Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.
Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.
В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.
Что такое реакция опоры?
Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:
На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.
Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.
Виды связей и их реакции
Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.
В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.
Жёсткая заделка
Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (RA), горизонтальная (HA) и момент (MA).
Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора
В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.
В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.
Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.
Что такое момент силы?
Также необходимо разобраться с понятием момент силы.
Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.
Проиллюстрирую написанное:
Правило знаков для моментов
Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
- если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;
- если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.
Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.
Определение реакций для двухопорной балки
Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:
Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как HA, RA и RB:
Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.
В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:
Условия равновесия системы
Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:
Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.
Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.
Уравнения равновесия
Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.
Уравнение проекций
Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.
В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — HA. Так как HA направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:
Тогда HA будет равна:
Поздравляю, первая реакция найдена!
Уравнения моментов
А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.
Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.
Так как сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:
Из полученного уравнения выражаем реакцию RB:
Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:
Проверка правильности найденных опорных реакций
Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.
Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:
Как видишь, реакции опор найдены правильно.
Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:
Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:
Расчёт реакций для консольной балки
Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30°).
Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:
Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:
Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:
А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:
Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что MA, направлена не по часовой стрелке, а против.
В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.
У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.
Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:
С учётом изменений на схеме реакция будет равна:
Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:
Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:
Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.
Реакции опор для плоской рамы
Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:
Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:
- заменяем опоры на реакции;
- сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
- вводим систему координат x и y.
Выполняем расчёт реакций опор:
Меняем направление реакции RA:
В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:
Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:
Как видим, расчет реакций выполнен правильно!
Определением реакций опор называют расчет величины и направления реактивных (т.е. ответных) сил и моментов, возникающих в опорах конструкций под действием системы заданных внешних нагрузок.
В рассмотренных ниже примерах, для наглядности, заданные внешние нагрузки показаны синим или зеленым цветом, а реакции опор — красным или оранжевым.
При решении задач, определяемые реакции опор могут обозначаться по разному:
- буквой R (от англ. Reaction). В этом случае, для уточнения точки приложения и направления силы могут добавляться соответствующие индексы (например, RAy — это реакция в точке A направленная вдоль оси Y);
- буквами V (Vertical) и H (Horizontal) обозначаются соответственно вертикальная и горизонтальная составляющие полной реакции (например, HB — это реакция в точке B направленная вдоль оси балки);
- Также возможно обозначение реакций по осям координат — YA, XB и т.д.
Сохранить или поделиться с друзьями
Рассмотрим решение всех типов задач по расчету величины и направления опорных реакций в заделках, шарнирных опорах и стержнях:
Примеры нахождения реакций опор
Примеры нахождения реакций опор для различных способов закрепления и нагружения бруса, балок, рам и других элементов конструкций.
Реакции опоры и стержня системы
Невесомая балка удерживается в горизонтальном положении шарнирно-неподвижной опорой в т. A и вертикальным стержнем BC.
В точке D к балке приложена сосредоточенная сила F=30кН под углом 50°.
Требуется найти реакции, возникающие в опоре A и стержне BC.
Решение
Для решения задачи, покажем систему координат x-y и зададим произвольное направление реакций.
В точке A реакция в опоре раскладывается на две составляющие — вертикальную VA и горизонтальную HA.
Реакция в стержне (RB) всегда направлена вдоль самого стержня.
Для определения трех реакций требуется три уравнения равновесия.
Это будут два уравнения суммы моментов относительно точек в опорах и сумма проекций всех сил на ось x равные нулю.
Составим их:
Из полученных уравнений выражаем и находим искомые реакции опор
Вертикальная реакция в опоре A получилась отрицательной, это значит что она направлена в противоположную сторону.
Направляем ее вниз, изменив знак на «плюс».
Выполним проверку найденных реакций, проецируя все силы на ось y.
Равенство нулю суммы проекций всех сил и реакций показывает то, что реакции опор найдены верно.
Таким образом, заданная балка удерживается в равновесии под действием одной активной и трех реактивных сил.
