поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
-
экономические
43,651 -
гуманитарные
33,653 -
юридические
17,917 -
школьный раздел
611,896 -
разное
16,900
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
|
1 |
ссылка
отвечен
любитель изменен
ХэшКод
|
zeste620
Вопрос по геометрии:
Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найти боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок – бесплатно!
Ответы и объяснения 2
zinilstior780
atughistest77
Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся в точке пересечения пополам.
Рассмотрим треугольник образованный половиной данной диагонали и стороной ромба – прямоугольный.
По т. Пифагора – неизвестный катет – √(5²-4²)=3 см – вторая полудиагональ ромба.
Рассматриваем треугольник образованный большей полудиагональю ромба и высотой – прямоугольный.
По т. Пифагора – гипотенуза –
√(4²+7²)=√65 – большее боковое ребро пирамиды.
Рассматриваем треугольник образованный меньшей полудиагональю ромба и высотой – прямоугольный.
По т. Пифагора – гипотенуза –
√(3²+7²)=√58 – меньшее боковое ребро пирамиды.
Знаете ответ? Поделитесь им!
Гость ?
Как написать хороший ответ?
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ; - Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему; - Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения; - Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее; - Использовать мат – это неуважительно по отношению к
пользователям; - Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи –
смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Пирамида
Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Верно и обратное.
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
Верно и обратное.
Виды пирамид
Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Решение задач с использованием свойств различных видов пирамид
Разделы: Математика
Изучение пирамиды и ее элементов представляет широкие возможности для составления и решения задач на различных видах пирамид по следующим темам:
- Пирамиды, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.
- Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
- Пирамиды, в которых заданы расстояния между точками и элементами пирамиды.
Действующие учебники геометрии либо не содержат , либо содержат в недостаточном количестве задачи по этим темам.
Как показала практика, учащиеся с большим интересом принимают участие не только в решении данных задач, но и в их составлении. Они с удовольствием предлагают различные решения придуманных ими задач.
К этому учащихся необходимо подводить хорошо продуманной системой теоретических положений и практических упражнений.
Учебники Л.С. Атанасяна и др. “Геометрия 10–11” и А.В.Погорелова “Геометрия 10–11” содержат опорный теоретический материал по теме “Пирамида и ее элементы”.
В дополнение к нему можно рассмотреть следующие свойства часто встречающихся видов пирамид.
Теория.
Теоремы о пирамидах, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.
- Если все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то:
а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;
б) все боковые ребра пирамиды равны между собой.
- Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около ее основания, то:
а) все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;
в) все боковые ребра пирамиды равны между собой.
- Если все боковые ребра пирамиды равны, то:
а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;
б) все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью ее основания равные между собой углы.
- Если высота пирамиды пересекает ее основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в ее основание.
- Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.
- Если у треугольной пирамиды все боковые ребра равны, а в основании лежит прямоугольный треугольник, то грань, содержащая его гипотенузу, перпендикулярна основанию. Основание высоты данной пирамиды является середина гипотенузы.
Теоремы о пирамидах, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
- Если пирамида содержит ровно одну боковую грань, которая перпендикулярна плоскости основания, то высота такой пирамиды лежит в этой боковой грани.
- Если пирамида содержит две смежные боковые грани, перпендикулярные плоскости основания, то высотой такой пирамиды является боковое ребро, общее для этих граней.
- Если в пирамиде две не смежные боковые грани перпендикулярны плоскости основания, то высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней.
- Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно основанию, то и боковые грани, содержащие это ребро, перпендикулярны основанию.
- Если в четырехугольной пирамиде в основании ромб, и две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, то боковые грани данной пирамиды – две пары равных треугольников.
Задачи для решения.
Задания из книги “Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11-го класса” Ершовой А.П., Голобородько В.В.
Пирамиды, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.
Вариант А.
- Основание пирамиды SABCD – прямоугольник АВСД со сторонами 6 и 8 см. Все боковые ребра пирамиды равны 13 см.
а) Опишите построение высоты пирамиды SO.
б) Докажите равенство отрезков АО, ВО, СО и ДО.
в) Обоснуйте положение точки О в прямоугольнике АВСД и найдите длину высоты SO.
- Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с основанием а и углом при вершине . Все двугранные углы при основании пирамиды равны .
а) Опишите построение высоты пирамиды, высот боковых граней и их проекций на плоскость основания. Обоснуйте двугранные углы при основании пирамиды.
б) обоснуйте положение основания высоты пирамиды в данном равнобедренном треугольнике.
в) Найдите высоту пирамиды.
Вариант Б.
- Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании . Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом .
а) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды в данном равнобедренном треугольнике.
