравен­ство

Решение:

Для решения достаточно показать, что при любом а разность левой и правой частей данного неравенства по­ложительна. Имеем:

В таких случаях говорят, что доказано неравенство

Пример:

Докажите неравенство , где — любое действительное число.

Решение:

Рассмотрим разность левой и правой частей данного не­равенства:

При любом значении а имеем: Сумма неполо­жительного и отрицательного чисел является числом от­рицательным. Значит, Отсюда следует, что при любом значении

Пример:

Докажите неравенство

Решение:

Рассмотрим разность левой и правой частей данного не­равенства. Имеем:

Выражение принимает неотрицательные зна­чения при любых неотрицательных значениях переменных Следовательно, доказываемое неравенство верно.

Заметим, что выражение называют средним гео­метрическим чисел a и b.

Пример:

Докажите, что при любых значениях

Решение:

Имеем:

Поскольку при любых значениях

при любых значениях

Следовательно, при любых значениях

Основные свойства числовых неравенств

В этом пункте рассмотрим свойства числовых неравенств, часто используемые при решении задач. Их называют основ­ными свойствами числовых неравенств.

Теорема: Если а > b и b > с, то а > с.

Доказательство: Поскольку по условию а > b и b > с, то разности а – b и b – с являются положительными числа­ми. Тогда положительной будет их сумма (а -b) + (b – с). Имеем: (а – b) + (b – с) = а – с. Следовательно, разность а – с является положительным числом, а поэтому а > с.

Аналогично доказывают свойство: если а < b и b < с, то а < с.

Теорему 2.1 можно проиллюстрировать геометрически: если на координатной прямой точка А (а) лежит правее точки В (b), а точка В (b) — правее точки С (с), то точка А (а) лежит правее точки С (с) (рис. 3).

Теорема: Если а > b и с — любое число, то а + с > b + с.

Доказательство: Рассмотрим разность (а + с) – (b + с). Имеем: (а + с) – (b + с) = а – b. Поскольку по условию а > b, то разность а — b является положительным числом. Следо­вательно, a + c > b+ c.

Аналогично доказывают свойство: если а < b и с — любое число, то а + с < b + с.

Поскольку вычитание можно заменить сложением (а – с = а + (-с)), то, учитывая теорему 2.2, можно сделать такой вывод.

Если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих частей правильного неравенства вычесть одно и то же число, то получим верное неравенство.

Следствие: Если любое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть неравенство а > b + с вер­но. Вычтем из обеих его частей число с. Получим:

Теорема: Если а > b и с — положительное число, то ас > bc. Если а > b и с — отрицательное число, то ас < bc.

Доказательство: Рассмотрим разность ас – bc. Имеем:

По условию а > b, следовательно, разность а – b является положительным числом.

Если с > 0, то произведение с (а – b) является положи­тельным числом, следовательно, разность ас — bc является положительной, то есть ас > bc.

Если с < 0, то произведение с (а – b) является отрица­тельным числом, следовательно, разность ас — bc является отрицательной, то есть ас < bc.

Аналогично доказывают свойство: если а < b и с — по­ложительное число, то ас < bc. Если а < b и с — отри­цательное число, то ас > bc.

Поскольку деление можно заменить умножением то, учитывая теорему 2.3, можно сделать такой вывод.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и из­менить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Следствие:

Доказательство: Разделим обе части неравенства а > b на положительное число ab. Получим правильное неравенство , то есть Отсюда

Обратим внимание: требование, чтобы числа а и b были одного знака (ab > 0), является существенным. Действи­тельно, неравенство 5 > -3 верно, однако неравенство — неверно.

В теоремах этого пункта шла речь о строгих неравен­ствах. Нестрогие неравенства также обладают аналогичны­ми свойствами. Например, если — любое число, то

Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения

Рассмотрим примеры.

1. Если с одного поля собрали не менее 40 т пшеницы, а со второго поля — не менее 45 т, то очевидно, что с двух полей вместе собрали не менее 85 т пшеницы.
2. Если длина прямоугольника не больше, чем 70 см, а ширина — не больше, чем 40 см, то очевидно, что его площадь не больше, чем 2800 см2.

Выводы из этих примеров интуитивно очевидны. Их справедливость подтверждают следующие теоремы.

Теорема: (о почленном сложении неравенств).

Если а > b и с > d, то а + с > b + d .

Доказательство: Рассмотрим разность (а + с) – (b + d). Имеем:

Так как а > b и с > d, то разности а – b и с – d являются положительными числами Следовательно, рассматриваемая разность является положительной, т. е. а + с > b + d

Аналогично доказывается свойство: если а < b и с < d, то а + с

Неравенства а > b и с > d (или а < b и с < d) называют неравенствами одного знака, а неравенства а > b и с < d (или а < b и с > d) — неравенствами противоположных знаков.

Говорят, что неравенство а + с > b + d получено из не­равенств а > b и с > d путем почленного сложения.

Теорема: означает, что при почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака.

Отметим, что теорема 3.1 справедлива и в случае по­членного сложения трех и более неравенств. Например, если

Теорема: (о почленном умножении нера­венств). Если а > Ь, с > d и а, и, с, d — положительные числа, то ас > bd.

Доказательство: Рассмотрим разность ас – bd. Имеем: ас – bd = ас – bс + bс – bd = с (а – b) + b (с – d).

По условию а – b > 0, с – d > 0, с > 0, b > 0. Следова­тельно, рассматриваемая разность является положительной. Из этого следует, что ас > bd.

Аналогично доказывается свойство: если а < b, с < d и a, b, с, d — положительные числа, то ас < bd.

Говорят, что неравенство ас > bd получено из неравенств а > b и с > d путем почленного умножения.

Теорема: означает, что при почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и пра­вые части — положительные числа, результатом явля­ется верное неравенство того же самого знака.

Обратим внимание: требование, чтобы обе части умно­жаемых неравенств были положительными, является суще­ственным. Действительно, рассмотрим два верных неравен­ства -2 > -3 и 4 > 1. Умножив почленно эти неравенства, получим верное неравенство -8 > -3.

Заметим, что теорема 3.2 справедлива и в случае почлен­ного умножения трех и более неравенств. Например, если – положительные числа, причем то

Следствие: Если — положительные чис­ла, то , где — натурально число.

Доказательство: Запишем верных неравенств а > b :

неравенств

Так как а и b — положительные числа, то можем перемно­жить почленно записанных неравенств. Получим

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

Часто значения величин, являющихся результатами из­мерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение.

Пусть, например, в результате измерения ширины х и длины у прямоугольника было установлено, что 2,5 см < х < 2,7 см и 4,1 см < у < 4,3 см. Тогда с помощью теоре­мы 3.2 можно оценить площадь прямоугольника. Имеем:

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

Пример:

Дано: Оцените значение выражения:

Решение:

1) Применив теорему о почленном сложении неравенств, получим:

2) Умножив каждую часть неравенства на получим: или Учитывая, что далее имеем:

3) Так как и то а и b принимают поло­жительные значения.

Применив теорему о почленном умно­жении неравенств, получим:

4) Так как то — или —

Учитывая, что — имеем:

5) Умножим каждую часть неравенства 6 < а < 8 на 3, а каждую часть неравенства на

Сложим полученные неравенства:

Ответ:

Пример:

Докажите, что

Решение:

Так как

О некоторых способах доказательства неравенств

Мы исполь­зовали такой прием: рассматривали разность левой и правой частей неравенства и сравнивали ее с нулем.

Однако существует и ряд других способов доказательства неравенств. Ознакомимся с некоторыми из них.

Рассуждения «от противного». Само название этого ме­тода отображает его суть.

Пример:

Для любых значений докажите неравенство

Решение:

Пусть доказываемое неравенство неверно. Тогда найдутся такие числа что будет верным неравенство Отсюда:

Последнее неравенство неверно. Полученное противоре­чие означает, что неравенство (*) верно. Неравенство (*) является частным случаем более общего неравенства

Неравенство (**) называют неравенством Коши- Буняковского. С его доказательством вы можете ознако­миться на занятиях математического кружка.

Огюстен Луи Коши (1789-1857)

Выдающийся француз­ский математик, автор бо­лее 800 научных трудов.

Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889)

Выдающийся математик XIX в. Родился в г. Баре (ныне Винницкой обл.). В те­чение многих лет был вице- президентом Петербургской академии наук.

Метод использования очевидных неравенств

Пример:

Докажите неравенство

Решение:

Очевидно, что при любых значениях а, b, с выполняется такое неравенство:

Отсюда:

Метод применения ранее доказанного неравенства

Мы доказали, что для любых и вы­полняется неравенство

Его называют неравенством Коши для двух чисел. Рассмотрим на примере, как можно использовать нера­венство Коши при доказательстве других неравенств.

Пример:

Докажите, что для положительных чисел а и b справед­ливо неравенство

Решение:

Применим неравенство Коши для положительных чи­сел

Имеем:

Отсюда

Аналогично доказываем, что

Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим:

Отсюда

Метод геометрической интерпретации

Пример:

Докажите неравенство:

Решение:

Рассмотрим четверть окружно­сти с центром О радиуса 1. Впишем в нее ступенчатую фигуру, состав­ленную из 99 прямоугольников, так, как показано на рисунке 4,

Площадь первого прямоугольника

Для второго прямоугольника имеем:

Площадь ступенчатой фигуры меньше площади четверти круга, т. е.

