Как найти решение с помощью обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2×1-4×2+3×3=1×1-2×2+4×3=33×1-x2+5×3=2

Как решить?

• Записываем систему в виде матричного уравнения АX=B, где

А=2-431-243-15, X=x1x2x3, B=132.  

• Выражаем из этого уравнения X:

X=A-1×B

• Находим определитель матрицы А:

det A= 2-431-243-15=2×(-2)×5+3×(-4)×4+3×(-1)×1-3×(-2)×3–1×(-4)×5-2×4-(-1)=-20-48-3+18+20+8=-25

det А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А-1  при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения Аij к соответствующим элементам матрицы А:

А11=(-1)(1+1)-24-15=-10+4=-6,

А12=(-1)1+21435=-(5-12)=7,

А13=(-1)1+31-23-1=-1+6=5,

А21=(-1)2+1-43-15=-(-20+3)=17,

А22=(-1)2+22335-10-9=1,

А23=(-1)2+32-43-1=-(-2+12)=-10,

А31=(-1)3+1-43-24=-16+6=-10,

А32=(-1)3+22314=-(8-3)=-5,

А33=(-1)3+32-41-2=-4+4=0.

• Записываем союзную матрицу А*, которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:

А*=-675171-10-10-50

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A-1=1detA(A*)T: А-1=-125-617-1071-55-100,

• Умножаем обратную матрицу А-1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X=A-1×B=-125-617-1071-55-100132=-125-6+51-207+3-105-30+0=-101

Ответ: x1=-1; x2=0; x3=1

Перед тем как перейти к решению систем линейных уравнений методом обратной матрицы вспомним, что такое обратная матрица, какие способы ее нахождения существуют, что такое матричные уравнения и как они решаются.

Система линейных уравнений (СЛУ)

Под системой линейных уравнений (СЛУ) будем понимать систему {a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2,………………………………….am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm.begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+ldots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+ldots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\ldotsldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots.\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+ldots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.end{cases},
содержащую mm уравнений и nn неизвестных.

Линейность означает, что все неизвестные в уравнении содержатся в первой степени.

Рассмотрим на схеме основные понятия, связанные с понятием системы линейных уравнений.

Матричная форма записи СЛУ

С каждой системой линейных уравнений

{a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2,………………………………….am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm.begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+ldots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+ldots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\ldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldotsldots.\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+ldots+a_{mn}x_{n}=b_{m}.end{cases} можно связать несколько матриц.

1. Матрица системы, состоящая из коэффициентов заданной системы линейных уравнений: A=(a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……………am1am2am3…amn)A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&ldots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&ldots&a_{2n}\ldots&ldots&ldots&ldots&ldots\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&ldots&a_{mn}end{pmatrix}.

2. Матрица неизвестных, состоящая из столбца, который содержит неизвестные x1,x2,…,xn:x_{1}, x_{2}, … , x_{n}:

X=(x1x2…xn)X=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\…\x_{n}end{pmatrix}.

1. Матрица свободных членов, состоящая из столбца, который содержит свободные члены b1,b2,…,bm:b_{1}, b_{2}, … , b_{m}:

B=(b1b2…bm)B=begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\ … \b_{m}end{pmatrix}.

Используя введенные обозначения (AA — матрица системы, XX — матрица неизвестных, BB — матрица свободных членов) СЛУ можно записать в виде матричного уравнения A⋅X=BAcdot X=B, поэтому метод обратной матрицы, по существу, является частным случаем матричного уравнения.

Важно!

Метод обратной матрицы может применяться только для тех систем линейных уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля, а именно ∣A∣≠0begin{vmatrix}Aend{vmatrix}neq0. Если же ∣A∣=0begin{vmatrix}Aend{vmatrix}=0, то решить СЛУ матричным методом невозможно (в таком случае СЛУ может быть решена методом Гаусса).

Алгоритм решения СЛУ методом обратной матрицы

1. Записать систему линейных уравнений в матричной форме: A⋅X=BAcdot X=B, где

A=(a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……………am1am2am3…amn)A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&ldots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&ldots&a_{2n}\ ldots&ldots&ldots&ldots&ldots\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&ldots&a_{mn}end{pmatrix} — матрица системы,

X=(x1x2…xn)X=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\…\x_{n}end{pmatrix} — матрица неизвестных,

B=(b1b2…bm)B=begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\…\b_{m}end{pmatrix} — матрица свободных членов.

