Как найти разность потенциалов двух точек поля

Понятие электрического потенциала является одним из важных основ теории электростатики и электродинамики. Понимание его сущности является необходимым условием для дальнейшего изучения этих разделов физики.

Что такое электрический потенциал

Пусть в поле, создаваемым неподвижным зарядом Q, помещён единичный заряд q, на который действует сила Кулона F=k*Qq/r.

Здесь и далее k=((1/4)*π* ε₀* ε), где ε_{0 —} электрическая постоянная (8,85*10^-12 Ф/м), а ε – диэлектрическая постоянная среды.

Внесённый заряд под действием этой силы может перемещаться, а сила при этом совершит определенную работу. Это означает, что система из двух зарядов обладает потенциальной энергией, зависящей от величины обоих зарядов и расстояния между ними, причём величина этой потенциальной энергии не зависит от величины заряда q. Здесь и вводится определение электрического потенциала – он равен отношению потенциальной энергии поля к величине заряда:

φ=W/q,

где W – потенциальная энергия поля, создаваемого системой зарядов, а потенциал является энергетической характеристикой поля. Чтобы переместить заряд q в электрическом поле на какое-то расстояние, надо затратить определённую работу на преодоление кулоновских сил. Потенциал точки равен работе, которую надо затратить для перемещения единичного заряда из этой точки в бесконечность. При этом надо отметить, что:

• эта работа будет равна убыли потенциальной энергии заряда (A=W₂-W₁);
• работа не зависит от траектории перемещения заряда.

В системе СИ единицей измерения потенциала является один Вольт (в русскоязычной литературе обозначается буквой В, в зарубежной – V). 1 В=1Дж/1 Кл, то есть, можно говорить о потенциале точки в 1 вольт, если для перемещения заряда в 1 Кл в бесконечность потребуется совершить работу в 1 Джоуль. Название выбрано в честь итальянского физика Алессандро Вольта, внесшего значительный вклад в развитие электротехники.

Чтобы наглядно представить, что такое потенциал, его можно сравнить с температурой двух тел или температурой, замеренной в разных точках пространства. Температура служит мерой нагрева объектов, а потенциал – мерой электрической заряженности. Говорят, что одно тело нагрето более другого, также можно сказать, что одно тело заряжено более, а другое – менее. Эти тела обладают разным потенциалом.

Значение потенциала зависит от выбора системы координат, поэтому требуется какой-то уровень, который надо принять за ноль. При измерении температуры за базовую границу можно принять, например, температуру тающего льда. Для потенциала за нулевой уровень обычно принимают потенциал бесконечно удаленной точки, но для решения некоторых задач за нулем можно считать, например, потенциал земли или потенциал одной из обкладок конденсатора.

Свойства потенциала

Среди важных свойств потенциала надо отметить следующие:

• если поле создается несколькими зарядами, то потенциал в конкретной точке будет равен алгебраической (с учетом знака заряда) сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов φ=φ₁+φ₂+φ₃+φ₄+φ₅+…+φ_n;
• если расстояния от зарядов таковы, что сами заряды можно считать точечными, то суммарный потенциал считается по формуле φ=k*(q₁/r₁+q₂/r₂+q₃/r₃+…+q_n/r_n), где r – расстояние от соответствующего заряда то рассматриваемой точки.

Если поле образовано электрическим диполем (двумя связанными зарядами противоположного знака), то потенциал в любой точке, находящейся на расстоянии r от диполя будет равен φ=k*p*cosά/r², где:

• p – электрическое плечо диполя, равное q*l, где l – расстояние между зарядами;
• r – расстояние до диполя;
• ά – угол между плечом диполя и радиус-вектором r.

Если точка лежит на оси диполя, то cosά=1 и φ=k*p/r².

Разность потенциалов

Если две точки обладают определённым потенциалом, и если они не равны, то говорят о том, что между двумя точками существует разность потенциалов. Разность потенциалов возникает между точками:

• потенциал которых определяется зарядами разных знаков;
• точкой с потенциалом от заряда любого знака и точкой с нулевым потенциалом;
• точками, имеющими потенциал равного знака, но отличающимися по модулю.