Отсюда следует доказываемое неравенство.

Неравенства с одной переменной

Рассмотрим такую задачу. Одна из сторон параллелограм­ма равна 7 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр параллелограмма был больше 44 см?

Пусть искомая сторона равна х см. Тогда периметр парал­лелограмма равен (14 + 2х) см. Неравенство 14 + 2х > 44 является математической моделью задачи о периметре па­раллелограмма.

Если в это неравенство вместо переменной х подставить, например, число 16, то получим верное числовое неравен­ство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Так, каждое из чисел является решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не явля­ется его решением.

Замечание. Определение решения неравенства анало­гично определению корня уравнения. Однако не принято говорить «корень неравенства».

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует.

Все решения неравенства образуют множество решений неравенства. Если неравенство решений не имеет, то гово­рят, что множеством его решений является пустое множе­ство. Пустое множество обозначают символом

Например, в задаче «решите неравенство ответ будет таким: «все действительные числа, кроме числа 0».

Очевидно, что неравенство решений не имеет, т. е. множеством его решений является пустое множество.

Определение: Неравенства называют равносильны­ми, если они имеют одно и то же множество решений.

Приведем несколько примеров.

Неравенства равносильны. Действитель­но, каждое из них имеет единственное решение х = 0.

Неравенства равносильны, так как множеством решений каждого из них является множество действительных чисел.

Так как каждое из неравенств решений не имеет, то они также являются равносильными.

Решение линейных неравенств с одной переменной

Свойства числовых равенств помогали нам решать урав­нения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства.

Решая уравнение, мы заменяли его другим, более прос­тым уравнением, но равносильным данному. По аналогич­ной схеме решают и неравенства.

При замене уравнения на равносильное ему уравнение используют теоремы о перенесении слагаемых из одной части уравнения в другую и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Аналогичные правила применяют и при решении не­равенств.

• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части нера­венства в другую, изменив при этом его знак на противопо­ложный, то получим неравенство, равносильное данному.
• Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
• Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак не­равенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

С помощью этих правил решим неравенство, полученное в задаче о периметре параллелограмма (см. п. 4).

Имеем: 14 + 2х > 44.

Переносим слагаемое 14 в правую часть неравенства: 2х > 44 -14.

Отсюда 2х > 30.

Разделим обе части неравенства на 2:

х > 15.

Заметим, что полученное неравенство равносильно ис­ходному неравенству. Множество его решений состоит из всех чисел, которые больше 15. Это множество называют числовым промежутком и обозначают (15; +) (читают: «промежуток от 15 до плюс бесконечности»).

Точки координатной прямой, изображающие решения неравенства х > 15, расположены справа от точки, изобра­жающей число 15, и образуют луч, у которого «выколото» начало (рис. 5).

Ответ может быть записан одним из способов: (15 ; + ; либо х > 15.

Заметим, что для изображения на рисунке числового промежутка используют два способа: с помощью либо штриховки (рис. 5, а), либо дуги (рис. 5, б). Мы будем использовать второй способ.

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Перенесем слагаемое х из правой части неравенства в ле­вую, а слагаемое 3 — из левой части в правую и приведем подобные члены:

Умножим обе части неравенства на -2:

Множеством решений этого неравенства является число­вой промежуток, который обозначают (читают: «промежуток от -8 до плюс бесконечности, включая -8»).

Точки координатной прямой, изобра­жающие решения неравенства х > -8, образуют луч (рис. 6).

Ответ можно записать одним из способов: либо

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Запишем цепочку равносильных неравенств:

Множеством решений последнего неравенства является числовой промежуток, который обозначают (чи­тают: «промежуток от минус бесконеч­ности до -1»). Точки координатной прямой, изображающие решения неравенства х < -1, расположены слева от точки -1 (рис. 7) и образуют луч, у которого «выколото» начало.

Ответ можно записать одним из способов: либо

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Запишем цепочку равносильных неравенств:

Множеством решений последнего неравенства является числовой промежуток, который обозначают (читают «промежуток от минус бесконечности до включая »)

Точки координатной прямой, изображающие решения неравенства образуют луч (рис. 8).

Ответ можно записать одним из способов: либо

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Имеем:

Последнее неравенство при любом значении х превраща­ется в верное числовое неравенство Следовательно, искомое множество решений совпадает с множеством всех чисел.

Ответ: х — любое число.

Этот ответ можно записать иначе : (читают: «про­межуток от минус бесконечности до плюс бесконечности»). Этот числовой промежуток называют числовой прямой.

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Имеем:

Полученное неравенство при любом значении х превра­щается в неверное числовое неравенство 0 < -9.

Ответ можно записать одним из способов: решений нет либо .

Каждое из неравенств, рассмотренных в примерах 1-5, сводилось к равносильному неравенству одного из четырех видов: ах > b, ах < b, ах > b, ах < b, где х — переменная, а и b — некоторые числа. Такие неравенства называют ли­нейными неравенствами с одной переменной.

Приведем таблицу обозначений и изображений изучен­ных числовых промежутков:

Системы линейных неравенств с одной переменной

Рассмотрим выражение Найдем множе­ство допустимых значений переменной х, то есть все зна­чения переменной х, при которых данное выражение име­ет смысл. Это множество называют областью определения выражения.

Так как подкоренное выражение может принимать толь­ко неотрицательные значения, то должны одновременно выполняться два неравенства То есть искомые значения переменной х — это все общие решения указанных неравенств.

Если требуется найти все общие решения двух или не­скольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.

Как и систему уравнений, систему неравенств записыва­ют с помощью фигурной скобки. Так, для нахождения об­ласти определения выражения надо решить систему неравенств

(*)

Определение: Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, превращающее каждое неравенство системы в верное чис­ловое неравенство.

Например, числа 2, 3,4, 5 являются решениями системы (*), а число 7 не является ее решением.

Решить систему неравенств — это означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Все решения системы неравенств образуют множество решений системы неравенств. Если система решений не имеет, то говорят, что множеством ее решений является пустое множество.

Например, в задаче «Решите систему неравенств

ответ будет таким: «множество действительных чисел».

Очевидно, что множество решений системы стоит из единственного числа 5.

Система решений не имеет, т. е. множеством ее решений является пустое множество.

Решим систему (*). Преобразовав каждое неравенство в равносильное ему, получим:

Множество решений последней системы состоит из всех чисел, которые не меньше — и не больше 5, т. е. из всех чисел, удовлетворяющих неравенству — Это множе­ство является числовым промежутком, который обозначают ; (читают: «промежуток от до 5, включая и 5»).

Точки, изображающие решения системы (*), расположены между точ­ками и , включая точки A и B (рис. 9). Они образуют отрезок.

Ответ к задаче о нахождении об­ласти определения выражения может быть записан одним из способов: или

Заметим, что все общие точки промежутков и образуют промежуток (рис. 10). В таком случае говорят, что промежуток является пересечением промежутков

Записывают

Промежутки и являются решениями соответствующих неравенств Тогда можно сказать, что множество решений системы является пересечением множеств решении каждого из неравенств, составляющих систему. Следовательно, чтобы решить систему неравенств, надо найти пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему.

Пример:

Решите систему неравенств

Решение:

Имеем:

С помощью координатной прямой найдем пересечение множеств решений неравенств данной системы, т. е. пересечение промежутков и (рис. 11).

Искомое пересечение состоит из чисел, удовлет­воряющих неравенству -2 < х < 3. Это множество является числовым промежутком, который обо­значают (—2; 3) и читают: «промежуток от —2 до 3».

Ответ можно записать одним из способов: (—2; 3) либо -2 < х < 3.

Пример:

Решите систему неравенств

Решение:

Имеем:

С помощью координатной прямой найдем пересечение промежутков и являющихся множествами решений неравенств данной системы

Искомое пересечение состоит из всех чисел,удовлетворяющих неравенству Это множество является числовым промежутком, ко­торый обозначают [-2; 1) и читают: «промежуток от -2 до 1, включая —2».

Ответ можно записать одним из способов: [-2; 1) либо -2 < х < 1,

Пример:

Решите систему неравенств

Решение:

Множеством решений данной системы является пересече­ние промежутков Это пересечение — чис­ловой промежуток, который обозначают (—2; 1] и читают: «промежуток от —2 до 1, включая 1».

Пример:

Найдите область определения функции

Решение:

Искомая область определения — это множество решений системы

Имеем:

Изобразим на координатной прямой пересечение промежутков и Этим пересечением является промежуток (рис. 13).

Ответ:

Приведем таблицу обозначений и изображений числовых промежутков, изученных в этом пункте:

—————-

Неравенства

В этом разделе вы научитесь:

• решать неравенства;
• решать задачи из реальной жизни, при помощи неравенств;
• тригонометрическим соотношениям;
• применять тригонометрические соотношения при решении задач;
• систематизировать и представлять информацию в различных формах;
• при помощи мер центральных тенденций оценивать и давать прогнозы;
• определять генеральную совокупность (или популяцию) и выборку для исследования;
• различать независимые и зависимые события, а также вычислять их вероятность.

