-
Выражение потенциала любой точки схемы через потенциалы соседних точек.
Рассмотрим
на примере схемы рис. 15.
Рис.
15. Схема электрической цепи
Перед
расчетом произвольно выбираются
направления токов во всех ветвях и
больше не меняются в процессе расчета.
Найдем
разность потенциалов между точками d
и n
на пути ncabmd.
;
.
(18)
При
движении от точки n
к точке c
потенциал скачком возрастает на величину
ЭДС 
.
На участках ca
и ab
движемся против тока, т.е. в сторону
возрастания потенциала, поэтому падения
напряжения 
и 
входят в выражение (18) со знаком «плюс».
Далее на участке bm
скачок потенциала, поэтому падение
напряжения 
входит в выражение (18) со знаком «плюс».
Разность
потенциалов между точками d
и n
по кратчайшему пути будет:
Udn
=
I3R3.
(19)
Знак
«плюс» соответствует возрастанию
потенциала при движении от точки n
к точке d
по току.
Если
при расчете по двум разным путям между
одними и теми же точками получается
одинаковая разность потенциалов, то
можно считать, что токи рассчитаны
верно. Это дополнительное средство
проверки правильности расчета.
Найдем
теперь разность потенциалов между
точками b
и m
на пути mdncab:
Ubm
=
I2R2
– I3R3
+
E3
+ I6R6
+ I4R4;
(20)
. (21)
-
Первый и второй законы Кирхгофа. Составление уравнений для расчета токов в схемах при наличии в них источников эдс и тока.
Первый
закон Кирхгофа формируется следующим
образом: алгебраическая сумма токов,
сходящихся в узле равна нулю. Математически
это записывается так:
.
(22)
Здесь
n
– число узлов, для которых составляются
уравнения по первому закону Кирхгофа.
Положительными
считаются токи, подходящие к узлу,
отрицательными – отходящие от узла.
В
схеме рис. 15 пять узлов: a,
b,
c,
d,
n.
Количество уравнений, которые нужно
составить по первому закону Кирхгофа,
равно числу узлов без единицы:
. (23)
Здесь
У=5
число
узлов.
Узлы,
для которых составляются уравнения,
выбираются произвольно.
Составим
четыре уравнения по первому закону
Кирхгофа для узлов a,
b,
c,
d:
-
;
(24)
;
b)
;
(25)
c)
;
(26)
d)
–
.
(27)
Уравнение
для последнего узла не составляется,
так как оно может быть выведено из ранее
составленных уравнений (24), (25), (26) и (27).
В
схеме рис. 15 число ветвей В
равно семи, оно всегда равно числу
неизвестных токов.
Второй
закон Кирхгофа формулируется следующим
образом: алгебраическая сумма падений
напряжений вдоль любого замкнутого
контура равно алгебраической сумме ЭДС
того же контура.
.
(28)
Здесь
n
– число контуров, для которых составляются
уравнения по второму закону Кирхгофа.
Любой
замкнутый путь в схеме называется
электрическим контуром. Ветвь с источником
тока не учитывается при подсчете числа
контуров.
Так
в схеме рис. 15 шесть контуров: admba,
acnda,
abca,
cndabc,
cadmbc
и cndmbc.
Независимым
контуром называется такой контур, в
который входит хотя бы одна новая ветвь,
не вошедшая в предыдущие контуры.
Независимых
контуров на схеме рис. 15 всего три: admba,
adnca,
abca.
Контуры
,
и 
не
являются независимыми контурами, так
как входящие в них ветви уже использованы
при составлении первых трех контуров.
Выберем
также произвольно направления обхода
независимых контуров, например, все по
часовой стрелке.
Число
уравнений 
,
которые
нужно составить по второму закону
Кирхгофа равно числу ветвей 
минус 
,
т.е. число уравнений, составленных по
первому закону Кирхгофа
. (29)
Это
всегда равно числу независимых контуров
. (30)
При
составлении уравнений по второму закону
Кирхгофа падение напряжения следует
считать положительным, если направление
тока в данной ветви совпадает с
направлением обхода контура, и
отрицательным – если ток не совпадает
с направлением обхода.
Составим
уравнения по второму закону Кирхгофа
для выбранных независимых контуров:
admba
;
(31)
abca 
;
(32)
acnda
I1R1
+ I6R6
– I3R3
= -E3.
