Как найти развертку кубика

Валерия Сирота
«Квантик» №8, 2022

В статье из «Квантика» № 7 за 2022 год мы научились рисовать четырёхмерный кубик. Может, теперь его сделать? Из подручных материалов.

Совсем сделать, конечно, не получится. Ведь у нас всё-таки нет здесь четырёхмерного пространства, в котором такой кубик можно было бы хранить. Но зато можно сделать выкройку — развёртку — и подождать, когда кто-нибудь четырёхмерный её сложит в куб.

Действительно, когда мы делаем трёхмерный бумажный кубик, мы сначала рисуем на бумаге плоскую развёртку из шести квадратов  — например, латинский крест (рис. 1). И эта развёртка, заметьте, двумерная! Её могли бы сделать и плоские человечки, живущие на листе бумаги. Потом мы её сворачиваем в куб, а вот это плоские человечки уже не могут: мы используем наше третье измерение.

Трёхмерный куб мы собирали из двумерных граней. А из чего же собирать четырёхмерный? Из трёхмерных кубиков, конечно! В прошлый раз мы выяснили, что их понадобится 8 штук — столько, сколько 3-граней у 4-куба. И склеивать их нужно будет уже не рёбрами, как кубик, а гранями — ведь у двух соседних 3-граней есть общая двумерная (квадратная) грань. Всё, что можно, склеим у себя в трёхмерном пространстве, а остальное они уж там в своём четырёхмерном сложат.

Выкройки, как и для двумерного кубика, могут быть разные. Проще всего сделать «обобщение» латинского креста: ведь мы знаем, что в четырёхмерном кубе все двумерные грани должны соединять какие-то две 3-грани, «свободных» двумерных граней не должно оставаться; так же, как в трёхмерном кубе не болтаются ни к чему не приклеенные рёбра. Итак, берём 8 кубиков и склеиваем их — и вуаля! Развёртка готова (рис. 2).

Теперь нужно разобраться, как наша выкройка будет потом, в четырёхмерье, складываться. Тут придётся потренировать наше почти уже 4-мерное воображение!

Заметьте, что мы не можем разглядеть один из кубиков нашей развёртки ни с какой стороны — он полностью закрыт соседями. Так же и плоские человечки, когда смотрят на латинский крест, не видят центрального квадрата. Но можно сделать такую развёртку, чтобы им были видны все квадраты. Так же и мы — если захотим, можем переклеить одну из будущих 3-граней так, чтобы в новой развёртке нам были видны все кубики.

Из каждой развёртки обычного 3-куба можно получить много развёрток 4-куба: достаточно к каждому её квадрату приклеить кубик, получив похожий на латинский крест «плоский слой» (высотой в один кубик), потом к этому плоскому слою приклеить ещё два кубика: один с одной стороны (к любому кубику слоя!), второй — с другой (тоже к любому кубику). Так, например, получается развёртка на рисунке 2. Но бывают и такие развёртки 4-куба, которые из развёрток 3-куба не получишь.

Теперь, когда вы умеете рисовать и даже почти изготавливать четырёхмерные кубики, вы, конечно, понимаете, что можно рисовать и пятимерные, и  шестимерные… А вдруг на самом деле мы живём в  каком-нибудь таком «пространстве большей размерности», пяти- или там десятимерном? Так плоские человечки или одномерные червяки могли бы жить у нас в трёхмерии, сами того не замечая и ничего не видя снаружи от своей плоскости… Мы живём, а пятимерные существа иногда подходят и смотрят «оттуда» на наш трёхмерный мир? Что ж, такое не исключено…

А что, если в одном четырёхмерном пространстве находятся сразу два трёхмерных мира (говорят: подпространства)? Могут они там поместиться? А может быть, жителям этих миров можно как-нибудь переходить из одного в другой? Или хотя бы что-нибудь передавать?.. Подумайте: каким может быть такой «портал», соединяющий миры?

(Подсказка. Прежде чем придумывать про 4-мерье, можно «упростить задачу на одно измерение» и посмотреть, как это устроено в нашем трёхмерном пространстве. Какие пространства и как в него могут «помещаться»?)

И ещё. Двумерным человечкам не обязательно жить на плоскости. Они могут жить и на какой-нибудь изогнутой поверхности, например на сфере — на оболочке большого шара… Нам, смотрящим на них снаружи, это было бы хорошо видно. А как они могли бы догадаться об этом сами? Может, и наше трёхмерное пространство — какое-нибудь кривое? Как мы могли бы это проверить?

