Если вы перешли к изучению данной темы, то уже знаете, что такое матрица и определитель матрицы, умеете находить определители второго, третьего и высших порядков, а также обратные матрицы. Если какая-то из этих тем вам незнакома, то следует изучить сначала ее.
Приступим к рассмотрению понятия матричного уравнения.
Матричные уравнения
Матричные уравнения устроены практически также как и числовые, только вместо чисел в них содержатся числовые матрицы. Как правило, типовое матричное уравнение состоит из нескольких матриц и некоторой неизвестной матрицы XX, которую и требуется найти.
Рассмотрим примеры наиболее простых матричных уравнений и их решения.
Пример 1
Решить матричное уравнение
(1234)+x=(1101)begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}+x=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}.
Перенесем матрицу из левой части в правую:
x=(1101)−(1234)x=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}-begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}.
Найдем разность матриц в правой части уравнения:
x=(1−11−20−31−4)x=begin{pmatrix}1-1&1-2\0-3&1-4end{pmatrix}.
Значит, x=(0−1−3−3)x=begin{pmatrix}0&-1\-3&-3end{pmatrix}.
Можно провести проверку:
(1234)+(0−1−3−3)=(1+02−13−34−3)=(1101)begin{pmatrix}1&2\3&4end{pmatrix}+begin{pmatrix}0&-1\-3&-3end{pmatrix}=begin{pmatrix}1+0&2-1\3-3&4-3end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix},
(1101)=(1101)begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}.
Пример 2
Решить матричное уравнение (58−469−5)−12x=(341212)begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}.
Перенесем матрицу из левой части в правую:
−12x=(341212)−(58−469−5)-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}-begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}.
Найдем разность матриц в правой части уравнения:
−12x=(3−54−81−(−4)2−61−92−(−5))-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}3-5&4-8&1-(-4)\2-6&1-9&2-(-5)end{pmatrix},
−12x=(−2−45−4−87)-frac{1}{2}x=begin{pmatrix}-2&-4&5\-4&-8&7end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на -2:
x=−2(−2−45−4−87)x=-2begin{pmatrix}-2&-4&5\-4&-8&7end{pmatrix},
x=(48−10816−14)x=begin{pmatrix}4&8&-10\8&16&-14end{pmatrix}.
Можно провести проверку:
(58−469−5)−12(48−10816−14)=(58−469−5)−(24−548−7)=(341212)begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-frac{1}{2}begin{pmatrix}4&8&-10\8&16&-14end{pmatrix}=begin{pmatrix}5&8&-4\6&9&-5end{pmatrix}-begin{pmatrix}2&4&-5\4&8&-7end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix},
(341212)=(341212)begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}3&4&1\2&1&2end{pmatrix}.
Такие уравнения элементарны, поэтому они довольно редко встречаются на практике.
Простейшие матричные уравнения
Обычно решение матричных уравнений сводится к одному из двух видов:
- A⋅X=BAcdot X=B;
- X⋅A=BXcdot A=B.
Рассмотрим, как решается каждое из этих уравнений.
| Уравнение вида A⋅X=BAcdot X=B | Уравнение вида X⋅A=BXcdot A=B |
|---|---|
| Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно XX умножим обе его части на A−1A^{-1} слева: A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B.
Так как A−1⋅A=EA^{-1}cdot A=E, то E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица. Так как E⋅X=XEcdot X=X, то X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B. |
Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно XX умножим обе его части на A−1A^{-1} справа: X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1}.
Так как A⋅A−1=EAcdot A^{-1}=E, то X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица. Так как X⋅E=XXcdot E=X, то X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}. |
Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида A⋅X=BAcdot X=B.
Пример 1
Решить матричное уравнение (3728)⋅X=(4862)begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}cdot X=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}. Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид A⋅X=BAcdot X=B, где A=(3728)A=begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}, B=(4862)B=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} слева:
A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B,
E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица,
X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.