(33)
ЭДС
контура берутся со знаком «плюс», если
их направления совпадают с направлением
обхода контура, и «минус» – если не
совпадают.
17
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Правило Кирхгофа
1 Найти разность потенциалов между точками а и b в схеме, изображенной на рис. 118. Э. д. с. источников тока ε1= 1 В и ε1 =1,3 В, сопротивления резисторов R1 = 10 Ом и R2 = 5 Ом.
Решение:
Поскольку ε2>ε1 то ток I будет идти в направлении, указанном на рис. 118, при этом разность потенциалов между точками а и b
2 Два элемента с э. д. с. ε1 = 1,5 B и ε2 = 2 В и внутренними сопротивлениями r1=0,6 Ом и r2 = 0,4 Ом соединены по схеме, изображенной на рис. 119. Какую разность потенциалов между точками а и b покажет вольтметр, если сопротивление вольтметра велико по сравнению с внутренними сопротивлениями элементов?
Решение:
Поскольку ε2>ε1, то ток I будет идти в направлении, указанном на рис. 119. Током через вольтметр пренебрегаем ввиду
того, что его сопротивление велико по сравнению с внутренними сопротивлениями элементов. Падение напряжения на внутренних сопротивлениях элементов должно равняться разности э. д. с. элементов, так как они включены навстречу друг другу: 
отсюда
Разность потенциалов между точками а и b (показание вольтметра)
3 Два элемента с э. д. с. ε1=1.4B и ε2 = 1,1 В и внутренними сопротивлениями r =0,3 Ом и r2 = 0,2 Ом замкнуты разноименными полюсами (рис. 120). Найти напряжение на зажимах элементов. При каких условиях разность потенциалов между точками а и b равна нулю?
Решение:
4 Два источника тока с одинаковыми э. д. с. ε = 2 В и внутренними сопротивлениями r1 =0,4 Ом и r2 = 0,2 Ом соединены последовательно. При каком внешнем сопротивлении цепи R напряжение на зажимах одного из источников будет равным нулю?
Решение:
Ток в цепи
(рис.361). Напряжения на зажимах источников тока
Решая первые два уравнения при условии V1=0, получим
Условие V2=0 неосуществимо, так как совместное решение первого и третьего уравнений приводит к значению R<0.
5 Найти внутреннее сопротивление r1 первого элемента в схеме, изображенной на рис. 121, если напряжение на его зажимах равно нулю. Сопротивления резисторов R1 = 3 Ом, R2 = 6 0м, внутреннее сопротивление второго элемента r2 = 0,4 Ом, э. д. с. элементов одинаковы.
Решение:
Ток в общей цепи
где внешнее сопротивление цепи
По условию задачи напряжение на зажимах первого элемента
отсюда
6 При каком соотношении между сопротивлениями резисторов R1, R2, R3 и внутренними сопротивлениями элементов r1, r2 (рис. 122) напряжение на зажимах одного из элементов будет равно нулю? Э. д. с. элементов одинаковы.
Решение:
7 Два генератора с одинаковыми э. д. с. ε = 6 В и внутренними сопротивлениями r1 =0,5 Ом и r2 = 0,38 Ом включены по схеме, изображенной на рис. 123. Сопротивления резисторов R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 7 Ом. Найти напряжения V1 и V2 на зажимах генераторов.
Решение:
Ток в общей цепи
где внешнее сопротивление цепи
Напряжения на зажимах первого и второго генератора
напряжение на зажимах второго генератора
8 Три элемента с э. д. с. ε1 = 2,2 В, ε2 = 1,1 В и ε3 = 0,9 В и внутренними сопротивлениями r1 = 0,2 Ом, r2 = 0,4 Ом и r3 = 0,5 Ом включены в цепь последовательно. Внешнее сопротивление цепи R=1 Ом. Найти напряжение на зажимах каждого элемента.
Решение:
По закону Ома для полной цепи ток
Напряжение на зажимах каждого элемента равно разности э. д. с. и падения напряжения на внутреннем сопротивлении элемента:
Напряжение на зажимах батареи элементов равно падению напряжения на внешнем сопротивлении цепи:
Напряжение на зажимах третьего элемента оказалось отрицательным, так как ток определяется всеми сопротивлениями цепи и суммарной э.д.с, а падение напряжения на внутреннем сопротивлении r3 больше, чем э.д.с. ε3.
