Как найти реакцию опоры примеры решения

Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.

Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.

В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.

Что такое реакция опоры?

Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:

Схема, демонстрирующая схему балки (стержня) и опоры

На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.

Возникшие реакции в опорах балки под нагрузкой

Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.

Виды связей и их реакции

Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.

 В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.

Жёсткая заделка

Схема жёсткой заделки

Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (RA), горизонтальная (HA) и момент (MA).

Реакции жёсткой заделки

Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора

В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.

Схема шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опоры

В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.

Реакции в шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опоре

Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.

Что такое момент силы?

Также необходимо разобраться с понятием момент силы.

Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.

Проиллюстрирую написанное:

Схема для нахождения момента силы
На изображении показано, как определить момент силы F, относительно точки O.

Правило знаков для моментов

Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:

  • если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;
  • если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.
Правило знаков для моментов

Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.

Определение реакций для двухопорной балки

Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:

Расчётная схема балки, загруженная распределённой нагрузкой

Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как HA, RA и RB:

Указание координатных осей для схемы балки

Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.

В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:

Обозначение векторов

Условия равновесия системы

Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:

Условия равновесия

Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.

Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.

Уравнения равновесия

Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.

Расчётная схема для определения реакций

Уравнение проекций

Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.

В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — HA. Так как HA направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:

Тогда HA будет равна:

Поздравляю, первая реакция найдена!

Уравнения моментов

А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.

Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.

Так как сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:

Из полученного уравнения выражаем реакцию RB:

Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:

Проверка правильности найденных опорных реакций

Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.

Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:

Как видишь, реакции опор найдены правильно.

Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой

Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:

Схема балки, загруженная распределённой нагрузкой

Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:

Сворачивание распределённой нагрузки до сосредоточенной силы

Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:

Обозначение реакций в опорах и координатных осей
Условия равновесия для балки

Расчёт реакций для консольной балки

Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30°).

Консольная балка, загруженная распределённой нагрузкой и силой под определённым углом

Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:

Раскладывание сил на составляющие и силовой треугольник

Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:

Обозначение реакций, сил и координатных осей для консольной балки

Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:

А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:

Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что MA, направлена не по часовой стрелке, а против.

В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.

У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.

Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:

Изменение направления реактивного момента

С учётом изменений на схеме реакция будет равна:

Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:

Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:

Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.

Реакции опор для плоской рамы

Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:

Расчётная схема плоской рамы

Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:

  • заменяем опоры на реакции;
  • сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
  • вводим систему координат x и y.
Обозначение реакций, сворачивание распределённой нагрузки и введение осей координат

Выполняем расчёт реакций опор:

Меняем направление реакции RA:

Изменение направления опорной реакции

В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:

Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:

Как видим, расчет реакций выполнен правильно!

Определением реакций опор называют расчет величины и направления реактивных (т.е. ответных) сил и моментов, возникающих в опорах конструкций под действием системы заданных внешних нагрузок.

В рассмотренных ниже примерах, для наглядности, заданные внешние нагрузки показаны синим или зеленым цветом, а реакции опор — красным или оранжевым.

При решении задач, определяемые реакции опор могут обозначаться по разному:

  1. буквой R (от англ. Reaction). В этом случае, для уточнения точки приложения и направления силы могут добавляться соответствующие индексы (например, RAy — это реакция в точке A направленная вдоль оси Y);
  2. буквами V (Vertical) и H (Horizontal) обозначаются соответственно вертикальная и горизонтальная составляющие полной реакции (например, HB — это реакция в точке B направленная вдоль оси балки);
  3. Также возможно обозначение реакций по осям координат — YA, XB и т.д.

Сохранить или поделиться с друзьями

Рассмотрим решение всех типов задач по расчету величины и направления опорных реакций в заделках, шарнирных опорах и стержнях:

Примеры нахождения реакций опор

Примеры нахождения реакций опор для различных способов закрепления и нагружения бруса, балок, рам и других элементов конструкций.

Реакции опоры и стержня системы

Невесомая балка удерживается в горизонтальном положении шарнирно-неподвижной опорой в т. A и вертикальным стержнем BC.
В точке D к балке приложена сосредоточенная сила F=30кН под углом 50°.

Требуется найти реакции, возникающие в опоре A и стержне BC.

Решение
Для решения задачи, покажем систему координат x-y и зададим произвольное направление реакций.

В точке A реакция в опоре раскладывается на две составляющие — вертикальную VA и горизонтальную HA.
Реакция в стержне (RB) всегда направлена вдоль самого стержня.

Для определения трех реакций требуется три уравнения равновесия.
Это будут два уравнения суммы моментов относительно точек в опорах и сумма проекций всех сил на ось x равные нулю.
Составим их:


Из полученных уравнений выражаем и находим искомые реакции опор

Вертикальная реакция в опоре A получилась отрицательной, это значит что она направлена в противоположную сторону.
Направляем ее вниз, изменив знак на «плюс».

Выполним проверку найденных реакций, проецируя все силы на ось y.

Равенство нулю суммы проекций всех сил и реакций показывает то, что реакции опор найдены верно.

Таким образом, заданная балка удерживается в равновесии под действием одной активной и трех реактивных сил.

Расчет реакций опор балки

Простая балка на двух шарнирных опорах нагружена системой усилий, включающей силу F=60кН, приложенную под углом 40°, момент M=45кНм и равномерно распределенную нагрузку q=18кН/м.

Требуется определить реакции в опорах A и C.

Решение
Вычерчиваем заданную схему в масштабе, показываем численные значения нагрузок, систему координат x-y и задаем произвольное направление реакций.

Здесь, в шарнирно-подвижной опоре будет только одна составляющая реакции.

Для упрощения решения, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей, которая при равномерном распределении q будет приложена по её центру


а силу F можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.

В следющих примерах эти действия выполнять не будем, проводя вычисления напрямую со значениями q и F.

Аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи, записываем уравнения равновесия балки: нулевые суммы моментов всех нагрузок и искомых реакций относительно опор

и проекций сил на ось балки

Откуда находим все три опорные реакции

Все результаты положительны, следовательно, направление реакций было выбрано верно.

Проверяем найденные значения.

Величина реакций рассчитана правильно.

Подробное решение данного типа задач

Остальные задачи по определению опорных реакций с детальным разбором выполняемых действий:

При растяжении-сжатии стержней

Определение реакций в опорах стержней и стержневых систем при действии продольных сил.

  • Расчет опорной реакции при растяжении-сжатии
  • Расчет опорной реакции ступенчатого бруса
  • Опорная реакция в заделке стержня с продольно распределенной нагрузкой

При кручении

Примеры расчета опорных моментов и реакций в подшипниках вала при кручении.

