Как найти разность потенциалов между точками перемещения

Потенциал электростатического поля – работа, затрачиваемая электрическим полем на перемещение положительной единицы заряда из данной точки поля в бесконечность (в системе СИ измеряется в вольтах – В)

Разность значений потенциала в начальной и конечной точках траектории – разность потенциалов или напряжение, и оно измеряется работой, совершаемой силами электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда или, соответственно, единичной массы из одной точки с большим потенциалом в другую с меньшим потенциалом вдоль силовых линий этого поля.

Разность потенциалов или напряжение – энергетическая характеристика электрического поля, одна из главных величин в электричестве и она не зависит от выбора системы координат

Разность потенциалов или напряжения определяется по формуле:

Формул, в которых присутствует напряжение (разность потенциалов) много, и их можно использовать для определения напряжения, некоторые из них:

связь напряжения и напряженности в однородном электрическом поле: U = Ed

где Е – напряженность поля, d – расстояние;

определение емкости конденсатора: C = q/U, откуда U = q/C

где С – емкость, q – заряд;

формула закона Ома для участка цепи: I = U/R, откуда U = IR

где I – сила тока, R – сопротивление

формула мощности электрического тока: P = UI, откуда U = P/I

где P – мощность, I – сила тока

и еще целый ряд формул, где используется напряжение (разность потенциалов)

Содержание:

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле:

В повседневной жизни мы довольно часто, особенно в сухую погоду, встречаемся с ситуацией, когда, коснувшись какого-либо тела, чувствуем неприятный удар. Как показывает опыт, таких сюрпризов можно ожидать от тел, имеющих высокий потенциал.

Работа по перемещению заряда в однородном электростатическом поле

Если электростатическое поле действует с некоторой силой на электрически заряженные тела, то оно способно совершить работу по перемещению этих тел.

Пусть в однородном электростатическом поле напряженностью

Вычислим работу А, которую совершает сила , действующая на заряд со стороны электростатического поля. По определению работы: A=Fscosα.

Поле однородное, поэтому сила постоянна, ее модуль равен: F=qE, а scosα=d=является проекцией вектора перемещения на направление силовых линий поля. Следовательно, работа сил однородного электростатического поля по перемещению электрического заряда q из точки 1 в точку 2 ( ) равна:

Обратите внимание! Если бы в данном случае заряд перемещался не из точки 1 в точку 2, а наоборот, то знак работы изменился бы на противоположный, то есть работа совершалась бы против сил поля.

Обратите внимание! Формула будет справедлива в случаях движения заряда по любой траектории. То есть однородное электростатическое поле является потенциальным.

Потенциальным является любое электростатическое поле: работа электростатических (кулоновских) сил (как и работа гравитационных сил) не зависит от формы траектории, по которой перемещается заряд, а определяется начальным и конечным положениями заряда. Если траектория движения заряда замкнута, работа сил поля равна нулю.

Потенциальная энергия заряженного тела в поле, созданном точечным зарядом

Заряженное тело, помещенное в электростатическое поле, как и тело, находящееся в гравитационном поле Земли, обладает потенциальной энергией. Потенциальную энергию заряда, находящегося в электрическом поле, обычно обозначают символом . Согласно теореме о потенциальной энергии изменение потенциальной энергии заряда, взятое с противоположным знаком, равно работе, которую совершает электростатическое поле по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 поля:

Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов Q и q, расположенных на расстоянии r друг от друга, определяют по формуле:

Обратите внимание: 1) потенциальная энергия взаимодействия зарядов положительна ( > 0), если заряды одноименные, и отрицательна ( < 0), если заряды разноименные; 2) если заряды бесконечно отдалить друг от друга (r → ∞), то = 0 (заряды не будут взаимодействовать). Таким образом, потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна работе, которую должно совершить электростатическое поле для увеличения расстояния между этими зарядами от r до бесконечности.

