Для того, чтобы уяснить, что собой представляет разность векторов, введём понятие откладывания вектора от определённой точки и понятие суммы векторов.
Определение
Если некоторая точка A является началом вектора a, то говорят, что он является отложенным от точки A.
Теорема. От каждой точки можно отложить только один вектор, имеющий заданный модуль и направление. Докажем эту теорему.
Доказательство:
В случае, когда вектор нулевой, то теорема очевидна. Нулевые вектора в одной и той же точки совпадают между собой, т. е. являются одним и тем же вектором.
Сделаем построение. Точкой A обозначим начало вектора a, а точкой B его конец. Пусть у нас имеется некоторая точка K. Проведём через неё прямую b, которая параллельна вектору a. Отложим на данной прямой равные по своей абсолютной величине вектору a отрезки KL и KM. Из векторов, образованных этими отрезками искомым можно назвать только сонаправленный с a.
Единственность нашего вектора следует из того, что мы построили и видим.
Теорема доказана.
Определение
Суммой векторов a и b называется вектор с тем же началом, что вектор a и концом, как у вектора b. При этом вектор b должен начинаться в той же самой точке, в которой заканчивается вектор a.
Равные векторы, начинающиеся в разных точках, нередко обозначают одной и той же буквой. Иногда про подобные векторы говорят, как об одном и том же векторе, отложенном из разных мест.
Разность векторов
Определение
Разностью векторов a и b называется сумма вектора a c вектором, который противоположно направлен к вектору b.
По-другому это определение можно сформулировать следующим образом: разностью двух векторов a и b называется вектор c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое, т. е. вектор a.
Формулами это записывается так:
b + c = a
a – b = c
Как найти разность векторов аналитическим способом
В двухмерном пространстве векторов a {x1, y1} и b {x2, y₂} разность векторов можно вычислить, как показано ниже:
c {x3, y3} = {x₁ — x2, y1 — y₂}.
Вычитание векторов в 3-мерном пространстве выглядит следующим образом:
c {x3; y3; z₃} = {x₁ — x2, y₂ — y₂, z1 — z2}.
Как найти разность векторов графическим способом
Нужно воспользоваться правилом треугольника. Последовательность действий следующая:
- Постройте по координатам векторы, для которых требуется найти разность;
- Совместите концы построенных векторов. Для этого нужно построить два равных заданным направленных отрезка, концы у которых будут в одной и той же точке;
- Соедините начала построенных отрезков и укажите их направление. Вектор c, называемый разностью векторов, будет иметь своё начало в той же точке, где начинается вектор, именуемый уменьшаемым и заканчивается в точке начала вычитаемого. Смотрите рисунок ниже.
Есть ещё один способ графического нахождения разности векторов. Он предусматривает следующий порядок действий:
- Постройте исходные направленные отрезки;
- Отразите вычитаемый отрезок. Для этого постройте противоположно направленный и равный ему отрезок и затем совместите начало этого отрезка с уменьшаемым;
- Постройте сумму, т. е. соедините начало первого отрезка и конец второго.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Примеры вычисления разности векторов
Примеры
Вычислить вектор c, который представляет собой разность вектора a ={1;
2} и вектора b = {4; 8}.
Решение:
Действуем по выше указанному правилу
a — b = {1 — 4; 2 — 8} = {-3; -6}
Ответ: с{-3; -6}.
Вычислить вектор c, который является разностью векторов a = {1; 2; 5} и
b = {4; 8; 1}.
Решение:
Почти всё делается, как в уже рассмотренном примере, только добавляется третья координата.
a — b = {1 — 4; 2 — 8; 5 — 1} = {-3; -6; 4}
Ответ: c {-3; -6; 4}.
На рисунке векторы
Требуется построить разности: p — n, m —
n,m — n — p и найти ту из них, которая
имеет наименьший модуль.
Решение:
Для изображения p — n проще всего воспользоваться правилом треугольника. Параллельным переносом
отрезки
следует соединить таким образом, чтобы совпали их конечные точки. Далее нужно соединить начальные точки и
определить направление. В нашем случае вектор разности берёт своё начало там же, где и вычитаемый n.
Для изображения m — n правильнее будет воспользоваться вторым графическим способом нахождения разности
векторов. Сначала построим вектор противоположный n и найдём его суммы с вектором m.
Для нахождения разности m — n — p разобьём это выражение на два действия. Возможны следующие варианты:
- m — (n + p). Сначала нужно построить сумму,
затем уже вычесть её из m; - (m — n) — p. Сначала находим m — n,
осле этого от полученной разности отнимаем p; - (m— p) — n. Сначала определяем m — p, затем от
полученного результата отнимаем n.