  • Определение неизвестного крутящего момента вала
  • Определение реакций подшипников пространственно нагруженного вала
  • Расчет уравновешивающего момента вала

При изгибе балок и рам

Определение реакций в шарнирных опорах и заделках консольных балок и рам при действии систем внешних сил, моментов и распределенных нагрузок.

  • Определение реакций в опорах двухопорной балки
  • Расчет опорных реакций консольной балки
  • Определение опорных реакций в жесткой заделке при изгибе
  • Определение реакций опор балки, когда сила приложена под углом
  • Проверка опорных реакций балки
  • Расчет реакций в опорах рамы
  • Определение опорных реакций балки (Видео)

Наш короткий видеоурок по расчету реакций опор балки:

Другие видео

Другие примеры определения реакций опор

Расчет реакций в опорах нестандартных систем.

  • Определение реакции шарнира и опоры
  • Реакции в шарнирах
  • Реакции опор и шарнира
  • Расчет веса противовеса и реакций в шарнирах
  • Величина груза обеспечивающая равновесие и реакции в подшипниках
  • Определение усилий в стержнях
  • Натяжение троса и реакция опоры
  • Реакции опор в точках системы
  • Опорные реакции невесомой конструкции
  • Опорные реакции в скользящей заделке
  • Давление в шарнире и реакции в бискользящей заделке
  • Реакции в скользящей заделке
  • Расчет усилия в стержне

Типы опор и их реакции

В механике различают тела свободные: возможность перемещения, которых в любом направлении ничем не ограничена, и несвободные, когда перемещение данного тела ограничивают другие тела.

Сами тела ограничивающие свободу перемещения данного тела называют опорами (связями), а силы, с которыми опоры удерживают данное тело в равновесии, называют реакциями опор.

Направление реакций зависит от вида опор и схемы нагружения.

При решении задач очень важно правильно заменить опоры их реакциями, иначе записанные уравнения равновесия окажутся неверными.

И здесь важно помнить о том, что реакции могут появляться только по тем направлениям, в которых перемещение невозможно.

Рассмотрим определение реакций в основных типах опор:

Другие видео

Реакция гладкой поверхности

Пусть некоторое тело опирается на гладкую поверхность.

Здесь перемещение тела возможно только вдоль поверхности.
Движение перпендикулярно ей исключено.

Потому что перемещению в сторону поверхности препятствует сама поверхность, а при движении от нее нарушится сама связь.
Таким образом, гладкая поверхность препятствует перемещению тела только в направлении нормали, поэтому реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности.

При взаимодействии криволинейных поверхностей аналогично, реакция направлена нормально к касательной в точке контакта тел.

То же самое будет при контакте в двух точках.

Реакция ребра

В случае, когда прямая балка опирается на ребро, реакции будут направлены перпендикулярно опираемой или опирающейся плоскости в точке их касания.

При повороте балки реакция всегда будет оставаться нормальной к соответствующей поверхности.

Гибкая связь

Для тела, подвешенного на нерастяжимой нити или тросе, связь не позволяет телу удаляться от точки подвеса в направлении самой нити.
Поэтому реакция гибкий связи будет направлена всегда только вдоль самой нити.

Реакции в стержнях

Как и в предыдущем пункте, в стержнях, которые с помощью шарниров соединяют какие-либо элементы с опорами, реакции направлены вдоль самих стержней.

Но в отличие от нитей, здесь может быть одно из двух направлений: растягивающее стержень или сжимающее его.

Реакции в шарнирных опорах

На плоскости возможны только три направления перемещения:
Линейные — вдоль осей x и y, и вращение относительно оси Z.

Поэтому в двумерных системах каждая опора может давать не более трех реакций.
Если свободное тело закрепить шарнирно-неподвижной опорой, которая допускает вращение, но исключает любые линейные перемещения, то в такой опоре могут возникать две реакции.

Они являются осевыми проекциями полной реакции опоры, которая может быть найдена как корень из суммы квадратов её составляющих.
Направление вектора полной реакции зависит от схемы нагружения элемента.

Встречаются разные способы изображения шарнирно-неподвижных опор в расчетных схемах.
В шарнирно-подвижных опорах, помимо вращения возможно линейное перемещение вдоль поверхности, поэтому здесь будет только одна, нормальная к поверхности, составляющая реакции, которая по направлению и величине будет совпадать с полной.

У таких опор так же существуют дополнительные варианты схематичного изображения.
Пример направления реакций опор для балки на двух шарнирных опорах.

Реакции в заделках

Вид связи, при котором брус жестко закреплен в опоре называется глухой заделкой.
В этом случае исключены любые перемещения элемента.

Поэтому в плоских заделках может возникать до трех реакций: горизонтальная и вертикальная составляющие полной реакции, а также момент.
Скользящая заделка допускает линейное перемещение вдоль одной из осей.

Следовательно, по этой оси реакции не будет.
В бискользящей заделке исключается только угловое перемещение элемента.

Здесь из реакций будет один момент.

Реакции опор в трехмерных системах

В пространстве возможно уже шесть направлений движения:
Поступательные вдоль каждой из осей и вращение относительно них.

Поэтому в трехмерных системах опоры могут давать до шести реакций.
Шкив на валу, закрепленном подшипниками, может вращаться относительно продольной оси вала.

Любые другие перемещения невозможны.
В силу конструктивных особенностей подшипников моментов в них не возникает.
Здесь имеют место только реактивные силы.
В радиальном подшипнике (который справа) все реакции поперечны оси вала.
В радиально-упорном (который слева) добавляется еще и продольная.

В трехмерном шарнире исключены любые линейные перемещения и возможны только повороты относительно трех осей, что дает до трех составляющих полной реакции R.

В жесткой заделке при общем случае нагружения может возникать до шести реакций: трёх сил и трех моментов.

Пример замены опор их реакциями для трехмерной системы:

Порядок расчета опорных реакций

В рассмотренных выше примерах при определении реакций в опорах выполняется следующая последовательность действий:

  1. Вычерчивается (в масштабе) расчетная схема элемента с указанием всех размеров и приложенных внешних нагрузок;Расчетная схема балки
    Расчетная схема балки
  2. Выбирается система координат и обозначаются характерные сечения бруса;Система координат для балки
    Система координат для балки
  3. Определяется количество и возможное направление связей;Направление опорных реакций балки
    Направление опорных реакций балки
  4. Записываются уравнения статики (по количеству неизвестных реакций);
  5. Из уравнений равновесия находим величину и направление (по знаку) опорных реакций.Опорные реакции балки
    Опорные реакции балки

После расчетов выполняется проверка найденных значений.
Более подробно порядок расчета опорных реакций рассматривается в разделе «Статика» теоретической механики.