Что называют потенциалом электростатического поля

Потенциал электростатического поля в данной точке — это скалярная физическая величина, которая характеризует энергетические свойства поля и равна отношению потенциальной энергии электрического заряда, помещенного в данную точку поля, к значению q этого заряда:

Единица потенциала в Си — вольт:

Из определения потенциала следует, что потенциал ϕ поля, созданного точечным зарядом Q, в точках, которые расположены на расстоянии r от данного заряда, можно рассчитать по формуле:

Из формулы ( *) видно: 1) если поле создано положительным точечным зарядом (Q > 0), то потенциал этого поля в любой точке является положительным ( ϕ > 0); 2) если поле создано отрицательным точечным зарядом (Q < 0), то потенциал этого поля в любой точке является отрицательным (ϕ < 0). Формула ( *) справедлива и для потенциала поля равномерно заряженной сферы (или шара) на расстояниях, которые больше ее радиуса или равны ему.

Если поле создано несколькими произвольно расположенными зарядами, потенциал ϕ поля в любой точке данного поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом:

Как определяют разность потенциалов

Когда в электростатическом поле заряд движется из точки 1 в точку 2, это поле совершает работу, которая равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком: . Поскольку то Выражение называют разностью потенциалов, где — значение потенциала в начальной точке траектории движения заряда, — значение потенциала в ее конечной точке.

Разность потенциалов — скалярная физическая величина, равная отношению работы сил электростатического поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную к значению этого заряда:

Единица разности потенциалов в Си — вольт: = 1 В (V).

Разность потенциалов между двумя точками поля равна 1 В, если для перемещения между ними заряда 1 Кл электростатическое поле совершает работу 1 Дж. Обратите внимание: в подобных случаях разность потенциалов − также называют напряжением (U). Важно не путать изменение потенциала и разность потенциалов (напряжение) .

Как связаны напряженность однородного электростатического поля и разность потенциалов

Рассмотрим однородное электростатическое поле на участке между точками 1 и 2, расположенными на расстоянии d друг от друга; пусть из точки 1 в точку 2 под действием поля перемещается заряд q (рис. 42.2).

Совершаемую полем работу можно найти двумя способами: 1) через разность потенциалов между точками 1 и 2:; 2) через напряженность поля: — проекция вектора на ось Ох, проведенную через точки 1 и 2.

Приравняв оба выражения для работы, получим: , откуда: , или

Если заряд перемещается в направлении напряженности электрического поля () , последняя формула примет вид:

Из последней формулы следует единица напряженности в Си — вольт на метр:

Какие поверхности называют эквипотенциальными

Для визуализации электростатического поля кроме силовых линий используют также эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальная поверхность — это поверхность, во всех точках которой потенциал электростатического поля имеет одинаковое значение.

Для наглядности следует рассматривать не одну эквипотенциальную поверхность, а их совокупность. Однако графически изобразить совокупность поверхностей сложно, поэтому обычно изображают только линии пересечения эквипотенциальных поверхностей некоторой плоскостью (рис. 42.3).

Эквипотенциальные поверхности тесно связаны с силовыми линиями электростатического поля. Если электрический заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности, то работа поля равна нулю, поскольку A=q ( ), а на эквипотенциальной поверхности .

Работу электростатического поля также можно представить через силу , действующую на заряд со стороны поля: A F= scosα , где α — угол между векторами и . Поскольку A = 0, а F ≠ 0 и s ≠ 0, то cosα = 0, то есть α = 90°. Это означает, что при движении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности вектор силы , а следовательно, и вектор напряженности поля в любой точке перпендикулярны вектору перемещения .

Таким образом, силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (см. рис. 42.3).

Обратите внимание! Симметрия эквипотенциальных поверхностей повторяет симметрию источников поля. Так, поле точечного заряда сферически симметрично, поэтому эквипотенциальными поверхностями поля точечного заряда являются концентрические сферы; при однородном поле эквипотенциальные поверхности — это система параллельных плоскостей.