Найдем матрицу A−1A^{-1}.
∣3728∣=3⋅8−2⋅7=24−14=10≠0begin{vmatrix}3&7\2&8end{vmatrix}=3cdot8-2cdot7=24-14=10neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(3728∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&7\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Вычтем из строки №1 строку №2:
(3728∣1001)∼(1−128∣1−101)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&7\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:
(1−128∣1−101)∼(1−1010∣1−1−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\2&8end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\0&10end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №1 на 10:
(1−1010∣1−1−23)∼(10−10010∣10−10−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-1\0&10end{matrix}right|begin{matrix}1&-1\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&-10\0&10end{matrix}right|begin{matrix}10&-10\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:
(10−10010∣10−10−23)∼(100010∣8−7−23)begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&-10\0&10end{matrix}right|begin{matrix}10&-10\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&0\0&10end{matrix}right|begin{matrix}8&-7\-2&3end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №1 и №2 на 110frac{1}{10}:
(100010∣8−7−23)∼(1001∣810−710−210310)begin{pmatrix}left.begin{matrix}10&0\0&10end{matrix}right|begin{matrix}8&-7\-2&3end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}frac{8}{10}&-frac{7}{10}\-frac{2}{10}&frac{3}{10}end{matrix}end{pmatrix}.
Значит, A−1=(810−710−210310)=110(8−7−23)A^{-1}=begin{pmatrix}frac{8}{10}&-frac{7}{10}\-frac{2}{10}&frac{3}{10}end{pmatrix}=frac{1}{10}begin{pmatrix}8&-7\-2&3end{pmatrix}.
A−1⋅B=110(8−7−23)⋅(4862)=110(−105010−10)=(−151−1)=XA^{-1}cdot B=frac{1}{10}begin{pmatrix}8&-7\-2&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}=frac{1}{10}begin{pmatrix}-10&50\10&-10end{pmatrix}=begin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}=X.
Проверка:
(3728)⋅(−151−1)=(4862)begin{pmatrix}3&7\2&8end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&8\6&2end{pmatrix}. — Верно.
Ответ: X=(−151−1)X=begin{pmatrix}-1&5\1&-1end{pmatrix}.
Пример 2
Решить матричное уравнение (0230)⋅X=(243−6)begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdot X=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}. Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид A⋅X=BAcdot X=B, где A=(0230)A=begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}, B=(243−6)B=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} слева:
A−1⋅A⋅X=A−1⋅BA^{-1}cdot Acdot X=A^{-1}cdot B,
E⋅X=A−1⋅BEcdot X=A^{-1}cdot B, EE — единичная матрица,
X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B.
Найдем матрицу A−1A^{-1}.
∣0230∣=0⋅0−3⋅2=0−6=−6≠0begin{vmatrix}0&2\3&0end{vmatrix}=0cdot0-3cdot2=0-6=-6neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(0230∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}0&2\3&0end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Поменяем местами строки №1 и №2:
(0230∣1001)∼(3002∣0110)begin{pmatrix}left.begin{matrix}0&2\3&0end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&0\0&2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №1 на 13frac{1}{3}, а строку №2 на 12frac{1}{2}:
(3002∣0110)∼(1001∣013120)begin{pmatrix}left.begin{matrix}3&0\0&2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&frac{1}{3}\frac{1}{2}&0end{matrix}end{pmatrix}.
Значит, A−1=(013120)=16(0230)A^{-1}=begin{pmatrix}0&frac{1}{3}\frac{1}{2}&0end{pmatrix}=frac{1}{6}begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}.
A−1⋅B=16(0230)⋅(243−6)=16(6−12612)=(1−212)=XA^{-1}cdot B=frac{1}{6}begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}=frac{1}{6}begin{pmatrix}6&-12\6&12end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}=X.
Проверка:
(0230)⋅(1−212)=(243−6)begin{pmatrix}0&2\3&0end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&4\3&-6end{pmatrix}. — Верно.