Расчет реакций опор балки
Простая балка на двух шарнирных опорах нагружена системой усилий, включающей силу F=60кН, приложенную под углом 40°, момент M=45кНм и равномерно распределенную нагрузку q=18кН/м.
Требуется определить реакции в опорах A и C.
Решение
Вычерчиваем заданную схему в масштабе, показываем численные значения нагрузок, систему координат x-y и задаем произвольное направление реакций.
Здесь, в шарнирно-подвижной опоре будет только одна составляющая реакции.
Для упрощения решения, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей, которая при равномерном распределении q будет приложена по её центру
а силу F можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.
В следющих примерах эти действия выполнять не будем, проводя вычисления напрямую со значениями q и F.
Аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи, записываем уравнения равновесия балки: нулевые суммы моментов всех нагрузок и искомых реакций относительно опор
и проекций сил на ось балки
Откуда находим все три опорные реакции
Все результаты положительны, следовательно, направление реакций было выбрано верно.
Проверяем найденные значения.
Величина реакций рассчитана правильно.
Подробное решение данного типа задач
Остальные задачи по определению опорных реакций с детальным разбором выполняемых действий:
При растяжении-сжатии стержней
Определение реакций в опорах стержней и стержневых систем при действии продольных сил.
- Расчет опорной реакции при растяжении-сжатии
- Расчет опорной реакции ступенчатого бруса
- Опорная реакция в заделке стержня с продольно распределенной нагрузкой
При кручении
Примеры расчета опорных моментов и реакций в подшипниках вала при кручении.
- Определение неизвестного крутящего момента вала
- Определение реакций подшипников пространственно нагруженного вала
- Расчет уравновешивающего момента вала
При изгибе балок и рам
Определение реакций в шарнирных опорах и заделках консольных балок и рам при действии систем внешних сил, моментов и распределенных нагрузок.
- Определение реакций в опорах двухопорной балки
- Расчет опорных реакций консольной балки
- Определение опорных реакций в жесткой заделке при изгибе
- Определение реакций опор балки, когда сила приложена под углом
- Проверка опорных реакций балки
- Расчет реакций в опорах рамы
- Определение опорных реакций балки (Видео)
Наш короткий видеоурок по расчету реакций опор балки:
Другие видео
Другие примеры определения реакций опор
Расчет реакций в опорах нестандартных систем.
- Определение реакции шарнира и опоры
- Реакции в шарнирах
- Реакции опор и шарнира
- Расчет веса противовеса и реакций в шарнирах
- Величина груза обеспечивающая равновесие и реакции в подшипниках
- Определение усилий в стержнях
- Натяжение троса и реакция опоры
- Реакции опор в точках системы
- Опорные реакции невесомой конструкции
- Опорные реакции в скользящей заделке
- Давление в шарнире и реакции в бискользящей заделке
- Реакции в скользящей заделке
- Расчет усилия в стержне
Типы опор и их реакции
В механике различают тела свободные: возможность перемещения, которых в любом направлении ничем не ограничена, и несвободные, когда перемещение данного тела ограничивают другие тела.
Сами тела ограничивающие свободу перемещения данного тела называют опорами (связями), а силы, с которыми опоры удерживают данное тело в равновесии, называют реакциями опор.
Направление реакций зависит от вида опор и схемы нагружения.
При решении задач очень важно правильно заменить опоры их реакциями, иначе записанные уравнения равновесия окажутся неверными.
И здесь важно помнить о том, что реакции могут появляться только по тем направлениям, в которых перемещение невозможно.
Рассмотрим определение реакций в основных типах опор:
Другие видео
Реакция гладкой поверхности
Пусть некоторое тело опирается на гладкую поверхность.
Здесь перемещение тела возможно только вдоль поверхности.
Движение перпендикулярно ей исключено.
Потому что перемещению в сторону поверхности препятствует сама поверхность, а при движении от нее нарушится сама связь.
Таким образом, гладкая поверхность препятствует перемещению тела только в направлении нормали, поэтому реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности.