• Заказать решение задач по физике

Пример решения задачи

Электрон, начав движение из состояния покоя, прошел ускоряющую разность потенциалов –300 В. Какую скорость приобрел электрон? Масса электрона кг, заряд Кл.

Заряд электрона — отрицательный, его начальная скорость = 0, поэтому под действием сил поля электрон будет двигаться в направлении, противоположном направлению силовых линий поля, то есть в направлении увеличения потенциала. Поле будет совершать положительную работу, в результате кинетическая энергия электрона и его скорость будут возрастать.

Решение:

Поиск математической модели, решение Согласно теореме о кинетической энергии:

— работа сил поля.

Таким образом, , отсюда .

Проверим единицу, найдем значение искомой величины:

Ответ:

Выводы:

1. Работа поля при перемещении заряда

В этой главе мы рассматриваем электрическое поле, созданное покоящимися электрическими зарядами. Такое поле называют электростатическим. (В курсе физики 11-го класса мы рассмотрим также вихревое электрическое поле, которое порождается не электрическими зарядами, а изменяющимся магнитным полем. Для вихревого электрического поля нельзя ввести понятие разности потенциалов, которое рассматривается в этом параграфе.)

На заряд q, находящийся в электростатическом поле, действует сила

= q,

где – напряженность электрического поля в той точке, где находится заряд.

При перемещении заряда эта сила может совершать работу, которую часто называют работой поля. Она может быть положительной, отрицательной, а также равной нулю.

? 1. На рисунке 53.1 изображены линии напряженности однородного электростатического поля. Модуль напряженности поля 100 Н/Кл. Точки А, В, С, D расположены в вершинах квадрата со стороной 10 см. В этом поле перемещают точечный положительный заряд 10 нКл.

Какую работу совершит электрическое поле при перемещении заряда по прямой:
а) из A в B? б) из B в C? в) из C в D? г) из D в A? д) из A в C? е) из B в D?
ж) Как изменится работа поля при любом перемещении заряда, если модуль заряда увеличить в 3 раза?
з) Какую работу совершит электрическое поле при перемещении заряда по замкнутому контуру вдоль всех четырех сторон квадрата? Имеет ли при этом значение, в какой вершине квадрата заряд находился в начальный момент? Имеет ли значение, в каком направлении перемещался заряд – по часовой стрелке или против?

На примере этого задания вы могли заметить, что работа электростатического поля при перемещении заряда из одной точки в другую зависит только от положения начальной и конечной точек и не зависит от траектории движения заряда.

Работа электростатического поля при перемещении заряда по замкнутому контуру равна нулю.

Оказывается, что этими важнейшими свойствами обладает любое электростатическое поле, то есть поле, созданное любыми покоящимися электрическими зарядами.

Например, при перемещении электрического заряда из точки 1 в точку 2 по траекториям а и б (рис. 53.2) электростатическое поле совершает одинаковую работу.

2. Разность потенциалов (напряжение)

Вспомним, что работа силы тяготения и силы упругости по перемещению тела также зависит только от начального и конечного положения тела и не зависит от траектории его движения. Это позволило ввести понятие потенциальной энергии для системы тел, взаимодействующих посредством сил тяготения и упругости.

Поскольку работа электростатического поля по перемещению заряда тоже зависит только от начального и конечного положения заряда, для заряда в электростатическом поле тоже можно ввести понятие потенциальной энергии.

Обозначим потенциальную энергию заряда Wp. Как вы уже знаете, изменение потенциальной энергии равно работе, совершаемой телом или системой тел, взятой со знаком минус. Поэтому если заряд переместился из точки 1 в точку 2, то

W_p2 – W_p1 = –A₁₂,

где A₁₂ – работа, совершенная полем по перемещению заряда из точки 1 в точку 2.