Это интересно!

Великий Азербайджанский мыслитель, философ, математик, астроном Насреддин Туси создал научные труды, которые внесли большой вклад в историю человечества. В письменных источниках его называют “Отецом тригонометрии”. В своём труде «Об измерении круга» он впервые доказал теорему синусов и применил их для астрономических расчетов.

Неравенства:

Неравенства записываются при помощи знаков Неравенства могут быть записаны словами или математическими символами, а также изображены на числовой оси.

• если точка закрашена, то координаты этой точки удовлетворяют неравенству.
• если точка не закрашена, то координаты этой точки не удовлетворяют неравенству

Для сравнения чисел и выражений применяются различные методы. Одним из них является метод оценки разности.

На числовой оси большему числу соответствует точка, расположенная правее, а меньшему числу соответствует точка, расположенная левее. Значит, если , то точка расположена правее точки , если , то – левее.

Пример:

Сравним выражения . Для этого рассмотрим разность . Значит, при любых значениях переменой значение выражения не меньше (больше или равно) значения выражения .

Свойства неравенств

1. Если , то
2. Если , то
3. Если и , то
4. Если и , то

Доказательство 3-го свойства: если , то ; если , то Тогда , отсюда следует, что

Исследование

Рассмотрим неравенство

При значении переменной меньше 7, значение суммы меньше 10.

При значении переменной равной 7, значение суммы равно 10.

При значении переменной больше 7, значение суммы больше 10.

Неравенство верно для всех чисел меньше 7.

Свойства неравенств

Теорема. Если неравенство верное, то прибавив или отняв от обеих частей данного неравенства одно и то же число, получим верное неравенство.

Если , то для любого числа

Если , то для любого числа .

Пример:

Масса морского тюленя может достигать максимально 650 кг. В настоящее время тюлень весит 398 кг. Как при помощи неравенства можно записать массу, которую еще сможет набрать тюлень?

Свойства неравенств

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Для любых чисел при получим:

1. Если , то и Пример 1.
2. Если , то и Пример 2.

Если обе части верного неравенства разделить или умножить на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Для любых чисел при получим:

1. Если , то , и Пример 3.
2. Если , то , и Пример 4.

Сложение и вычитание неравенств

Теорема. Если

Если к обеим частям неравенства прибавить , то

Если к обеим частям неравенства прибавить , то

Из получим, что

Данная теорема верна при сложении двух и более неравенств. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Теорема. Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Если положительные числа, и , тогда .

Если в неравенстве обе части умножим на , а в неравенстве обе части умножим на , то получим и

Отсюда следует что, .

Следствие. Если положительные числа и , тогда . (я-натуральное число).

• Заказать решение задач по высшей математике

Числовые промежутки

При множество всех действительных чисел, удовлетворяющих соотношению называется интервалом

.

Если в множество точек интервала добавить точки , то полученный промежуток будет называться отрезком .

Множество всех чисел , удовлетворяющих двойному неравенству и , соответственно записывается как .

Множество всех точек, удовлетворяющих условию и расположенных справа от точки с координатой , записывается как и читается так: промежуток от до плюс бесконечности.

Если точка принадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию , то это записывается как и графически изображается так:

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию , записывается как и графически изображается так:

Если точка принадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию , то это записывается как и графически изображается так:

Решение линейных неравенств с одной переменной

Определение. Решением линейною неравенства с одной переменной называется множество всех значений переменной превращающих данное неравенство в верное.

Решить неравенство, значит найти все его решения или докатать, что решений нет. Неравенства, имеющие одинаковые множества решений, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решения, также называются равносильными. При решении неравенств используются следующие следствия, полученные из свойств числовых неравенств:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Например, неравенство равносильно неравенству , а неравенство равносильно неравенству .

3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Неравенства вида (где некоторые числа) называются линейными неравенствами, зависящими от одной переменной.

Решение неравенства

1. Если , то ;
2. Если , то .

Решение неравенства

1. Если , то ;
2. Если , то .

Пример:

разделим обе части на -3

решением неравенства является промежуток

Графическое представление решения:

Решение двойных неравенств

Двойные неравенства

Пример 1. Запишем неравенство в виде двух неравенств

Надо найти такие значения , которые будут удовлетворять неравенствам .

Пример 2.

Надо найти такие значения х, которые будут удовлетворять неравенствам

Решаем каждое неравенство и находим объединение множеств.

Пример 3. Двойное неравенство можно решить используя свойства неравенств.

Простые неравенства с переменной, входящей под знаком модуля

Геометрически решением неравенства является множество всех точек, расположенных на расстоянии меньше 3-х единиц от числа 0. Это все действительные числа, которые расположены между числами 3 и 3, т.е. .

При неравенство геометрически выражает расстояние от точки 0 до точек , при котором это расстояние будет меньше . Оно состоит из множества точек , размещённых на интервале .

Поэтому неравенство равносильно двойному неравенству Аналогично, неравенство равносильно двойному неравенству

При неравенство геометрически выражает расстояние от точки 0 до точек , при котором это расстояние будет больше . Для любого , взятого из промежутков расстояние от начала отсчета до точки больше . Поэтому, множеством решений неравенства является , т.е. объединение промежутков, удовлетворяющее неравенствам .

Множество решений неравенства будет .

——-

Неравенства

В этой лекции вы:

• вспомните числовые неравенства, двойные неравенства;
• познакомитесь с понятиями объединения и пересечения множеств, линейными неравенствами с одной переменной и их системами;
• узнаете о свойствах числовых неравенств;
• научитесь решать линейные неравенства с одной переменной и системы линейных неравенств с одной переменной.

Числовые неравенства

В предыдущих классах вы научились сравнивать всевозможные числа и записывать результат их сравнения в виде равенства или неравенства с помощью знаков . Например, . Выражение, записанное слева от знака неравенства, называют левой частью неравенства, а выражение, записанное справа, – правой частью неравенства. Так, в последнем неравенстве левой частью неравенства является число 5, а правой – число 7.

Неравенство, обе части которого – числа, называют числовым неравенством. Например,

Для любых двух чисел и имеет место одно и только одно из соотношений: или . Ранее в зависимости от вида чисел (натуральные числа, десятичные дроби, обычные дроби с одинаковыми или разными знаменателями) мы использовали то или иное правило сравнения чисел. Удобнее было бы иметь универсальное правило сравнения.

Известно, что . Рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства: , разность положительна. Рассматривая разность левой и правой частей неравенства , получаем: , разность отрицательна. Рассматривая в равенстве разность левой и правой частей, получим, что разность равна нулю: .

Приходим к определению сравнения чисел:

Пример №285

Сравнить и .

Решение:

Рассмотрим разность чисел и :

Разность отрицательна, значит .

Ответ.

Напомним, что на координатной прямой точка, соответствующая меньшему числу, лежит левее точки, соответствующей большему числу. На рисунке 1 точка, соответствующая числу , лежит левее точки, соответствующей числу , поэтому .

Числовые неравенства бывают верные и неверные.

Например, – верные числовые неравенства, – неверные числовые неравенства.

Кроме знаков , называемых знаками строгого неравенства, в математике также используют знаки (читают: «меньше или равно» или «не больше») и («больше или равно» или «не меньше»). Знаки и называют знаками нестрогого неравенства. Неравенства, которые содержат знак , называют строгими неравенствами, а те, которые содержат знак или – нестрогими неравенствами.

Из определения соотношений «больше», «меньше» и «равно» получаем, что , если , и , если .

Рассмотрим, как с помощью определения сравнения чисел можно доказывать неравенства.

Пример №286

Доказать, что при любом значении имеет место неравенство .

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

.

Так как при любом значении , то при любом значении имеет место неравенство , что и требовалось доказать.

Условие для примера 2 можно было сформулировать проще, например: доказать неравенство .

Пример №287

Доказать неравенство .

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

.

Так как при любом значении , . Следовательно, по определению, неравенство верно при любом , что и требовалось доказать.

Пример №288

Доказать неравенство .

Доказательство: В левой части неравенства выделим квадраты двучленов:

.

При любых значениях и : .

А значит, .

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Напомним, что число называют средним арифметическим чисел и . Для неотрицательных чисел и число называют их средним геометрическим.

Пример №289

Доказать, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел и не меньше их среднего геометрического (неравенство Коши):

.

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее, учитывая, что для . Получим:

для любых и . Следовательно, при любых , , что и требовалось доказать. Отметим, что знак равенства в неравенстве Коши возможен тогда и только тогда, когда . Если .

Понятия «больше» и «меньше» появились одновременно с понятием «равно».Еще с древних времен в практической деятельности человека возникла потребность сравнивать количество предметов, длины отрезков, площади участков и т. п. Так, например, несколько неравенств присутствует в выдающемся труде «Начала» древнегреческого математика Евклида (ок. 356-300 до н. э.). В частности, там он доказывает неравенство геометрическим методом для положительных чисел и .

