Как найти разность потенциалов между плоскостями

Задачи по электростатике можно разделить на две группы: задачи о точечных зарядах и задачи о заряженных телах, размеры которых нельзя не учитывать [1—5].

Решение задач по расчёту электрических полей и взаимодействий точечных зарядов основано на применении закона Кулона и не вызывает особых затруднений. Более сложным является определение напряжённости поля и взаимодействия заряженных тел конечных размеров: сферы, цилиндра, плоскости. При вычислении напряжённости электростатических полей различной конфигурации следует подчеркнуть важность принципа суперпозиции и использовать его при рассмотрении полей, созданных не только точечными зарядами, но и зарядами, распределёнными по поверхности и объёму. При рассмотрении действия поля на заряд формула F=qE в общем случае справедлива для точечных заряженных тел и только в однородном поле применима для тел любых размеров и формы, несущих заряд q.

Электрическое поле конденсатора получается в результате наложения двух полей, созданных каждой пластиной.

В плоском конденсаторе можно рассматривать одну пластину как тело с зарядом q₁ помещённое в электрическое поле напряжённостью Е₂, созданное другой пластиной.

Рассмотрим несколько задач.

1. Бесконечная плоскость заряжена с поверхностной плотностью σ>0. Найдите напряжённость поля Е и потенциал ϕ по обе стороны плоскости, считая потенциал плоскости равным нулю. Постройте графики зависимостей Е(х), ϕ(х). Ось х перпендикулярна плоскости, точка х=0 лежит на плоскости.

Решение. Электрическое поле бесконечной плоскости является однородным и симметричным относительно плоскости. Его напряжённостьСвязь между напряжённостью и разностью потенциалов между двумя точками однородного электростатического поля выражается формулойгде х — расстояние между точками, измеренное вдоль силовой линии. Тогда  ϕ₂=ϕ₁-Eх. При х<0 при х>0  Зависимости Е(х) и ϕ(х) представлены на рисунке 1.

2. Две плоскопараллельные тонкие пластины, расположенные на малом расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены зарядом поверхностной плотностью σ₁ и σ₂. Найдите напряжённости поля в точках, лежащих между пластинами и с внешней стороны. Постройте график зависимости напряжённости Е(х) и потенциала ϕ(х), считая ϕ(0)=0. Рассмотрите случаи, когда: a) σ₁=-σ₂; б) σ₁= σ₂; в) σ₁=3σ₂–

Решение. Так как расстояние между пластинами мало, то их можно рассматривать как бесконечные плоскости.

Напряжённость поля положительно заряженной плоскости равнаи направлена от неё; напряжённость поля отрицательно заряженной плоскости направлена к ней.

Согласно принципу суперпозиции поле в любой рассматриваемой точке будет создаваться каждым из зарядов в отдельности.

а) Поля двух плоскостей, заряженных равными и противоположными по знаку зарядами (плоский конденсатор), складываются в области между плоскостями и взаимно уничтожаются во внешних областях (рис. 2, а).

При х<0 Е=0, ϕ=0; при 0<x<d при x>d Е=0,Графики зависимости напряжённости и потенциала от расстояния х приведены на рисунке 2, б, в.

Если плоскости конечных размеров, то поле между плоскостями не будет строго однородным, а поле вне плоскостей не будет точно равно нулю.

б) Поля плоскостей, заряженных равными по величине и знаку зарядами (σ₁=σ₂), компенсируют друг друга в пространстве между плоскостями и складываются во внешних областях (рис. 3, а). При х<0при 0<x<d E=0; при х>d 

Воспользовавшись графиком Е(х) (рис. 3, б), построим качественно график зависимости ϕ(х) (рис. 3, в).

в) Если σ₁= σ₂, то, учитывая направления полей и выбирая направление направо за положительное, находим:

Зависимость напряжённости Е от расстояния показана на рисунке 4.

3. На одной из пластин плоского конденсатора ёмкостью С находится заряд q₁=+3q, а на другой q₂=+q. Определите разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Решение. 1-й способ. Пусть площадь пластины конденсатора S, а расстояние между ними d. Поле внутри конденсатора однородное, поэтому разность потенциалов (напряжение) на конденсаторе можно определить по формуле U=E*d, где Е — напряжённость поля внутри конденсатора.

где Е₁, Е₂ — напряжённости поля, создаваемого пластинами конденсатора.