Другие примеры решения задач >

Определение опорных реакций

Способы определения опорных реакций изучаются в курсе теоретической механики. Остановимся только практических вопросах методики вычисления опорных реакций, в частности для шарнирно опертой балки с консолью (рис. 7.4).

изображение Как найти реакции опор сопромат Нужно найти реакции: изображение Как найти реакции опор сопромат, изображение Как найти реакции опор сопромати изображение Как найти реакции опор сопромат. Направления реакций выбираем произвольно. Направим обе вертикальные реакции вверх, а горизонтальную реакцию – влево.

Нахождение и проверка опорных реакций в шарнирной опоре

Для вычисления значений реакций опор составим уравнения статики:

Сумма проекций всех сил (активных и реактивных) на ось z равна нулю: изображение Как найти реакции опор сопромат.

Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки (перпендикулярные к оси балки), то из этого уравнения находим: горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры изображение Как найти реакции опор сопромат.

Сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:изображение Как найти реакции опор сопромат.

Правило знаков для момента силы: считаем момент силы положительным, если он вращает балку относительно точки против хода часовой стрелки.

Необходимо найти равнодействующую распределенной погонной нагрузки. Распределенная погонная нагрузка равна площади эпюры распределенной нагрузки изображение Как найти реакции опор сопромати приложена в центре тяжести этой эпюры (посредине участка длиной изображение Как найти реакции опор сопромат).

Тогда

изображение Как найти реакции опор сопромат

изображение Как найти реакции опор сопроматкН.

Сумма моментов всех сил относительно опоры B равна нулю:изображение Как найти реакции опор сопромат.

изображение Как найти реакции опор сопромат

изображение Как найти реакции опор сопроматкН.

Знак «минус» в результате говорит: предварительное направление опорной реакции изображение Как найти реакции опор сопроматбыло выбрано неверно. Меняем направление этой опорной реакции на противоположное (см. рис. 7.4) и про знак «минус» забываем.

Проверка опорных реакций

Сумма проекций всех сил на ось y должна быть равна нулю: изображение Как найти реакции опор сопромат.

Силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются на нее со знаком «плюс»:

изображение Как найти реакции опор сопромат

изображение Как найти реакции опор сопромат изображение Как найти реакции опор сопромат(верно).

Нахождение опорных реакций в жесткой заделке

Найдем реакции опор в жесткой заделке. Для определения опорных реакций составляются уравнения статики:

изображение Как найти реакции опор сопромат

Из первого уравнения определяется реакция изображение Как найти реакции опор сопромат(обычно равна нулю), из второго – изображение Как найти реакции опор сопромати из третьего – момент в жесткой заделке изображение Как найти реакции опор сопромат.

Проверка, как правило, не производится.

Как определить реакции в опорах?

Привет! В этой статье, предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции в опорах, и этому уделяют особое внимание на термехе. А курс термеха, по традиции, читают до сопромата. Для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.

Что такое реакция опоры?

Реакция опоры – это та сила, которая возникает в опоре от действия внешней нагрузки. В зависимости от конструкции опоры и ее назначения, в ней может появляться разное количество реакций, это может быть как сила, так и момент.

В начале этой статьи, расскажу о том, что должен уже уметь читатель, для успешного освоения данного урока. Если у Вас есть проблемы по поднятым вопросам на старте статьи, переходите по ссылкам на другие материалы на нашем сайте, после чего возвращайтесь к нам на чай реакции. Во второй части статьи, посмотрим, как вычисляются реакции на простейшем примере – балки, загруженной по центру сосредоточенной силой. Тут я покажу, как пользоваться уравнениями равновесия статики, как их правильно составлять. Дальше по плану, научу учитывать распределенную нагрузку, на примере той же балки. И завершать данный урок, будет пример определения реакций для плоской рамы, загруженной всевозможными типами нагрузок. Где применим уже все фишки, о которых я буду рассказывать по ходу урока. Что же, давайте начнем разбираться с реакциями!

Что вы должны уже уметь?

В этом блоке статье, я расскажу, как и обещал, что Вы должны УЖЕ уметь, чтобы понять то, что я буду докладывать дальше, про реакции опор.

Должны уметь находить сумму проекций сил

Да, это то, что Вам когда-то рассказывали на термехе, как собственно, и опорные реакции. Если Вы шарите немного в этих проекциях, то можете смело переходить к следующему пункту. Если же нет, то специально на этот случай, у меня есть другая статья, про проекции сил. Переходите, просвещайтесь, после чего, обязательно, возвращайтесь сюда!

Должны уметь составлять сумму моментов относительно точки

Немного теории! Познакомимся для начала с самим понятием момент силы. Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр. Проиллюстрирую написанное:

На изображении показано, как определить момент силы F, относительно точки O.

Так же, для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Сила относительно точки может поворачивать как по часовой стрелке, так и против нее. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:

  • Если сила относительно точки крутит ПРОТИВ часовой стрелке, то момент положительный.
  • Если она крутит ПО часовой стрелки, то соответственно момент отрицательный.

Причем, это правило условно! Какое правило Вы будете использовать совсем не важно, результат получите тот же самый. В теоретической механике, к примеру, делают также как я рассказываю.

Должны разбираться в основных видах опор

Теперь поговорим о самих опорах. В этой статье, будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.

Шарнирно-подвижная опора препятствует вертикальному перемещению элементу конструкции, в связи с чем, в ней, под действием внешней нагрузки возникает вертикальная реакция. Обозначают ее обычно как Ri, где i — точка крепления опоры.

Шарнирно-неподвижная опора имеет две реакции: вертикальную и горизонтальную. Так как препятствует перемещению в этих двух направлениях.

Вообще-то способов закрепления элементов конструкций и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их рассматривать не будем.

Примеры определения сил реакций опор

Вроде, всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнем с простейшей расчетной схемы балки.

Определение реакций опор для балки

Возьмем балку на двух опорах, длиной 2 метра. Загрузим ее, посередине пролета, сосредоточенной силой:

Для этой расчетной схемы, выгодно записать такое условие равновесия:
То есть, будем составлять две суммы моментов относительно опорных точек, из которых можно сразу выразить реакции в опорах. В шарнирно-неподвижной опоре горизонтальная реакция будет равна нулю, ввиду того, что горизонтальные силы отсутствуют. Последним уравнением, взяв сумму проекций на вертикальную ось, сможем проверить правильность нахождения опорных реакций, это сумма должна быть равна нулю.