Перепишем эту формулу так:

W_p1 – W_p2 = A₁₂.     (1)

Отсюда видно, что при перемещении заряда из точки 1 в точку 2:
– если поле совершает положительную работу, то потенциальная энергия заряда уменьшается;
– если поле совершает отрицательную работу (например, когда сила направлена противоположно перемещению), то потенциальная энергия заряда увеличивается;
– если работа поля равна нулю (например, сила перпендикулярна перемещению), то потенциальная энергия заряда не изменяется.

? 2. На рисунке 53.3 изображены линии напряженности электростатического поля и отмечено несколько точек. В начальный момент положительный заряд находится в точке А.

При перемещении заряда в какие из отмеченных точек его потенциальная энергия:
а) уменьшается;
б) увеличивается;
в) остается неизменной?
г) Как изменяется потенциальная энергия отрицательного заряда при перемещении его из точки A в точку: B; C; D; E; F; G; H; K?

Работа поля и потенциальная энергия заряда в электростатическом поле пропорциональны величине заряда (так как сила, действующая на заряд, пропорциональна величине заряда). Отсюда следует, что отношение потенциальной энергии заряда в электростатическом поле к величине заряда не зависит от заряда и поэтому характеризует само поле.

Отношение потенциальной энергии заряда в данной точке поля к величине этого заряда называют потенциалом электростатического поля φ в этой точке:

φ = W_p/q. (2)

Из формул (1) и (2) следует, что

разность потенциалов между точками 1 и 2 равна отношению работы поля A₁₂ по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 к величине заряда:

φ₁ – φ₂ = A₁₂/q.     (3)

Разность потенциалов между точками 1 и 2 численно равна работе электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Разность потенциалов называют также напряжением и обозначают U. В дальнейшем мы будем использовать как термин разность потенциалов, так и термин напряжение.

Когда говорят о «потенциале поля в некоторой точке», под этим всегда понимают разность потенциалов между этой точкой и точкой, потенциал поля в которой приняли равным нулю.

Выбор такой точки определяется только соображениями удобства: он не влияет на значение разности потенциалов поля между любыми двумя точками.

Единица разности потенциалов (напряжения). Единицей напряжения является 1 вольт (сокращенно В). Эта единица названа в честь итальянского ученого Алессандро Вольта, который создал первый химический источник постоянного электрического тока.

Если разность потенциалов между двумя точками равна 1 В, то при перемещении положительного заряда в 1 Кл из одной точки в другую электрическое поле совершает работу 1 Дж. Следовательно,

1 В = 1 Дж / 1 Кл.

? 3. Чему равна разность потенциалов между точками 1 и 2, если при перемещении заряда 10 нКл из точки 1 в точку 2 электростатическое поле совершило работу 10^-6 Дж?

? 4. Отрицательный заряд q перемещают из точки с более высоким потенциалом в точку с более низким потенциалом.
а) Какую работу совершает при этом поле: положительную или отрицательную?
б) Чему равна работа поля, если q = -50 нКл, потенциал начальной точки равен 300 В, а конечной точки – равен 100 В?

? 5. Слова напряжение и напряженность очень похожи. Чтобы осознать различия между физическими величинами, которые обозначаются этими словами, ответьте на следующие вопросы и обоснуйте свои ответы.
а) Какая из этих величин – векторная, а какая – скалярная?
б) О какой из этих величин можно говорить применительно только к одной точке пространства, а о какой – применительно только к двум точкам?
в) Какая из этих величин является силовой характеристикой электрического поля, а какая – энергетической?

? 6. Вернемся к заданию 1 (см. рис. 53.1). Чему равна разность потенциалов между точками:
а) А и В; б) В и С; в) С и D; г) D и А; д) А и С; е) В и D?

3. Соотношение между напряжением и напряженностью для однородного поля

Пусть положительный заряд q перемещают в однородном электростатическом поле напряженностью в направлении линий напряженности на расстояние d (рис. 53.4).

На заряд со стороны поля действует сила qe_vec, направление которой совпадает с направлением перемещения. Поэтому при перемещении на расстояние d поле совершает работу A = qEd.

Напряжение связано с работой соотношением U = A/q.