9 Батарея из четырех последовательно включенных в цепь элементов с э. д. с. ε = 1,25 В и внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом питает два параллельно соединенных проводника с сопротивлениями R1 = 50 Ом и R2 = 200 Ом. Найти напряжение на зажимах батареи.
Решение:
10 Сколько одинаковых аккумуляторов с э. д. с. ε = 1,25B и внутренним сопротивлением r = 0,004 Ом нужно взять, чтобы составить батарею, которая давала бы на зажимах напряжение V=115 В при токе I=25 А?
Решение:
Напряжение на зажимах батареи
Следовательно,
11 Батарея из n= 40 последовательно включенных в цепь аккумуляторов с э. д. с. ε = 2,5 В и внутренним сопротивлением r = 0,2 Ом заряжается от сети с напряжением V=121 В. Найти зарядный ток, если последовательно в цепь введен проводник с сопротивлением R = 2 Ом.
Решение:
12 Два элемента с э. д. с. ε1 = 1,25 В и ε2 = 1,5 В и одинаковыми внутренними сопротивлениями r = 0,4 Ом соединены параллельно (рис. 124). Сопротивление резистора R= 10 Ом. Найти токи, текущие через резистор и каждый элемент.
Решение:
Падение напряжения на резисторе, если токи текут в направлениях, указанных на рис. 124,
Учитывая, что I=I1+I2, находим
Заметим, что I1<0. Это значит, что направление тока противоположно указанному на рис. 124.
13 Два элемента с э. д. с. ε1 =6 В и ε2 = 5 В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом и r2 = 20м соединены по схеме, изображенной на рис. 125. Найти ток, текущий через резистор с сопротивлением R= 10 Ом.
Решение:
Выбрав направления токов, указанные на рис. 362, составим уравнения Кирхгофа. Для узла b имеем I1+I2-I=0; для контура abef (обход по часовой стрелке)
и для контура bcde (обход против часовой стрелки)
Из этих уравнений найдем
14 Три одинаковых элемента с э. д. с. ε = 1,6 В и внутренним сопротивлением r=0,8 Ом включены в цепь по схеме, изображенной на рис. 126. Миллиамперметр показывает ток I=100 мА. Сопротивления резисторов R1 = 10Ом и R2 = 15 0м, сопротивление резистора R неизвестно. Какое напряжение V показывает вольтметр? Сопротивление вольтметра очень велико, сопротивление миллиамперметра пренебрежимо мало.
Решение:
Внутреннее сопротивление элементов
Сопротивление параллельно включенных резисторов
Общая э. д. с. элементов e0=2e Согласно закону Ома для полной цепи
15 Сопротивления резисторов R1 и R2 и э. д. с. ε1 и ε2 источников тока в схеме, изображенной на рис. 127, известны. При какой э.д.с. ε3 третьего источника ток через резистор R3 не течет?
Решение:
Выберем направления токов I1, I2 и I3 через резисторы R1, R2 и R3, указанные на рис. 363. Тогда I3=I1+I2. Разность потенциалов между точками а и b будет равна
Если
Исключая I1 находим
16 Цепь из трех одинаковых последовательно соединенных элементов с э.д.с. ε и внутренним сопротивлением r замкнута накоротко (рис. 128). Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к зажимам одного из элементов?
Решение:
Рассмотрим ту же схему без вольтметра (рис. 364). Из закона Ома для полной цепи находим
Из закона Ома для участка цепи между точками а и b получим
Подключение вольтметра к точкам, разность потенциалов между которыми равна нулю, ничего не может изменить в цепи. Поэтому вольтметр будет показывать напряжение, равное нулю.
17 Источник тока с э.д.с. ε0 включен в схему, параметры которой даны на рис. 129. Найти э.д.с. ε источника тока и направление его подключения к выводам а и b, при которых ток через резистор с сопротивлением R2 не идет.
Решение:
Подключим источник тока к выводам а и b и выберем направления токов, указанные на рис. 365. Для узла е имеем I=I0+I2. При обходе контуров aefb и ecdf по часовой стрелке получим
Используя условие I2 = 0, находим
Знак минус показывает, что полюсы источника тока на рис. 365 нужно поменять местами.
18 Два элемента с одинаковыми э.д.с. ε включены в цепь последовательно. Внешнее сопротивление цепи R = 5 Ом. Отношение напряжения на зажимах первого элемента к напряжению на зажимах второго элемента равно 2/3. Найти внутренние сопротивления элементов r1 и r2, если r1=2r2.