Введем систему координат, пустим ось х вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как RA и RB:

Запишем уравнение моментов, относительно точки А. Сила F поворачивает ПО часовой стрелки, записываем ее со знаком МИНУС и умножаем на плечо. Сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем ее со знаком ПЛЮС и умножаем на плечо. Все это приравниваем к нулю:

Из полученного уравнения выражаем реакцию RB.

Первая реакция найдена! Вторая реакция находится аналогично, только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:

После нахождения реакций, делаем проверку:

Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой

Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:


Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно свернуть до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:

Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:

Определение опорных реакций для плоской рамы

Теперь, после освоения азов по расчету реакций, предлагаю выполнить расчет плоской рамы. Для примера, возьмем раму, загруженную всевозможными видами нагрузок:

Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:

  • заменяем опоры на реакции;
  • сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
  • вводим глобальную систему координат x и y.

Для такой расчетной схемы, лучше использовать следующую форму условий равновесия:

Составив первое уравнение, относительно точки A, сразу найдем реакцию в опоре B:

Записав второе уравнение, сумму проекций на ось х, найдем горизонтальную реакцию HA:

И, наконец, третье уравнение, позволит найти реакцию RA:

Не пугайтесь отрицательного значения реакции! Это значит, что при отбрасывании опоры, мы не угадали с направлением этой силы.

Расчет же показал, что RA, направленна в другую сторону:

В итоге, получили следующие реакции в опорах рамы:

Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумму будет равна нулю, то расчет выполнен верно:

Как видим, расчет реакций выполнен правильно!

На этом заканчиваю данный урок. Если у Вас остались какие-то вопросы по нахождению опорных реакций, смело задавайте их в комментариях к этой статье. Обязательно на все отвечу!

Спасибо за внимание! Если понравилась данная статья, расскажите о ней своим одногруппникам, не жадничайте 🙂

Также рекомендую подписаться на наши соц. сети, чтобы быть в курсе обновлений материалов проекта.

Как определить реакции опор или найти опорные реакции: для балки или рамы

Что такое реакция опоры или опорная реакция?

Реакция опоры или опорная реакция – это силовой фактор, возникающий в опоре, от действия на конструкцию внешней нагрузки. В опорах, как правило, возникают реактивные силы, которые для удобства ручного расчета раскладываются на две составляющие: вертикальную и горизонтальную проекции. В жестких заделках, которые ограничивают все степени свободы конструкций, в том числе поворот сечений, также могут появляться реактивные моменты.

Зачем определять реакции опор?

На элементы конструкций всегда наложены какие-то связи, в виде опор, жестких заделок, стержней, которые ограничивают степени свободы конструкций. Под действием внешней нагрузки в этих связях возникают реакции. И эти реакции опор нужно обязательно учитывать при расчетах на прочность, жесткость и т. д., так как они являются внешними нагрузками. Практически любая задача по сопромату начинается с нахождения реакций связей, именно поэтому статья будет одной из первых на этом сайте.

Пример определения опорных реакций для балки

Давайте рассмотрим пример, на котором я покажу как определяются реакции опор. Причем, постараюсь объяснить максимально просто, буквально на пальцах.

Возьмем простую балку, загруженную сосредоточенной силой F, под действием которой в опорах появляются реакции RA и RB. Также сразу вводим систему координат x, y:

Чтобы узнать численное значение эти реакций, воспользуемся первой формой уравнений равновесия:

Первое уравнение равновесия

Записываем первое уравнение. Так как оси x не параллельна ни одна из сил, то соответственно сумма проекций сил на эту ось будет равна нулю:

Таким будет первое уравнение для этой расчетной схемы.

Второе уравнение равновесия

Второе уравнение, связанно с проекциями на вертикальную ось. Здесь все намного лучше, все силы параллельны этой оси, а значит дадут проекции. Вопрос только с каким знаком, каждая сила пойдет в уравнение. Если направление силы, совпадает с направлением оси, то в уравнение она пойдет со знаком «плюс» (RA и RB). Если же сила направленна в противоположную сторону, как F, в нашем случае, то в уравнении будем записывать ее с минусом. Таким образом, получим второе уравнение равновесия:

Как видите, во втором уравнении у нас находится 2 неизвестные реакции. Чтобы, наконец, решить задачу, давайте запишем третье уравнение равновесия.

Третье уравнение равновесия

Это уравнение отличается от первых двух, так как тут речь идет о моментах. Напомню, момент – это произведение силы на плечо. В свою очередь, плечо – это перпендикуляр, опущенный от центра момента до линии действия силы. То есть это кратчайшее расстояние от центра момента до силы. В качестве центра моментов у нас назначена точка A, по условию сумма моментов всех сил должна быть равна нулю относительно этой точки.

Начинаем рассуждать и записывать уравнение. Реакция RA не дает момента, относительно точки А, так как линия действия этой силы пересекает эту точку и соответственно плечо равно нулю. А там, где нет плеча, нет и момента.

Сила F, относительно точки А, создает момент равный:

Обратите внимание, плечо в данном случае равно 2 метрам. Кроме того, важен знак момента, для этого традиционно используется правило, которое продвинутым студентам известно еще с теоретической механики:

  • Если сила, относительно произвольного центра, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то момент силы положительный;
  • Если сила, относительно произвольного центра, поворачивает ПО часовой стрелке, то момент силы отрицательный.

Для силы F, как видите, момент отрицательный:

Реакция опоры — RB, создает момент равный RB · 4, так как сила поворачивает против часовой стрелки, то в уравнение записываем его со знаком плюс:

Вычисление реакций опор

Вот собственно и все, все уравнения составлены. Теперь осталось только решить их и найти искомые значения реакций опор (F=2 кН):

В этой статье, мы рассмотрели достаточно простой пример. Если вы хотите развить свои навыки по определению реакций опор, узнать различные хитрости по их нахождению, научится определять реакции, когда на конструкцию действуют силы под различными углами, учитывать в уравнениях сосредоточенные моменты и распределенную нагрузку, приступайте к изучению статьи – как определить реакции опор для балки.

Определение реакций опор балки – решение задачи

Как определить реакции опор балки

Пример решения задачи на определение реакций опор балки

Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и B, вызываемые указанными нагрузками.

Дано:
P = 20,2 Н ; G = 22,6 Н ; q = 2 Н/м ; M = 42,8 Н·м ; a = 1,3 м ; b = 3,9 м ; α = 45° ;

Решение задачи

Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A . Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y – вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.