При взаимодействии криволинейных поверхностей аналогично, реакция направлена нормально к касательной в точке контакта тел.
То же самое будет при контакте в двух точках.
Реакция ребра
В случае, когда прямая балка опирается на ребро, реакции будут направлены перпендикулярно опираемой или опирающейся плоскости в точке их касания.
При повороте балки реакция всегда будет оставаться нормальной к соответствующей поверхности.
Гибкая связь
Для тела, подвешенного на нерастяжимой нити или тросе, связь не позволяет телу удаляться от точки подвеса в направлении самой нити.
Поэтому реакция гибкий связи будет направлена всегда только вдоль самой нити.
Реакции в стержнях
Как и в предыдущем пункте, в стержнях, которые с помощью шарниров соединяют какие-либо элементы с опорами, реакции направлены вдоль самих стержней.
Но в отличие от нитей, здесь может быть одно из двух направлений: растягивающее стержень или сжимающее его.
Реакции в шарнирных опорах
На плоскости возможны только три направления перемещения:
Линейные — вдоль осей x и y, и вращение относительно оси Z.
Поэтому в двумерных системах каждая опора может давать не более трех реакций.
Если свободное тело закрепить шарнирно-неподвижной опорой, которая допускает вращение, но исключает любые линейные перемещения, то в такой опоре могут возникать две реакции.
Они являются осевыми проекциями полной реакции опоры, которая может быть найдена как корень из суммы квадратов её составляющих.
Направление вектора полной реакции зависит от схемы нагружения элемента.
Встречаются разные способы изображения шарнирно-неподвижных опор в расчетных схемах.
В шарнирно-подвижных опорах, помимо вращения возможно линейное перемещение вдоль поверхности, поэтому здесь будет только одна, нормальная к поверхности, составляющая реакции, которая по направлению и величине будет совпадать с полной.
У таких опор так же существуют дополнительные варианты схематичного изображения.
Пример направления реакций опор для балки на двух шарнирных опорах.
Реакции в заделках
Вид связи, при котором брус жестко закреплен в опоре называется глухой заделкой.
В этом случае исключены любые перемещения элемента.
Поэтому в плоских заделках может возникать до трех реакций: горизонтальная и вертикальная составляющие полной реакции, а также момент.
Скользящая заделка допускает линейное перемещение вдоль одной из осей.
Следовательно, по этой оси реакции не будет.
В бискользящей заделке исключается только угловое перемещение элемента.
Здесь из реакций будет один момент.
Реакции опор в трехмерных системах
В пространстве возможно уже шесть направлений движения:
Поступательные вдоль каждой из осей и вращение относительно них.
Поэтому в трехмерных системах опоры могут давать до шести реакций.
Шкив на валу, закрепленном подшипниками, может вращаться относительно продольной оси вала.
Любые другие перемещения невозможны.
В силу конструктивных особенностей подшипников моментов в них не возникает.
Здесь имеют место только реактивные силы.
В радиальном подшипнике (который справа) все реакции поперечны оси вала.
В радиально-упорном (который слева) добавляется еще и продольная.
В трехмерном шарнире исключены любые линейные перемещения и возможны только повороты относительно трех осей, что дает до трех составляющих полной реакции R.
В жесткой заделке при общем случае нагружения может возникать до шести реакций: трёх сил и трех моментов.
Пример замены опор их реакциями для трехмерной системы:
Порядок расчета опорных реакций
В рассмотренных выше примерах при определении реакций в опорах выполняется следующая последовательность действий:
- Вычерчивается (в масштабе) расчетная схема элемента с указанием всех размеров и приложенных внешних нагрузок;
Расчетная схема балки - Выбирается система координат и обозначаются характерные сечения бруса;
Система координат для балки - Определяется количество и возможное направление связей;
Направление опорных реакций балки - Записываются уравнения статики (по количеству неизвестных реакций);
- Из уравнений равновесия находим величину и направление (по знаку) опорных реакций.