Чтобы оценить отношение длины круга к его диаметру (позже названное числом ), другой древнегреческий физик и математик Архимед (ок. 287-212 до н. э.) использовал неравенство:.

Привычные нам символы для записи неравенств появились лишь в XVII—XVIII в. Знаки и впервые использовал английский математик Томас Харриот (1560-1621) в работе «Практика аналитического искусства», опубликованной в 1631 году, а знаки и – в 1734 году французский математик и астроном Пьер Бугер (1698-1758).

Кроме неравенства Коши отметим еще и такие известные неравенства:

1) Неравенство Бернулли.

, где – 1, – целое число.

2) Неравенство Чебышёва.

, где – положительные числа, причем .

3) Неравенство Коши-Буняковского.

, где – любые числа.

Последнее неравенство доказали французский математик О. Л. Коши (1789-1857) и наш земляк В. Я. Буняковский. Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) родился в г. Бар (сейчас – Винницкая обл.). Учился по большей части за рубежом, в основном во Франции, где его ближайшим наставником был сам Коши. В 1825 году в Парижском университете Буняковский защитил диссертацию и получил степень доктора наук. Его исследования касались области прикладной математики и математической физики. В 1826 году он переезжает из Парижа в Петербург и начинает преподавать математику и механику в известных на то время учебных заведениях, одновременно занимаясь переводом работ Коши с французского.

Основные свойства числовых неравенств

Рассмотрим свойства числовых неравенств.

Свойство 1.

Доказательство: Поскольку , то . Тогда , но , поэтому . Следовательно, .

Аналогично будем рассуждать и в случае, когда .

Свойство 2.

Доказательство: По условию . Поэтому и , т. е. числа и – положительны. Рассмотрим разность . Имеем:

(так как числа и – положительны). Поэтому .

Аналогично рассуждаем, когда и .

Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунках 2 и 3.

Свойство 3.

Доказательство: По условию , значит, . Рассмотрим разность и преобразуем ее:

, следовательно, .

Следствие: .

Доказательство: Так как , то , т.е. . Но , поэтому . Следовательно, .

Из этого следствия имеем:

если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим верное неравенство.

Свойство 4.

Доказательство: Пусть , тогда . Рассмотрим разность и преобразуем ее: .

Если , то , а значит, ; если , то , а значит .

Так как , то, обозначив , получим, что аналогичное свойство имеет место и в случае деления обеих частей неравенства на отличное от нуля число .

Следовательно,

• если обе части верного неравенства у множить или <*> разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство;
• если обе части верного неравенства у множить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Следствие:

Доказательство: Разделим обе части неравенства на положительное число ; тогда , т. е. .

Пример №290

Дано: . Сравнить:

Решение:

1) Если к обеим частям верного неравенства прибавим число 1, то по свойству 3 получим: .

2) Если к обеим частям верного неравенства прибавим число -5, то по свойству 3 получим верное неравенство .

3) Если обе части верного неравенства умножим на положительное число 1,7, то по свойству 4 получим верное неравенство .

4) Если обе части верного неравенства умножим на отрицательное число -1, то по свойству 4 получим верное неравенство .

5) Если обе части верного неравенства умножим на отрицательное число -10, то по свойству 4 получим верное неравенство .

Решение таких упражнений можно записать короче:

6) Если обе части верного неравенства разделим на положительное число 8, то по свойству 4 получим верное неравенство .

Напомним, что в математике есть и двойные числовые неравенства: . Например, двойное неравенство означает, что одновременно имеют место неравенства и . Так как и , то для любого числа по свойству 3 имеют место неравенства и .

Таким образом, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Рассуждая аналогично, получаем:

Рассмотренные нами свойства числовых неравенств можно использовать для оценивания значении выражении.

Пример №291

Оценить периметр квадрата со стороной см, если

Решение:

Так как периметр квадрата находят по формуле , то все части неравенства нужно умножить на 4. Получим:

, тогда .

Следовательно, периметр квадрата больше чем 12,8 см, но меньше чем 15,6 см.

Ответ. .

Пример №292

Дано: . Оценить значение выражения:

Решение:

Используя форму записи, предложенную в задании 5 примера, получим:

Почленное сложение и умножение неравенств

Продолжим рассмотрение свойств неравенств.

Допустим, имеем два верных неравенства одного знака: и . Сложим их левые части, их правые части и между результатами запишем такой же знак: . Получим верное числовое неравенство, ведь, действительно, . Действие, которое мы выполнили, называют почленным сложением неравенств. Заметим, что почленно складывать можно лишь неравенства одного знака.

Свойство 5 (почленное сложение неравенств). Если и , то .

Доказательство: К обеим частям неравенства прибавим число , а к обеим частям неравенства – число , получим два верных неравенства: и , следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываем, что если и , то .

Свойство 5 справедливо и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.

Пример №293

Стороны некоторого треугольника равны см, см и см. Оценить периметр треугольника (в см), если .

Решение:

Приведем сокращенную запись решения:

Таким образом, .

Ответ. .

Свойство, аналогичное почленному сложению двух и более неравенств, существует и для умножения. Почленно умножив верные неравенства и , получим верное неравенство , ведь . Если же почленно перемножить верные неравенства и , получим – неверное неравенство. Отметим, что в первом случае обе части неравенств были положительны , а во втором -некоторые были отрицательны .

Свойство 6 (почленное умножение неравенств). Если и , где — положительные числа, то .

Доказательство: Умножим обе части неравенства на положительное число , а обе части неравенства – на положительное число получим два верных неравенства: и , следовательно, (по свойству 2). Доказано.

Аналогично можно доказать, что если и , где – положительные числа, то .

Отметим, что свойство 6 справедливо и для более чем двух неравенств.

Следствие: Если — положительные числа, причем , то , где — натуральное число.

Доказательство: Перемножив почленно верных неравенств , где и , получим .

С помощью рассмотренных нами свойств можно оценивать сумму, разность, произведение и частное чисел.

Пример №294

Дано: . Оцените значение выражения:

Решение:

1)

2) Чтобы оценить разность , представим ее в виде суммы: , но сначала оценим выражение .

Умножив все части неравенства на число и изменив знаки неравенства на противоположные, получим: , т. е. . Таким образом,

3)

4) Чтобы оценить частное , представим его в виде произведения:. Оценим выражение . Если , то . Таким образом, .

Ответ.

С помощью рассмотренных свойств можно также доказывать неравенства.

Пример №295

Доказать, что , если ,

Решение:

К каждому множителю левой части неравенства применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши), получим:

Используя свойство 4, обе части каждого из этих неравенств умножим на 2, получим:

.

Перемножим эти неравенства почленно:

Таким образом,, что и требовалось доказать.

Неравенства с переменными. решение неравенства

Рассмотрим неравенство , содержащее переменную. При одних значениях переменной неравенство обращается в верное числовое неравенство, а при других – в неверное. Действительно, если вместо подставить, например, число 8, то получим – верное неравенство, если же подставить число 4, то получим неверное неравенство . В таком случае говорят, что число 8 является решением неравенства (или число 8 удовлетворяет неравенству ), а число 4 – не является его решением (или число 4 не удовлетворяет неравенству ).

Также решениями неравенства являются, например, числа т. д.

Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Пример №296

Решить неравенство: 1)

Решение:

1) при всех , причем тогда и только тогда, когда . Значит, решением неравенства является любое положительное число.

2) при любом значении , поэтому при

любом . Следовательно, значение выражения также будет положительным при любом . А значит, при любом значении неравенство является неверным, т. е. не имеет решений.

Ответ. 1) Любое число, большее нуля; 2) нет решений.

Числовые промежутки. пересечение и объединение множеств

Множество решений неравенств удобно записывать с помощью числовых промежутков.

Пример №297

Рассмотрим двойное неравенство . Ему удовлетворяют все числа больше -4 и меньше 1, то есть числа, лежащие на координатной прямой между числами -4 и 1. Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству , называют числовым промежутком, или просто промежутком, от -4 до 1 и обозначают: (читают: «промежуток от -4 до 1»). Чтобы показать на координатной прямой это множество, его выделяют штриховкой, как показано на рисунке 4. При этом точки -4 и 1 изображают «пустыми» (или «выколотыми»).

Число -1 удовлетворяет неравенству , а число 2 ему не удовлетворяет. В таком случае говорят, что число -1 принадлежит промежутку , а число 2 – не принадлежит (рис. 5). Следовательно, любое число, удовлетворяющее неравенству , принадлежит промежутку , и, наоборот, любое число, принадлежащее промежутку , удовлетворяет неравенству .

Пример №298

Двойному неравенству удовлетворяют не только все числа, большие, чем -4, и меньшие, чем 1, но и сами числа -4 и 1. Множество этих чисел обозначают (читают: «промежуток от -4 до 1, включая -4 и 1»). В этом случае на координатной прямой выделяют промежуток между числами -4 и 1 вместе с этими числами (рис. 6).

Пример №299

Множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству , обозначают: (читают: «промежуток от -4 до 1, включая -4»). Этот промежуток изображен на рисунке 7.

