Как найти разность обыкновенных дробей

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

58-28

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5−2=3. Получается, что 58-28=38.

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде ab-cb=a-cb.  

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 8321 при выделении целой части получится 8321=32021.

Теперь просто вычтем 3 из него: 32021-3=2021.

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1. После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065-1362=10651-1362=1065·621·62-1362=6603062-1362==66030-1362=6601762=106446

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Математика

5 класс

Урок № 59

Вычитание дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– вычитание дробей с одинаковыми знаменателями;

– вычитание дробей с разными знаменателями;

– проверка вычитания сложением.

Тезаурус

Разность двух дробей – это дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Разность двух дробей с общим знаменателем – это дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 272.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. / П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009, стр.142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. / И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вспомним, что такое разность дробей. Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.

Будем пока рассматривать случаи, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого.

Какую часть корзинки осталось набрать?

Давайте подумаем, как построить ход решения и какими арифметическими действиями его сопроводить?

Так как Таня ходила за ягодами два раза, то найти, сколько всего ягод она набрала, нам поможет арифметическое действие – сложение:

Вопрос в задаче – какую часть корзинки осталось набрать?

Значит, нам нужно из объёма всей корзинки, вычесть ту часть, которую Таня уже набрала.

Сделаем проверку:

Сумма разности и вычитаемого действительно равна уменьшаемому.

Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило вычитания дробей с общим знаменателем.

Например, найдём разность семи восьмых и трёх пятых. Знаменатели дробей взаимно простые числа, поэтому общий знаменатель равен их произведению, т. е. сорока.

Не забываем умножить дополнительные множители и на числители. В итоге получаем дробь одиннадцать сороковых.

Решим задачу. Две сестры помогли маме помыть посуду.

Младшая – ?

Найдём разность всей вымытой посуды и той части, которую вымыла старшая дочь.

Итак, чтобы найти разность двух дробей, нужно определить равные или разные у них знаменатели, а затем использовать то правило вычитания дробей, которое подходит в конкретном случае.

Вычитание обыкновенных дробей

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. На ветке сидели воробьи. Когда четверть воробьёв улетела, их осталось 9. Сколько воробьёв было на ветке?

По рисунку видно, что в трёх равных оставшихся частях 9 воробьёв, значит в одной части:

1. 9 : 3 = 3 – воробья в одной части.

Одна часть воробьёв улетела, значит, улетело 3.

Тогда:

1. 3 + 9 = 12 – воробьёв было всего на ветке.

Или можно ответить на вопрос так: в одной части 3 воробья, а всего таких частей 4, значит:

1. 3 ∙ 4 = 12 – воробьёв было всего на ветке.

Ответ: 12 воробьёв сидело на ветке.

№2. Выберите выражения, в которых в результате вычитания получается единица.

Решение: найдём результаты каждого выражения.

Мы видим, что только в двух выражениях в результате получилась единица. Это и есть верные ответы.

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают
числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

Пример.

В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями
записывают так:

Вычитание правильной дроби из единицы

Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде
неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

Знаменатель вычитаемой дроби равен 7, значит, единицу представляют как неправильную
дробь

и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число
в виде смешанного числа.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби,
знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью

и вместо 3 записали смешанное
число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части
вычитают дробную часть.

При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

Первый случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части
уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого
(что вычитаем).

Пример.

Второй случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей разные знаменатели.

В этом случае вначале нужно

привести к общему знаменателю
дробные части, а затем
выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Пример.

Третий случай вычитания смешанных чисел

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и
во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

3 < 14

Поэтому, вспомнив
вычитание правильной дроби из целого числа, займём единицу из целой части и представим
эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным 18.

Сложим полученную неправильную дробь

и дробную часть
уменьшаемого и получим:

Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания
смешанных чисел.

• Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части
  вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу. Эту единицу
  превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
• Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
• Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Перед тем как перейти к сложению дробей, вспомним теоретические основы. Итак, дробь — это форма записи числа:

где a — числитель, b — знаменатель.