Ответ: X=(1−212)X=begin{pmatrix}1&-2\1&2end{pmatrix}.
Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида X⋅A=BXcdot A=B.
Пример 3
Решить матричное уравнение
X⋅(9711)=(201812)Xcdotbegin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}. Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид X⋅A=BXcdot A=B, где A=(9711)A=begin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}, B=(201812)B=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} справа:
X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1},
X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица,
X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.
Найдем матрицу A−1A^{-1}.
∣9711∣=9⋅1−1⋅7=9−7=2≠0begin{vmatrix}9&7\1&1end{vmatrix}=9cdot1-1cdot7=9-7=2neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(9711∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}9&7\1&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Поменяем строки №1 и №2 местами:
(9711∣1001)∼(1197∣0110)begin{pmatrix}left.begin{matrix}9&7\1&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\9&7end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -9:
(1197∣0110)∼(110−2∣011−9)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\9&7end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&0end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&-2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&-9end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №2 на −12-frac{1}{2}:
(110−2∣011−9)∼(1101∣01−1292)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&-2end{matrix}right|begin{matrix}0&1\1&-9end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&1\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:
(1101∣01−1292)∼(1001∣12−72−1292)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}right|begin{matrix}0&1\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}frac{1}{2}&-frac{7}{2}\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{matrix}end{pmatrix}.
Значит, A−1=(12−72−1292)=12(1−7−19)A^{-1}=begin{pmatrix}frac{1}{2}&-frac{7}{2}\-frac{1}{2}&frac{9}{2}end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}.
B⋅A−1=(201812)⋅12⋅(1−7−19)=12(201812)⋅(1−7−19)=12(2−146−18)=(1−73−9)=XBcdot A^{-1}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}cdot frac{1}{2}cdot begin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-7\-1&9end{pmatrix}=frac{1}{2}begin{pmatrix}2&-14\6&-18end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}=X.
Проверка: (1−73−9)⋅(9711)=(201812).begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}9&7\1&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}2&0\18&12end{pmatrix}. — Верно.
Ответ: X=(1−73−9)X=begin{pmatrix}1&-7\3&-9end{pmatrix}.
Пример 4
Решить матричное уравнение X⋅(1325)=(4−132)Xcdotbegin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}. Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид X⋅A=BXcdot A=B, где A=(1325)A=begin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}, B=(4−132)B=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}.
Умножим обе части уравнения на A−1A^{-1} справа:
X⋅A⋅A−1=B⋅A−1Xcdot Acdot A^{-1}=Bcdot A^{-1},
X⋅E=B⋅A−1Xcdot E=Bcdot A^{-1}, EE — единичная матрица,
X=B⋅A−1X=Bcdot A^{-1}.
Найдем матрицу A−1A^{-1}.
∣1325∣=1⋅5−2⋅3=5−6=−1≠0begin{vmatrix}1&3\2&5end{vmatrix}=1cdot5-2cdot3=5-6=-1neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(1325∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\2&5end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:
(1325∣1001)∼(130−1∣10−21)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\2&5end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\-2&1end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:
(130−1∣10−21)∼(100−1∣−53−21)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\-2&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\-2&1end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №2 на -1:
(100−1∣−53−21)∼(1001∣−532−1)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&-1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\-2&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}-5&3\2&-1end{matrix}end{pmatrix}.
Значит, A−1=(−532−1)A^{-1}=begin{pmatrix}-5&3\2&-1end{pmatrix}.
B⋅A−1=(4−132)⋅(−532−1)=(−2213−117)=XBcdot A^{-1}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}-5&3\2&-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}=X.
Проверка:
(−2213−117)⋅(1325)=(4−132)begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&3\2&5end{pmatrix}=begin{pmatrix}4&-1\3&2end{pmatrix}. — Верно.