Силы, действующие на балку.

Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
В шарнире A , разложим силу реакции на составляющие и вдоль осей координат.
Реакция , в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
Н .
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C – посередине отрезка AD :
AC = CD = b/2 = 1,95 м .

Уравнения равновесия для сил

Определяем проекции сил на оси координат.

Разложим силу на составляющие вдоль координатных осей:
.
Абсолютные значения составляющих:
.
Вектор параллелен оси x и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор параллелен оси y и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы на оси координат имеют следующие значения:
.

Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
;
;
;
;
.

Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю:
;
;
;
(П1) .

Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
;
;
;
(П2) .

Уравнения равновесия для моментов

Итак, мы уже составили два уравнения для сил: (П1) и (П2). Но в них есть три неизвестные величины: , и . Чтобы их определить, нам нужно составить еще одно уравнение.

Составим уравнение равновесия для моментов сил. Для этого нам нужно выбрать ось, относительно которой мы будем вычислять моменты. В качестве такой оси возьмем ось, проходящую через точку A , перпендикулярно плоскости рисунка. За положительное направление выберем то, которое направлено на нас. Тогда, по правилу правого винта, положительным направлением закручивания будет направление против часовой стрелки.

Находим моменты сил относительно выбранной оси.
Силы , и пересекают ось. Поэтому их моменты равны нулю:
; ; .

Сила перпендикулярна плечу AB . Ее момент:
.
Поскольку, относительно оси A , сила направлена против часовой стрелки, то ее момент положительный.

Сила перпендикулярна плечу AK . Поскольку, относительно оси A , эта сила направлена по часовой стрелки, то ее момент имеет отрицательное значение:
.

Аналогичным способом находим моменты остальных сил:
;
.
Момент от пары сил M не зависит от точек приложения сил, входящих в пару:
.

Составляем уравнение равновесия. Сумма моментов сил относительно оси A равна нулю:
;

;
;
(П3) .

Решение уравнений равновесия

Итак, для трех неизвестных величин, мы получили три уравнения:
(П1) .
(П2) .
(П3) .

Решаем эти уравнения. Вычисляем расстояния.
м;
м;
м;
м.

Из уравнения (П1) находим:
Н.
Из уравнения (П3) находим:

Н.
Из уравнения (П2) имеем:
Н.
Абсолютное значение реакции опоры в точке A :
Н.

Проверка правильности решения

Чтобы проверить, правильно ли мы определили реакции опор балки, найдем сумму моментов сил относительно другой оси. Если мы нашли реакции правильно, то она должна равняться нулю.

Возьмем ось, проходящую через точку E . Вычисляем сумму моментов сил относительно этой оси:

.
Найдем погрешность вычисления суммы моментов. Найденные силы мы округлили до двух знаков после запятой. То есть погрешность определения реакций опор составляет 0,01 Н . Расстояния, по порядку величины, примерно равны 10 м. Тогда погрешность вычисления суммы моментов составляет около 10·0,01 = 0,1 Нм . Мы получили значение -0,03 Нм . Эта величина отличается от нуля не более, чем на величину погрешности. То есть, с учетом погрешности вычислений, сумма моментов относительно другой оси равна нулю. Значит решение правильное, силы реакций найдены верно.

Второй способ решения

Первым способом мы составили два уравнения для сил и одно – для моментов. Задачу можно решить другим способом, составив два уравнения для моментов и одно для сил.

Воспользуемся тем, что сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси. Возьмем вторую ось, которая проходит через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой равна нулю:
.
Вычисляем моменты сил относительно оси B .
; ; ;
;
;
;
;
.

Сумма моментов сил относительно оси B равна нулю:
;

;
;
(П4) ;

Итак, вторым способом, мы также имеем три уравнения:
(П1) .
(П3) ;
(П4) .

Здесь каждое уравнение содержит только одну неизвестную величину. Реакции и определяются из тех же уравнений, что и ранее. Находим силу из уравнения (П4):

Н.

Значение реакции совпало со значением, полученным первым способом из уравнения (П2).

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-10-2017 Изменено: 28-12-2021

[spoiler title=”источники:”]

http://sopromats.ru/sopromat/opredelenie-reaktsiy-opor/

http://1cov-edu.ru/mehanika/statika/opredelenie-reaktsij-opor-balki/

[/spoiler]

Содержание:

  1. Задача с решением 75-14.
  2. Задача с решением 76-14;
  3. Задача с решением 77-14.
  4. Задача с решением 79-14.
  5. Задача с решением 80-14*.
  6. Задача с решением 82-14.
  7. Определение реакций в общем случае
  8. Пример с решением 58.
  9. Пример с решением 59.

Как известно, любую плоскую систему сил можно привести к главному вектору Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и главному моменту Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается около неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил.

Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Первое и второе выражения — уравнения проекций — образуются из условия — Реакция опоры – Как определить реакции в опорах третье выражение – уравнение моментов – из условия Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Если на тело действует система параллельных сил, то уравнений равновесия получится только два: уравнение проекций на ось, параллельную силам, и уравнение моментов

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

При решении некоторых задач одно или оба уравнения проекций целесообразно заменить уравнениями моментов относительно каких-либо точек, т. е. систему уравнений равновесия можно представить в таком виде:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

или

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

В первом случае линия, проходящая через точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах не перпендикулярна к оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Во втором случае центры моментов Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах не лежат на одной прямой линии.

Для системы параллельных сил соответственно получаем два уравнения моментов:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

В этом случае точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах не лежат на прямой, параллельной силам.

В задачах, решаемых при помощи уравнений равновесия, обычно рассматриваются тела, находящиеся в состоянии покоя, тогда система сил, действующих на это тело, уравновешена.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил называется нагрузками (активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей (пассивные силы).

Нагрузки, как правило, бывают заданы. Они имеют числовое значение, точку приложения к телу и направление их действия.

В рассматриваемых ниже задачах используются лишь три разновидности нагрузок: сосредоточенные силы, равномерно распределенные силы* и пары сил (статические моменты)**.

Сосредоточенными называются силы, приложенные к точке тела. Если, например, на тело действуют нагрузки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах как показано

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

на рис. 91, а, действия этих нагрузок можно считать приложенными соответственно к точкам Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах тела и на расчетных схемах изобразить так, как это выполнено на рис. 91, б.