б) Определите, при каких значениях ? высота пирамиды будет находиться вне пирамиды.
в) Найдите высоту пирамиды.
- Основание пирамиды – ромб с большей диагональю d и острым углом . Все двугранные углы при основании пирамиды равны .
а) Обоснуйте данные двугранные углы и положение основания высоты пирамиды в ромбе.
б) Найдите высоту пирамиды.
в) Двумя способами – путем вычисления площадей боковых граней и с помощью теоремы об ортогональной проекции многоугольника – найдите боковую поверхность пирамиды. Сравните полученные результаты.
Вариант В.
- Основание пирамиды – треугольник с углами и . Точка высоты пирамиды, удаленная от плоскости основания на расстояние d, равноудалена от концов бокового ребра. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом .
а) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.
б) При каких условиях высота пирамиды лежит внутри пирамиды?
в) Найдите высоту пирамиды.
г) Найдите площадь основания пирамиды.
- В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция с острым углом . Высота пирамиды равна Н, а все двугранные углы при основании равны .
а) обоснуйте положение основания высоты пирамиды.
б) Найдите высоту трапеции, лежащей в основании пирамиды.
в) Не вычисляя площадей боковых граней, найдите боковую поверхность пирамиды.
Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
Вариант А.
- Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при вершине . Боковые грани пирамиды, содержащие стороны данного угла перпендикулярны плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом .
а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б) Обоснуйте угол .
в) Найдите площадь третьей боковой грани.
г) Найдите боковую поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной а. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом .
а) Из вершины пирамиды в плоскости грани, перпендикулярной основанию, проведите перпендикуляр к ребру основания и обоснуйте, почему он будет высотой пирамиды.
б) Обоснуйте углы наклона, равные .
в) Докажите, что основание высоты пирамиды равноудалено от двух сторон правильного треугольника, и обоснуйте положение основания высоты на стороне правильного треугольника.
г) Найдите боковую поверхность пирамиды.
Вариант Б.
- Основание пирамиды – квадрат со стороной а, две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом .
а ) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б ) Обоснуйте углы, равные .
в ) Докажите, что боковые грани пирамиды попарно равны.
г ) Найдите боковую поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом . Боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному углу , перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом .
а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.
в) Найдите высоту пирамиды.
г) Найдите боковую поверхность пирамиды.
Вариант В.
- Основание пирамиды – ромб с тупым углом . Две боковые грани, содержащие стороны этого угла, перпендикулярны плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом . Высота пирамиды равна Н.
а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б) Обоснуйте углы, равные .
в) Найдите боковую поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – прямоугольная трапеция с острым углом ? и прилежащей к нему боковой стороной . Боковая грань, содержащая большее основание трапеции, перпендикулярна плоскости основания, а три другие грани наклонены к ней под углом .
а ) Обоснуйте положение высоты пирамиды.
б) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.
в) Найдите площадь основания пирамиды.
г) Найдите боковую поверхность пирамиды.
Пирамиды, в которых заданы расстояния между точками и элементами пирамиды.
Вариант А.
- В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Расстояние от середины высоты пирамиды до середины бокового ребра равно d.
б ) Найдите площадь основания пирамиды.
- В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Расстояние от середины высоты пирамиды до ее апофемы равно l . Найдите боковую поверхность пирамиды.
Вариант Б.
- В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Расстояние от основания высоты пирамиды до середины апофемы равно l . Найдите полную поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с углом при вершине. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Биссектриса этого угла пересекает высоту пирамиды в точке, удаленной от бокового ребра на расстояние d.
б ) Найдите площадь основания пирамиды.
Вариант В.
- Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с углом при основании . Все двугранные углы при основании пирамиды равны . Отрезок, соединяющий точки пересечения медиан боковых граней, содержащих боковые стороны треугольника, равен m. Найдите боковую поверхность пирамиды.
- Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом . Боковые грани пирамиды, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом . Расстояние от основания высоты пирамиды до этой грани равно l. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Указанный в статье перечень задач может быть расширен Вами и вашими учениками.
Пирамиды с высотой в центре вписанной или описанной окружности основания
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Данный урок поможет получить представление о теме «Пирамиды, у которых высота проектируется в центр описанной или вписанной окружности основания». На этом занятии мы научимся решать задачи на пирамиды, в которых высота проектируется в центр описанной или вписанной окружности.
[spoiler title=”источники:”]
http://urok.1sept.ru/articles/526725
http://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-10-klassa/piramidy-s-vysotoy-v-tsentre-vpisannoy-ili-opisannoy-okruzhnosti-osnovaniya
[/spoiler]