Ответ: X=(−2213−117).X=begin{pmatrix}-22&13\-11&7end{pmatrix}.
Существует третий вид матричных уравнений: A⋅X⋅B=CAcdot Xcdot B=C, но в действительности он встречается редко.
Обе части уравнения умножим на A−1A^{-1} слева: A−1⋅A⋅X⋅B=A−1⋅CA^{-1}cdot Acdot Xcdot B=A^{-1}cdot C.
Зная, что A−1⋅A=EA^{-1}cdot A=E, получим: E⋅X⋅B=A−1⋅CEcdot Xcdot B=A^{-1}cdot C.
Поскольку E⋅X=XEcdot X=X, то X⋅B=A−1⋅CXcdot B=A^{-1}cdot C.
Обе части уравнения умножим на B−1B^{-1} справа: X⋅B⋅B−1=A−1⋅C⋅B−1Xcdot Bcdot B^{-1}=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.
Зная, что B⋅B−1=EBcdot B^{-1}=E, получим: X⋅E=A−1⋅C⋅B−1Xcdot E=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.
Поскольку X⋅E=XXcdot E=X, то X=A−1⋅C⋅B−1X=A^{-1}cdot Ccdot B^{-1}.
Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».
Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.
Краткое содержание прошлых частей:
- Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
- Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
- Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
- Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
- Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
- Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.
И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.
❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.
Что такое матричное уравнение
Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.
Шаг 1. Упрощаем уравнение
Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.
Шаг 2. Вводим единичную матрицу
В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.
Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 1001
И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100-1
При перемножении этих двух чисел получится единица:
1001 × 100-1 = 100 × 0,01 = 1.
Вот такое, только в мире матриц.
Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А-1. Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:
А-1 × А × Х = А-1 × В
Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:
А-1 × А = E — единичная матрица
E × Х = А-1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем
Х = А-1 × В — новая запись уравнения
После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.
💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A-1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.
Шаг 3. Находим обратную матрицу
Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:
- Делим единицу на определитель матрицы A.
- Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
- Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.
Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.
Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А-1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.
Шаг 5. Проверяем уравнение
Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.
👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.
Ну и что
Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:
Этого котика не существует, а матрицы — существуют.
Решение матричных уравнений: теория и примеры
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,
где x – неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы – это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
где A и B – известные матрицы, X – неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому
.
Так как E – единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
.
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Найдём матрицу, обратную матрице B .
Сначала найдём определитель матрицы B :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B :
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :
.
Находим матрицу, обратную матрице B :
.
Решение матричных уравнений
Финальная глава саги.
Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».
Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.
Краткое содержание прошлых частей:
- Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
- Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
- Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
- Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
- Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
- Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.
И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.
❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.
Что такое матричное уравнение
Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.
Шаг 1. Упрощаем уравнение
Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.
Приводим матричное уравнение к упрощённому виду
Шаг 2. Вводим единичную матрицу
В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.
Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1
И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1
При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.
Вот такое, только в мире матриц.
Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:
А -1 × А × Х = А -1 × В
Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:
А -1 × А = E — единичная матрица
E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем
Х = А -1 × В — новая запись уравнения
После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.
💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.
Шаг 3. Находим обратную матрицу
Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:
- Делим единицу на определитель матрицы A.
- Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
- Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.
Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.
Третье действие: получаем обратную матрицу
Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.
Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу
Шаг 5. Проверяем уравнение
Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.
👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.
Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны
Ну и что
Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:
Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы
В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.
Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Матричный вид записи: А × X = B
где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n – матрица системы.
X = x 1 x 2 ⋮ x n – столбец неизвестных,
B = b 1 b 2 ⋮ b n – столбец свободных коэффициентов.
Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A – 1 :
A – 1 × A × X = A – 1 × B .
Так как А – 1 × А = Е , то Е × X = А – 1 × В или X = А – 1 × В .
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .
В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:
2 x 1 – 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 – 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 – x 2 + 5 x 3 = 2
- Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где
А = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .
- Выражаем из этого уравнения X :
- Находим определитель матрицы А :
d e t A = 2 – 4 3 1 – 2 4 3 – 1 5 = 2 × ( – 2 ) × 5 + 3 × ( – 4 ) × 4 + 3 × ( – 1 ) × 1 – 3 × ( – 2 ) × 3 – – 1 × ( – 4 ) × 5 – 2 × 4 – ( – 1 ) = – 20 – 48 – 3 + 18 + 20 + 8 = – 25
d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.
- Находим обратную матрицу А – 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :
А 11 = ( – 1 ) ( 1 + 1 ) – 2 4 – 1 5 = – 10 + 4 = – 6 ,
А 12 = ( – 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = – ( 5 – 12 ) = 7 ,
А 13 = ( – 1 ) 1 + 3 1 – 2 3 – 1 = – 1 + 6 = 5 ,
А 21 = ( – 1 ) 2 + 1 – 4 3 – 1 5 = – ( – 20 + 3 ) = 17 ,
А 22 = ( – 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 – 10 – 9 = 1 ,
А 23 = ( – 1 ) 2 + 3 2 – 4 3 – 1 = – ( – 2 + 12 ) = – 10 ,
А 31 = ( – 1 ) 3 + 1 – 4 3 – 2 4 = – 16 + 6 = – 10 ,
А 32 = ( – 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = – ( 8 – 3 ) = – 5 ,
А 33 = ( – 1 ) 3 + 3 2 – 4 1 – 2 = – 4 + 4 = 0 .
- Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :
А * = – 6 7 5 17 1 – 10 – 10 – 5 0
- Записываем обратную матрицу согласно формуле:
A – 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А – 1 = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 ,
- Умножаем обратную матрицу А – 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:
X = A – 1 × B = – 1 25 – 6 17 – 10 7 1 – 5 5 – 10 0 1 3 2 = – 1 25 – 6 + 51 – 20 7 + 3 – 10 5 – 30 + 0 = – 1 0 1
Ответ: x 1 = – 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/matrichnyj-metod-reshenija-slau/
[/spoiler]
Калужский
филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Московский
государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана»
(КФ
МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Влайков
Н.Д.
Решение
матричных уравнений
Методические
указания для проведения упражнений
по
курсу аналитической геометрии
Калуга
2011г.
Содержание.
Цели
занятия
стр.4
План
занятия
стр.4
Необходимые
теоретические сведения
стр.5
Практическая
часть
стр.6
Контроль
освоения пройденного материала
стр.10
Домашнее
задание
стр.11
Количество
часов: 2
Цели
занятия:
-
Систематизировать
полученные теоретические знания о
видах матричных уравнений и способах
их решения. -
Применить
на практике методы решения матричных
уравнений.
План
занятия:
-
Кратко
изложить теоретический материал. -
Решить
матричное уравнение вида
методом с использованием обратной
матрицы. -
Решить
матричное уравнение видаметодом,
основанным на элементарных преобразованиях
строк матрицы. -
Сравнить
использованные методы. -
Решить
матричное уравнение вида
методом с использованием обратной
матрицы. -
Решить
матричное уравнение вида
методом с использованием обратной
матрицы. -
Проверить
выполнение текущего домашнего задания. -
Провести
проверочную работу. -
Представить
тему следующего семинарского занятия. -
Выдать
текущее домашнее задание.
методом,
Необходимые
теоретические сведения.
Рассмотрим
два вида матричных уравнений относительно
неизвестной матрицы
:
и
,
где матрицы
и
– известны, причем
– квадратная и невырожденная.
Опр.
Некоторую матрицу называют решением
матричного уравнения относительно
неизвестной матрицы
,
если при ее подстановке вместо
матричное уравнение превращается в
тождество.
Рассмотрим
уравнение
.
Первый
метод предполагает
вычисление обратной матрицы
и дает запись решения матричного
уравнения в виде
.
Причем данное решение единственно.