Решение:
19 Два одинаковых элемента с э.д.с. ε=1,5 В и внутренним сопротивлением r = 0,2 Ом замкнуты на резистор, сопротивление которого составляет в одном случае R1=0,2 Oм, В другом — R2 = 20 Ом. Как нужно соединить элементы (последовательно или параллельно) в первом и во втором случаях, чтобы получить наибольший ток в цепи?
Решение:
При параллельном соединении двух элементов внутреннее сопротивление и э.д.с. равны r/2 и ε при последовательном соединении они равны 2r и 2ε. Через резистор R при этом текут токи
Отсюда видно, что I2>I1, если R/2+r<R+r/2, т. е. если r1=r; следовательно, токи при параллельном и последовательном соединениях одинаковы. Во втором случае R2>r.Поэтому ток больше при последовательном соединении.
20 Два элемента с э.д.с. ε1=4В и ε2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 0,25 Ом и r2 = 0,75 Ом включены в схему, изображенную на рис. 130. Сопротивления резисторов R1 = 1 Ом и R2 = 3 Ом, емкость конденсатора С=2 мкФ. Найти заряд на конденсаторе.
Решение:
21 К батарее из двух параллельно включенных элементов с э.д.с. ε1 и ε2 и внутренними сопротивлениями r1 и r2 подключен резистор с сопротивлением R. Найти ток I, текущий через резистор R, и токи I1 и I2 в первом и втором элементах. При каких условиях токи в отдельных цепях могут быть равными нулю или изменять свое направление на обратное?
Решение:
Выберем направления токов, указанные на рис. 366. Для узла b имеем I-I1-I2=0. При обходе контуров abef и bcde по часовой стрелке получим
Из этих уравнений находим
Ток I=0 тогда, когда изменена полярность включения одного из элементов и, кроме того, выполнено условие
Ток I1=0 при
а ток I2 = 0 при
Токи I1 и I2 имеют направления, указанные на рис.366, если
Они меняют свое направление при
22 Батарея из n одинаковых аккумуляторов, соединенных в одном случае последовательно, в другом— параллельно, замыкается на резистор с сопротивлением R. При каких условиях ток, текущий через резистор, в обоих случаях будет один и тот же?
Решение:
При n(R-r) = R-r. Если R=r, то число элементов произвольно; если R№r, задача не имеет решения (n=1).
23 Батарея из n = 4 одинаковых элементов с внутренним сопротивлением r=2 Ом, соединенных в одном случае последовательно, в другом — параллельно, замыкается на резистор с сопротивлением R=10Ом. Во сколько раз показание вольтметра н одном случае отличается от показания вольтметра в другом случае? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с R и r.
Решение:
где V1 — показание вольтметра при последовательном соединении элементов, V2-при параллельном.
24 Как изменится ток, текущий через резистор с сопротивлением R = 2 Ом, если n =10 одинаковых элементов, соединенных последовательно с этим резистором, включить параллельно ему? Э.д.с. элемента ε = 2 В, его внутреннее сопротивление r = 0,2 Ом.
Решение:
25 Батарея составлена из N=600 одинаковых элементов так, что n групп соединены последовательно и в каждой из них содержится т элементов, соединенных параллельно. Э.д.с. каждого элемента ε = 2 В, его внутреннее сопротивление r = 0,4 Ом. При каких значениях n и m батарея, будучи замкнута на внешнее сопротивление R = 0,6 Ом, отдаст во внешнюю цепь максимальную мощность? Найти при этом ток, текущий через сопротивление R.
Решение:
Общее число элементов N=nm (рис. 367). Ток во внешней цепи
где r/m— внутреннее сопротивление группы из т параллельно соединенных элементов, а nr/m — внутреннее сопротивление n групп, соединенных последовательно. Максимальная мощность отдается во внешнюю цепь при равенстве сопротивления R внутреннему сопротивлению батареи элементов nr/m, т. е. 
При этом через сопротивление R течет точек I=46 А.
26 Емкость аккумулятора Qo=80А⋅ч. Найти емкость батареи из n = 3 таких аккумуляторов, включенных последовательно и параллельно.