То есть, разность потенциалов не зависит от выбора системы координат. Можно провести аналогию с бассейнами с водой, расположенными на разной высоте относительно нулевой отметки (например, уровня моря).

Вода каждого бассейна имеет определенную потенциальную энергию, но если соединить два любых бассейна трубкой, то в каждой из них возникнет поток воды, расход которой определяется не только размерами трубки, но и разностью потенциальных энергий в гравитационном поле Земли (то есть, разностью высот). Абсолютное значение потенциальных энергий значения в данном случае не имеет.

Точно так же, если соединить проводником две точки с разным потенциалом, по нему потечёт электрический ток, определяемый не только сопротивлением проводника, но и разностью потенциалов (но не их абсолютным значением). Продолжая аналогию с водой, можно сказать, что вода в верхнем бассейне скоро закончится, и если не найдется той силы, которая переместит воду обратно наверх (например, насоса), то и поток очень быстро прекратится.

Так и в электрической цепи – чтобы поддерживать разность потенциалов на определенном уровне, потребуется сила, переносящая заряды (точнее, носители зарядов) к точке с наибольшим потенциалом. Такая сила называется электродвижущей силой и сокращенно обозначается ЭДС. ЭДС может носить различную природу – электрохимическую, электромагнитную и т.п.

На практике имеет значение в основном разность потенциалов между начальной и конечной точками траектории движения носителей зарядов. В этом случае эту разность называют напряжением, и оно в СИ также измеряется в вольтах. О напряжении в 1 Вольт можно говорить, если поле совершает работу в 1 Джоуль при перемещении заряда в 1 Кулон из одной точки в другую, то есть 1В=1Дж/1Кл, и Дж/Кл также может являться единицей измерения разности потенциалов.

Эквипотенциальные поверхности

Если потенциал нескольких точек одинаков, и эти точки образуют поверхность, то такая поверхность называется эквипотенциальной. Таким свойством обладает, например, сфера, описанная вокруг электрического заряда, ведь электрическое поле убывает с расстоянием одинаково во все стороны.

Все точки этой поверхности имеют одинаковую потенциальную энергию, поэтому при перемещении заряда по такой сфере работа затрачиваться не будет. Эквипотенциальные поверхности систем из нескольких зарядов имеют более сложную форму, но у них есть одно интересное свойство – они никогда не пересекаются. Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны поверхностям с одинаковым потенциалом в каждой их точке. Если эквипотенциальную поверхность рассечь плоскостью, получится линия равных потенциалов. Она имеет те же свойства, что и эквипотенциальная поверхность. На практике равный потенциал имеют, например, точки на поверхности проводника, помещенного в электростатическое поле.

Разобравшись с понятием потенциала и разности потенциалов, можно приступать к дальнейшему изучению электрических явлений. Но не ранее, потому что без понимания базовых принципов и понятий углубить знания не получится.

1. Разность потенциалов между двумя точками электростатического поля.

Так
как потенциальная энергия ,
то работа сил поля равна:

Здесь

–
разность потенциалов, т. е. разность
значений потенциала в начальной и
конечной точках траектории.
  
Разность потенциалов называют
также напряжением.
  
Согласно формулам (14.17) и (14.18) разность
потенциалов между двумя точками
оказывается равной:

   Разность
потенциалов (напряжение) между двумя
точками равна отношению работы поля
при перемещении положительного заряда
из начальной точки в конечную к величине
этого заряда.
  