Второй
метод
основан на элементарных преобразованиях
строк блочной матрицы
и имеет своей целью преобразование ее
к виду
,
в котором вместо матрицы
стоит единичная матрица
.
Тогда матрица
и будет решением уравнения.
Проверка
ответа
выполняется подстановкой найденного
решения в исходное уравнение.
Матричное
уравнение
так же можно решить двумя способами.
Если известна матрица
,
то умножаем справа на
матричное уравнение
и после очевидных преобразований
получаем ответ в виде произведения двух
матриц
.
Другой метод решения матричного уравнения
состоит
в транспонировании его левой и правой
частей
,
.
После введения новой неизвестной матрицы
получаем уравнение вида
,
которое решается методом элементарных
преобразований.
Практическая
часть.
Пример
1. Решить
матричное уравнение:
,
где
;
.
Решение.
1-ый
способ.
Найдем решение, используя обратную
матрицу:
Решение
ищем в виде
;
Найдем
матрицу
(например, при помощи присоединенной
матрицы)
.
Таким
образом, получим:
.
2-ой
способ. Найдем
решение методом элементарных
преобразований:
Запишем
матрицу
и выполним элементарные преобразования
ее строк с целью привести ее к виду
.
.
Следовательно,
.
Проверка
осуществляется подстановкой в исходное
уравнение:
–
Верно.
Пример
2. Решить
матричное уравнение:
,
где
;
;
.
Решение.
Если
для матриц
и
существуют обратные матрицы
и
соответственно, умножим обе части
уравнения слева на
,
справа на
.
В результате получим:
.
Учитывая, что
,
(
–
единичная матрица) можно записать:
.
Так как
–
единичная матрица, окончательно имеем
уравнение:
где
матрица
– решение уравнения.
Если
же хотя бы одна из матриц
или
не имеет обратную, уравнение не имеет
решения.
Для
матрицы
найдем
или
докажем, что она не существует.
а)
обратная
матрица существует.
б)
.
в)
Найдем алгебраические дополнения для
матрицы
и
составим из них присоединенную матрицу
:
.
г)
Известно, что
;
тогда
.
Для
матрицы
найдем
или докажем, что она не существует.
а)
обратная
матрица существует.
б)
.
в)
Найдем алгебраические дополнения для
матрицы
и
составим из них присоединенную матрицу
:
.
г)
По формуле
;
.
Найдем
неизвестную матрицу
.
.
Ответ:
.
Решить
матричные уравнения:
№2.121(2.39)
.
Отв.:
№2.122(2.40)
.
Отв.:
№2.123(2.41)
.
Отв.:
№2.124(2.42)
.
Отв.:
№2.125(2.43)
.
Отв.:
Представление
темы следующего семинара.
Решение
систем линейных однородных уравнений.
Контроль
освоения пройденного материала.
Проверочная
работа 5 минут. Участвует 4 студента с
четными номерами по журналу, начиная с
№10
Задание:
|
Вар№1 Выполнить
|
Вар№2 Выполнить
|
|
Вар№3 Найти
|
Вар№4 Найти
|
Ответы:
|
Вар№1 Выполнить
|
Вар№2 Выполнить
|
|
Вар№3 Найти
|
Вар№4 Найти
|
Домашнее
задание.
1.Решить
матричное уравнение
:
1)
;
.
2)
;
.
2.Решить
матричное уравнение
:
1)
;
;
.
2)
;
;
.
3.Проработка
лекций на темы:
Системы
линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ). Координатная, матричная и
векторная формы записи. Критерий
Кронекера — Капелли совместности СЛАУ.
Однородные СЛАУ. Критерий существования
ненулевого решения однородной СЛАУ.
Свойства решений однородной СЛАУ.
Фундаментальная система решений
однородной СЛАУ, теорема о ее существовании.
Нормальная фундаментальная система
решений. Теорема о структуре общего
решения однородной СЛАУ.
11
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