Равномерно распреде.генные нагрузки, например кирпичная кладка (рис. 92, а), или собственный вес однородного тела (бруса, балки) постоянного поперечного сечения по всей его длине задается при помощи двух параметров —интенсивности Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и длины Реакция опоры – Как определить реакции в опорах па протяжении которой они действуют. На расчетных схемах эти нагрузки изображаются так, как показано на рис. 92, б.

  • Пара сил (сосредоточенный момент), например, может быть образована двумя одинаковыми грузами Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действующими на тело так, как показано на рис. 93, а. Условное изображение пары сил, действующей на тело, показано на рис. 93, б.

Очень часто в каком-либо месте тела возникает совместное действие сосредоточенной силы и момента. Пусть, например, груз Реакция опоры – Как определить реакции в опорах подвешен на конце бруса, жестко заделанного другим концом

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

в каком-либо теле (рис. 94, а). Если перенести действие силы в точку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах тела (рис. 94, б), то получим в ней совместное действие сосредоточенной силы и момента.

Как правило, в задачах по статике реакции связей —искомые величины. Для каждой искомой реакции связи обычно необходимо

знать ее направление и числовое значение (модуль).

Направления реакций идеальных связей —связей без трения — определяют в зависимости от вида связи по следующим правилам.

1. При свободном опирании тела на связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо к поверхности тела (Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рис. 95), либо к поверхности связи (Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рис. 95), либо к общей касательной обеих поверхностей (Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рис. 95).

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Во всех этих случаях связь препятствует движению тела в одном направлении —перпендикулярном к опорной поверхности.

2. Если связями являются нити, цепи, тросы (гибкая связь), то они препятствуют движению тела только будучи натянутыми.

Поэтому реакции нитей, цепей, тросов всегда направлены вдоль их самих в сторону от тела к связи (Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рис. 96).

3. Если связь тела с какой-либо опорной поверхностью осуществляется при помощи подвижного шарнира (рис. 97), то его реакция направлена перпендикулярно к опорной поверхности. Таким

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

образом, подвижный шарнир (т. е. шарнир, ось которого может передвигаться вдоль опорной поверхности) представляет собой конструктивный вариант свободного опирания.

4. Если соединение тела со связью осуществляется при помощи неподвижного шарнира (рис. 98), то определить непосредственно направление реакции нельзя, за исключением тех частных случаев, которые описаны ниже.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Шарнирное соединение препятствует поступательному перемещению тела во всех направлениях в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Направление реакции неподвижного шарнира может быть любым в зависимости от направления действия остальных сил. Потому сначала определяют две взаимно перпендикулярные составляющие Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах) реакции шарнира, а затем, если нужно, по правилу параллелограмма или треугольника можно определить как модуль, так и направление полной реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах).

Направление реакции неподвижного шарнира непосредственно определяют в двух следующих случаях:

а) если, кроме реакции шарнира, все остальные силы (нагрузки и реакция другой связи) образуют систему параллельных сил, то реакция неподвижного шарнира также параллельна всем силам;

б) если, кроме реакции шарнира, на тело действуют еще только две непараллельные силы, то линия действия реакции неподвижного шарнира проходит через ось шарнира и точку пересечения двух других сил (задачи 47-9 и 48-9).

5. Движение тела может быть ограничено жесткой заделкой в какой-либо опоре (рис. 99). В этом случае даже одна жесткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых нагрузках.

Так же как и неподвижный шарнир, жесткая заделка препятствует поступательному перемещению тела. Поэтому направление

ее реакции заранее определить нельзя и сначала определяют составляющие Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Кроме того, жесткая заделка препятствует повороту тела в плоскости действия сил, поэтому, кроме силы реакции, на тело действует еще момент заделки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах уравновешивающий стремление нагрузок повернуть тело (вывернуть тело из заделки).

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Таким образом, если опорой тела является жесткая заделка, то со стороны последней на тело действуют реакция заделки, которую можно заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, и момент заделки.

6. Иногда тело удерживается в равновесии при помощи жестких стержней, шарнирно соединенных с телом и с опорами (рис. 100). В отличие от гибкой связи (см. п. 2) такие стержни могут испытывать не только растяжение, но и сжатие.

Возможны и такие случаи, когда нельзя заранее установить, какие стержни растянуты, а какие сжаты. Поэтому при составлении уравнений равновесия исходят из того, что все стержни растянуты. Если же некоторые стержни окажутся в действительности сжатыми, tq в результате решения числовые значения реакций таких стержней получатся отрицательными.

Задача с решением 75-14.

На горизонтальную балку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах левый конец которой имеет шарнирно-неподвижную опору, а правый — шарнирно-подвижную, в точках Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах поставлены два груза: Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 101, а). Определить реакции опор балки.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. Рассмотрим равновесие балки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на которую в точках Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действуют две вертикальные нагрузки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 101, б).

2. Освободив правый конец балки от связи и заменив ее действие реакцией Реакция опоры – Как определить реакции в опорах направленной перпендикулярно к опорной поверхности, увидим, что на балку действует система

параллельных сил. Поэтому, если освободить и левый конец балки от шарнирно неподвижной опоры, то ее реакция будет также направлена вертикально (рис. 101, б).

3. Составим систему уравнений равновесия вида (5), приняв для одного уравнения за центр моментов точку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах а для другого — точку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Решая уравнения, из (1) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

из (2)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах 5. Проверим правильность решения, составив уравнение проекций сил на вертикальную ось Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Подставляя в это уравнение числовые значения, получаем тождество

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Значит задача решена правильно.

Реакции опор:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

При решении задач рекомендуется не пренебрегать проверкой. От правильности определения реакций опор зависит правильность всего остального решения или расчета.

Задача с решением 76-14;

На консольную балку, имеющую в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-непод-вижную, а в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-под-вижную опору, действуют две сосредоточенные нагрузки: Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорахРеакция опоры – Как определить реакции в опорах как показано на рис. 102, а; угол Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции опор балки.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. Рассматривая находящуюся в равновесии балку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах видим, что в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на нее действует вертикально вниз нагрузка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах а в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах под углом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах к Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действует другая нагрузка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 102, б).

2. Освобождаем балку от связей и заменим их действие реакциями. В месте шарнирно-подвижной опоры Реакция опоры – Как определить реакции в опорах возникает вертикальная реакция Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Направление реакции шарнпрно-неподвиж-ной опоры в данном случае непосредственно определить нельзя, поэтому заменим эту реакцию се двумя составляющими Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

3. Для полученной системы из пяти сил, произвольно расположенных в плоскости, составим систему уравнений равновесия вида (3), расположив ось Реакция опоры – Как определить реакции в опорах вдоль балки, а за центры моментов приняв точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Решаем полученные уравнения. Из (1)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Так как

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

то из (2)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Замечая, что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

из (3) получаем

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Знак минус, получившийся в последнем случае, показывает, что Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — вертикальная составляющая реакция неподвижного шарнира—направлена вниз, а не вверх, как предполагалось перед составлением уравнения (3).