Художник Мария Усеинова.

Цели урока:

• повторить и закрепить элементы куба;
• отработать навык рисования куба «от руки»;
• показать решение логических задач с помощью разворачивания поверхности куба;
  познакомить с геодезическими линиями на поверхности куба;
• закрепить новый материал в решении задач;
• подвести итог урока – поговорить о практическом применении развертки.

Ход урока

I. Повторение – устный счет.

«Распутать клубок».

Ребятам раздаются листочки с заранее приготовленными заданиями (Приложение 2). Требуется вписать в геометрические фигуры числа так, чтобы все вычисления были правильными и в одинаковые фигуры были бы вписаны одинаковые числа.

Для проверки демонстрируются слайды 2 и 3 (презентация в Приложении 1).

II. Повторение элементов куба.

Демонстрируется слайд 4.

Ученикам задаются следующие вопросы:

• Назовите элементы куба?
• Сколько у куба граней, ребер, вершин?
• Назовите ребро по которому пересекаются верхняя и правая боковая грани?
• Назовите ребро по которому пересекаются передняя и нижняя грани?
• Назовите ребро по которому пересекаются верхняя и задняя грани?
• Назовите ребра, которые сходятся в вершине А; в вершине G?

III. Задача на кратчайшее расстояние.

Вспомним, что расстоянием между двумя точками называют отрезок, соединяющий эти точки. Однако в жизни довольно часто трудно добраться от одного пункта до другого по прямой. Тем не менее, из всех возможных вариантов стараются выбрать самую короткую дорогу.

В пространстве это несколько сложнее, чем на плоскости. В этом мы сейчас убедимся на следующем примере:

«На поверхности прозрачного куба сидит паук и видит сидящую на другой грани куба муху. Чтобы поймать муху пауку нужно как можно скорее до нее добраться, ведь муха может улететь. Другими словами, пауку необходимо двигаться к мухе кратчайшим маршрутом.
Изобразите карандашом путь по которому должен двигаться паук.»

Обсуждение задачи, варианты решений дети показывают у доски, как итог – демонстрация правильного решения с помощью развертки куба.

Решение задачи демонстрируется на слайдах 5 и 6, к слайдам даются следующие комментарии:

«Мысленно отогнем грань куба на которой сидит паук, расположив верхнюю и боковую грани в одной плоскости. Посмотрим на эти грани сверху. Кратчайший путь от паука до мухи теперь найти очень просто. Достаточно соединить отрезком точки в которых они сидят.
По учебнику стр. 238 дети читают:
Линии, которые на чертеже показывают кратчайший путь от одной точки до другой называются геодезическими линиями.
По учебнику стр. 239:
Решая задачу о пауке и мухе мы мысленно разворачивали две грани куба, располагая их в одной плоскости. Фигура, которая получается при полном развертывании называется разверткой куба.»

IV. Закрепление – решение задач с помощью разверток.

• Проложить геодезическую линию от точки A до точки B.

• Сравнить длины ломаных ABC и ADC.
  Сравнить длины ломаных MNK MLK. (задача №926)

К задачам подготовлены слайды 7-11.

V. Работа в группах.

Класс разбивается на небольшие группы. Каждой группе раздается набор разверток куба (Приложение 3). Задача каждой группы попытаться сначала по виду развертки определить правильная она или нет. Затем проверить, попытавшись собрать куб из каждой из разверток.

Для проверки приготовлены слайды 12 и 13.

Итог – беседа о практическом применении развертки.

VI. Домашнее задание.

Используя какую-нибудь из правильных разверток из предыдущего задания склеить модель куба.

Анализ урока:

При изучении объемных фигур у детей возникают трудности различного характера: с изображением таких фигур в тетради, при решении задач, при чтении чертежей.

Данный урок направлен на развитие пространственного мышления и на знакомство с новым подходом – вынесением условия задачи и последующим решением в плоскость с помощью развертки.

На уроке осуществляются следующие этапы:

• активизация урока, устный счет с элементами игры;
• подготовительный этап – повторение элементов куба;
• решение проблемной задачи с элементом игры; рассмотрение различных способов ее решения и убедительное решение с помощью развертки;
• этап закрепления нового подхода – решение логических задач на нахождение кратчайшего маршрута на поверхности куба;
• работа в группах на решение обратной задачи: определение возможных разверток куба;
• беседа о практическом применении развертки;
• по ходу урока ребята учатся чертить куб по линейке и «от руки».