Из вычислений выше нам известна разность m — n. Для получения решения нам нужно вычесть из неё
p.
Используя определение 3 построим разность векторов на рисунке. На нём изображён окончательный результат
и промежуточный.
Теперь нужно определить наименьший модуль. В нашем случае для этого можно лишь визуально оценить длины p — n,
m — n и m — n — p. Из построения сразу видно, что наименьшим модулем обладает вектор разности m — n —
p.
Сумма и разность векторов
В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.
Сумма векторов
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.
Геометрическая интерпретация:
Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .
Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.
Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.
Формула сложения векторов
Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .
” data-lang=”default” data-override=”<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>
| Для плоских задач | a + b = x + bx; ay + by> |
| Для трехмерных задач | a + b = x + bx; ay + by; az + bz> |
| Для n-мерных векторов | a + b = 1 + b1; a2 + b2; . an + bn> |
Свойства сложения векторов
1. Коммутативность: a + b = b + a
2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3. Прибавление к нулю: a + 0 = a
4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0
Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.
Разность векторов
Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.
Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:
Формула вычитания векторов
Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .
” data-lang=”default” data-override=”<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>
| Для плоских задач | a – b = x – bx; ay – by> |
| Для трехмерных задач | a – b = x – bx; ay – by; az – bz> |
| Для n-мерных векторов | a – b = 1 – b1; a2 – b2; . an – bn> |
Примеры задач
Задание 1
Вычислим сумму векторов и .
Задание 2
Найдем разность векторов и .
Сложение и вычитание векторов
Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .
Существование: Имеем два следующих случая:
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство
Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство
Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
Разность векторов. Вычитание векторов
Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec – vec = vec <0>)
Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec <0>right| = 0 )
Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec – vec = left( <- , – , – > right) )
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .
Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:
Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;
Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )
Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .
Как найти разность векторов
Формула
Примеры нахождения разности векторов
Задание. Найти разность векторов $bar-bar$, где $bar=(3 ; 0)$ и $bar=(1 ; 2)$
Решение. Для нахождения разности векторов $bar$ и $bar$, вычтем их соответствующие координаты:
Решение. Для нахождения искомой разности векторов вычтем их соответствующие координаты:
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Поможем выполнить
любую работу
Все еще сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?
[spoiler title=”источники:”]
http://calcsbox.com/post/slozenie-i-vycitanie-vektorov.html
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_2.php
[/spoiler]
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Откладывание вектора от данной точки
Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Определение 1
Если точка $A$ начала какого-либо вектора $overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).
Рисунок 1. $overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$
Введем следующую теорему:
От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow{a}$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
-
Вектор $overrightarrow{a}$ – нулевой.
В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow{KK}$.
-
Вектор $overrightarrow{a}$ — ненулевой.
Обозначим точкой $A$ — начало вектора $overrightarrow{a}$, а точкой $B$ – конец вектора $overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $left|KLright|=|AB|$ и $left|KMright|=|AB|$. Рассмотрим векторы $overrightarrow{KL}$ и $overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $overrightarrow{a}$ (рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Вычитание векторов. Правило первое
Пусть нам даны векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$.
Определение 2
Разностью двух векторов $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ называется такой вектор $overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $overrightarrow{b}$ дает вектор $overrightarrow{a}$, то есть
[overrightarrow{b}+overrightarrow{c}=overrightarrow{a}]
Обозначение: $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{c}$.
«Вычитание векторов. Как найти разность векторов» 👇
Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.
Пример 1
Пусть даны векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$. Построить вектор $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$.
Решение.
Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{OB}=overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $overrightarrow{BA}$ (рис. 3).
Рисунок 3. Разность двух векторов
По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что
[overrightarrow{OB}+overrightarrow{BA}=overrightarrow{OA}]
То есть
[overrightarrow{b}+overrightarrow{BA}=overrightarrow{a}]
Из определения 2, получаем, что
[overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA}]
Ответ: $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA}$.
Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{OB}=overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.
Вычитание векторов. Правило второе
Вспомним следующее необходимое нам понятие.
Определение 3
Вектор $overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.
Обозначение: Вектор $(-overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $overrightarrow{a}$.
Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.
Теорема 2
Для любых двух векторов $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:
[overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{a}+(-overrightarrow{b})]
Доказательство.
По определению 2, имеем
Прибавим к обеим частям вектор $left(-overrightarrow{b}right)$, получим
Так как векторы $overrightarrow{b}$ и $left(-overrightarrow{b}right)$ противоположны, то $overrightarrow{b}+left(-overrightarrow{b}right)=overrightarrow{0}$. Имеем
Теорема доказана.
Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $overrightarrow{AB}=-overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.