Решение:
При последовательном соединении через все аккумуляторы батареи течет один и тот же ток, поэтому все они разрядятся в течение одного и того же времени. Следовательно, емкость батареи будет равна емкости каждого аккумулятора: 
При параллельном соединении n аккумуляторов через каждый из них течет 1/n часть общего тока; поэтому при том же разрядном токе в общей цепи батареи будет разряжаться в n раз дольше, чем один аккумулятор, т. е. емкость батареи в п раз больше емкости отдельного аккумулятора:
Заметим, однако, что энергия
отдаваемая батареей в цепь, и при последовательном и при параллельном соединении n аккумуляторов в n раз больше энергии, отдаваемой одним аккумулятором. Это происходит потому, что при последовательном соединении э. д. с. батареи в n раз больше э. д. с. одного аккумулятора, а при параллельном соединении э.д.с. батареи остается той же, что и для каждого аккумулятора, но Q увеличивается в n раз.
27 Найти емкость батареи аккумуляторов, включенных по схеме, изображенной на рис.131. Емкость каждого аккумулятора Q0=64 А⋅ч.
Решение:
Каждая группа из пяти аккумуляторов, включенных последовательно, имеет емкость
Три параллельно включенные группы дают общую емкость батареи
28 Мост для измерения сопротивлений сбалансирован так, что ток через гальванометр не идет (рис. 132). Ток в правой ветви I=0,2 А. Найти напряжение V на зажимах источника тока. Сопротивления резисторов R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 1 Ом.
Решение:
29 Найти токи, протекающие в каждой ветви цепи, изображенной на рис. 133. Э.д.с. источников тока ε1 = 6,5 В и ε2 = 3,9 В. Сопротивления резисторов R1=R2=R3=R4=R5=R6=R=10 Ом.
Решение:
Составляем уравнения Кирхгофа в соответствии с направлениями токов, указанными на рис. 133: I1 + I2 — I3 = 0 для узла b;
I3 — I4 — I5 =0 для узла h; I5 — I1 — I6 = 0 для узла f: при этом
Для контура abfg (обход по часовой стрелке),
Для контура bcdh (обход против часовой стрелки) и
для контура hdef (обход по часовой стрелке). Решая эту систему уравнений с учетом, что все сопротивления одинаковы и равны R=10 Ом, получим
Отрицательные значения токов I2, I4 и I6 показывают, что при данных э.д.с. источников и сопротивлениях резисторов эти токи текут в стороны, противоположные указанным на рис. 133.
Полное условие задачи
Определить разность потенциалов между точками A и B в схеме, изображенной на рисунке.
Краткое условие задачи
Решение задачи
Для решения задачи дополнительно проставим точки M и N на схеме:
Конденсаторы соединены между собой последовательно, поэтому напряжение на них будет равно разности потенциалов между точками M и N:
Из схемы видно, что:
Сложим между собой уравнения (2) и (3):
С учетом соотношения (1) получаем:
Напряжение на первом конденсаторе равно разности потенциалов между точками M и A:
Напряжение на втором конденсаторе равно разности потенциалов между точками A и N:
При последовательном соединении напряжение на конденсаторах равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов:
или
Выразим отсюда напряжение на первом конденсаторе:
Также при последовательном соединении на конденсаторах накапливается одинаковый заряд:
Так как:
То выражение (12) запишется следующим образом:
Выразим отсюда напряжение на втором конденсаторе:
Подставим соотношение (15) в выражение (11):
Выразим из равенства (16) напряжение на первом конденсаторе:
Вычитаем из выражения (2) выражение (7):
Отсюда находим искомую в условии задачи разность потенциалов:
Подставляем напряжение на первом конденсаторе (20):
Разность потенциалов и сложение при соединение выводов нескольких источников питания
Разность потенциалов (электрическое напряжение) — это разность уровней электрических зарядов двух тел. По другому можно сказать, что напряжение — это разность значений потенциала в начальной и конечной точках траектории. А что же такое потенциал? Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду. Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность.
Согласитесь, приведенные выше определения не так легки для восприятия. Поэтому постараемся простыми словами с примерами их изучить. Также рассмотрим интересную методику по сложению потенциалов (не путать с разностью потенциалов).
Потенциал простыми словами
Степень электризации тела характеризует величину, называемую электрическим потенциалом или просто потенциалом тела. Электризация — это процесс сообщения телу электрического заряда путем переноса с другого тела. При этом нарушается электрическая нейтральность обоих тел. Тело, заряженное положительно, станет обладать положительным потенциалом, а тело, заряженное отрицательно, — отрицательным потенциалом. Как пример, электризация эбонитовой палочки при трении о мех.