Пример №300

Множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству , обозначают: (читают: «промежуток от -4 до 1, включая 1»). Этот промежуток изображен на рисунке 8.

Пример №301

Неравенству удовлетворяют все числа, большие, чем 2, то есть числа, лежащие на координатной прямой справа от числа 2. Множество этих чисел обозначают (читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности») и изображают лучом, выходящим из «пустой» точки с координатой 2 (рис. 9).

Пример №302

Неравенству удовлетворяют все числа, большие, чем 2, и само число 2. Множество этих чисел обозначают: (читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности, включая 2») и изображают лучом, лежащим справа от точки с координатой 2, включая эту точку (рис. 10).

Пример №303

Множество чисел, удовлетворяющих условию , записывают так: (читают: «промежуток от минус бесконечности до 4»). Это множество изображено на рисунке 11.

Пример №304

Множество чисел, удовлетворяющих условию , записывают так: (читают: «промежуток от минус бесконечности до 4, включая 4»). Изображено оно на рисунке 12.

Таким образом, если конец промежутка принадлежит промежутку (например, для нестрогого неравенства), то этот конец заключают в квадратную скобку, во всех остальных случаях конец заключают в круглую скобку.

Множество всех чисел изображает вся координатная прямая и его записывают в виде . Множество, не содержащее ни одного числа, обозначают символом и называют пустым множеством.

Над множествами можно выполнять некоторые действия (операции). Рассмотрим два из них: пересечение и объединение.

Пересечением множеств и называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Пересечение множеств записывают с помощью символа . Изображать пересечение множеств удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 13).

Пример №305

Если даны множества , и , то ; .

Пересечением числовых промежутков называют множество, которое содержит все числа, принадлежащие как одному промежутку, так и другому.

Пример №306

(рис. 14).

Пример №307

Промежутки и не имеют общих точек (рис. 15), поэтому их пересечением является пустое множество. Записать это можно так: .

Объединением множеств и называют множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или .

Для записи объединения множеств используют символ . Изображать объединение множеств также удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 16).

Пример №308

Если даны множества , и , то .

Объединением числовых промежутков называют множество, которое состоит из всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.

Пример №309

. Отметим, что объединение промежутков не всегда является промежутком. Например, множество не является промежутком (рис. 15).

Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства

Неравенства вида , где -переменная, — некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. Если , то обе части неравенства можно разделить на , учитывая при этом свойство числовых неравенств, то есть если а , то знак неравенства оставляем без изменении; если же , то знак неравенства изменяем на противоположный.

Пример №310

Решить неравенство: 1) .

Решение:

1) Разделив обе части неравенства на 2, получим: . Таким образом, решением неравенства является промежуток .

2) Разделив обе части неравенства на -3 и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим: , то есть .

Ответ. 1) ; 2) .

Отметим, что ответ можно было записать и так:

1) ; 2) .

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Для неравенств с переменными имеют место свойства, подобные тем, которые справедливы и для уравнений:

1. если в любой части неравенства раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим неравенство, равносильное данному;
2. если в неравенстве перенести слагаемое из одной его части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному;
3. если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному; если же обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Чтобы решить уравнение, мы приводим его к равносильному ему, но более простому уравнению. Аналогично, пользуясь свойствами неравенств, можно решать и неравенства, приводя их к более простым неравенствам, им равносильным.

Пример №311

Решить неравенство

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей – число 6, далее упростим его левую часть и перенесем слагаемые с переменной в левую часть неравенства, а без переменной – в правую.

Получили неравенство, равносильное исходному. Оно не имеет решений, так как при любом значении левая часть неравенства будет равна нулю, а неравенство является неверным.

Ответ. Решений нет.

Пример №312

Решить неравенство .

Решение:

Раскрыв скобки, получим:

.

Решая далее, имеем: ; то есть .

Последнее неравенство равносильно исходному и является верным при любом значении , так как при любом значении его левая часть будет равна нулю, а неравенство является верным. Таким образом, решением неравенства будет любое число, а значит, множеством решений является промежуток .

Ответ: .

Из примеров 2 и 3 можно сделать вывод, что

неравенства вида или не имеют решений, или их решение — любое число.

Пример №313

Для каждого значения решить неравенство , где – переменная.

Решение:

Чтобы привести неравенство к линейному, перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, остальные – в правую часть:

Значение выражения для разных значений может быть положительным, отрицательным или нулевым, поэтому рассмотрим отдельно каждый из этих случаев:

1) Если , т. е. , то, разделив левую и правую части неравенства на положительное число , получим:

2) Если , т. е. , получим не имеющее решений неравенство.

3) Если , т. е. , то, разделив левую и правую части неравенства на отрицательное число и изменив знак неравенства на противоположный, получим:

Ответ. Если , то ; если , то решений нет; если ,то .

Системы линейных неравенств с одной переменной, их решение

Рассмотрим задачу. Велосипедист за 2 ч преодолевает расстояние, большее чем 24 км, а за 3 ч – расстояние, меньшее чем 39 км. Найти скорость велосипедиста.

Решим ее. Пусть скорость велосипедиста равна км/ч, тогда за 2 ч он преодолевает км, а за 3 ч – км. По условию задачи и .

Нам нужно найти такие значения , при которых верным будет как неравенство , так и неравенство , то есть нужно найти общие решения обоих неравенств. В таком случае объединяют неравенства в систему и говорят, что нужно решить систему неравенств:

Так как оба неравенства – линейные, то получим систему линейных неравенств с одной переменной.

Решив каждое из неравенств системы, имеем систему:

Значит, значение должно удовлетворять условию: .

Следовательно, скорость велосипедиста больше чем 12 км/ч, но меньше чем 13 км/ч.

Число 12,6 удовлетворяет каждому из неравенств системы

И действительно, каждое из числовых неравенств и является верным. В таком случае говорят, что число 12,6 – решение данной системы неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором верным является каждое из неравенств системы.

Решить систему – означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

При решении системы неравенств целесообразно придерживаться следующей последовательности действий:

1. решить каждое из неравенств системы;
2. отметить множество решений каждого из неравенств на координатной прямой;
3. найти пересечение этих множеств, которое и будет множеством решений системы;
4. записать ответ.

Пример №314

Решить систему неравенств:

Решение:

Постепенно заменяя каждое из неравенств системы ему равносильным, но более простым, получим:

Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству , и множество чисел, удовлетворяющих неравенству (рис. 26). Множеством решений системы является пересечение этих множеств, то есть промежуток .

Ответ. .

Ответ в примере 1 можно записать и так: .

Пример №315

Найти все целые решения системы неравенств:

Решение:

Найдем сначала все решения системы:

Очевидно, решением системы является промежуток . Теперь найдем все целые числа, принадлежащие этому промежутку: -5; -4; -3. Таким образом, целыми решениями системы являются числа -5; -4; -3.

Ответ. -5; -4; -3.

Пример №316

Решить систему неравенств:

Решение:

Имеем:

Отметив полученные решения неравенств системы на координатной прямой (рис. 28), видим, что общих точек у них нет, а значит, пересечением промежутков является пустое множество. Следовательно, система решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример №317

Решить неравенство .

Решение:

Перепишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:

Решим эту систему:

Таким образом, , то есть .

Ответ. .

Решение можно записать и так:

А ответ можно также представить в виде: .

—-10 клас

Неравенства: равносильные преобразования неравенств и общий метод интервалов

Понятия неравенства с одной переменной и его решений

Определение:

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков то получим неравенство с переменной. В общем виде неравенство с одной переменной (например, для случая «больше») записывают так:

Пример:

— линейное неравенство;

— квадратное неравенство;

— дробное неравенство

Определение:

Решением неравенства с переменной называется значение переменной, которое обращает заданное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет

Пример:

— одно из решений неравенства , так как при получаем верное неравенство: , то есть

2. Область допустимых значений (ОДЗ)

Определение:

Областью допустимых значений (или областью определения) неравенства называется общая область определения для функций и , которые стоят в левой и правой частях неравенства

Пример:

Для неравенства ОДЗ: , то есть , так как область определения функции определяется условием: , а областью определения функции является множество всех действительных чисел

3. Равносильные неравенства

Определение:

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения

то есть каждое решение первого неравенства является решением второго и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого

Простейшие теоремы

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве)

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства)

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства)

4. Метод интервалов (решения неравенств вида )

План

1. Найти ОДЗ.

2. Найти нули функции

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.

4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства

Пример:

Решите неравенство

Решение

► Пусть

1. ОДЗ: , то есть, .

2. Нули функции:

(входят в ОДЗ)

3.

Ответ:

5. Схема поиска решения неравенств

– исходное неравенство;

– неравенство, полученное в результате преобразования исходного;

– символическое изображение выполненных преобразований (с указанием направления их выполнения)

Объяснение и обоснование:

Понятия неравенства с переменной и его решений

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков то получаем неравенство с переменной.

Аналогично уравнению, неравенство с переменной (например, со знаком ) чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении тех значений аргументов, при которых значение одной из заданных функций больше, чем значение другой заданной функции. Поэтому в общем виде неравенство с одной переменной (например, для случаев «больше») записывают так:

Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Например, решениями неравенства являются все значения , для неравенства решениями являются все действительные числа (), а неравенство не имеет решений, поскольку значение не может быть отрицательным числом, меньшим .