Пример задачи на понятие разности векторов
Пример 2
Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $overrightarrow{AB}=overrightarrow{a}$, $overrightarrow{AD}=overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ следующие векторы:
а) $overrightarrow{DC}+overrightarrow{CB}$
б) $overrightarrow{BO}-overrightarrow{OC}$
Рисунок 4. Параллелограмм
Решение.
а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим
[overrightarrow{DC}+overrightarrow{CB}=overrightarrow{DB}]
Из первого правила разности двух векторов, получаем
[overrightarrow{DB}=overrightarrow{a}-overrightarrow{b}]
б) Так как $overrightarrow{OC}=overrightarrow{AO}$, получим
[overrightarrow{BO}-overrightarrow{OC}=overrightarrow{BO}-overrightarrow{AO}]
По теореме 2, имеем
[overrightarrow{BO}-overrightarrow{AO}=overrightarrow{BO}+left(-overrightarrow{AO}right)=overrightarrow{BO}+overrightarrow{OA}]
Используя правило треугольника, окончательно имеем
[overrightarrow{BO}+overrightarrow{OA}=overrightarrow{BA}=-overrightarrow{AB}=-overrightarrow{a}]
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения разности векторов
Формула
Чтобы найти разность векторов $bar{a}-bar{b}$, заданных на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, необходимо вычесть из
координат первого вектора соответствующие
координаты второго, то есть
$$bar{a}-bar{b}=left(a_{x}-b_{x} ; a_{y}-b_{y}right)$$
В случае если векторы заданы в пространстве, то есть $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то их разность равна
$$bar{a}-bar{b}=left(a_{x}-b_{x} ; a_{y}-b_{y} ; a_{z}-b_{z}right)$$
Примеры нахождения разности векторов
Пример
Задание. Найти разность векторов $bar{a}-bar{b}$, где
$bar{a}=(3 ; 0)$ и $bar{b}=(1 ; 2)$
Решение. Для нахождения разности векторов
$bar{a}$ и
$bar{b}$, вычтем их соответствующие координаты:
$$bar{a}-bar{b}=(3 ; 0)-(1 ; 2)=(3-1 ; 0-2)=(2 ;-2)$$
Ответ. $bar{a}-bar{b}=(2 ;-2)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти разность векторов
$bar{a}-bar{b}-bar{c}$, заданных в трехмерном пространстве своими координатами $bar{a}=(2 ;-3 ; 1), bar{b}=(1 ; 0 ;-2)$ и $bar{c}=(-1 ; 2 ; 3)$
Решение. Для нахождения искомой разности векторов вычтем их соответствующие координаты:
$$begin{aligned} bar{a}-bar{b}-bar{c}=(2 ;-3 ; 1)-(1 ; 0 ;-2)-(-1 ; 2 ; 3)=& \=(2-1-(-1) ;-3-0-2 ; 1-(-2)-3)=(2 ;-5 ; 0) end{aligned}$$
Ответ. $begin{aligned} bar{a}-bar{b}-bar{c}=(2 ;-5 ; 0) end{aligned}$
Читать дальше: как найти проекцию вектора.
В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.
-
Сумма векторов
- Формула сложения векторов
- Свойства сложения векторов
-
Разность векторов
- Формула вычитания векторов
- Примеры задач
Сумма векторов
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.
Геометрическая интерпретация:
Суммой a и b является вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец – с концом b. При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b.
Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.
Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c, совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.
Формула сложения векторов
ci = ai + bi
Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b.
| Для плоских задач | a + b = {ax + bx; ay + by} |
| Для трехмерных задач | a + b = {ax + bx; ay + by; az + bz} |
| Для n-мерных векторов | a + b = {a1 + b1; a2 + b2; … an + bn} |
Свойства сложения векторов
1. Коммутативность: a + b = b + a
2. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)
3. Прибавление к нулю: a + 0 = a
4. Сумма противоположных векторов: a + (-a) = 0
Примечание: Вектор –a коллинеарен и равен по длине a, но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.
Разность векторов
Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.
Если из вектора a вычесть b, то получится c, причем должно соблюдаться условие: b + c = a
Формула вычитания векторов
ci = ai – bi
Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b.
| Для плоских задач | a – b = {ax – bx; ay – by} |
| Для трехмерных задач | a – b = {ax – bx; ay – by; az – bz} |
| Для n-мерных векторов | a – b = {a1 – b1; a2 – b2; … an – bn} |
Примеры задач
Задание 1
Вычислим сумму векторов a = {3; 5} и b = {2; 7}.
Решение:
a + b = {3 + 2; 5 + 7} = {5; 12}.
Задание 2
Найдем разность векторов a = {4; 8; -2} и b = {-1; 9; 5}.
Решение:
a – b = {4 – (-1); 8 – 9; -2 – 5} = {5; -1; -7}.