1. Решить матричное уравнение A⋅X=BAcdot X=B:

2.1 Найти обратную матрицу A−1A^{-1} одним из способов.
2.2 Найти XX, используя равенство X=(x1x2…xn)=A−1⋅BX=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\…\x_{n}end{pmatrix}=A^{-1}cdot B.
Рассмотрим примеры решения СЛУ методом обратной матрицы.

Пример 1

Решить систему {x1−2×2+x3=1,2×1−x2+x3=2,3×1+2×2+2×3=−2.begin{cases}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1,\2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\3x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-2.end{cases} с помощью обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме A⋅X=BAcdot X=B, где

A=(1−212−11322)A=begin{pmatrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{pmatrix},

X=(x1x2x3)X=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix},

B=(12−2):B=begin{pmatrix}1\2\-2end{pmatrix}:

(1−212−11322)⋅(x1x2x3)=(12−2)begin{pmatrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1\2\-2end{pmatrix}.

∣1−212−11322∣=5≠0begin{vmatrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{vmatrix}=5neq0, значит, уравнение можно решить методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу A−1A^{-1} методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(1−212−11322∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(1−212−11322∣100010001)∼(1−2103−1322∣100−210001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\2&-1&1\3&2&2end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&3&-1\3&2&2end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-2&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на -3:

(1−2103−1322∣100−210001)∼(1−2103−108−1∣100−210−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&3&-1\3&2&2end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-2&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&3&-1\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-2&1&0\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на -1:

(1−2103−108−1∣100−210−301)∼(1−210−5008−1∣10011−1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&3&-1\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-2&1&0\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&-5&0\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\1&1&-1\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №2 на −15-frac{1}{5}:

(1−210−5008−1∣10011−1−301)∼(1−2101008−1∣100−15−1515−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&-5&0\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\1&1&-1\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -8:

(1−2101008−1∣100−15−1515−301)∼(1−2101000−1∣100−15−1515−7585−35)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&8&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\-3&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\-frac{7}{5}&frac{8}{5}&-frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на -1:

(1−2101000−1∣100−15−1515−7585−35)∼(1−21010001∣100−15−151575−8535)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&0&-1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\-frac{7}{5}&frac{8}{5}&-frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -1:

(1−21010001∣100−15−151575−8535)∼(1−20010001∣−2585−35−15−151575−8535)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&1\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}-frac{2}{5}&frac{8}{5}&-frac{3}{5}\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 2:

(1−20010001∣−2585−35−15−151575−8535)∼(100010001∣−4565−15−15−151575−8535)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&-2&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}-frac{2}{5}&frac{8}{5}&-frac{3}{5}\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}-frac{4}{5}&frac{6}{5}&-frac{1}{5}\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{matrix}end{pmatrix}.

A−1=(−4565−15−15−151575−8535)=15(−46−1−1−117−83)A^{-1}=begin{pmatrix}-frac{4}{5}&frac{6}{5}&-frac{1}{5}\-frac{1}{5}&-frac{1}{5}&frac{1}{5}\frac{7}{5}&-frac{8}{5}&frac{3}{5}end{pmatrix}=frac{1}{5}begin{pmatrix}-4&6&-1\-1&-1&1\7&-8&3end{pmatrix}.

Подставим матрицы в равенство X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B:

(x1x2x3)=15(−46−1−1−117−83)⋅(12−2)=15(10−5−15)=(2−1−3)begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=frac{1}{5}begin{pmatrix}-4&6&-1\-1&-1&1\7&-8&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}1\2\-2end{pmatrix}=frac{1}{5}begin{pmatrix}10\-5\-15end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-1\-3end{pmatrix}.

Получили равенство (x1x2x3)=(2−1−3)begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-1\-3end{pmatrix}. Исходя из этого, имеем: x1=2,x2=−1,x3=−3x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=-3.

Ответ: x1=2,x2=−1,x3=−3x_{1}=2, x_{2}=-1, x_{3}=-3.