Если за нулевой уровень отсчета потенциала
принять потенциал бесконечно удаленной
точки поля, то потенциал в данной точке
равен отношению работы электростатических
сил по перемещению положительного
заряда из данной точки в бесконечность
к этому заряду.
   Единица
разности потенциалов. Единицу
разности потенциалов устанавливают с
помощью формулы (14.19). В Международной
системе единиц работу выражают в джоулях,
а заряд – в кулонах. Поэтому
разность потенциалов между двумя точками
численно равна единице, если при
перемещении заряда в 1
Кл из
одной точки в другую электрическое поле
совершает работу в 1
Дж. Эту единицу называют вольтом (В);
1 В = 1 Дж/1 Кл.

Работа
поля по перемещению заряда из одной
точки в другую, называется разностью
потенциалов

1. Первый закон термодинамики для изотермического и адиабатического процессов.

Согласно
первому закону термодинамики, изменение
внутренней энергии термодинамической
системы при переходе из одного состояние
в другое равно сумме работы, выполненной
внешними силами, и количества теплоты,
переданной системе извне

Сформулировать
первый закон термодинамики можно
иначе: количество
теплоты, получаемое системой извне при
ее переходе из одного состояния в другое,
расходуется на повышение внутренней
энергии системы и на работу, которую
она выполняет против внешних сил

При изотермическом
процессе температура
не изменяется, значит не изменяется внутренняя
энергия 

Первый
закон принимает вид 

Все
количество теплоты, которую получает
газ расходуется на выполнение им работы
против внешних сил. Или, если газ
сжимается, при этом не изменяется
температура, работу выполняют внешние
силы, а газ отдает некоторое количество
теплоты в окружающую среду.

В адиабатическом
процессе Q = 0;
поэтому первый закон термодинамики
принимает вид 

т. е.
газ совершает работу за счет убыли его
внутренней энергии.

1. Среднеквадратичная
   скорость. Наиболее вероятная скорость
   молекул.

   Скорость,
   при которой функция распределения
   молекул идеального газа по скоростям
   максимальна, называется наиболее
   вероятной скоростью.
   Это скорость,
   вблизи которой на единичный интервал
   скоростей приходится наибольшее число
   молекул

Среднеквадратичная скорость

 Вывод
формулы начинается с основного уравнения
молекулярно кинетический теории
(МКТ):  

Где  у
нас количество вещества, для более
легкого доказательства, возьмем на
рассмотрение 1 моль вещества, тогда у
нас получается:

  Если
посмотреть, то PV это две третьих средней
кинетической энергии всех молекул (а у
нас взят 1 моль молекул):

  Тогда,
если приравнять правые части, у нас
получается, что для 1 моля газа средняя
кинетическая энергия будет равняться:

  Но
средняя кинетическая энергия, так же
находится, как :  

А
вот теперь, если мы приравняем правые
части и выразим из них скорость и возьмем
квадрат,Число Авогадро на массу молекулы
, получается Молярная масса  то
у нас и получится формула для средней
квадратичной скорости молекулы газа:  

А
если расписать универсальную газовую
постоянную, как ,
и за одно молярную массу ,
то у нас получится?

В
Формуле мы использовали :

 —
Средняя
квадратичная скорость молекул,
 — Постоянная
Больцмана

 —
Температура,
 —
Масса одной молекулы,
 — Универсальная
газовая постоянная

 —
Молярная
масса,
 —
Количество вещества,
 —
Средняя кинетическая энергия молекул,
 — Число
Авогадро

1. Три
   эквивалентные формулы для энергии
   конденсатора.

Формулу
для энергии заряженного конденсатора
можно записать в нескольких эквивалентных
формах:

1. Формула
   работы для элементарного квазистационарного
   процесса. Геометрическое изображение
   работы в координатах PV.

1. Планетарная
   модель атома (модель Резерфорда).

Резерфорд
предложил планетарную
модель атома.
Согласно этой модели, в центре атома
располагается положительно заряженное
ядро, в котором сосредоточена почти вся
масса атома. Атом в целом нейтрален.
Вокруг ядра, подобно планетам, под
действием кулоновских сил со стороны
ядра вращаются электроны (рис. 6.1.4).
Находиться в состоянии покоя электроны
не могут, так как они упали бы на ядро.