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенств

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется аналогично ОДЗ уравнения. Если задано неравенство , то общая область определения функций и называется областью допустимых значений этого неравенства (иногда используются также термины «область определения неравенства» или «множество допустимых значений неравенства»). Например, для неравенства областью допустимых значений являются все действительные числа (это можно записать, например, так: ОДЗ: ), поскольку функции и имеют области определения .

Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции , так и в область определения функции (иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство). Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения.

Например, в неравенстве функция определена при всех действительных значениях , а функция — только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Таким образом, ОДЗ этого неравенства задается системой из которой получаем систему не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ заданного неравенства не содержит ни одного числа, поэтому это неравенство не имеет решений.

В основном при решении неравенств различных видов приходится применять один из двух методов решения: равносильные преобразования неравенств или так называемый метод интервалов.

Равносильные неравенства

С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса. Как и для случая равносильных уравнений, равносильность неравенств мы будем рассматривать на определенном множестве.

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

Договоримся, что в дальнейшем все равносильные преобразования неравенств будем выполнять на ОДЗ заданного неравенства. В случае когда ОДЗ заданного неравенства является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем его записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных неравенств). И в других случаях главное — не записать ОДЗ при решении неравенства, а действительно учесть ее при выполнении равносильных преобразований заданного неравенства.

Общие ориентиры выполнения равносильных преобразований неравенств аналогичны соответствующим ориентирам выполнения равносильных преобразований уравнений.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования неравенств, необходимо учитывать ОДЗ заданного неравенства — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований неравенств.

По определению равносильности неравенств необходимо обеспечить, чтобы каждое решение первого неравенства было решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства было решением первого. Для этого достаточно обеспечить сохранение верного неравенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях. Это и есть второй ориентир для решения неравенств с помощью равносильных преобразований. Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны (соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 11).

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований неравенство

достаточно учесть его ОДЗ: и условие положительности дроби (дробь будет положительной тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки), а также учесть, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлении с сохранением верного неравенства.

Решение

► Данное неравенство равносильно

совокупности двух систем:

или (2)

Тогда получаем или

Таким образом, или .

Ответ: .

Комментарий:

Заметим, что при записи условия положительности дроби — совокупности систем (2) — мы неявно учли ОДЗ неравенства (1). Действительно, если или , то , поэтому в явном виде ОДЗ заданного неравенства не записано при оформлении решения.

Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

3. Если обе части неравенства у множить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства ) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство,равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства.

Замечание. Для обозначения перехода от заданного неравенства к неравенству, равносильному ему, можно применять специальный значок , но его использование при оформлении решений не является обязательным (хотя иногда мы будем его использовать, чтобы подчеркнуть, что было выполнено именно равносильное преобразование).

Метод интервалов

Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функции. Объясним эти свойства, используя графики известных нам функций, например функций и (рис. 54).

Рассматривая эти графики, замечаем, что функция может изменить свой знак только в двух случаях:

1) если график разрывается (как в случае функции (рис. 54, а) — график разрывается в точке 0 и знак функции изменяется в точке 0);

2) если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот). Но тогда график пересекает ось (как в случае функции ) (рис. 54, б). На оси значения функции равны нулю. (Напомним, что значения аргумента, при которых функция равна нулю, называют нулями функции.) Таким образом, любая функция может поменять свой знак только в нулях или в точках, где разрывается график функции (в так называемых точках разрыва функции). Точки, в которых разрывается график функции , мы выделяем, как правило, когда находим область определения этой функции. Например, если , то ее область определения , и именно в точке 0 график этой функции разрывается (рис. 54, а). Если же на каком-нибудь промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то по приведенному выше выводу она не может на этом промежутке поменять свой знак. Таким образом, если отметить нули функции на ее области определения, то область определения разобьется на промежутки, внутри которых знак функции измениться не может (и поэтому этот знак можно определить в любой точке из этого промежутка).

Подробнее это понятие будет рассмотрено в 11 классе.

В 11 классе мы уточним формулировку этого свойства (так называемых непрерывных функций). Для всех известных вам функций (линейных, квадратичных, степенных, дробно-рациональных) это свойство имеет место.

В таблице 12 приведено решение дробно-рационального неравенства методом интервалов; комментарий, объясняющий каждый этап решения; план решения неравенств вида методом интервалов.

Пример:

Решение:

►

1. ОДЗ: , то есть

2. Нули

тогда .

3.

4. Ответ: .

Комментарий:

1. Рассмотрим функцию, стоящую в левой части этого неравенства, и обозначим ее через .

Решением неравенства могут быть только числа, которые входят в область определения функции , то есть числа, входящие в ОДЗ неравенства. Поэтому первым этапом решения неравенства методом интервалов будет нахождение его ОДЗ

2. Нас интересуют те промежутки области определения функции , на которых эта функция положительна. Как было отмечено выше, элементарная функция может поменять знак в своих нулях, поэтому вторым этапом решения неравенства будет нахождение нулей функции (для этого приравниваем функцию к нулю и решаем полученное уравнение)

3. Если теперь отметить нули на области определения функции , то область определения разбивается на промежутки, внутри каждого из которых функция не меняет свой знак. Поэтому знак функции на каждом промежутке можно определить в любой точке этого промежутка. Это и является третьим этапом решения

4. Из рисунка видно, что решением неравенства является объединение промежутков

План решения

1. Найти ОДЗ неравенства

2. Найти нули

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства

Приведем пример решения более сложного дробно-рационального неравенства методом интервалов и с помощью равносильных преобразований.

Пример:

Решите неравенство

I способ (метод интервалов)

Решение:

►Пусть

1. ОДЗ:

2. Нули

(принадлежат ОДЗ).

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.

4. Ответ:

Комментарий:

Данное неравенство имеет вид , и для его решения можно применить метод интервалов. Для этого используем план, приведенный выше и в таблице 11.

При нахождении нулей следим за тем, чтобы найденные значения принадлежали ОДЗ (или выполняем проверку найденных корней уравнения ).

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа ).

II способ (с помощью равносильных преобразований)

Комментарий:

Выберем для решения метод равносильных преобразований неравенства. При выполнении равносильных преобразований мы должны учесть ОДЗ данного неравенства, то есть учесть ограничение .

Но если , и тогда в данной дроби знаменатель положителен. Если выполняется данное неравенство, то числитель дроби (и наоборот, если выполняется последнее неравенство, то на ОДЗ дробь ), то есть данное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству .

Чтобы решить полученное квадратное неравенство, найдем корни квадратного трехчлена и построим эскиз графика функции . Решение квадратного неравенства: .

Поскольку все преобразования были равносильными только на ОДЗ, то мы должны выбрать те решения квадратного неравенства, которые удовлетворяют ограничению ОДЗ.

Решение:

► ОДЗ: то есть .

Тогда и данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенству . Поскольку при (эти значения принадлежат ОДЗ), получаем (см. рисунок).

Учитывая ОДЗ, получаем ответ.

Ответ: .

План урока:

Сравнение чисел

Свойства неравенств

Оценка значений выражений

Доказательство неравенств

Решение неравенств с одной переменной

Решение систем неравенств с одной переменной

Решение совокупностей неравенств

Метод интервалов

Сравнение чисел

Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ «<»читается как «меньше». Например, запись

22 < 23

читается как «22 меньше 23» Другой знак, «>», означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).

Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.

Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.

Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.

Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):

b располагается правее а, а потому

b>a

Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что

b– а = с

Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить

а – b = – с

Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.

Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40

Решение. Найдем разность этих двух дробей:

Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.

Ответ: 29/35 > 33/40.

Свойства неравенств

Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.

Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:

а – b = c

умножив части равенства на (– 1), получим:

– (а – b) = – с

(b– a) = – с

Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb<a.

Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:

Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.

Данное свойство называют транзитивностью. Им обладает не только отношение «больше – меньше», но и ряд других отношений. Например, из геометрии известно, что если отрезок АВ параллелен отрезку CD, а тот в свою очередь параллелен ещё одному отрезку EF, то и АВ параллельно ЕF.

Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:

25 < 48 < 94

Можно использовать и более двух знаков сравнения:

365 <366 < 367 < 368 < 369

Другими словами, к обеим частям верного неравенства можно добавить одинаковое число, и оно всё равно останется верным. Действительно, пусть нам надо сравнить величины (а + с) и (b + c). Для этого найдем их разность:

(а + с) – (b + c) = a + c – b – с = а – b

Так как a<b, то и разность а – b отрицательна. Значит, отрицательна разность величин (а + с) и (b + c), из чего следует, что

а + с <b + c

Проиллюстрируем это на примере неравенства

73 < 86

Добавим к обеим частям число 11 и получим другое верное равенство:

73 + 11 < 86 + 11

84 < 97

Снова рассмотрим разность величин ac и bc:

ac– bc = (a– b)c

Разность (а – b) отрицательна при условии а <b. Если с – положительное число, то всё произведение (a– b)c остается отрицательным, т тогда

ас <bc

Если же c– отрицательное число, то произведение (a– b)c становится положительным, а потому

ас <bc

Пусть есть неравенство

100< 200

Если умножить его на положительное число, например, на 3, то получим верное равенство

300 < 600

Если же умножить его на (– 3), то придется «перевернуть» знак сравнения, поставить вместо «<»знак «>»:

– 300 >– 600

Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:

Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):

(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)

Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a<bи c<d. Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, а потому можно утверждать, что

а + c<b + d

Покажем, как с помощью этого правила можно складывать неравенства. Пусть есть два верных неравенства:

59<62

69<75

Теперь сложим отдельно их правые и левые части:

59 + 69<62 + 75

128 < 137

Однако если у неравенств разные знаки, то для их сложения надо в одном из них поменять местами правую и левую часть. Например, даны неравенства

63 < 99

26> 25

В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство

25 < 26

теперь в обоих неравенствах стоит знак «<», поэтому их можно сложить:

63 + 25 < 99 + 26

88 < 125

Последнее правило позволяет перемножать неравенства:

Для доказательства утверждения найдем разность величин ac и bd. При этом добавим к ней слагаемое bc и тут же его вычтем (это необходимо для того, чтобы мы смогли сгруппировать слагаемые):

ac – bd = ac – bd– bc + bc= (ac – bc) + (bc – bd) =

=c(a– b) + b(c– d)

Так как разности (a– b) и (c– d) являются отрицательными числами, c и b – положительными, то и произведения c(a– b) и b(c– d) – это отрицательные величины. Сумма же двух отрицательных величин также отрицательна, поэтому

ac<bd

Покажем на примере использование этого правила. Пусть есть неравенства

7<8

5<6

Перемножив их, получим:

7•5<8•6

35 < 48

Оценка значений выражений

Если известны пределы, в которых может изменяться переменная, то можно найти оценку значения выражения, в которое оно входит.

Пример. Известно, что 43 <v< 47. Оцените значение выражения 3v + 9.

Решение. Умножим каждую часть исходного неравенства на 3:

43 <v< 47

3•43 < 3•v< 3•47

129 < 3v<141

Далее добавим к неравенству девятку:

129 + 9 < 3v + 9 < 141 + 9

138 < 3v + 9 < 150

Получили оценку выражения 3v + 9, которую и требовалось найти

Ответ: 138 < 3v + 9 < 150.

Пример. Сторона квадрата может принимать значения от 16 до 21 см. Оцените величину площади этого квадрата.

Решение. Обозначим сторону квадрата буквой a. Тогда можно записать двойное неравенство

16⩽ а ⩽ 21

Знак «меньше или равно» используется из-за того, что по условию сторона квадрата может в точности равняться значению 16 или 21 см. Площадь квадрата (обозначим ее как S) равна а². Запишем неравенство из условия дважды, после чего перемножим эти неравенства:

16⩽ а ⩽21

16⩽ а ⩽21

16•16⩽ а•а⩽21•21

256⩽ а²⩽441

Получили оценку для а², а значит, и для площади S. Отметим, что при решении задач необязательно два раза писать одно и то же неравенство, чтобы потом их перемножать.

Ответ: 256 ⩽S⩽ 441

Пример. Пете надо купить 2 килограмма бананов и пакет молока. Он точно знает, что пакет молока стоит в разных магазинах от 65 до 80 рублей, а стоимость килограмма бананов колеблется от 54 до 69 рублей. Помогите Пете оценить, сколько денег он потратит в магазине.

Решение. Обозначим буквой h стоимость килограмма бананов, а через k – цену пакета молока. Затраты Пети составят 2h + k, при этом можно написать следующие оценки:

54 <h< 69

65 <k< 80

Оценим величину 2h

2•54 < 2h< 2•69

108 < 2h< 138

Сложим получившееся неравенство с 65 <k< 80:

108 + 65 < 2h + k< 138 + 80

173 < 2h + k< 218

Ответ: Петя потратит от 173 до 218 рублей.

Доказательство неравенств

Иногда в неравенствах помимо чисел встречаются переменные величины. При этом некоторые из них верны при любом значении этих переменных. Важно уметь доказывать это. Простейшие случаи связаны с использованием того факта, что квадрат любого числа неотрицателен.

Пример. Докажите, что при любом значении d выполняется неравенство

d²+ 11 >5

Решение. Запишем очевидно верное неравенство

d²⩾ 0

Добавим к нему число 11:

d² + 11 ⩾ 11

Число 11 больше 5, поэтому можно записать:

d² + 11 ⩾ 11 > 5

d² + 11 > 5

Пример. Докажите, что неравенство

n² – 8n + 19> 0

справедливо для любого n.

Решение.

В левой части стоит квадратный трехчлен, попытаемся преобразовать его с помощью формулы квадрата суммы:

n² – 8n + 19 = n² – 2•4n + 19 = n² – 2•4n +16 – 16 + 19 =

= (n² – 2•4n + 4²) – 16 + 19 = (n– 4)² + 3

Величина (n – 4)² является неотрицательным числом, поэтому сумма (n – 4)² + 3 никак не меньше трех, то есть положительна.

Иногда для доказательства числового неравенства можно определить знак разности выражений, стоящих в правой и левой части.

Пример. Докажите, что при любом значении переменных выполняется условие

2ut⩽u² + t²

Решение. Запишем разность выражений, стоящих в неравенстве, а потом преобразуем ее:

2ut – (u² + t²) = 2ut – u² – t² = – (u² – 2ut + t²) = – (u – t)²

Разность получилась неположительной. Значит, между уменьшаемым и вычитаемым можно поставить знак «⩽»:

2ut⩽u² + t²

Полученное выражение означает, что удвоенное произведение двух чисел не превосходит сумму их квадратов. Этот факт мы используем при решении следующего задания.

Пример. Докажите, что

d² + s² + m²⩾ds + dm + sm

Решение. В предыдущем примере мы установили, что сумма квадратов чисел больше или равна их двойному произведению, поэтому можно записать:

d² + s²⩾ 2ds

s² + m²⩾ 2sm

d² + m²⩾ 2dm

Сложим полученные неравенства:

(d² + s²) + (s² + m²) + (d² + m²) ⩾2ds + 2sm + 2dm

2d² + 2s² + 2m²⩾2ds + 2sm + 2dm

Осталось поделить на два это неравенство:

d² + s² + 2m²⩾ds + sm + dm

Решение неравенств с одной переменной

Очевидно, что не все неравенства справедливы при любом значении входящих в них переменных. Так, нер-во

х – 2 > 0

справедливо для х = 3 (так как 3 – 2 > 0), но несправедливо при х = 1. Такие выражения называют неравенствами с одной переменной. Его решением называют значение переменной, при подстановке которого получается справедливое числовое неравенство.

Так, 3 – это одно из решений для нер-ва

х – 2 > 0

ведь при его подстановке получается справедливое числовое нер-во

3 – 2 > 0

Чтобы решить нер-во, надо указать сразу ВСЕ решения для него. Однако стоит заметить, что почти всегда нер-во, в отличие от уравнения, имеет бесконечное количество решений. Так, решением для нер-ва

х – 2 > 0

является не только число 3, но также числа 4, 5, 6, 7, 8, и т.д. Более того, подойдут и дробные числа, например, 2,5; 2,6; 2,61 и т.д. Поэтому для указания решения нер-в используются особые математические объекты – числовые промежутки.

Отметим на координатной прямой числа а и b, а также точку с, лежащую между ними. Все числа, расположенные между ними, образуют множество, которое называют числовым промежутком:

Числовой промежуток обозначается скобками, в которых указаны его граничные точки: (а;b). В данном случае скобки круглые, это означает, что сами числа a и b НЕ входят в это множество. По этой причине концы промежутка на рисунке показаны незакрашенными точками, которые ещё называют «выколотыми».

Если некоторое число c располагается между числами a и b, то говорят, что с принадлежит промежутку (а; b). Записывается это так:

c∈(a; b)

Естественно, что с принадлежит промежутку в том случае, если выполняется неравенство

а <c<b

Например, число 29 принадлежит промежутку (21; 37), так как 21 < 29<37:

Промежуток, чьи концы НЕ относятся к нему самому, называют интервалом. Если же концы промежутка тоже входят в сам промежуток, то его уже называют отрезком. При этом для его обозначения используются квадратные скобки, а точки на рисунке показывают закрашенными:

Если точка с принадлежит отрезку [a; b], то это означает, что а ⩽ с ⩽b. Другими словами, записи с∈[a; b] и а ⩽ с ⩽b эквиваленты друг другу и означают одно и то же.

Возможны случаи, когда один конец промежутка относится к нему, а другой – нет. В этом случае промежуток называют полуинтервалом. В его записи одна скобка квадратная, а вторая – круглая:

Во всех этих рисунках под графическим изображением промежутка указывается его обозначение, а также двойное неравенство, которое можно написать для любой точки с, принадлежащей этому промежутку.