Пример 2

Решить систему {3×1+2×2+x3=5,2×1+3×2+x3=1,2×1+x2+3×3=11.begin{cases}3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=5,\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1,\2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=11.end{cases} с помощью обратной матрицы.

Запишем систему в матричной форме A⋅X=BAcdot X=B,

где A=(321231213)A=begin{pmatrix}3&2&1\2&3&1\2&1&3end{pmatrix},
X=(x1x2x3)X=begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix},

B=(5111):B=begin{pmatrix}5\1\11end{pmatrix}:

(321231213)⋅(x1x2x3)=(5111)begin{pmatrix}3&2&1\2&3&1\2&1&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}5\1\11end{pmatrix}.

∣321231213∣=12≠0begin{vmatrix}3&2&1\2&3&1\2&1&3end{vmatrix}=12neq0, значит, уравнение можно решить методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу A−1A^{-1} по формуле A−1=1∣A∣⋅A∗TA^{-1}=frac{1}{|A|}cdot A_{*}^{T}, где A∗TA_{*}^{T} — транспонированная матрица алгебраических дополнений.

A∗T=(a11a21a31a12a22a32a13a23a33)A_{*}^{T}=begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\a_{12}&a_{22}&a_{32}\a_{13}&a_{23}&a_{33}end{pmatrix}, aija_{ij} — алгебраические дополнения матрицы AA.

A∗T=(8−5−1−47−1−415)A_{*}^{T}=begin{pmatrix}8&-5&-1\-4&7&-1\-4&1&5end{pmatrix}.

A−1=112⋅(8−5−1−47−1−415)A^{-1}=frac{1}{12}cdot begin{pmatrix}8&-5&-1\-4&7&-1\-4&1&5end{pmatrix}.

Подставим матрицы в равенство X=A−1⋅BX=A^{-1}cdot B:

(x1x2x3)=112(8−5−1−47−1−415)⋅(5111)=112(24−2436)=(2−23)begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=frac{1}{12}begin{pmatrix}8&-5&-1\-4&7&-1\-4&1&5end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}5\1\11end{pmatrix}=frac{1}{12}begin{pmatrix}24\-24\36end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-2\3end{pmatrix}.

Получили равенство (x1x2x3)=(2−23)begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-2\3end{pmatrix}.

Исходя из этого, имеем: x1=2,x2=−2,x3=3x_{1}=2, x_{2}=-2, x_{3}=3.

Ответ: x1=2,x2=−2,x3=3x_{1}=2, x_{2}=-2, x_{3}=3.

Возникают трудности с решением уравнений с помощью обратной матрицы? Советуем вам заказать решение задачи у наших экспертов!

Тест по теме “Линейные уравнения и и метод обратной матрицы”

Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы (иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ. Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:

1. Записать три матрицы: матрицу системы $A$, матрицу неизвестных $X$, матрицу свободных членов $B$.
2. Найти обратную матрицу $A^{-1}$.
3. Используя равенство $X=A^{-1}cdot B$ получить решение заданной СЛАУ.

Почему $X=A^{-1}cdot B$? показатьскрыть

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с методами вычисления обратных матриц, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $
left { begin{aligned}
& -5x_1+7x_2=29;\
& 9x_1+8x_2=-11.

end{aligned} right.$ с помощью обратной матрицы.

Решение

Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.

$$
A=left(begin{array} {cc} -5 & 7\ 9 & 8 end{array}right);;
B=left(begin{array} {c} 29\ -11 end{array}right);;
X=left(begin{array} {c} x_1\ x_2 end{array}right).
$$

Найдём обратную матрицу к матрице системы, т.е. вычислим $A^{-1}$. В примере №2 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^{-1}$:

$$
A^{-1}=-frac{1}{103}cdotleft(begin{array}{cc} 8 & -7\ -9 & -5end{array}right).
$$

Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}cdot B$. Затем выполним умножение матриц в правой части данного равенства.

