Пример решения задачи по расчету реакций опоры в жесткой (глухой) заделке стальной балки, нагруженной поперечной силой F, сосредоточенным моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.
Задача
Рассчитать величину и направление опорных реакций в жесткой заделке консольной балки нагруженной заданной системой внешних нагрузок.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Пример решения
Покажем значения нагрузок и продольные размеры балки, обозначим ее характерные сечения буквами A, B и C.
В случае плоского поперечного изгиба в жесткой заделке консольной балки могут иметь место только две опорные реакции:
- Поперечная сила R
- Изгибающий момент M
На данном этапе решения задачи эти реакции можно направить в любую сторону.
Короткое видео о реакциях в заделках:
Другие видео
Определим величину, а заодно и истинное направление опорных реакций.
Зададим систему координат y-z.
Для нахождения двух реакций нам понадобятся два уравнения равновесия.
Балка не перемещается вверх-вниз, поэтому сумма проекций всех сил на ось y должна равняться нулю.
Проецируя все силы на ось y получаем первое уравнение:
∑F(y)=0=-R-q∙1+F
Правило знаков для проекций сил.
Откуда находим величину реакции R
R=-q∙1+F=-100∙1+40=-60кН
Знак «-» в ответе говорит о том, что реальное направление реакции R противоположно выбранному вначале.
Поэтому изменим направление силы и соответственно ее знак на противоположные.
Второе уравнение статики получим из условия, что балка не вращается, так как сумма моментов приложенных к ней тоже равнв нулю.
Запишем уравнение суммы моментов, например, относительно точки A:
∑mA=0=M-m+q∙1∙(0,5+0,5)-F(0,5+1)
Правило знаков для моментов.
Отсюда находим опорный момент M
M=m-q+F∙1,5=70-100+40∙1,5=30кНм
Положительный результат показывает, что выбранное наугад направление момента М оказалось верным, то есть перенаправлять его не нужно.
Полученные значения опорных реакций можно легко проверить.
Для этого запишем уравнение суммы моментов относительно точки B или C:
∑mB=M+R∙0,5-m+q∙1∙0,5-F∙1
и подставив в него полученные значения, мы должны получить сумму равную нулю
∑mB=30+60∙0,5-70+100∙1∙0,5-40∙1=0
Так и есть! Значит опорные реакции определены верно.
Расчет реакций в опорах простой двухопорной балки >
Другие примеры решения задач >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.
Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.
В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.
Что такое реакция опоры?
Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:
На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.
Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.
Виды связей и их реакции
Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.
В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.
Жёсткая заделка
Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (RA), горизонтальная (HA) и момент (MA).
Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора
В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.
В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.
Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.
Что такое момент силы?
Также необходимо разобраться с понятием момент силы.
Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.
Проиллюстрирую написанное:
Правило знаков для моментов
Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
- если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;
- если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.
Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.
Определение реакций для двухопорной балки
Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:
Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как HA, RA и RB:
Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.
В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:
Условия равновесия системы
Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:
Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.
Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.
Уравнения равновесия
Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.
Уравнение проекций
Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.
В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — HA. Так как HA направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:
Тогда HA будет равна:
Поздравляю, первая реакция найдена!
Уравнения моментов
А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.
Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.
Так как сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:
Из полученного уравнения выражаем реакцию RB:
Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:
Проверка правильности найденных опорных реакций
Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.
Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:
Как видишь, реакции опор найдены правильно.
Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:
Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:
Расчёт реакций для консольной балки
Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30°).
Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:
Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:
Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:
А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:
Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что MA, направлена не по часовой стрелке, а против.
В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.
У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.
Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:
С учётом изменений на схеме реакция будет равна:
Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:
Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:
Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.
Реакции опор для плоской рамы
Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:
Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:
- заменяем опоры на реакции;
- сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
- вводим систему координат x и y.
Выполняем расчёт реакций опор:
Меняем направление реакции RA:
В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:
Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:
Как видим, расчет реакций выполнен правильно!
Определение опорных реакций
Способы определения опорных реакций изучаются в курсе теоретической механики. Остановимся только практических вопросах методики вычисления опорных реакций, в частности для шарнирно опертой балки с консолью (рис. 7.4).
Нужно найти реакции: 
, 
и 
. Направления реакций выбираем произвольно. Направим обе вертикальные реакции вверх, а горизонтальную реакцию – влево.
Нахождение и проверка опорных реакций в шарнирной опоре
Для вычисления значений реакций опор составим уравнения статики:
Сумма проекций всех сил (активных и реактивных) на ось z равна нулю: 
.
Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки (перпендикулярные к оси балки), то из этого уравнения находим: горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры 
.
Сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:
.