Опорные реакции балки
После расчетов выполняется проверка найденных значений.
Более подробно порядок расчета опорных реакций рассматривается в разделе «Статика» теоретической механики.
Другие примеры решения задач >
4. Статика и механические колебания
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Момент силы, механическое равновесие тела
При одновременном действии на одно тело нескольких сил тело движется с ускорением.
Линия действия силы — прямая, проходящая через вектор силы. Если силы действуют параллельно друг другу, то точки приложения результирующей силы нет.
Момент силы относительно оси вращения — это произведение силы на плечо. [vec{M}=vec{F}vec{l}]
Плечо силы — это расстояние от оси вращения до линия действия силы. В качестве примера на рисунке изображён некий диск, к которому приложена сила (vec{F}). Ось вращения перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку O. Плечом силы является величина (l = OH), где (displaystyle H) — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на линию действия силы.
Момент силы считается положительным, если сила стремится поворачивать тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке.
Правило моментов
Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил равна нулю.
Условия равновесия тела:
1) Силы уравновешены вдоль любой оси.
2) Суммарный момент сил, вращающих тело в одну сторону, равен суммарному моменту сил, вращающих тело в другую сторону.
Также условия равновесия тела можно сформулировать следующим образом:
1) Равна нулю векторная сумма всех сил, приложенных к телу.
2) Равна нулю алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно данной оси вращения или любой другой оси, параллельной данной.
Центр тяжести тела — центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.
1) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси.
2) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести находится в этой плоскости.
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в этой точке.
Виды равновесия
Равновесие называется устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия.
Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия.
Равновесие называется безразличным, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю.
Сила, приложенная к рычагу слева равна 300 Н. Какой длины должно быть ее плечо, чтобы рычаг находился в равновесии, если момент силы, действующей на него справа, равен 90 Н(cdot)м? (Ответ дайте в сантиметрах.)
Пусть (M_1) – момент силы, приложенной к рычагу справа, а (M_2) – слева. Чтобы рычаг находился в равновесии, моменты сил, действующих на него слева и справа, должны быть равны: [M_1 = M_2] В то же время момент силы (M_2) по определению равен произведению силы на ее плечо: [M_2 = Fcdot{l},] где (F) – величина силы, приложенной слева; (l) – длина плеча слева. Исходя из этого получаем, что: [M_1 = Fcdot{l}] Отсюда выразим (l): [l = frac{M_1}{F}] [l = frac{90text{ Н}cdot{text{м}}}{300text{ Н}} = 0,3text{ м} = 30text{ см }]
Ответ: 30
Тело массой 1 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (см. рисунок). К какому делению левого плеча рычага нужно подвесить груз массой 3,5 кг для достижения равновесия?
Пусть масса правого груза (m_1), а левого – (m_2).
Обозначим длину одного деления за (l). Тогда, исходя из рисунка, длина правого плеча равна (l_1 = 7l), а длина левого плеча равна (l_2 = nl), где (n) – количество делений.
Чтобы рычаг достиг равновесия, моменты сил, действующих на него справа и слева, должны быть равны: (M_1 = M_2).
В то же время моменты сил (M_1) и (M_2) по определению равны произведению силы на ее плечо: [M_1 = F_1l_1] [M_2 = F_2l_2] Отсюда получаем: (F_1l_1 = F_2l_2)
Выразим длину левого плеча рычага: (displaystyle{l_2 = frac{F_1l_1}{F_2}})
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому: [F_1 = m_1g] [F_2 = m_2g] С учетом этого: [l_2 = displaystyle{frac{m_1gcdot{l_1}}{m_2g}} = frac{m_1l_1}{m_2}] [displaystyle{l_2 = frac{1text{ кг}cdot{7l}}{3,5text{ кг}} = 2l}Rightarrow nl = 2l Rightarrow n = 2]
Ответ: 2
Две вершины однородного железного куба объемом (V = 512) см(^3) опираются на две точки горизонтальной и вертикальной поверхностей, как показано на рисунке. Чему равно плечо силы реакции опоры относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку (O_3)? (O_2C = sqrt{7}) см (Ответ дайте в метрах.)