$$
left(begin{array} {c} x_1\ x_2 end{array}right)=
-frac{1}{103}cdotleft(begin{array}{cc} 8 & -7\ -9 & -5end{array}right)cdot
left(begin{array} {c} 29\ -11 end{array}right)=\
=-frac{1}{103}cdot left(begin{array} {c} 8cdot 29+(-7)cdot (-11)\ -9cdot 29+(-5)cdot (-11) end{array}right)=
-frac{1}{103}cdot left(begin{array} {c} 309\ -206 end{array}right)=left(begin{array} {c} -3\ 2end{array}right).
$$

Итак, мы получили равенство $left(begin{array} {c} x_1\ x_2 end{array}right)=left(begin{array} {c} -3\ 2end{array}right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Ответ: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $
left{begin{aligned}
& x_1+7x_2+3x_3=-1;\
& -4x_1+9x_2+4x_3=0;\
& 3x_2+2x_3=6.
end{aligned}right.$ методом обратной матрицы.

Решение

Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.

$$
A=left(begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3\ -4 & 9 & 4 \0 & 3 & 2end{array}right);;
B=left(begin{array} {c} -1\0\6end{array}right);;
X=left(begin{array} {c} x_1\ x_2 \ x_3 end{array}right).
$$

Теперь настал черёд найти обратную матрицу к матрице системы, т.е. найти $A^{-1}$. В примере №3 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^{-1}$:

$$
A^{-1}=frac{1}{26}cdot left( begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end{array} right).
$$

Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}cdot B$, после чего выполним умножение матриц в правой части данного равенства.

$$
left(begin{array} {c} x_1\ x_2 \ x_3 end{array}right)=
frac{1}{26}cdot left( begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end{array} right)cdot
left(begin{array} {c} -1\0\6end{array}right)=\
=frac{1}{26}cdot left(begin{array} {c} 6cdot(-1)+(-5)cdot 0+1cdot 6 \ 8cdot (-1)+2cdot 0+(-16)cdot 6 \ -12cdot (-1)+(-3)cdot 0+37cdot 6 end{array}right)=frac{1}{26}cdot left(begin{array} {c} 0\-104\234end{array}right)=left(begin{array} {c} 0\-4\9end{array}right)
$$

Итак, мы получили равенство $left(begin{array} {c} x_1\ x_2 \ x_3 end{array}right)=left(begin{array} {c} 0\-4\9end{array}right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Ответ: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Естественно, что решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы без применения специальных программ вроде Mathcad возможно лишь при сравнительно небольшом количестве переменных. Если СЛАУ содержит четыре и более переменных, то гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса или метод Гаусса-Жордана.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть
система линейных алгебраических
уравнений задана в матричной форме
,
где матрицаAимеет размерностьnнаnи ее определитель отличен от
нуля.

Так
как
,
то матрицаА– обратима, то есть,
существует обратная матрица.
Если умножить обе части равенстванаслева,
то получим формулу для нахождения
матрицы-столбца неизвестных переменных.
Так мы получили решение системы линейных
алгебраических уравнений матричным
методом.

Пример.

Решите
систему линейных уравнений
матричным
методом.

Решение.

Перепишем
систему уравнений в матричной форме:

Так
как
то
СЛАУ можно решать матричным методом. С
помощью обратной матрицы решение этой
системы может быть найдено как.

Построим
обратную матрицу
с
помощью матрицы из алгебраических
дополнений элементов матрицыА(при
необходимости смотрите статьюметоды
нахождения обратной матрицы):

Осталось
вычислить
–
матрицу неизвестных переменных, умножив
обратную матрицуна
матрицу-столбец свободных членов(при
необходимости смотрите статьюоперации
над матрицами):

Ответ:

или
в другой записи x₁ = 4, x₂
= 0, x₃ = -1.

Основная
проблема при нахождении решения систем
линейных алгебраических уравнений
матричным методом заключается в
трудоемкости нахождения обратной
матрицы, особенно для квадратных матриц
порядка выше третьего.

Более
подробное описание теории и дополнительные
примеры смотрите в статье матричный
метод решения систем линейных уравнений.

К
началу страницы

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть
нам требуется найти решение системы из
nлинейных уравнений сnнеизвестными
переменнымиопределитель
основной матрицы которой отличен от
нуля.