5. При необходимости реакцию Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах легко определить (рис. 102, в).

Модуль реакции шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах найдем из формулы

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Направление реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах установим, определив угол

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

откуда

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

6. Проверим правильность решения задачи. Так как при решении не использовано уравнение проекций на ось Реакция опоры – Как определить реакции в опорах то используем его для проверки:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Уравнение составлено по рис. 102, б.

После подстановки в это уравнение известных значений получим:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

В данном случае, проверка решения при помощи уравнения проекций не дает возможности установить правильность определения полной реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Чтобы проверить и этот этап решения, составим уравнение моментов относительно точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах воспользовавшись рис. 102, в, на котором изображена реакция так, как она направлена в действительности:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Подставляем в это уравнение числовые значения, имея в виду, что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Расхождение в результатах, равное Реакция опоры – Как определить реакции в опорах получается из-за округлений при вычислениях.

В следующих задачах проверка решения не приводится и ее рекомендуется производить самостоятельно.

Задача с решением 77-14.

Горизонтальная балка имеет в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-подвижную опору, плоскость которой наклонена к горизонту под углом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 103, а), а в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — шарнирно-неподвижную опору. Балка нагружена в точках Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах двумя сосредоточенными силами Реакция опоры – Как определить реакции в опорах кн и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции опор.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. Так же как и в задаче 75-14, балка нагружена двумя параллельными силами, но в отличие от этой задачи здесь реакция подвижного шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах направлена не параллельно вертикальным нагрузкам, а под углом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах к вертикали – перпендикулярно к опорной поверхности шарнира (рис. 103,6). Поэтому реакция неподвижного шарнира не будет направлена вертикально и, так же как в задаче 76-14, ее целесообразно заменить двумя составляющими Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

2. Расположив оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах как показано на рис. 103, б, составляем уравнения равновесия вида (I):

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

3. Решаем полученные уравнения. Из уравнения (3) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из уравнения (2) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из уравнения (1) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Таким образом, реакция шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

а составляющие реакции шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

и

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Проверку решения производим при помощи уравнения моментов относительно точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача с решением 79-14.

На консольную балку, имеющую в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-неподвижную, а в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-подвижную опору, действуют две нагрузки (рис. 104, а): в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — сосредоточенная нагрузка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах а на участке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции опор.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. В этой задаче, кроме сосредоточенной силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на участке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действует равномерно распределенная сила, интенсивность которой Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Полная величина этой нагрузки (ее равнодействующая) равна Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и приложена в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах посредине участка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 104,6), т. е.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

2. Так же как в задаче 75-14, реакция Реакция опоры – Как определить реакции в опорах подвижного шарнира направлена вертикально (перпендикулярно к опорной поверхности). Следовательно, и реакция Реакция опоры – Как определить реакции в опорах неподвижного шарнира направлена вертикально. Таким образом, на балку действует система параллельных сил (см. рис. 104, б).

3. Составим два уравнения моментов относительно точек Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из уравнения (1)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Отрицательное значение реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах означает, что она направлена вниз, а не вверх, как показано на рис. 104, б, потому что момент силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах относительно опоры Реакция опоры – Как определить реакции в опорах больше, чем момент равномерно распределенной нагрузки.

Из уравнения (2) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Таким образом, реакция шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах равна Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и направлена вертикально вниз; реакция шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах составляет Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и направлена вертикально вверх.

5. Для проверки решения можно использовать уравнение проекций на вертикальную ось.

Задача с решением 80-14*.

На двухконсольную балку с шарнирно-неподвижной опорой в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и с шарнирно-подвижной в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действуют, как показано на рис. 105,а, сосредоточенная сила Реакция опоры – Как определить реакции в опорах сосредоточенный момент (пара сил) Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции опор.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. В отличие от предыдущей задачи здесь, кроме сосредоточенной силы и равномерно распределенной-нагрузки, равнодействующая Реакция опоры – Как определить реакции в опорах которой приложена в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах посредине участка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на балку действует момент Реакция опоры – Как определить реакции в опорах направленный по часовой стрелке (рис. 105, б).

2. После освобождения балки от связей и замены связей их реакциями Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах получаем уравновешенную систему, составленную из четырех параллельных сил и одной пары сил (момента).

3. Составим два уравнения моментов относительно точек Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Решая эти уравнения, находим, что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Задача с решением 82-14.

Жестко заделанная у левого конца консольная балка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 107, а) нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью Реакция опоры – Как определить реакции в опорахРеакция опоры – Как определить реакции в опорах сосредоточенной силой Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и моментом Реакция опоры – Как определить реакции в опорахРеакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции заделки.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. На балку действуют три нагрузки: в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — вертикальная сосредоточенная сила Реакция опоры – Как определить реакции в опорах по всей длине балки — равномерно распределенная нагрузка, которую заменим сосредоточенной силой Реакция опоры – Как определить реакции в опорах приложенной в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Правый конец балки нагружен моментом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действующим против хода часовой стрелки (рис. 107, б).

2. Равновесие балки обеспечивается жесткой заделкой у точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Освободив балку от связи, заменим ее действие силой — реакцией связи Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и реактивным моментом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Но так как реакцию Реакция опоры – Как определить реакции в опорах заделки сразу определить нельзя (по тем же причинам, что и направление реакции неподвижного шарнира), заменим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах ее составляющими Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах совместив их с осями Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (см. рис. 107, б).