Разность потенциалов — это разность уровней электрических зарядов двух тел. Разность потенциалов также можно получить и между различными частями (точками) одного и того же тела под влиянием электростатической или электромагнитной индукции.
Электростатическая индукция — явление наведения собственного электростатического поля при действии на тело внешнего электрического поля. Явление обусловлено перераспределением зарядов внутри проводящих тел, а также поляризацией внутренних микроструктур у непроводящих тел.
Электромагнитная индукция — явление возникновения электрического тока, электрического поля или электрической поляризации при изменении магнитного поля во времени или при движении материальной среды в магнитном поле.
Далее мы будем рассматривать потенциалы только между различными частями (точками) одного и того же тела при воздействии на него магнитного поля. То есть будем анализировать разность потенциалов на выводах генератора переменного и постоянного тока.
Получение разности потенциалов на выводах генератора
В основе практически всех генераторов тока лежит проводящая рамка, вращающаяся в магнитном поле. В этой рамке может быть много витков. Для примера упрощенно можно рассмотреть рамку, состоящую из одного витка.
При вращении рамки два ее участка постоянно пересекают силовые линии магнитного поля. При этом, когда один участок движется в одну сторону, второй движется в другую. Что происходит при этом? Под действием магнитного поля силы Лоренца перемещают электроны от одного конца (1) рамки к концу (2), потом обратно и далее уже от конца (2) к концу (1). Все это происходит за один оборот рамки. А так как рамка вращается постоянно, то на концах мы имеем переменную разность потенциалов (переменную ЭДС электромагнитной индукции).
Более подробно на данном вопросе останавливаться не будем, и далее перейдем непосредственно к основной теме — сложению и разности потенциалов.
Разность потенциалов на примере электрической цепи
Рассмотрим электрическую цепь состоящую из генератора постоянного тока, резистора (нагрузки) и соединительных проводов.
Начнем с генератора. В предыдущем пункте мы кратко рассмотрели принцип работы генератора переменного тока. Чем же отличается генератор переменного тока? Не будем углубляться в конструктивные особенности, а отметим лишь главное — на одном выводе генератора (источника) постоянного тока всегда имеется избыток электронов (отрицательный потенциал), на другом — недостаток электронов (избыток положительных зарядов, положительный потенциал).
Возьмем для примера 12 вольтовый источник постоянного тока и наглядно поэкспериментируем с ним в программе Multisim:
На схеме к плюсу источника тока подключен плюс вольтметра, а к минусу источника — минус вольтметра. Вольтметр показывает напряжение между выводами источника тока. В данном случае напряжение 12 Вольт численно равно ЭДС, так как внутреннее сопротивление мы приняли равным 0 Ом. Далее мы рассмотрим пример с внутренним сопротивлением источника питания. Пока же остановимся на напряжении. Как известно, напряжение — это разность потенциалов. Если разность потенциалов 12 Вольт, то какие же потенциалы на выводах источника? Так как в источнике постоянного тока определенное количество отрицательных зарядов (электронов) скапливается на минусовом выводе, то естественно на плюсовом выводе остается такое же количество положительных зарядов. Соответственно потенциал на плюсе источника +6 Вольт, на минусе -6 Вольт, а разность потенциалов равна +6-(-6) = +12 Вольт. Почему мы отнимаем от +6? Все просто — несмотря на то, что электроны движутся от минуса к плюсу, направление тока принято брать от плюса к минусу.
Покажем наглядно потенциалы на выводах генератора (источника) постоянного тока:
Мы подключили к плюсу источника тока канал A осциллографа, а к минусу — канал B. На экране осциллографа два графика (красная и синяя прямая), которые показывают, что потенциал на плюсовом выводе не изменяется и равен +6 Вольт, на минусовом -6 Вольт.
Теперь добавим в цепь резистор (нагрузку) и проанализируем распределение потенциалов на выводах источника с учетом его внутреннего сопротивления:
Как видно из схемы потенциалы на выводах источника вместо +6 и — 6 уменьшились до +5,769 и -5,769 Вольт. То есть напряжение на выводах уже не равно ЭДС. Происходит это за счет падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника питания. В нашем случае падение напряжения равно +0,462 Вольт (на схеме оно со знаком минус, так как не соблюдена полярность подключения вольтметра). Если прибавить его к напряжению на выводах источника, то получим ЭДС источника тока: +0,462+(+5,769-(-5,769)) = 0,462+11,538 = 12 Вольт.