Дробь называется правильной — если числитель меньше знаменателя (к примеру, 1/3), неправильной — если числитель больше знаменателя (например, 5/2).

Вычитание обыкновенных дробей

Вычитание дробей — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число, содержащее разность заданных чисел.

Разберем на конкретных примерах: как находить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как из натурального числа вычесть дробь и наоборот, познакомимся с вычитанием смешанных дробей.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатели оставить без изменения. В общем виде это будет выглядеть следующим образом:

Пример 1:

7 8

—

2 8

Решение:

7 8

—

2 8

=

7 — 2 8

=

5 8

Таким образом, чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями нужно найти разность их числителей, а знаменатель оставить без изменения.

Как вычитать дроби с разными знаменателями

В общем виде, вычитание дробей с разными знаменателями, выглядит следующим образом:

a b

—

c d

=

a ∙ m1 — c ∙ m2 e

где e — наименьший общий знаменатель (НОЗ — наименьшее число, которое делится без остатка и на b и на d), m1 и m2 — дополнительные множители (m1 = e : b, m2 = e : d).

Пример 3:

5 3

—

2 7

Решение:

5 3

—

2 7

=

5 ∙ 7 21

—

2 ∙ 3 21

=

35 21

—

6 21

=

35 — 6 21

=

29 21

=

1

8 21

Подробнее про нахождение НОЗ — смотрите тут.

Как из целого числа вычесть дробь?

Вычитание обыкновенной дроби из целого числа, сводится к представлению целого числа в виде дроби, в которой знаменатель будет единицей, а числитель самим числом, к примеру:

Дальнейшее вычисление происходит по стандартному алгоритму.

Как из обыкновенной дроби вычесть целое число?

Порядок действий, при вычитании целого числа из дробного, аналогичен, т.е. представляем целое число в виде дроби со знаменателем — 1 и находим разность, согласно представленным выше алгоритмам вычитания.

Как вычитать смешанные дроби?

Вычитание смешанных дробей сводится к переводу их к неправильному виду и дальнейшим действиям согласно вышеописанным алгоритмам. Перевод смешанного числа в неправильную дробь, в общем виде, выглядит следующим образом:

Пример 4:

3

2 4

—

3 5

Решение:

3

2 4

—

3 5

=

3 ∙ 4 + 2 4

—

3 5

=

14 4

—

3 5

=

14 ∙ 5 20

—

3 ∙ 4 20

=

70 20

—

12 20

=

70 — 12 20

=

58 20

=

29 10

=

2

9 10

Правила вычитания дробей

Резюмируя вышесказанное, выведем общий алгоритм вычитания дробей:

• Если дробь смешанная — приводим её к неправильному виду;
• Если дроби имеют одинаковые знаменатели — из числителя первой дроби вычитаем числитель второй;
• Если дроби имеют разные знаменатели — находим НОЗ и дополнительные множители, находим разность числителей;
• При необходимости сокращаем и приводим к неправильному виду.

Смотрите также:

• Смотрите также
• Калькуляторы
• Последние примеры

Калькулятор вычитания дробей

Оцените материал:

Загрузка…

Вычитание обыкновенных дробей

• Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• Вычитание дробей с разными знаменателями
• Онлайн калькулятор вычитания дробей

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы найти разность двух обыкновенных дробей, у которых одинаковые знаменатели, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и под полученной разностью подписать их общий знаменатель.

Используя буквы, запишем правило вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями в виде формулы:

Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю:

Вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы найти разность двух дробей , у которых разные знаменатели, нужно:

1. найти общий знаменатель;
2. привести дроби к общему знаменателю (желательно к наименьшему общему знаменателю);
3. выполнить вычитание дробей: из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и под полученной разностью подписать общий знаменатель;
4. сократить полученную дробь, если это возможно.

Онлайн калькулятор вычитания дробей

Данный калькулятор поможет вам найти разность двух обыкновенных дробей с одинаковыми или разными знаменателями. Просто введите две дроби и нажмите кнопку Вычислить.