Тогда

2-й способ. Добавим на каждую пластину зарядТогда пластины конденсатора будут иметь заряды +q и -q. Поля одинаковых зарядов пластин внутри конденсатора компенсируют друг друга. Добавленные заряды не изменили поле между пластинами, а значит, и разность потенциалов на конденсаторе. U=q/C.

4. В пространство между обкладками незаряженного плоского конденсатора вносят тонкую металлическую пластину, имеющую заряд +q. Определите разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Решение. Так как конденсатор не заряжен, то электрическое поле создаётся только пластиной, имеющей заряд q (рис. 5). Это поле однородное, симметричное относительно пластины, и его напряжённость Пусть потенциал металлической пластины равен  ϕ. Тогда потенциалы обкладок А и В конденсатора будут равны ϕ-ϕ_А=ϕEl₁; ϕ_А=ϕ-El₁; ϕ-ϕ_B=ϕ-El₂; ϕ_B=ϕ-El₂.

Разность потенциалов между обкладками конденсатора Если пластина находится на одинаковом расстоянии от обкладок конденсатора, то разность потенциалов между обкладками равна нулю.

5. В однородное электрическое поле напряжённостью Е₀ перпендикулярно силовым линиям помещают заряженную металлическую пластину с плотностью заряда на поверхности каждой стороны пластины σ (рис. 6). Определите напряжённость поля Е’ внутри и снаружи пластины и поверхностную плотность зарядов σ₁и σ₂, которая возникнет на левой и правой сторонах пластины.

Решение. Поле внутри пластины равно нулю и является суперпозицией трёх полей: внешнего поля Е₀, поля, создаваемого зарядами левой стороны пластины, и поля, создаваемого зарядами правой стороны пластины. Следовательно,где σ₁ и σ₂ — поверхностная плотность заряда на левой и правой сторонах пластины, которая возникает после внесения пластины в поле Е₀. Суммарный заряд пластины не изменится, поэтому σ₁+σ₂=2σ, откуда σ₁=σ-ε₀E₀, σ₂=σ+ε₀E₀. Поле снаружи пластины является суперпозицией поля Е₀ и поля заряженной пластины Е. Слева от пластиныСправа от пластины 

6. В плоском воздушном конденсаторе напряжённость поля Е= 10⁴ В/м. Расстояние между обкладками d=2 см. Чему будет равна разность потенциалов, если между пластинами параллельно им поместить металлический лист толщиной d₀=0,5 см (рис. 7)?

Решение. Поскольку электрическое поле между пластинами однородное, то U=Ed, U=200 В.

Если между пластинами пометить металлический лист, то получается система из двух последовательно соединённых конденсаторов с расстоянием между пластинами d₁ и d₂. Ёмкости этих конденсаторовИх общая ёмкость

Так как конденсатор отключён от источника тока, то заряд конденсатора при внесении металлического листа не меняется: q’=CU=С’U₁;где  емкость конденсатора до внесения в него металлического листа. Получаем:

U₁=150 В.

7. На пластинах А и С, расположенных параллельно на расстоянии d=8 см друг от друга, поддерживаются потенциалы ϕ₁= 60 В и ϕ₂=-60 В соответственно. Между ними поместили заземлённую пластину D на расстоянии d₁=2 см от пластины А. На сколько изменилась напряжённость поля на участках AD и CD? Постройте графики зависимостей ϕ(x) и Е(х).

Решение. Первоначальная напряжённость поля между пластинами А и С:

E₁=1,5 кВ/м.

Напряжённость поля на участке AD: Е₂= ϕ₁/d₁, Е₂=3 кВ/м, т. е. увеличилась на 1,5 кВ/м. Напряжённость поля на участке CD  Е₃= ϕ₂/d₂, т.е. уменьшилась на Е₃=0,5 кВ/м.  Поскольку векторы направлены противоположно положительному направлению оси Ох, то Е_г, Е₂, Е₃<0 (рис. 8).

8. Точечный заряд q=5*10^-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземлённой стенки. Найдите поверхностную плотность заряда, индуцированного на стенке в точке А, ближайшей к заряду, и в точке В, находящейся на расстоянии 5 см от заряда.