Правило знаков для момента силы: считаем момент силы положительным, если он вращает балку относительно точки против хода часовой стрелки.
Необходимо найти равнодействующую распределенной погонной нагрузки. Распределенная погонная нагрузка равна площади эпюры распределенной нагрузки 
и приложена в центре тяжести этой эпюры (посредине участка длиной 
).
Тогда
кН.
Сумма моментов всех сил относительно опоры B равна нулю:
.
кН.
Знак «минус» в результате говорит: предварительное направление опорной реакции 
было выбрано неверно. Меняем направление этой опорной реакции на противоположное (см. рис. 7.4) и про знак «минус» забываем.
Проверка опорных реакций
Сумма проекций всех сил на ось y должна быть равна нулю: 
.
Силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются на нее со знаком «плюс»:
(верно).
Нахождение опорных реакций в жесткой заделке
Найдем реакции опор в жесткой заделке. Для определения опорных реакций составляются уравнения статики:
Из первого уравнения определяется реакция 
(обычно равна нулю), из второго – 
и из третьего – момент в жесткой заделке 
.
Проверка, как правило, не производится.
Определить опорные реакции в балке с жесткой заделкой.
В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и опорный момент. Так как горизонтальные нагрузки отсутствуют, горизонтальная реакция равна 0. Обозначим опору (жесткую заделку) буквой В. Задаемся (произвольно) направлениями вертикальной реакции В и реактивного момента МВ в заделке.
Составляем два уравнения статики:
(1),
откуда
Далее определяем опорный момент в заделке
(2),
откуда
Чтобы проверить правильность определения реакций, следует выбрать любую точку на балке и составить уравнение равновесия моментов относительно этой точки (сумма моментов относительно любой точки должна равняться 0).
Если реакции определены верно, записываем их значения на расчетную схему.
Решение многих
задач статики сводится к определению
реакций опор, с помощью которых
закрепляются балки и мостовые фермы.
В
технике обычно встречаются три типа
опорных закреплений (кроме рассмотренных
в § 2):
1. Подвижная
шарнирная опора (рис. 28,
опора А). Реакция
такой опоры направлена по нормали к
поверхности на которую опираются катки
подвижной опоры.
2. Неподвижная
шарнирная опора (рис. 28,
опора В). Реакция
такой опоры проходит через ось шарнира
и может иметь любое направление в
плоскости чертежа. При решении задач
будем реакцию
изображать ее составляющими
и
по направлениям координатных осей.
Модуль
определим по формуле
.
3. Жесткая
заделка (рис. 29, а).
Рассматривая заделанный конец балки и
стену как одно целое, жесткую заделку
изображают так, как показано на рис. 29, б.
В этом случае на балку в ее поперечном
сечении действует со стороны заделанного
конца система распределенных сил
(реакций). Считая эти силы приведенными
к центру А сечения, можно их заменить
одной силой
и парой с неизвестным моментомmA
(рис. 29, а).
Силу
можно изобразить ее составляющими
,
(рис. 29, б).
Таким
образом, для нахождения реакции жесткой
заделки надо определить три неизвестные
величины XA,
YA,
mA.
Рис. 28
Рис. 29
Отметим также, что
в инженерных расчетах часто приходится
встречаться с нагрузками, распределенными
вдоль поверхности по тому или иному
закону. Рассмотрим некоторые примеры
распределенных сил.
Плоская система
распределенных сил характеризуется ее
интенсивностью q, т.е. значением силы,
приходящейся на единицу длины нагруженного
отрезка. Измеряется интенсивность в
ньютонах, деленных на метры (Н/м).
а) Силы,
равномерно распределенные вдоль отрезка
прямой (рис. 30, а).
Для такой системы интенсивность q имеет
постоянное значение. При расчетах эту
систему сил можно заменить равнодействующей
.
По модулю
Q = aq
.
(33)
Приложена сила Q
в середине отрезка АВ.
б) Силы,
распределенные вдоль отрезка прямой
по линейному закону (рис. 30, б).
Для этих сил интенсивность q является
величиной переменной, растущей от нуля
до максимального значения qm.
Модуль равнодействующей
в этом случае определяется по формуле
Q = 0,5aqm
.
(34)
Приложена
сила
на расстоянииа/3
от стороны ВС треугольника АВС.
Рис.
30
Задача 3.
Определить реакции неподвижной шарнирной
опоры А и подвижной опоры В балки
(рис. 31), на которую действуют активные
силы: одна известная сосредоточенная
сила F = 5 кН,
приложенная в точке С под углом 600,
и одна пара сил с моментом m = 8 кНм.
Рис.
31
Решение.