Остановимся чуть подробнее на этой схеме и разберемся, что произошло при добавлении в цепь нагрузки (резистора 10 Ом):
- В первую очередь, цепь замкнулась и по ней потек ток.
- В цепи находятся два последовательно соединенных резистора. Один резистор — это нагрузка во внешней цепи, второй резистор — внутреннее сопротивление источника питания (он находится во внутренней цепи и мы его как бы не видим, но он есть).
- По правилу последовательного соединения сумма внутреннего сопротивления и сопротивления нагрузки во внешней цепи дает общее сопротивление Rобщ = 0,4+10 = 10,4 Ом.
- Так как ЭДС определяется по формуле E = I×Rобщ, то нетрудно найти силу тока в цепи I = E/Rобщ = 12/10, 4 = 1,154 А.
- Последовательное соединение резисторов — это такое взаимное расположение компонентов, при котором ток движется в одном направлении и имеет общее значение для каждого резистора. При таком соединении напряжение на каждом участке будет пропорционально сопротивлению конкретного резистора в цепи.
- Зная силу тока в цепи нетрудно определить напряжения на каждом резисторе по формуле Uрез = I×Rрез. Получаем напряжение (падение напряжения) на внутреннем сопротивлении источника 0,462 Вольт и напряжение на резисторе внешней цепи 11,538 Вольт. Суммарно эти напряжения равны значению ЭДС источника тока.
Подведем итог по разности потенциалов на выводах источника постоянного тока. Любой источник (батарея, генератор) обладает некоторым внутренним сопротивлением (иногда для удобства его значением пренебрегают, то есть приравнивают его к нулю). До тех пор, пока к источнику питания не подключена внешняя нагрузка (когда цепь замыкается и по ней течет ток), разность потенциалов (напряжение) численно равно значению ЭДС. Как только цепь замыкается через нагрузку, разность потенциалов (напряжение) на выводах источника питания уже не равно ЭДС. Оно уменьшается на значение падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника питания.
Сложение потенциалов
Теперь рассмотрим довольно интересный вопрос — сложение потенциалов при соединении выводов нескольких источников питания.
Возьмем для начала две батарейки с ЭДС 6 Вольт. Если их соединить последовательно (плюс одной батарейки с минусом другой), то ЭДС такой батареи удвоится и будет равно 12 Вольт. Потенциал в точке соединения будет 0 Вольт, а потенциалы на оставшихся выводах +6 и -6 Вольт. Это самый простой пример, так как две батарейки имеют одинаковую ЭДС и соединены разноименными полюсами.
Все становится намного сложнее, когда мы соединяем батарейки с разными ЭДС. Да, суммарное ЭДС батареи складывается из ЭДС двух батареек. Но распределение потенциалов имеет некоторую особенность. Рассмотрим это на примерах:
Сначала мы соединили две 6 вольтовые батарейки (минус одной с плюсом другой). На осциллографе точка соединения имеет потенциал 0 Вольт, а оставшиеся выводы +6 и -6 Вольт. Суммарное ЭДС такой батареи +6-(-6) = 12 Вольт.
Ниже на схеме тоже батарея с ЭДС 12 Вольт. Однако ЭДС одной батарейки 4 Вольт, а другой 8 Вольт. Здесь самое интересное — распределение потенциалов. Можно было бы предположить, что потенциал в точке соединения равен -2+4 = 6 Вольт (сложили потенциал на минусе одной батарейки с потенциалом на плюсе другой). Исходя из этого потенциалы на выводах самой батареи (батарея — это соединенные вместе несколько батареек (гальванических элементов)) стали бы +10 Вольт и -2 Вольт, что в сумме тоже дает общую ЭДС 12 Вольт. Но как ни странно осциллограф показывает в точке соединения потенциал +1,333 Вольт, а на выводах батареи +5,333 и -6,667 Вольт. Как же так получилось? Давайте разбираться.
Поможет нам математика. Рассмотрим следующую схему и составим систему уравнений:
- a-x = 2a’ (разность получившихся потенциалов после соединения равна удвоенному значению потенциала (ЭДС) на одном из выводов до соединения в батарею; a — потенциал на выводе батарейки после соединения в батарею; a’ — потенциал на выводе батарейки до соединения в батарею).
- x-b = -2b’ (разность получившихся потенциалов после соединения равна удвоенному значению потенциала (ЭДС) на одном из выводов до соединения в батарею; со знаком минус, так как удваивается потенциал отрицательного вывода; b — потенциал на выводе батарейки после соединения в батарею; b’ — потенциал на выводе батарейки до соединения в батарею).