Решение. В точках А, В, расположенных в непосредственной близости к поверхности проводника (рис. 9), поле создаётся точечным зарядом q и зарядом q’, индуцированным на стенке:

В точке Агде а — расстояние от заряда до стенки,. Но поле внутри проводника равно нулю; следовательно,. Отсюда  

В точке В величина нормальной составляющей напряжённости поля точечного заряда

где b — расстояние от заряда до точки, cosα=a/b,— напряжённость поля плоскости.

Следовательно,

Список использованной литературы

1. Балаш, В. А. Задачи по физике и методы их решения / В. А. Балаш. — 4-е изд. — М. : Просвещение, 1983. — 432 с.

2. Бутиков, Е. И. Физика в примерах и задачах / Е. И. Бутиков, А. А. Быков, А. С. Кондратьев. — 3-е изд. — М. : Наука, 1989. — 462 с.

3. Зилъберман, Г. Е. Электричество и магнетизм / Г. Е. Зильберман. — М. : Наука, 1990. — 384 с.

4. Меледин, Г. В. Физика в задачах / Г. В. Меледин. — 2-е изд. — М. : Наука, 1990. — 270 с.

5. Сборник задач по физике / Л. П. Баканина [и др.]; под ред. С. М. Козела. — М. : Наука, 1990. — 347 с.

Задача 334

334. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные плотности заряда, которых σ₁=2 мкКл/м² и σ₂=-0,8 мкКл/м², находятся на расстоянии d=0,6 см  друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

Download (PDF, 176KB)

Максим 19 апреля, 2013

Posted In: Задача, Физика, Физика. Воробьев А.А, Чертов А.Г., 1987, Электричество и магнетизм

Метки: Вариант 4

Установленная в
§ 85 связь между напря­женностью поля
и потенциалом позволяет по известной
напряженности поля найти разность
потенциалов между двумя про­извольными
точками этого поля.

1.
Поле равномерно заряженной бесконеч­ной
плоскости определяется
формулой (82.1): E=/(2₀),
где 
— поверхностная плотность заряда.
Разность потенциалов между точками,
лежащими на расстояниях х₁,
и
x₂
от
плоскости

140

(используем формулу
(85.1)), равна

2.
Поле двух бесконечных параллельных
разноименно заряженных плоскостей
определя­ется
формулой (82.2): Е=/₀,
где

—
повер­хностная плотность заряда.
Разность потенциа­лов между плоскостями,
расстояние между ко­торыми равно
d
(см. формулу (85.1)), равна

3.
Поле равномерно заряженной сфериче­ской
поверхности радиуса
R
с
общим
зарядом Q
вне
сферы
(r>R)
вычисляется
по (82.3):

E=(1/4₀)Q/r².
Разность потенциалов между двумя
точками, лежащими на расстояниях r₁
и r₂
от
центра сферы (r₁>R,
r₂>R),
равна

Если
принять r₁=r
и r₂=,
то потенциал поля вне сферической
поверхности, согласно формуле (86.2),
задается выражением

(ср. с формулой
(84.5)). Внутри сферической поверхности
потенциал всюду одинаков и равен

График
зависимости 
от r
приведен
на рис. 134.

4.
Поле объемно заряженного шара ра­диуса
R
с
общим зарядом Q
вне
шара
(r>R)
вычисляется
по формуле (82.3), поэтому раз­ность
потенциалов между двумя точками,
лежа­щими на расстояниях r₁
и
r₂
от центра шара (r₁>R,
r₂>R),
определяется
формулой (86.2). В любой точке, лежащей
внутри
шара
на рас­стоянии r‘
от
его центра (r'<R),
напряжен­ность
определяется выражением (82.4):
E=(1/4₀)(Q/R³)r’.
Следовательно,
разность потенциалов между двумя
точками, лежащими на расстояниях r‘₁
и
r‘₂
от
центра шара (r’₁<R,
r’₂<R),
равна

5.
Поле равномерно заряженного бесконеч­ного
цилиндра радиуса
К,
заряженного
с линей­ной плотностью т, вне цилиндра
(r>R)
опреде­ляется формулой (82.5):
E=(1/2₀)(/r).
Следовательно, разность потенциалов
между двумя точками, лежащими на
расстояниях r₁
и
r₂
от
оси заряженного цилиндра (r₁>R,
r₂>R),
равна

§ 87. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков

Диэлектрик
(как и всякое вещество) со­стоит из
атомов и молекул. Так как поло­жительный
заряд всех ядер молекулы ра­вен
суммарному заряду электронов, то молекула
в целом электрически нейтраль­на.
Если заменить положительные заряды
ядер молекул суммарным зарядом +Q,
находящемся
в центре «тяжести» положи­тельных
зарядов, а заряд всех электро­нов —
суммарным отрицательным заря­дом –Q,
находящемся
в центре «тя­жести» отрицательных
зарядов, то моле­кулу можно рассматривать
как электриче­ский диполь с электрическим
моментом, определенным формулой (80.3).