Наконец, порою надо указать множество чисел, которое ограничено только с одной стороны. Например, все числа, большие a, будут отмечаться так:

Символ ∞ означает «бесконечность». + ∞ – это условно бесконечно большое положительное число, а (– ∞) – это противоположное ему отрицательное число. Грубо говоря, + ∞ – это условная точка, расположенная правее любой другой на числовой прямой, а (– ∞) – условная точка, расположенная левее любой другой. Так как на самом деле таких точек не существует, то при обозначении соответствующего промежутка скобка со стороны знака бесконечности всегда круглая, а не квадратная. Промежутки, ограниченные лишь с одной стороны, называют числовыми лучами.

Теперь посмотрим, как числовые промежутки используются для решения неравенств. Пусть есть нер-во

х > 20

Отметим на числовой прямой число 20 и всё множество решений этого нер-ва:

Решением нер-ва будет промежуток (20; + ∞)

Введем понятие равносильных неравенств:

Более сложные нер-ва можно свести к более простым, но равносильным им, с помощью нескольких приемов:

Эти способы основаны на свойствах нер-в и очень сильно напоминают способы преобразований уравнений. Рассмотрим их использование на примере.

Пример. Найдите решение неравенства с одной переменной

х + 10 > 18

Решение.

Перенесем слагаемое 10 вправо, изменив его знак на противоположный:

х +10> 18

х > 18– 10

х > 8

Получили нер-во, решением которого является интервал (8; + ∞):

Ответ: (8; + ∞).

Пример. Решите нер-во

5у ⩾ 20

Решение. Поделим обе части на число 5. Оно положительное, а потому знак нер-ва не меняется:

5у ⩾ 20

у ⩾ 20/5

у ⩾4

Решением этого нер-ва будет интервал [4; + ∞)

Ответ: [4; + ∞).

Пример. Найдите значения переменной, при которых верна запись

–6z > 42

Решение. Поделим нер-во на (– 6). Так как это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный:

– 6z> 42

z< 42/ (– 6)

z<– 7

Решением нер-ва z< – 7 будет интервал (– ∞; – 7).

Ответ: (– ∞; – 7).

Пример. При каких значениях k справедливо нер-во

12k + 26 > 146

Решение. Перенесем слагаемое 26 вправо:

12k> 146 – 26

12k>120

Теперь поделим на 12 правую и левую часть:

k> 120/12

k> 10

Для нер-ваk> 10 решением является промежуток

Ответ: (10; + ∞).

Пример. Решите нер-во

9(h + 2) + 21 < 111 + 6h

Решение. Выполним тождественное преобразование – раскроем скобки в левой части:

9h + 18 + 21 < 111 + 6h

Далее перенесем слагаемое 6h влево, а 18 и 21 вправо:

9h – 6h< 111 – 21 – 18

3h< 72

h< 72/3

h< 24

Множеством решений этого нер-ва является промежуток (24; + ∞).

Ответ: (24; + ∞).

Решение систем неравенств с одной переменной

Из 7 класса мы помним, что помимо отдельных уравнений порою приходиться решать и системы уравнений. Аналогично существуют и системы неравенств.

Для обозначения систем используются фигурные скобки. Можно убедиться подстановкой, что для системы

числа 12 и 13 будут являться решением, а числа 9 и 16 – нет.

Как и в случае с одиночными нер-вами, нам требуется найти числовой промежуток, все числа которого будет решениями системами. Отметим на координатной прямой решений нер-ва х > 10 (штриховка сверху) и х < 15 (штриховка снизу):

Красным цветом выделен промежуток (10; 15), который является решением для обоих нер-в. Именно он и является решением системы

Заметим, что решением системы неравенств является пересечением множеств решений каждого отдельного нер-ва, входящего в его состав. Подробнее о понятии пересечения множеств можно узнать из этого урока.

Для того чтобы решить систему, надо решить каждое отдельное нер-во, а потом найти пересечение полученных решений. Рассмотрим несколько задач.

Пример. Найдите решение системы неравенств

Решение. В первом нер-ве перенесем слагаемое вправо, а второе поделим на 3:

Решением первого нер-ва будет промежуток (3; + ∞), а второго – промежуток (– ∞; 9). Их пересечением будет промежуток (3; 9):

Ответ: (3; 9).

Пример. При каких значениях переменных верна система

Решение. Преобразуем систему:

Решения этих двух нер-в, (8; + ∞) и (– ∞; – 2), не пересекаются:

Таким образом, система не имеет решения. Другими словами, ее решение – пустое множество, обозначаемое символом ∅.

Ответ: ∅

Пример. Укажите решение системы неравенств

Решение:

Решениями этих нер-в являются промежутки (– ∞; 4] и (– ∞; 6), их пересечением является (– ∞; 4] (он является подмножеством (– ∞; 6)):

Ответ: (– ∞; 4].

Решение совокупностей неравенств

Несколько неравенств могут быть объединены не только в системы, но и в совокупности. Отличие совокупности от системы заключается в том, что ее решением является любое число, которое обращает в верное числовое неравенство хотя бы одно из входящих в него нер-в.

Для обозначения совокупности используется квадратная скобка. Так решением совокупности

являются все числа, которые либо больше 10, либо меньше 6:

Можно сказать, что решение совокупности является объединением множеств решений всех входящих в него нер-в. Записывается это так:

(– ∞; 6)⋃(10; + ∞)

Пример. Найдите решение совокупности неравенств

Решение. Преобразуем совокупность

Отметим решения этих нер-в:

Так как мы решаем не систему нер-в, а их совокупность, то ответом будет являться та область числовой прямой, которая заштрихована хотя бы с одной стороны, не обязательно с двух (эта область выделена красным цветом). Получаем, что решением совокупности является луч (– ∞; 1).

Заметим, что если бы мы решали систему, а не совокупность, то ответом был бы луч (– ∞; 0,5).

Ответ: (– ∞; 1).

Метод интервалов

При решении сложных неравенств весьма эффективен метод интервалов. Он работает в том случае, если в одной части нер-ва стоит произведение нескольких множителей (обычно линейных полиномов), а в другой ноль. Тогда знак неравенства можно поменять на «=», и получить уравнение. Далее его следует решить и отметить на координатной прямой полученные корни. Эти корни разобьют числовую прямую на несколько интервалов. Далее надо просто определить, на каких интервалах выполняется неравенство. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример. Решите неравенство

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) > 0

Решение.

Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = 0

Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому

х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0

Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:

1. х – 5 = 0

х = 5

1. х – 7 = 0

х = 7

1. 4 – 2х = 0

– 2х = – 4

х = 2

Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:

• (– ∞; 2);
• (2; 5);
• (5; 7);
• (7; + ∞).

В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:

1. Из промежутка (– ∞; 2) возьмем х = 0:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140

Получили число, большее нуля: 140 > 0

1. Из промежутка (2; 5) возьмем х = 3:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16

Получили отрицательное число.

1. Из промежутка (5; 7) возьмем х = 6:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8

Получили положительное число

1. Для последнего промежутка возьмем х = 8:

(х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36

Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:

Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.

Ответ: (– ∞; 2)⋃(5; 7)

В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:

• 5х + 9
• 8х – 13
• 7,56х + 12,35

Пример. Определите, при каких значениях переменной полином

х² – 8х + 12

принимает отрицательные значения.

Решение. По сути, нам надо решить нер-во

х² – 8х + 12< 0

Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Для этого надо решить уравнение:

х² – 8х + 12 = 0

D = (– 8)² – 4•1•12 = 64 – 48 = 16

Зная х₁ и х₂, можем записать, что

х² – 8х + 12 = (х – х₁)(х – х₂) = (х – 2)(х – 6)

Перепишем исходное нер-во:

(х – 2)(х – 6) > 0

К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):

(х – 2)(х – 6) = 0

х – 2 = 0 или х – 6 = 0

х = 2 или х = 6

Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:

На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5

Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3

На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5

В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).

Ответ (2; 6).

Неравенства можно вычитать только если они противоположного смысла (в одном из неравенств знак больше, а в другом – меньше). Тогда при почленном вычитании одного неравенства из другого в полученном неравенстве нужно оставить тот знак, из которого мы вычитаем.

Пример:
a > b
–
c < d
=
a – c > b – d

Знак уменьшаемого – это “>”, его и оставляем.

Неравенства одинакового смысла (в обоих неравенствах знаки либо больше, либо, как в данном случае, меньше) вычитать нельзя. Может получиться как верное, так и неверное неравенство.

Пример: 5 > 3; 2 > 1, при вычитании получится 3 > 2 – это верно. Но: 5 > 3; 4 > 1, при вычитании получится 1 > 2 – это неверно.

В свою очередь, неравенства одинакового смысла можно складывать почленно (сохраняя одинаковый знак неравенства), а противоположного – нельзя.

Кроме того, всё вышеперечисленное справедливо только если данные неравенства соединены знаком системы (выполняются одновременно). Если же они соединены знаком совокупности (выполняется хотя бы одно из данных неравенств), то применение вышеуказанных правил может из верной совокупности неравенств привести к неверному неравенству. Например, совокупность неравенств 2 > 1; 1 > 3 верна, так как верно первое неравенство (неважно, что неверно второе). Тогда при их сложении получим 3 > 4 – неверное неравенство.