Суть
метода Гауссасостоит в последовательном
исключении неизвестных переменных:
сначала исключаетсяx₁из
всех уравнений системы, начиная со
второго, далее исключаетсяx₂из всех уравнений, начиная с третьего,
и так далее, пока в последнем уравнении
останется только неизвестная переменнаяx_n. Такой процесс преобразования
уравнений системы для последовательного
исключения неизвестных переменных
называетсяпрямым ходом метода Гаусса.
После завершения прямого хода метода
Гаусса из последнего уравнения находитсяx_n, с помощью этого значения
из предпоследнего уравнения вычисляетсяx_n-1, и так далее, из первого
уравнения находитсяx₁.
Процесс вычисления неизвестных переменных
при движении от последнего уравнения
системы к первому называетсяобратным
ходом метода Гаусса.

Кратко
опишем алгоритм исключения неизвестных
переменных.

Будем
считать, что
,
так как мы всегда можем этого добиться
перестановкой местами уравнений системы.
Исключим неизвестную переменнуюx₁из всех уравнений системы, начиная со
второго. Для этого ко второму уравнению
системы прибавим первое, умноженное на,
к третьему уравнению прибавим первое,
умноженное на,
и так далее, кn-омууравнению прибавим
первое, умноженное на.
Система уравнений после таких
преобразований примет видгде,
а.

К
такому же результату мы бы пришли, если
бы выразили x₁через другие
неизвестные переменные в первом уравнении
системы и полученное выражение подставили
во все остальные уравнения. Таким
образом, переменнаяx₁исключена из всех уравнений, начиная
со второго.

Далее
действуем аналогично, но лишь с частью
полученной системы, которая отмечена
на рисунке

Будем
считать, что
(в
противном случае мы переставим местами
вторую строку сk-ой, где).
Приступаем к исключению неизвестной
переменнойx₂из всех
уравнений, начиная с третьего.

Для
этого к третьему уравнению системы
прибавим второе, умноженное на
,
к четвертому уравнению прибавим второе,
умноженное на,
и так далее, кn-омууравнению прибавим
второе, умноженное на.
Система уравнений после таких
преобразований примет видгде,
а.
Таким образом, переменнаяx₂исключена из всех уравнений, начиная с
третьего.

Далее
приступаем к исключению неизвестной
x₃, при этом действуем
аналогично с отмеченной на рисунке
частью системы

Так
продолжаем прямой ход метода Гаусса
пока система не примет вид

С
этого момента начинаем обратный ход
метода Гаусса: вычисляем x_nиз последнего уравнения как,
с помощью полученного значенияx_nнаходимx_n-1из предпоследнего
уравнения, и так далее, находимx₁из первого уравнения.

Пример.

Решите
систему линейных уравнений
методом
Гаусса.

Решение.

Исключим
неизвестную переменную x₁из второго и третьего уравнения системы.
Для этого к обеим частям второго и
третьего уравнений прибавим соответствующие
части первого уравнения, умноженные наи
насоответственно:

Теперь
из третьего уравнения исключим x₂,
прибавив к его левой и правой частям
левую и правую части второго уравнения,
умноженные на:

На
этом прямой ход метода Гаусса закончен,
начинаем обратный ход.

Из
последнего уравнения полученной системы
уравнений находим x₃:

Из
второго уравнения получаем
.

Из
первого уравнения находим оставшуюся
неизвестную переменную и этим завершаем
обратный ход метода Гаусса
.

Ответ:

x₁
= 4, x₂ = 0, x₃ =
-1.

Более
детальную информацию и дополнительные
примеры смотрите в разделе решение
элементарных систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.

К
началу страницы

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Метод обратной матрицы (матричный способ)

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений $$begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 end{cases}.$$

Метод обратной матрицы подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений в которых число строк совпадает с числом неизвестных переменных. Формула матричного метода выглядит следующим образом $$X = A^{-1} cdot B$$

Здесь $A^{-1}$ – это обратная матрица к матрице $A$, составленной из коэфициентов $a_{ij}$ в системе уравнений. $B$ – это вектор свободных членов, взятых из системы $$begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3 end{pmatrix} = A^{-1} cdot begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 end{pmatrix}.$$

Важное замечание! 
Для данного метода определитель матрицы $A$ не должен равняться нулю $det A neq 0$, так как это условие для существования обратной матрицы $A^{-1}$.