Первую
группу диэлектриков (N₂,
H₂,
О₂,
СO₂,
СH₄,
…) составляют вещества,

141

молекулы
которых имеют симметричное строение,
т. е. центры «тяжести» положи­тельных
и отрицательных зарядов в отсут­ствие
внешнего электрического поля со­впадают
и, следовательно, дипольный мо­мент
молекулы р
равен нулю. Молекулы
таких
диэлектриков называются неполяр­ными.
Под
действием внешнего электриче­ского
поля заряды неполярных молекул смещаются
в противоположные стороны (положительные
по полю, отрицательные против поля) и
молекула приобретает ди­польный
момент.

Вторую
группу диэлектриков (H₂O,
NH₃,
SO₂,
CO, …)
составляют вещества, молекулы которых
имеют асимметричное строение, т. е.
центры «тяжести» положи­тельных и
отрицательных зарядов не со­впадают.
Таким образом, эти молекулы в отсутствие
внешнего электрического по­ля обладают
дипольным моментом. Моле­кулы
таких
диэлектриков называются по­лярными.
При
отсутствии внешнего поля, однако,
дипольные моменты полярных мо­лекул
вследствие теплового движения
ори­ентированы в пространстве хаотично
и их результирующий момент равен нулю.
Если такой диэлектрик поместить во
внешнее поле, то силы этого поля будут
стремиться повернуть диполи вдоль поля
и возникает отличный от нуля результирующий
момент.

Третью
группу диэлектриков (NaCl,
КСl,
КВг,…) составляют вещества, моле­кулы
которых имеют ионное строение. Ионные
кристаллы представляют собой
пространственные решетки с правильным
чередованием ионов разных знаков. В
этих кристаллах нельзя выделить отдельные
молекулы, а рассматривать их можно как
систему двух вдвинутых одна в другую
ионных подрешеток. При наложении на
ионный кристалл электрического поля
про­исходит некоторая деформация
кристал­лической решетки или
относительное сме­щение подрешеток,
приводящее к возник­новению дипольных
моментов.

Таким
образом, внесение всех трех групп
диэлектриков во внешнее электриче­ское
поле приводит к возникновению от­личного
от нуля результирующего элек­трического
момента диэлектрика, или, иными словами,
к поляризации диэлектрика. Поляризацией
диэлектрика
называет­ся процесс ориентации диполей
или по­явления под воздействием
электрического поля ориентированных
по полю диполей.

Соответственно
трем группам диэлек­триков различают
три вида поляризации:

электронная,
или деформационная, по­ляризация
диэлектрика
с неполярными молекулами, заключающаяся
в возникно­вении у атомов индуцированного
дипольного момента за счет деформации
элек­тронных орбит;

ориентационная,
или
дипольная, поля­ризация диэлектрика
с полярными молеку­лами, заключающаяся
в ориентации име­ющихся дипольных
моментов молекул по полю. Естественно,
что тепловое движение препятствует
полной ориентации молекул, но в результате
совместного действия обо­их факторов
(электрическое поле и тепло­вое
движение) возникает преимуществен­ная
ориентация дипольных моментов мо­лекул
по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем
больше напряженность элек­трического
поля и ниже температура;

ионная
поляризация диэлектриков
с ионными кристаллическими решетками,
заключающаяся в смещении подрешетки
положительных ионов вдоль поля, а
отри­цательных — против поля, приводящем
к возникновению дипольных моментов.

Соседние файлы в папке Трофимова Курс физики

• #

  16.03.2016155.65 Кб1141.doc

• #

  16.03.2016662.53 Кб21010.doc

• #

  16.03.2016592.38 Кб25011.doc

• #
• #

  16.03.2016181.76 Кб16713.doc

• #

  16.03.2016336.38 Кб13614.doc

• #

  16.03.2016206.34 Кб14015.doc

• #

  16.03.2016169.98 Кб9616.doc