1) Выбираем
объект исследования, т.е. рассматриваем
равновесие балки АВС. 2) Изобразим
внешние силы, действующие на балку: силу
,
пару сил с моментомm
и реакции связей
,
,
(реакцию неподвижной шарнирной опоры
А изображаем двумя ее составляющими).
В результате имеем произвольную плоскую
систему сил. 3) Проведем координатные
оси x,
y
и составляем условия равновесия (28). Для
вычисления момента силы
,
иногда, удобно разложить ее на составляющие
и
,
модули которых равняются
F1 = F cos600 = 2,5 кН,
F2 = F cos300 = 4,33 кН.
Тогда получим:
,
,
.
Решая эту систему
уравнений, найдем:
XA = F1 = 2,5 кН,
YB = (m + F2∙5)/3 = 9,88 кН,
YA = F2 – YB = – 5,55 кН.
Знак
минус реакции YA
показывает, что эта реакция направлена
вертикально вниз.
Для проверки
составим уравнение моментов относительно
нового центра, например, относительно
точки В:
,
5,55∙3 – 8 – 4,33∙2 = – 0,01 ≈ 0.
Задача 4.
Определить реакции заделки консольной
балки (рис. 32), на которую действуют
активные силы: сосредоточенная сила
F = 6 кН,
приложенная в точке С под углом 450,
равномерно распределенная нагрузка
интенсивностью q = 2 кН/м
и пара сил с моментом m = 3 кНм.
Рис. 32
Решение.
1) Выбираем
объект исследования, т.е. рассматриваем
равновесие балки АВС. 2) Изобразим
внешние силы, действующие на балку: силу
,
равномерно распределенную нагрузку
интенсивностьюq,
пару сил с моментом m
и реакции заделки, т.е. три неизвестные
величины XA,
YA,
mA
(реакцию жесткой заделки изображаем
двумя ее составляющими XA,
YA,
а пару – неизвестным моментом mA,
как на рис. 29). Силу
разложим на две составляющие
и
,
модули которых равняются
F1 = F2 = F cos450 = 4,24 кН,
а распределенную нагрузку интенсивностью
q
заменим сосредоточенной силой
с модулем равным
Q = 3∙q = 6 кН.
Сила
приложена в середине отрезка АВ. В
результате имеем произвольную плоскую
систему сил. 3) Проведем координатные
оси x,
y
и составляем уравнения равновесия (2):
,
,
.
Решая эти уравнения,
найдем:
XA = F1 = 4,24 кН,
YA = Q – F2 = 1,76 кН,
mA = Q∙1,5 + m – F2∙5 = – 9,2 кНм.
Для проверки
составим уравнение моментов относительно
точки С:
,
– 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.
Задача 5.
Определить реакции опор А, В, С и усилие
в промежуточном шарнире D
составной конструкции (рис. 33), на
которую действуют активные силы:
сосредоточенная сила F = 4 кН,
приложенная в точке Е под углом 450,
равномерно распределенная нагрузка
интенсивностью q = 2 кН/м
и пара сил с моментом m = 10 кНм.
Рис. 33
Решение.
Один из способов решения задач об
определении реакции опор составной
конструкции состоит в том, что конструкцию
расчленяют на отдельные тела и составляют
условия равновесия каждого из тел в
отдельности. Воспользуемся этим способом
и разобьем конструкцию на две части:
левую AD
и правую DC.
В результате приходим к задаче о
равновесии двух тел. Силовые схемы
задачи показаны на рис. 7,8. Для упрощения
вычислений разложим силу
на составляющие
и
,
модули которых равны F1 = F2 = F cos450 = 2,83 кН,
а распределенную нагрузку интенсивностью
q
заменим сосредоточенной силой
с модулем равнымQ = 10 кН.
Сила
приложена в середине отрезкаBD.
Рис. 34
Рис. 35
Анализ
приведенных силовых схем показывает,
что они включают шесть неизвестных
величин: XA,
YA,
YB,
XD,
YD,
YC.
Так
как на рис. 34,35
имеются плоские системы уравновешенных
сил, то для них можно записать условия
равновесия (28) в виде шести линейных
алгебраических уравнений:
Левая часть
Правая
часть
,
,
,
,
,
.
Поскольку
составленная система шести уравнений
зависит от шести неизвестных XA,
YA,
YB,
XD,
YD,
YC,
то она является замкнутой.
Решая систему,
найдем:
XA = – 2,83 кН,
YA = – 0,93 кН,
YB = 11,76 кН,
YC = 2 кН,
XD = 0,
YD = 2 кН.
Для
проверки составим уравнение моментов
относительно точки D:
= 2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