Плечо – это кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Мысленно продолжим линию действия силы реакции опоры (N) и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку (O_3). Получаем, что плечом этой силы является отрезок (O_3C).
Воспользуемся геометрией, чтобы найти отрезок (O_3C).
Рассмотрим треугольник (Delta O_1O_2O_4) с прямым углом (O_2): [O_1O_4^2 = O_1O_2^2 + O_4O_2^2] [O_1O_2 = O_2O_4 = a] [displaystyle{O_1O_4 = sqrt{2a^2} = asqrt{2}}] Далее найдем отрезок (O_2O_3): [displaystyle{O_2O_3 = frac{1}{2}O_1O_4} = frac{asqrt{2}}{2}] Рассмотрим треугольник (Delta O_3O_2C) с прямым углом (C): [O_3O_2^2 = O_3C^2 + O_2C^2] [displaystyle{O_3C = {sqrt{O_3O_2^2 – O_2C^2 }}}] [displaystyle{O_3C = {sqrt{left(frac{asqrt{2}}{2}right)^2 – O_2C^2 }}}] Зная объем куба, можно найти его сторону (a): [V = a^3 Rightarrow a = sqrt[3]{V} = sqrt[3]{512text{ см}^3} = 8 text{ см }] Тогда: [displaystyle{O_3C = {sqrt{left(frac{8text{ см}cdotsqrt{2}}{2}right)^2 – (sqrt{7}text{ см})^2 }} = 5 text{ см} = 0,05text{ м }}]
Ответ: 0,05
Две вершины однородного медного куба опираются на две точки горизонтальной и вертикальной поверхностей, как показано на рисунке. Чему равен момент силы трения относительно оси, проходящей через точку (O_1) перпендикулярно плоскости рисунка, если масса куба равна 0,7 кг? (OO_2 = 0,4) м (Ответ дайте в Н(cdot)м)
Момент силы трения (M) равен произведению модуля силы трения (F_text{тр}) на ее плечо (l): [M = F_text{тр}cdot{l}] Прямая (OO_1) – линия действия силы трения. По рисунку видно, что длина плеча силы трения (l) относительно точки (O_1) равна нулю (так как ось вращения, проходящая через точку (O_1), перпендикулярна линии действия силы трения).
Следовательно, и момент силы трения (M) так же равен нулю: [M = F_text{тр}cdot{0}text{ м} = 0text{ Н}cdot{text{м }}]
Ответ: 0
Две вершины однородного деревянного куба со стороной (a = 5sqrt{2}) м опираются на две точки горизонтальной и вертикальной поверхностей, как показано на рисунке. Чему равен момент силы тяжести относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку (A)? (AO_1 = 3) м (Ответ дайте в МН(cdot)м и округлите до десятых.) 
Момент силы тяжести M равен произведению модуля силы тяжести (F) на ее плечо (l): [M = Fcdot{l}] Плечо – это кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Мысленно продолжим линию действия силы тяжести (F) и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку (A). Получаем, что плечом силы тяжести является отрезок (AO_3).
Воспользуемся геометрией, чтобы найти отрезок (AO_3).
