Как найти разность высот в физике

С помощью Интернета найдите высоту высоту Исаакиевского собора в Санкт−Петербурге и колокольни Ивана Великого в Москве. Найдите разницу высот и запишите ее значение в единицах СИ.

2018-04-16   

Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0^{ circ} С$ отличаются:

а) в $e$ раз; б) на $eta = 1,0$%.

Решение:

Мы имеем $dp = – rho g dh$, но из $p = frac{ rho}{M} RT$,

таким образом $dp = frac{d rho}{M} RT$ при постоянной температурой

Итак, $frac{d rho}{ rho} = frac{gM}{RT} dh$

Интегрирование в пределах дает $int_{ rho_{0} }^{ rho} frac{d rho}{ rho} = int_{0}^{h} frac{gM}{RT} dh$

или, $ln frac{ rho}{ rho_{0} } = – frac{gM}{RT} h$

Итак, $rho = rho_{0} e^{ – MghRT}$ и $h = – frac{RT}{Mg} ln frac{ rho}{ rho_{0} }$

(a) При $T = 273^{ circ} К, frac{ rho_{0} }{ rho} = e$

Таким образом $h = – frac{RT}{Mg} ln e^{-1} = 8 км$.

(б) $T = 273^{ circ} К$ и

$frac{ rho_{0} – rho }{ rho_{0} } = 0,01$ или $frac{ rho}{ rho_{0} } = 0,99$

Таким образом $h = – frac{RT}{Mg} ln frac{ rho}{ rho_{0} } = 0,09 км$ при подстановке

• версия для печати

Мы уже знаем, как рассчитать давление в жидкости по формуле $p=rho gh$, из которой видно, что давление зависит от ее плотности и высоты столба жидкости.

Но газы, в отличие от жидкости, легко поддаются сжатию. Можно сказать, что чем сильнее газ сжат, тем больше его плотность и тем более сильное давление он производит.

Напомним, что нижние слои атмосферы наиболее плотные. Какова же величина атмосферного давления считается приемлемой и как изменение атмосферного давления влияет на нас?

Уменьшение давления с увеличением высоты

Зависимость давления воздуха от высоты намного сложнее, чем зависимость давления жидкости от высоты ее столба.

Как объяснить, что атмосферное давление уменьшается по мере увеличения высоты подъема над уровнем Земли?
Наша атмосфера неоднородна, и давление воздуха вблизи поверхности Земли максимально. С высотой оно будет уменьшаться. Почему так происходит?

• Во-первых, при подъеме над землей высота столба воздуха над нами будет уменьшаться;
• Во-вторых, будет уменьшаться плотность воздуха.

Поэтому если вы полетите на воздушном шаре или вздумаете подняться в горы, то давление воздуха с высотой будет только уменьшаться.

Нормальное атмосферное давление

Наиболее заселенными участками Земли считаются равнины (до 500 м над уровнем моря), поэтому нам особенно важно знать величину атмосферного давления, приближенную к этим отметкам высоты над уровнем моря (рисунок 2).

Какое атмосферное давление называют нормальным?
Все эксперименты и опыты показали, что атмосферное давление в местах, расположенных на уровне моря, приблизительно равно 760 мм рт. ст. Именно эту величину атмосферного давления и назвали «нормальным атмосферным давлением».

Атмосферное давление, равное давлению столба ртути высотой $760 space мм$ при температуре $0 degree C$, называется нормальным атмосферным давлением.

Нормальное атмосферное давление в паскалях

Рассчитаем нормальное атмосферное давление в паскалях. В прошлых уроках мы выяснили, что $1 space мм space рт. space ст. = 133.3 space Па$.

$760 cdot 133.3 space Па approx 101 space 308 space Па approx 1013space гПа$.

Величина атмосферного давления в горах

Это давление считается нормальным, но будет ли оно таким, если подняться высоко в горы? Или на крышу небоскреба? 

При подъеме на каждые 12 метров атмосферное давление уменьшается на 1 мм рт. ст., что можно с легкостью проверить с помощью барометра-анероида (или высотомера) и многоэтажного здания (рисунок 3).

Подобные расчеты на практике помогают ориентироваться в пространстве, определять положение заданных объектов относительно уровня Мирового океана (как вы знаете, данный уровень принят как стандартный нуль для отсчета любой высоты на Земле).

Интересные факты

Тело человека приспособлено к атмосферному давлению, но плохо переносит его понижение. При подъеме на такие высокие горы, (примерно с 4000 м, а иногда и ниже) многие люди начинают чувствовать себя плохо, появляются приступы «горной болезни»: становится трудно дышать, из ушей и носа нередко идет кровь, можно даже потерять сознание. 