- x = -a+(-b) (потенциал в точке соединения равен сумме потенциалов; a и b взяты со знаком минус, так как складываются потенциалы противоположных им выводов).
Выразим из первого уравнения a: a = 2a’+x. Выразим из второго уравнения b: b = x+2b’. Подставим все это в третье уравнение: x = -2a’-x-x-2b’; 3x = -2(a’+b’); x = (-2/3)×(a’+b’) = -(a’+b’)/1,5.
Простыми словами, чтобы сложить потенциалы в точке соединения двух источников питания, нужно сложить потенциалы соединяемых выводов, а затем полученное значение разделить на 1,5. Причем это правило справедливо для любых комбинаций соединения (-и+, -и-, +и+).
Закрепим материал наглядными примерами из программы и самостоятельным расчетом по формуле:
На первой схеме пример, который уже рассматривался. Здесь минус одной батарейки соединяется с плюсом другой батарейки. ЭДС первой батарейки 4 Вольт (соответственно потенциалы на выводах +2 и -2 Вольт). ЭДС второй батарейки 8 Вольт (соответственно потенциалы на выводах +4 и -4 Вольт). Воспользуемся правилом и определим потенциал в точке соединения. Сначала складываем потенциалы -2+(+4) = +2 Вольт. Затем это значение делим на 1,5. Получаем +2/1,5 = +1,333333333333333 Вольт. То же самое показывает осциллограф (канал B).
На второй схеме минус одной батарейки соединяется с минусом другой батарейки. ЭДС первой батарейки 4 Вольт (соответственно потенциалы на выводах +2 и -2 Вольт). ЭДС второй батарейки 8 Вольт (соответственно потенциалы на выводах +4 и -4 Вольт). Воспользуемся правилом и определим потенциал в точке соединения. Сначала складываем потенциалы -2+(-4) = -6 Вольт. Затем это значение делим на 1,5. Получаем -6/1,5 = -4 Вольт. То же самое показывает осциллограф (канал B).
На третьей схеме плюс одной батарейки соединяется с плюсом другой батарейки. ЭДС первой батарейки 4 Вольт (соответственно потенциалы на выводах +2 и -2 Вольт). ЭДС второй батарейки 8 Вольт (соответственно потенциалы на выводах +4 и -4 Вольт). Воспользуемся правилом и определим потенциал в точке соединения. Сначала складываем потенциалы +2+(+4) = +6 Вольт. Затем это значение делим на 1,5. Получаем +6/1,5 = +4 Вольт. То же самое показывает осциллограф (канал B).
Подведем итог. Разность потенциалов показывает напряжение между двумя точками (выводами). Сумма же потенциалов нужна для определения потенциала в точке соединения нескольких источников питания. Мы рассмотрели сумму потенциалов в точке при соединении двух источников питания. Но в цепи может быть и более двух последовательно соединенных источников питания, и здесь с распределением потенциалов также имеет свои особенности (в данном обзоре не рассматривалась такая схема). Может возникнуть вопрос — а зачем вообще нужно это сложение потенциалов? Ответ будет в одной из следующих публикаций, где будут рассмотрены особенности при переходе со звезды на треугольник.
2018-05-14 
Найти разность потенциалов $phi_{1} – phi_{2}$ между точками 1 и 2 схемы (рис.), если $R_{1} = 10 Ом, R_{2} = 20 Ом, mathcal{E}_{1} = 5 В$ и $mathcal{E}_{2} = 2,0 В$. Внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы.
Решение:
Предположим, что ток течет, как показано на рис. Тогда потенциалы. Таким образом,
$phi_{1} = phi_{1} – IR_{1} + mathcal{E}_{1} – IR_{2} – mathcal{E}_{2}$
или, $I = frac{ mathcal{E}_{1} – mathcal{E}_{2} }{R_{1} + R_{2} }$
и $phi_{2} = phi_{1} – IR_{1} + mathcal{E}_{1}$
Итак, $phi_{1} – phi_{2} = – mathcal{E}_{1} + frac{ mathcal{E}_{1} – mathcal{E}_{2} }{R_{1} + R_{2} } R_{1} = – frac{ mathcal{E}_{1}R_{2} + mathcal{E}_{2} R_{1} }{ R_{1} + R_{2} } = – 4 В$