1. Как
   изменяется температура и энтропия
   идеального газа при адиабатическом
   сжатии?

Адиаб.процесс-процесс,
происход. без обмена теплотой с окружающей
средой. Q=0,
U=-A.,
слеовательно энтропия не изменяется,
так как нет обмена с окрж.средой S=Q/T

 Нагревание
газа при адиабатическом сжатии объясняется
тем, что во время сжатия над газом
производится работа, которая идёт на
увеличение его внутренней энергии. А
так как внутренняя энергия идеального
газа зависит только от температуры, то
это увеличение внутренней энергии
проявляется в повышении его температуры
– средней кинетической энергии
неупорядоченного движения молекул. На
микроскопическом уровне это означает,
что когда поршень сжимает газ, скорость,
с которой молекула отразится от поршня,
будет больше её начальной скорости.
Поэтому при отражении от поршня она
получит дополнительную энергию, которая
постепенно перераспределится между
всеми молекулами газа за счёт их взаимных
столкновений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Потенциал электростатического поля – работа, затрачиваемая электрическим полем на перемещение положительной единицы заряда из данной точки поля в бесконечность (в системе СИ измеряется в вольтах – В)

Разность значений потенциала в начальной и конечной точках траектории – разность потенциалов или напряжение, и оно измеряется работой, совершаемой силами электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда или, соответственно, единичной массы из одной точки с большим потенциалом в другую с меньшим потенциалом вдоль силовых линий этого поля.

Разность потенциалов или напряжение – энергетическая характеристика электрического поля, одна из главных величин в электричестве и она не зависит от выбора системы координат

Разность потенциалов или напряжения определяется по формуле:

Формул, в которых присутствует напряжение (разность потенциалов) много, и их можно использовать для определения напряжения, некоторые из них:

связь напряжения и напряженности в однородном электрическом поле: U = Ed

где Е – напряженность поля, d – расстояние;

определение емкости конденсатора: C = q/U, откуда U = q/C

где С – емкость, q – заряд;

формула закона Ома для участка цепи: I = U/R, откуда U = IR

где I – сила тока, R – сопротивление

формула мощности электрического тока: P = UI, откуда U = P/I

где P – мощность, I – сила тока

и еще целый ряд формул, где используется напряжение (разность потенциалов)

У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал.

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Электростатический потенциа́л — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт (русское обозначение: В; международное: V), 1 В = 1 Дж/Кл (подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением^[1]

или обратно^[2]:

Здесь  — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля , легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона в вакууме. В единицах системы СИ:

где  — электростатический потенциал (в вольтах),  — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а  — электрическая постоянная (в фарадах на метр).

Неоднозначность определения потенциала[править | править код]

Поскольку потенциал (как и потенциальная энергия) может быть определён с точностью до произвольной постоянной (и все величины, которые можно измерить, а именно напряженности поля, силы, работы — не изменятся, если мы выберем эту постоянную так или по-другому), непосредственный физический смысл (по крайней мере, пока речь не идет о квантовых эффектах) имеет не сам потенциал, а разность потенциалов, которая определяется как:

где:

 — потенциал в точке 1,

 — потенциал в точке 2,

 — работа, совершаемая полем при переносе пробного заряда из точки 1 в точку 2.

При этом считается, что все остальные заряды при такой операции «заморожены» — то есть неподвижны во время этого перемещения (имеется в виду вообще говоря скорее воображаемое, а не реальное перемещение, хотя в случае, если остальные заряды действительно закреплены — или пробный заряд исчезающе мал по величине — чтобы не вносить заметного возмущения в положения других — и переносится достаточно быстро, чтобы остальные заряды не успели заметно переместиться за это время, формула оказывается верной и для вполне реальной работы при реальном перемещении).