И все же люди приспосабливаются и к таким непростым условиям, например, в мире есть несколько стран (Боливия, Мексика, Перу, Эфиопия, Афганистан), в которых большинство населения проживают на высоте свыше 1000 м над уровнем моря.

В Тибете граница обитания человека превышает 5000 м над уровнем моря. Потоси — город, который еще во времена Инков являлся крупнейшим месторождением серебра в Южной Америке, — построен на высоте 4090 метров и имеет население около 160 тысяч человек. Это один из самых высокогорных городов на земном шаре.

Упражнения

Посмотреть ответ

Скрыть

Дано:
$p_1 = 760 space мм space рт. space ст.$
$p_2 = 722 space мм space рт. space ст.$

$h — ?$

Посмотреть решение ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Для того, чтобы рассчитать силу, при вычислениях нам необходимо использовать величину нормального атмосферного давления, выраженную в паскалях: $p = 760 cdot 133.3 space Па = 101 space 308 space Па$.

$F — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Дано:
$h = 8800 space м$
$p = 760 space мм space рт. space cт.$

$p_1 — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Чтобы выполнить это задание, измерьте давление на первом этаже школы ($p_1$) и давление на последнем этаже школы ($p_2$). Значения фиксируйте в мм рт. ст.

Воспользуйтесь тем фактом, что каждые 12 метров атмосферное давление уменьшается на 1 мм.

• Найдите разницу между зафиксированными значениями давления на разных этажах:
  $Delta p = p_1 space − space p_2$;
• Полученную разницу умножьте на 12 и вы получите значение расстояния между этажами:
  $h = Delta p cdot 12$.

Думаю, никто не станет возражать против заявления, что на высоте двух километров воздух более разрежен и атмосферное давление меньше, чем на высоте уровня моря.
Если же облечь эти слова в научную форму, то получится, что давление (плотность) газа зависит от его высоты в поле тяжести. На этом явлении построен метод барометрического нивелирования.

Барометрическое нивелирование — метод определения разности высот между двумя точками по измеряемому в этих точках атмосферному давлению. Так как атмосферное давление, помимо высоты над уровнем моря также зависит от погоды, например, от содержания в воздухе водяных паров, то метод применяется, если есть возможность провести измерения в точках с как можно более меньшим интервалом между измерениями, а сами точки расположены не слишком далеко друг от друга.

Разность высот рассчитывается по формулам.
Существует довольно сложная формула Лапласа:

Она, помимо температуры и давления, также учитывает абсолютную влажность воздуха и широту места измерения, то есть, ей на практике вроде бы и не пользуются.

А пользуются более простой формулой Бабинэ (Жак Бабинэ — французский физик, 1794-1872)
,
где — коэффициент расширения газов, равный

Собственно, в эпоху без компьютеров и калькуляторов даже эта формула была… ну, не сложной, но долгой в вычислениях, поэтому для определения разности высот пользовались вспомогательными таблицами барометрических ступеней.

Барометрическая ступень — высота, на которую надо подняться, чтобы давление понизилось на 1 мм.рт.ст.
То есть, взяли и упростили формулу Бабинэ до выражения

и рассчитали h для различных значений температуры и давления.
Получились таблицы, аналогичные Барометрическая ступень (м/мм.рт.ст)

Таким образом, измерив, например, разность давлений при средней температуре t и среднем давлении p, метеоролог мог найти значение барометрической ступени из таблицы, и умножить его на величину разности давлений.

Понятно, что формулы дают результат с погрешностью, но утверждается при этом, что погрешность не превышает 0,1 – 0,5 % от измеряемой высоты.

Метод барометрического нивелирования позволяет определить высоту точки над уровнем моря, не прибегая к геодезической нивелировке.
На практике, высоту точки над уровнем моря определяют используя ближайший репер, высота которого над уровнем моря известна.
Например, отметка репера 156 метров. Барометр у репера показывает 748 мм. рт. ст., будучи перенесен на определяемую точку, барометр показывает 751 мм. рт. ст. Средняя температура воздуха равна 15 градусов Цельсия. Используя формулу Бабинэ, получаем -33,78 м, то есть точка ниже репера на 33,78 метра, и имеет высоту примерно 122,22 м. Приняв за среднее давление 748 мм.рт.ст. и используя барометрические таблицы, получаем -33.85, то есть высоту примерно 122,15 м.

Калькулятор ниже иллюстрирует все вышесказанное.