3. Составим уравнения равновесия — уравнение проекции на оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и уравнение моментов относительно точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Из уравнения (1)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

а это означает, что горизонтальная составляющая реакции заделки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах равна нулю, так как в данном случае нет усилий, смещающих балку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах в горизонтальном направлении. Из уравнения (2)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Выше найдено, что Реакция опоры – Как определить реакции в опорах; значит реакция заделки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах перпендикулярна к оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Следовательно,

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из уравнения (3)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Таким образом,

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

5. Проверку правильности решения можно произвести при помощи уравнения моментов относительно точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах В любое из них входят обе найденные величины.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Определение реакций в общем случае

Один из способов определения реакций связей был уже рассмотрен при изучении уравнений равновесия с множителями Лагранжа, когда связи задаются неявными уравнениями или неравенствами. В общем же случае связи, наложенные на систему материальных точек, всегда могут быть заменены соответствующими силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей. После такой замены система может рассматриваться как свободная от связей, но подверженная действию как активных, так и пассивных сил. Принцип Бернулли для такой свободной системы дает необходимые и достаточные условия равновесия в виде уравнения

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — проекции активных сил на неподвижные оси координат; Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — проекции сил реакции на те же оси. Величины Реакция опоры – Как определить реакции в опорах теперь полностью произвольны, так что равенство (а) будет выполняться для всех возможных перемещений лишь в том случае, когда обращаются в нуль все коэффициенты при Реакция опоры – Как определить реакции в опорах т. е.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Последние уравнения и служат для определения реакций связи. Если по условиям задачи требуется определять не все, а лишь некоторые силы реакции, то система освобождается только от тех связей, реакции которых необходимо определить. Освобождая систему от связей, тем самым добавляем ей возможные перемещения, которые раньше не допускались связями и на которых будут работать реакции освобожденных связей.

Подсчитывая сумму работ активных сил и сил реакции связей на освобожденном перемещении, получим условия для определения реакций связи.

Пример с решением 58.

Исследовать условия равновесия твердого тела, у которого закреплены две точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и на которое действуют активные силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах приложенные к точкам Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 138).

Решение. Выберем начало неподвижной системы координат в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах а ось Реакция опоры – Как определить реакции в опорах направим по прямой Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Наложенные езязи допускают вращение твердого тела вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Подсчитывая работу активных сил на этом возможном перемещении, получим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — угол поворота твердого тела вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Отсюда сразу же получаем условие равновесия твердого тела, которое сводится к равенству нулю суммы моментов всех активных сил, действующих на твердое тело, относительно оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Для определения реакции в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах освободим твердое тело от связи в этой точке, заменив действие последней действием неизвестной силыРеакция опоры – Как определить реакции в опорах Освобожденное от связи тело может вращаться как вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах так и вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Сообщим твердому телу бесконечно малое возможное перемещение, повернув его вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на угол Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и подсчитаем работу всех сил на этом возможном перемещении. Возможные перемещения точек твердого тела определятся из матрицы

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

так что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из принципа Бериулли для освобожденного твердого тела будем иметь

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

подставляя сюда значения вариаций координат, получим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

или, после сокращения на Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — сумма моментов активных сил относительно оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах a Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — расстояние Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Точно таким же путем можно получить реакцию Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рассматривая поворот твердого тела вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Возможные перемещения в этом случае будут определяться из матрицы

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

так что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Подставляя найденные значения вариаций координат в общее уравнение статики, получим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

или

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция Реакция опоры – Как определить реакции в опорах таким способом не может быть найдена, потому что любое возможное перемещение точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах твердого тела ортогонально направлению силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах, и задача оказывается статически неопределимой.

Пример с решением 59.

На гладкой горизонтальной плоскости лежат несколько одинаковых однородных цилиндрических труб. Чтобы трубы не раскатывались, они подпираются двумя брусьями Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах как показано на рис. 139. Определить реакции брусьев.

Решение. Для определенности рассмотрим пятнадцать труб, расположенных, как указано на чертеже. Чтобы избежать рассмотрения статически неопределимой задачи, предположим, что расстояние между брусками Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах больше суммы диаметров нижних труб. Положение системы определим четырьмя параметрами Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (углы, которые образуют прямые, соединяющие центры труб нижнего и верхнего ряда с горизонталью), которые связаны соотношением

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — сколь угодно малое число. Углы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах подчиняются еще условиям

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Будем предполагать сначала, что последние условия выполняются лишь в виде неравенств. Определив вертикальные координаты центров труб

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Запишем принцип Торричелли для системы с удерживающими связями:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

или, после подстановки значений Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где величины Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах связаны соотношением

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Определив из последнего уравнения Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

и подставив это значение в равенство (с), получим уравнение для независимых параметров Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорахРеакция опоры – Как определить реакции в опорах

Приравнивая нулю коэффициенты при Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах приходим к следующим условиям равновесия системы:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

которые можно переписать в виде

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Принимая во внимание неравенства (b), получим условия равновесия

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

ВеличиныРеакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах должны удовлетворять уравнению (а), которое перепишется в виде

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

При Реакция опоры – Как определить реакции в опорах отсюда находим предельное значение для Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

В самом деле,

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

При уменьшении Реакция опоры – Как определить реакции в опорах левая часть равенства (f) будет увеличиваться, а следовательно, будет возрастать и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Таким образом, предполагая связи (Ь) в положении равновесия выполненными в виде неравенств, устанавливаем, что в положении равновесия должно быть

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Лишь при выполнении этого неравенства нижине трубы в положении равновесия не будут касаться друг друга. Уменьшая Реакция опоры – Как определить реакции в опорах мы вынуждены будем отказаться от предположения, что все связи (Ь) в положении равновесия выполняются в виде неравенств. Из условий (е) следует, что первыми переходят в равенство связи

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Рассмотрим теперь только такие состояния системы, для которых выполняются условия

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Уравнение связи для возможных перемещений (d) приобретает вид

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Общее уравнение статики для рассматриваемой системы перепишем в виде

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Система линейных относительно Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах уравнений (d’) и (с7) обладает ненулевым решением, если обращается в нуль определительРеакция опоры – Как определить реакции в опорах

или

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Отсюда следует, что в положении равновесия должно быть

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Тогда из уравнения связи (а) находим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Как видно из последнего соотношения, при Реакция опоры – Как определить реакции в опорах получим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Для определения реакции в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах освободим систему от связи, убрав брус Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и заменив его действие силой реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах После такого освобождения системы параметры Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах можно изменять независимо друг от друга. При этом должно выполняться условие Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (при отличных от нуля Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах системе сообщается освобождающее перемещение, на котором будут совершать отличную от нуля работу силы реакции труб, находящихся при равнозесии в соприкосновении). Сообщим системе перемещение

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

и подсчитаем работу всех сил, в том числе и работу силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на возможном перемещении системы. Будем иметь

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

откуда следует

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Если Реакция опоры – Как определить реакции в опорах то Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Заметим, что на рассматриваемом перемещении опускаются вниз четыре трубы. У остальных труб вертикальные координаты не изменяются. Если обозначить через Реакция опоры – Как определить реакции в опорах вес опускающихся труб (в нашем случае Реакция опоры – Как определить реакции в опорах), то предельное значение силы реакции будет равно

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Добавить комментарий