Рассмотрим треугольник (Delta O_1O_2O_3) с прямым углом (O_3): [O_1O_2^2 = O_1O_3^2 + O_2O_3^2] [O_1O_3 = O_2O_3] [O_1O_2^2 = 2O_1O_3^2] [displaystyle{O_1O_3 = frac{O_1O_2}{sqrt{2}}}] [displaystyle{O_1O_3 = frac{5sqrt{2}}{sqrt{2}}} = 5text{ м }] Рассмотрим треугольник (Delta O_1AO_3) с прямым углом A: [O_1O_3^2 = AO_3^2 + AO_1^2] [AO_3 = sqrt{O_1O_3^2 – AO_1^2}] [AO_3 = sqrt{(5text{ м})^2 – (3text{ м})^2} = 4text{ м }] Сила тяжести равна произведению массы куба (m) на ускорение свободного падения (g): [F = mg] Подставим это значение в исходную формулу: [M = mgcdot{AO_3}] Зная плотность и объем куба, можно найти его массу: [displaystyle{rho =frac{m}{V}},text{ где }V = a^3] [m = rho V = rho a^3] Подставим это значение в предыдущую формулу и найдем искомую величину: [M = rho a^3gcdot{AO_3}] [displaystyle{M = 400text{ }frac{text{кг}}{text{м}^3}cdot{(5sqrt{2}text{ м})}^3cdot{10frac{text{м}}{text{с}^2}}cdot{4}text{ м} approx 5,7text{ М,Н$cdot$м }}]
Ответ: 5,7
На прут массой 1 кг со стороны вертикальной поверхности действует сила трения, равная 3 Н. Найдите момент силы реакции опоры, действующей на него со стороны горизонтальной поверхности, относительно оси, проходящей через точку (O) перпендикулярно плоскости рисунка, если (AB = 6,5) м, а (AC = 9,7) м. (Ответ дайте в Н(cdot)м и округлите до целого числа.) 
Момент действующей на горизонтальную стенку силы реакции опоры относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку (O), равен: [M = N_2l,] где (l) – плечо силы. Мысленно продолжим линию действия силы рекции опоры (N_2) и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку (O). Получаем, что плечом силы (N_2) является отрезок (OC_1), равный: [displaystyle{OC_1 = frac{BC}{2}} = frac{sqrt{AC^2 – AB^2}}{2}] [OC_1 = frac{sqrt{9,7text{ м}^2 – 6,5text{ м}^2}}{2} = 3,6text{ м }] Чтобы найти неизвестную величину (N_2), укажем все силы, действующие на прут, и запишем второй закон Ньютона с учетом того, что тело находится в равновесии: [vec{F}_{text{тр}1} + vec{N}_1 + vec{F} + vec{N}_2 + vec{F}_{text{тр}2} = 0] Введем оси (OX) и (OY), спроецируем на них все силы. [OX: N_1 – F_{text{тр}2} = 0] [OY: F_{text{тр}1} + N_2 – F = 0] Выразим силу реакции опоры (N_2), действующую на горизонтальную стенку: [N_2 = F – F_{text{тр}1}] Сила тяжести (F) по определению равна: (F = mg), поэтому: [N_2 = mg – F_{text{тр}1}] [N_2 = 1text{ кг}cdot{10text{ }frac{text{м}}{text{c}}^2} – 3text{ H} = 7text{ H }] Подставим найденные значения в начальную формулу: [M = 7{text{ Н}cdot{3,6}text{ м}} = 25,2text{ Н}cdot{text{м}}approx{25}text{ Н}cdot{text{м }}]
Ответ: 25
Группа школьников проводила лабораторную работу, исследуя основные условия равновесия легкого рычага, плечи сил которого равны (l_1) и (l_2). К рычагу с двух сторон ребята подвесили грузы массой (m_1) и (m_2).
Результаты эксперимента были занесены в следующую таблицу:
Чему равна масса груза (m_2), если рычаг находился в равновесии? (Ответ дайте в килограммах и округлите до десятых.)
Так как рычаг находился в равновесии, то моменты сил, действующих на него справа и слева, должны быть равны: (M_1 = M_2).
В то же время моменты сил (M_1) и (M_2) по определению равны произведению силы на ее плечо: [M_1 = F_1l_1] [M_2 = F_2l_2] Отсюда получаем: (F_1l_1 = F_2l_2)
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому: [F_1 = m_1g] [F_2 = m_2g] С учетом этого: (M_1 = m_1gcdot{l_1}) и (M_2 = m_2gcdot{l_2}). Приравняв (M_1) и (M_2), получаем, что: [m_1gcdot{l_1} = m_2gcdot{l_2}] [m_1l_1 = m_2l_2] Выразим массу второго груза (m_2): [displaystyle{m_2 = frac{m_1l_1}{l_2}}] [displaystyle{m_2 = frac{0,7text{ кг}cdot{0,84text{ м}}}{0,35text{ м}}} approx 1,7text{ кг }]
Ответ: 1,7
УСТАЛ? Просто отдохни
Расчет реакций относится к разделу физики с названием “Статика”, которая рассматривает структуру и системы, находящиеся в покое.