Следовательно,

U = Ed.      (4)

Соотношение между напряженностью однородного поля и напряжением можно записать также в виде

E = U/d     (5)

Из уравнения (5) следует, что единицу напряженности поля можно определить также как 1 вольт на метр (сокращенно В/м). 1 В/м – это напряженность поля, в котором разность потенциалов между точками, расположенными на одной линии напряженности на расстоянии 1 м друг от друга, равна 1 В.

? 7. Объясните, почему

1 В/м = 1 Н/Кл.

? 8. Вблизи поверхности Земли напряженность поля, созданного зарядом Земли, составляет 130 В/м.
а) Чему равно напряжение между точкой, находящейся на уровне головы стоящего человека, и точкой, находящейся на уровне его ног? Рост человека примите равным 170 см.
б) Почему это напряжение безопасно для человека?

4. Эквипотенциальные поверхности

Если работа поля по перемещению заряда из одной точки в другую равна нулю, то равна нулю и разность потенциалов между этими точками. Можно сказать также, что потенциалы этих точек равны.

? 9. На рисунках 53.5 и 53.6 изображены линии напряженности однородного электростатического поля и поля точечного заряда. Объясните, почему потенциалы точек, лежащих на одной н той же пунктирной линии, равны.

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что работа силы равна нулю, если сила перпендикулярна перемещению.

Поверхность, все точки которой имеют равный потенциал, называют эквипотенциальной поверхностью. (От латинского слова «эквус» – равный.)

? 10. Объясните, почему поверхность любого проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной, если заряды в проводнике находятся в равновесии.

? 11. Объясните, почему все точки проводника (а не только его поверхность!) имеют одинаковый потенциал.

5. Энергия заряженного тела в электростатическом поле

Если на тело действуют только потенциальные силы, то согласно закону сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергий этого тела остается неизменной. Рассмотрим случай, когда на заряд действует сила со стороны электростатического поля.

? 12. Электрон движется в однородном поле с напряженностью 100 В/м. Как изменились его потенциальная и кинетическая энергия, если он переместился на 0,5 м:
а) в направлении линии напряженности поля?
б) противоположно линии напряженности поля?

Дополнительные вопросы и задания

13. Объясните, почему линии напряженности электростатического поля не могут иметь вид, показанный на рисунке 53.7.

14. Как должна двигаться заряженная частица в однородном электростатическом поле, чтобы ее траектория была прямолинейной? Может ли кинетическая энергия частицы оставаться при этом неизменной?

15. Может ли заряженная частица равномерно двигаться по окружности:
а) в однородном электростатическом поле?
б) в электрическом поле точечного заряда?
(Излучение заряженной частицы при движении с ускорением в этой главе не учитывается.)

16. Заряженная частица массой m, заряд которой равен по модулю q, влетает в однородное электростатическое поле со скоростью v0, направленной перпендикулярно линиям напряженности поля. Модуль напряженности поля E.
а) Какова форма траектории движения частицы?
б) Как изменяется потенциальная энергия частицы: увеличивается, уменьшается или остается постоянной?
в) Как изменяется кинетическая энергия частицы?
г) Чему равна работа поля по перемещению частицы к тому моменту, когда ее кинетическая энергия возрастает в 2 раза по сравнению с начальной кинетической энергией?
д) Чему будет равна в этот момент скорость частицы?
е) На какое расстояние d сместится к этому моменту частица вдоль линий напряженности поля?
ж) Имеет ли значение знак заряда частицы для ответов на предыдущие вопросы?

17. Электрон влетел в однородное электростатическое поле со скоростью 30 км/с, направленной вертикально вверх. Через 2 * 10^-8 с после этого скорость электрона изменила направление на противоположное.
а) Как направлена напряженность поля?
б) Чему равен модуль напряженности поля?

Разность потенциалов

Как выглядит определние разности потенциалов (напряжения) электрического поля.