Впрочем, иногда для снятия неоднозначности используют какие-нибудь «естественные» условия. Например, часто потенциал определяют таким образом, чтобы он был равен нулю на бесконечности для любого точечного заряда — и тогда для любой конечной системы зарядов выполнится на бесконечности это же условие, а над произвольностью выбора константы можно не задумываться (конечно, можно было бы выбрать вместо нуля любое другое число, но ноль — «проще»).

Единицы измерения[править | править код]

В СИ за единицу разности потенциалов принимают вольт (В).

Разность потенциалов между двумя точками поля равна одному вольту, если для перемещения между ними заряда в один кулон нужно совершить работу в один джоуль: 1 В = 1 Дж/Кл (L²MT⁻³I⁻¹).

В СГС единица измерения потенциала не получила специального названия. Разность потенциалов между двумя точками равна одной единице потенциала СГСЭ, если для перемещения между ними заряда величиной одна единица заряда СГСЭ нужно совершить работу в один эрг.

Приближенное соответствие между величинами: 1 В = 1/300 ед. потенциала СГСЭ.

Использование термина[править | править код]

Широко используемые термины напряжение и электрический потенциал имеют несколько иной смысл, хотя нередко используются неточно как синонимы электростатического потенциала. В отсутствие меняющихся магнитных полей напряжение равно разности потенциалов.

Кулоновский потенциал[править | править код]

Иногда термин кулоновский потенциал используется просто для обозначения электростатического потенциала как полный синоним. Однако можно сказать, что в целом эти термины несколько различаются по оттенку и преимущественной области применения.

Также под кулоновским могут понимать потенциал любой природы (то есть не обязательно электрический), который при точечном или сферически симметричном источнике имеет зависимость от расстояния (например, гравитационный потенциал в теории тяготения Ньютона, хотя последний чаще всё же называют ньютоновским, так как он был изучен в целом раньше), особенно если надо как-то обозначить весь этот класс потенциалов в отличие от потенциалов с другими зависимостями от расстояния.

Формула электростатического потенциала (кулоновского потенциала) точечного заряда в вакууме:

где обозначен коэффициент, зависящий от системы единиц измерения — например, в СИ:

= 9·10⁹ В·м/Кл,

 — величина заряда,  — расстояние от заряда-источника до точки, для которой рассчитывается потенциал.

• Можно показать, что эта формула верна не только для точечных зарядов, но и для любого сферически симметричного заряда конечного размера, например, равномерно заряженного шара, правда, только в свободном от заряда пространстве — то есть, например, над поверхностью шара, а не внутри его.
• Кулоновский потенциал в приведенном выше виде используется в формуле кулоновской потенциальной энергии (потенциальной энергии взаимодействия системы электростатически взаимодействующих зарядов):

  

В электродинамике[править | править код]

Когда присутствуют изменяющиеся во времени магнитные поля (что справедливо, при изменяющихся во времени электрических полей и наоборот), то невозможно описать электрическое поле в терминах скалярного потенциала V, поскольку электрическое поле больше не является консервативным: циркуляция зависит от пути, потому что (см. Закон индукции Фарадея).

Вместо этого всё ещё можно определить скалярный потенциал, дополнив его магнитным векторным потенциалом A. В частности, А определен так чтобы

где B — магнитное поле. Поскольку дивергенция магнитного поля всегда равно нулю из-за отсутствия магнитных монополей, то A всегда существует. Учитывая это, величина

является консервативным полем по закону Фарадея, и поэтому можно написать

где V — скалярный потенциал, определённый консервативным полем F.

Электростатический потенциал — это частный случай этого определения, где A не зависит от времени. С другой стороны, для изменяющихся во времени полей,

в отличие от электростатики.

См. также[править | править код]

• Гальвани-потенциал
• Вольта-потенциал
• Векторный потенциал электромагнитного поля
• 4-потенциал
• Стандартный электродный потенциал
• Степень окисления
• Гравитационный потенциал
• Ядерный потенциал

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Алешкевич В. А. Электромагнетизм. — М.: Физматлит, 2014. — 404 с. — 700 экз. — ISBN 978-5-9221-1555-1.