Силой реакции опоры называется усилие противодействия опоры действующему на нее объекту, при этом она равна по модулю и противоположна по направлению усилию, с которым объект действует на опору, согласно третьему закону Ньютона.
Система между некоторой структурой и опорой, которая препятствует линейному или угловому перемещению этой структуры, называется системой опоры. Существует несколько типов опор:
- Шарнир (валик) — опора первого порядка, ограничивающая смещение в пространстве в одном измерении и обладающее реакцией опоры перпендикулярной основанию.
- Плоская опора — опора второго порядка, которая ограничивает перемещение в пространстве в двух измерениях (горизонтальном и вертикальном) и разрешает только движение вращения структуры.
Расчет равновесных систем связан с вычислением результирующего динамического момента. В ньютоновской (классической) механике момент силы определяется как векторное произведение усилия, действующего на опору, на вектор, образованный между точкой опоры и точкой приложения этого усилия. Момент силы также называют динамическим моментом или просто моментом.
Далее в статье приводится пример расчета реакции для наиболее распространенной задачи: балки с двумя опорами.
Содержание:
- Решение задачи о реакции опоры балки
- Первый способ: через моменты
- Второй способ: через силы
- Видео
Решение задачи о реакции опоры балки
Как было сказано выше, балка с двумя опорами является типичной и наиболее простой задачей статики. Задача состоит в расчете реакций в точках А и В ввиду действующих на балку усилий.
Знание этих величин необходимо для правильного понимания диаграмм моментов и диаграмм сил данной системы, и является важной частью статики в школьных и университетских курсах. Существует компьютерная программа SkyCiv, которая предоставляет мощный инструмент по расчету таких реакций для различных равновесных систем.
Возвращаясь к поставленной выше задаче, напомним, что основным ее условием является статическое состояние, то есть отсутствие каких-либо линейных перемещений и вращений объектов. В простой физике последний факт означает, что сумма векторов всех усилий равна нулю (то есть сумма усилий, направленных вверх, равна таковым, направленным вниз). Вторым условием равновесия системы является равенство нулю динамических моментов, приложенных относительно определенной точки опоры.
Чтобы определить реакции подпорок балки, следуйте нижеизложенным двум способам решения задачи:
- используя равенство нулю суммы динамических моментов;
- используя равенство нулю суммы действующих усилий.
Первый способ: через моменты
Для начала нужно положить, что сумма всех моментов относительно точки реакции равна нулю, то есть ΣMi = 0, где Мi – момент усилия. Расчет таких моментов для нашей задачи очень прост, и состоит в перемножении действующих усилий на расстояния от точки их приложения до точки реакции.
Будем считать, что наша балка имеет длину 4 метра и расположена на двух подпорках А и В. Посредине балки вертикально вниз действует усилие в 20 кН, и нужно рассчитать реакции каждой подпорки, то есть Ay и By . Описанная задача представлена на рисунке.
Например, рассчитаем сумму всех динамических моментов относительно точки реакции В, учитывая ее равенство нулю в равновесии. Выбор точки В, относительно которой будет проводиться расчет, является произвольным, точно так же можно выбрать точку А. Таким образом, просуммируем все динамические моменты относительно точки В, полагая эту сумму равной нулю:
ΣMв = 0 = 20*2 – A y * 4 ==> A y = 10 кН.
Отметим, что в формуле выше мы выбрали положительное направление для моментов, действующих против часовой стрелки, и отрицательное направление для моментов, действующих по часовой стрелке. Такой выбор знаков моментом является наиболее общим, однако, вы можете выбрать и наоборот. Необходимо помнить, что всегда нужно использовать одно и то же соглашение на знак моментов, начиная сначала и следуя ему на протяжении всего решения конкретной задачи.
Таким образом, мы получили нашу первую формулу, из которой определили силу реакции опоры в точке А. Аналогичная формула запишется для определения реакции в точке В. В нашем случае, ввиду симметричности действующего вертикально вниз усилия в 20 кН относительно точек подпорок, реакция в точке В будет равна таковой в точке А, то есть 10 кН.
Второй способ: через силы
Для существования равновесия сумма всех вертикальных сил должна быть равна нулю, то есть ΣF y = 0, где индекс Y определяет конкретную вертикальную силу в системе. Помните, что в данном случае мы должны включать в расчет все действующие в системе силы. Принимая во внимание последний факт, проводим суммирование всех вертикальных сил, в итоге получаем следующую формулу:
ΣF y = 0 = A y + В y – 20 кН, откуда 0 = 10 кН + В y – 20 кН, и В y = 10 кН.
Так же, как и в случае моментов сил, силы являются векторными величинами и имеют знак, здесь мы приняли за положительные силы те, которые действуют вверх, и за отрицательные те, которые действуют вниз. Выбор знака остается за вами, однако, напоминаем, что этот выбор не должен изменяться в процессе решения задачи. Отметим, что в формуле выше мы использовали результат, полученный в предыдущем пункте, когда вычислили силу реакции Ay.
Таким образом, мы решили, поставленную в начале этого параграфа задачу о расчете сил реакций опоры балки, используя при этом две системы уравнений, уравнения момента силы и уравнения силы, и получили ответы: силы реакции в точках А и В равны между собой и составляют 10 кН. Напоминаем, что физический смысл полученного равенства заключается в том, что действующая на балку внешняя сила приложена точно посередине балки. В случае ее приложения в другой точке, приведенные формулы также будут действительны и процесс расчета остается тем же самым.
Видео
Эта видеоподборка поможет вам лучше разобраться в теме и закрепить полученные знания.
Определение опорных реакций
Способы определения опорных реакций изучаются в курсе теоретической механики. Остановимся только практических вопросах методики вычисления опорных реакций, в частности для шарнирно опертой балки с консолью (рис. 7.4).
Нужно найти реакции: 
, 
и 
. Направления реакций выбираем произвольно. Направим обе вертикальные реакции вверх, а горизонтальную реакцию – влево.
Нахождение и проверка опорных реакций в шарнирной опоре
Для вычисления значений реакций опор составим уравнения статики:
Сумма проекций всех сил (активных и реактивных) на ось z равна нулю: 
.
Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки (перпендикулярные к оси балки), то из этого уравнения находим: горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры 
.
Сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:
.
Правило знаков для момента силы: считаем момент силы положительным, если он вращает балку относительно точки против хода часовой стрелки.
Необходимо найти равнодействующую распределенной погонной нагрузки. Распределенная погонная нагрузка равна площади эпюры распределенной нагрузки 
и приложена в центре тяжести этой эпюры (посредине участка длиной 
).
Тогда
кН.
Сумма моментов всех сил относительно опоры B равна нулю:
.
кН.
Знак «минус» в результате говорит: предварительное направление опорной реакции 
было выбрано неверно. Меняем направление этой опорной реакции на противоположное (см. рис. 7.4) и про знак «минус» забываем.
Проверка опорных реакций
Сумма проекций всех сил на ось y должна быть равна нулю: 
.
Силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются на нее со знаком «плюс»:
(верно).
Нахождение опорных реакций в жесткой заделке
Найдем реакции опор в жесткой заделке. Для определения опорных реакций составляются уравнения статики:
Из первого уравнения определяется реакция 
(обычно равна нулю), из второго – 
и из третьего – момент в жесткой заделке 
.
Проверка, как правило, не производится.