То же самое на английском языке

Гипермаркет знаний>>Физика и астрономия>>Физика 10 класс>>Физика: Связь между напряженностью электростатического поля и разностью потенциалов. Эквипотенциальные поверхности

   Каждой точке электрического поля соответствуют определенные значения потенциала и напряженности. Найдем связь напряженности электрического поля с потенциалом.
   Пусть заряд q перемещается в направлении вектора напряженности однородного электрического поля из точки 1 в точку 2, находящуюся на расстоянии от точки 1 (рис.14.28). Электрическое поле совершает работу:

   Эту работу согласно формуле (14.19) можно выразить через разность потенциалов в точках 1 и 2:

   Приравнивая выражения для работы, найдем модуль вектора напряженности поля:

   В этой формуле U – разность потенциалов между точками 1 и 2, которые связаны вектором перемещения , совпадающим по направлению с вектором напряженности (см. рис.14.28).
   Формула (14.21) показывает: чем меньше меняется потенциал на расстоянии , тем меньше напряженность электростатического поля. Если потенциал не меняется совсем, то напряженность поля равна нулю.
   Так как при перемещении положительного заряда в направлении вектора напряженности  электростатическое поле совершает положительную работу , то потенциал больше потенциала .
   Следовательно, напряженность электрического поля направлена в сторону убывания потенциала.
   Любое электростатическое поле в достаточно малой области пространства можно считать однородным. Поэтому формула (14.21) справедлива для произвольного электростатического поля, если только расстояние настолько мало, что изменением напряженности поля на этом расстоянии можно пренебречь.
   Единица напряженности электрического поля. Единицу напряженности электрического поля в СИ устанавливают, используя формулу (14.21). Напряженность электрического поля численно равна единице, если разность потенциалов между двумя точками на расстоянии 1 мв однородном поле равна 1 В. Наименование этой единицы – вольт на метр (В/м).
   Напряженность можно также выражать в ньютонах на кулон. Действительно,

   Эквипотенциальные поверхности. При перемещении заряда под углом 90° к силовым линиям электрическое поле не совершает работы, так как сила перпендикулярна перемещению. Значит, если провести поверхность, перпендикулярную в каждой ее точке силовым линиям, то при перемещении заряда вдоль этой поверхности работа не совершается. А это означает, что все точки поверхности, перпендикулярной силовым линиям, имеют один и тот же потенциал.
   Поверхности равного потенциала называют эквипотенциальными.
   Эквипотенциальные поверхности однородного поля представляют собой плоскости (рис.14.29), а поля точечного заряда – концентрические сферы (рис.14.30).

   Подобно силовым линиям, эквипотенциальные поверхности качественно характеризуют распределение поля в пространстве. Вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и направлен в сторону уменьшения потенциала.
   Эквипотенциальные поверхности строятся обычно так, что разность потенциалов между двумя соседними поверхностями постоянна. Поэтому согласно формуле (14.21) расстояния между соседними эквипотенциальными поверхностями увеличиваются по мере удаления от точечного заряда, так как напряженность поля уменьшается.
   Эквипотенциальные поверхности однородного поля расположены на равных расстояниях друг от друга.
   Эквипотенциальной является поверхность любого проводника в электростатическом поле. Ведь силовые линии перпендикулярны поверхности проводника. Причем не только поверхность, но и все точки внутри проводника имеют один и тот же потенциал. Напряженность поля внутри проводника равна нулю, значит, равна нулю и разность потенциалов между любыми точками проводника.
   Модуль напряженности электростатического поля численно равен разности потенциалов между двумя близкими точками в этом поле, деленной на расстояние между этими точками.

   ???
   1. Чему равна разность потенциалов между двумя точками заряженного проводника?
   2. Как связана разность потенциалов с напряженностью электрического поля?

Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс

_{Материалы по физике, планирование по физике, задания и ответы по классам, планы конспектов уроков по физике для 10 класса}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь – Образовательный форум.

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

©  Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний – Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов –
гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других “взрослых” тем.

Разработка – Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: