В данной публикации мы рассмотрим, с помощью какой формулы можно найти среднее геометрическое чисел, а также разберем примеры задач для ее демонстрации на практике.
- Расчет среднего геометрического
- Пример задачи
Расчет среднего геометрического
Чтобы вычислить среднее геометрическое двух или более чисел, требуется их перемножить, а затем из полученного результата извлечь корень, степень которого равняется их количеству.
Допустим, у нас есть числа a1, a2, … , an. Среднее геометрическое находится по формуле:
Частные случаи формулы:
Пример задачи
Задание 1
Найдем среднее геометрическое чисел 3, 6 и 12.
Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой для трех чисел:
Задание 2
Среднее геометрическое четырех чисел равняется 4, а также известны три из них – 2, 2 и 4. Найдем четвертое.
Решение:
Обозначим число, которое требуется найти буквой x. Формула выглядит следующим образом:
Помещаем число 4 под знак корня, сохранив равенство (для этого возводим его в четвертую степень, т.е. 44 = 256):
Следовательно, x = 256 : 16 = 16.
Download Article
Download Article
The geometric mean is another way to find the average value of a number set, but instead of adding the values and dividing like you would to find the arithmetic mean, you multiply them together before taking the root. The geometric mean can be used to calculate average rates of return in finances or show how much something has grown over a specific period of time. In order to find the geometric mean, multiply all of the values together before taking the nth root, where n equals the total number of values in the set. You can also use the logarithmic functions on your calculator to solve the geometric mean if you want.
Geometric Mean Help
-
1
Multiply the values you want to find the geometric mean for. You can either use a calculator or do the math by hand when you find the product. Multiply all of the numbers in the set you’re calculating so you can find the product. Write down the product so you don’t forget it.[1]
- For example, if the value set is 3, 5, and 12, then you would write: (3 x 5 x 12) = 180.
- For another example, if you want to find the geometric mean for the set 2 and 18, then write: (2 x 18) = 36.
-
2
Find the nth root of the product where n is the number of values. Count how many values are in the set you’re calculating the geometric mean for the value n. Use the n value to determine which root you need to take of the product. For example, take the square root if you have 2 values, cube root if you have 3 values, and so on. Use your calculator to solve the equation and write down your answer.[2]
- For example, for the set of 3, 5, and 12, write: ∛(180) ≈ 5.65.
- In the second example with a set of 2 and 18, write: √(36) = 6.
Variation: You can also write the value as an exponent 1/n if it’s easier to type in your calculator. For example, for the set 3, 5, and 12, you can write (180)1/3 instead of ∛(180).
Advertisement
-
3
Convert percentages to their decimal multiplier equivalents. If the number set is written out as increases or decreases in percentages, avoid using the percent value in the geometric mean since it will skew your results. If the percent is an increase, move the decimal point 2 spaces to the left and add 1 to it. If there’s a percent decrease, then move the decimal point 2 places to the left and subtract it from 1.[3]
- For example, say you want to find the geometric mean of the value of an object that increases by 10%, and then falls by 3%.
- Convert 10% to a decimal and add 1 to it to get 1.10.
- Then convert 3% to a decimal and subtract it from 1 to get 0.97.
- Use the 2 decimal values to find the geometric mean: √(1.10 x 0.97) ≈ 1.03.
- Convert the number back to a percent by moving the decimal point 2 places to the right and subtracting 1 from it to find a total of a 3% increase in value.
Advertisement
-
1
Add the logarithmic values for each number in the set. The LOG function takes a value out of base-10 and determines how many times you need to multiply 10 together to equal that value. Locate the LOG function on your calculator, which usually is on the left side of the keypad. Click the LOG button and enter the first value in the set. Type in a “+” before putting in LOG for your second value. Continue separating the LOG functions for each value with a plus sign before finding the sum.[4]
- For example, with a set of 7, 9, and 12, you would type in log(7) + log(9) + log(12) before hitting “=” on your calculator. When you solve the functions, your sum will be about 2.878521796.
- You may also calculate each of the logarithms separately before adding the answers together.
-
2
Divide the sum of the logarithmic values by the number of values in the set. Count the number of values in your set and then divide the sum you just found by that number. The answer you get will be the logarithmic value of the geometric mean.[5]
- In this example, there’s a set of 3 numbers, so type in: 2.878521796 / 3 ≈ 0.959507265.
-
3
Take the antilog of the quotient to determine the geometric mean. The antilog function is the inverse of the LOG function on your calculator and it converts the value back to base-10. Look for the symbol “10x” on your calculator, which is usually a secondary function of the LOG button. Press the “2nd” button in the top left corner of the calculator followed by the LOG button to activate the antilog. Type in the quotient you found in the last step before solving the equation.[6]
- For this example, your calculator will read: 10(0.959507265) ≈ 9.11.
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I identify average numbers geometric mean, arithmetic mean and harmonic mean?
See wikiHow’s articles on each of those subjects.
-
Question
What is the geometric mean of 2, 4, 16, and 32?
To make this trivially easy, use logarithms Base 2. Then the logarithms are 1, 2, 4, and 5. The simple average of those logarithms is 3, so the geometric mean of 2, 4, 16, and 32 is 2^3 = 8.
-
Question
How do I find the geometric mean of 3 and 7?
3 x 7 = 21. √21 = 4.58.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
You cannot find the geometric mean of negative numbers.[7]
-
Any set that has 0 in it will have a geometric mean of 0.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
Things You’ll Need
- Calculator
References
About This Article
Article SummaryX
To calculate the geometric mean of 2 numbers, multiply those 2 numbers together, then calculate the square root of the resulting product. If you have 3 or more numbers, multiply all of the numbers together, then raise them to the power of 1 divided by n, where n is the total number of entries in the data set. To learn how to calculate the geometric mean of a data set using logarithms, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 858,480 times.
Did this article help you?
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Среднее геометрическое — математическая величина, которую легко спутать с более часто применяемым средним арифметическим. Для вычисления среднего геометрического следуйте методам, приведенным ниже.
-
1
Возьмите два числа, среднее геометрическое которых необходимо найти.
- Например, 2 и 32.
-
2
-
3
Реклама
-
1
Подставьте числа в приведенное уравнение. Если это, скажем, 10 и 15, то подставьте их так, как показано на рисунке.
-
2
Найдите «х». Начните с перемножения крест-накрест, что означает перемножение пар чисел по диагонали и расстановку результатов умножения по разные стороны знака =. Так как х*х = х2, то уравнение приводится к виду к виду: х2 = (результат умножения ваших чисел). Для вычисления «х» извлеките квадратный корень из результата перемножения используемых чисел. Если в результате вычисления корня получится целое число — отлично. Если нет, дайте ответ в виде десятичной дроби или запишите его со знаком корня (в зависимости от того, что требует преподаватель). Ответ, приведенный выше на рисунке, записан в виде упрощенного квадратного корня.
Реклама
-
1
Подставьте числа в приведенное уравнение.Среднее геометрическое = (a1 × a2 . . . an)1/n[3]
- a1 — первое число, a2 — второе число и так далее
- n — общее количество чисел
-
2
Перемножьте числа (a1, a2 и так далее).
-
3
Извлеките корень n степени из полученного числа. Это и будет среднее геометрическое.[4]
Реклама
-
1
Найдите логарифм каждого числа и сложите полученные значения. Найдите клавишу LOG на своем калькуляторе. Затем введите: (первое число) LOG + (второе число) LOG + (третье число) LOG [+ столько чисел, сколько дано] =. Не забудьте нажать «=», или показанный вам результат будет логарифмом последнего введенного числа, а не суммой логарифмов всех чисел.
- Например, log 7 + log 9 + log 12 = 2,878521796
-
2
Разделите результат сложения на общее количество изначально данных чисел. Если вы сложили логарифмы трех чисел, делите полученный результат на три.
- Например, 2,878521796 / 3 = 0,959507265
-
3
Вычислите антилогарифм полученного результата. На калькуляторе нажмите кнопку переключения регистра (активирует функции верхнего регистра — над клавишами), а затем нажмите LOG, чтобы получить значение антилогарифма. Этот результат и будет средним геометрическим.[5]
- Например, antilog 0,959507265 = 9,109766916. Поэтому среднее геометрическое 7, 9, и 12 равно 9,11.
Реклама
Советы
- Различия между средним арифметическим и средним геометрическим:
- Для вычисления среднего арифметического, например, чисел 3, 4 и 18, необходимо их сложить 3 + 4 + 18, а затем разделить на 3 (потому что изначально даны три числа). Ответ равен 25/3 или примерно 8,333; это означает, что если сложить 8,3333 три раза подряд, то ответ будет таким же, как при сложении чисел 3, 4, и 18. Среднее арифметическое отвечает на вопрос: «Если все величины имеют одинаковое значение, то каким это значение должно быть, чтобы при суммировании получился один результат?»
- Напротив, среднее геометрическое отвечает на вопрос: «Если все величины имеют одинаковое значение, то каким это значение должно быть, чтобы при перемножении получился один результат?» Поэтому, чтобы найти среднее геометрическое чисел 3, 4 и 18, мы перемножаем эти числа: 3 x 4 x 18. Получаем 216. Затем мы берем кубический корень из полученного результата перемножения (кубический корень, так как в вычислении участвуют три числа). Ответ будет 6. Другими словами, так как 6 x 6 x 6 = 3 x 4 x 18, то 6 является средним геометрическим чисел 3, 4 и 18.
- Среднее геометрическое всегда меньше или равно среднему арифметическому. Более подробно читайте тут.
- Среднее геометрическое рассчитывается только для положительных чисел. Схема решения различных прикладных задач с использованием среднего геометрического не будет работать в случае наличия отрицательных чисел.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 131 740 раз.
Была ли эта статья полезной?
Среднее геометрическое
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Среднее геометрическое
Чтобы найти среднее геометрическое нескольких чисел воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Среднее геометрическое:
0
Округление ответа:
Просто введите положительные вещественные числа и получите среднее геометрическое этих чисел. Для того чтобы добавить в ряд более двух чисел воспользуйтесь зелёной кнопкой “+”.
Теория
Среднее геометрическое нескольких положительных вещественных чисел – это такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.
Формула
x̅геом = n√x1 ⋅ x2 ⋅ … ⋅ xn
Пример
К примеру, рассмотрим три числа 3, 8 и 9. Среднее геометрическое этих трёх чисел:
x̅геом = 3√3 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3√216 = 6
Таким образом:
3 ⋅ 8 ⋅ 9 = 216 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6
См. также
Среднее геометрическое значение чаще всего используется для усреднения темпов изменения во времени или для расчета скорости роста переменной.
В инвестициях мы часто используем среднее геометрическое для усреднения временного ряда ставок доходности актива или портфеля или для расчета темпов роста финансового показателя, такого как прибыль или выручка.
Например, в разделе, посвященному временной стоимости денег, мы вычислили темп роста продаж компании Hyundai Steel. Этот темп роста был средним геометрическим значением.
Из-за важности этой концепции в следующем разделе мы вернемся к использованию среднего геометрического и рассмотрим практические перспективы его использования. Среднее геометрическое определяется по следующей формуле.
Формула среднего геометрического.
Среднее геометрическое значение G (англ. ‘geometric mean’) множества наблюдений ( X_1, X_2, ldots, X_n ) равно:
(large displaystyle
G = sqrt[n]{X_1 X_2 X_3dots X_n} ) (Формула 5)
где (X_i geq 0) для (i = 1,2, …, n)
Уравнение Формулы 5 имеет решение, и геометрическое среднее существует, только если произведение под знаком корня неотрицательно. Мы налагаем это ограничение таким образом, чтобы все наблюдения ( X_i ) в Формуле 5 были больше или равны нулю.
Мы можем найти геометрическое среднее, используя Формулу 5, напрямую, при помощи любого калькуляторс с клавишей возведения в степень (у большинства финансовых калькуляторов это клавиша ( y^x)).
Мы также можем найти среднее геометрическое, используя натуральные логарифмы.
Формулу 5 также можно представить в следующем виде:
(large dst
ln{G} = frac{1}{n} ln{(X_1 X_2 X_3dots X_n)}
)
или как
(large dst
ln{G} = {dsum_{i=1}^{n} ln{X_i} over n}
)
Если мы вычислили ( ln{G} ), то ( G=e^{ln{G}} ) (на большинстве калькуляторов клавишей для этого шага является (e^x)).
Рискованные активы могут иметь отрицательную доходность до -100% (если их цена падает до нуля), поэтому мы должны позаботиться об определении соответствующих переменных для усреднения при вычислении среднего геометрического.
Мы не можем просто рассчитать произведение ставок доходности выборки и затем взять (n)-ный корень, потому что доходность за любой период может быть отрицательной.
Мы должны пересмотреть результат расчета так, чтобы произведение ставок доходности под знаком корня было положительным. Мы делаем это, добавляя 1.0 к ставкам доходности, выраженным в десятичных числах.
Выражение ( 1 + R_t ) означает доход на конец года относительно начальной суммы инвестиций на начало года. Если мы используем выражение ( 1 + R_t ), наблюдения никогда не будут отрицательными, потому что отрицательный доход не может составлять менее -100% (т.е. менее -1).
Результатом будет среднее геометрическое ( 1 + R_t ); затем вычитая 1.0 из этого результата, мы получаем среднее геометрическое для отдельных ставок доходности ( R_t ).
Например, доходность Индексного фонда RBC за период 2008-2012 гг. из Таблицы 13 можно представить в десятичной форме как:
-0.331, 0.341, 0.168, -0.092, и 0.064.
Добавление 1.0 к этим ставкам дает:
0.669, 1.341, 1.168, 0.908 и 1.064.
Используя Формулу 5, мы получим:
( begin{align}
& sqrt[5]{(0.669)(1.341)(1.168)(0.908)(1.064)} = \
& sqrt[5]{51.012337} = 1.002455
end{align} )
Полученное число равно 1 плюс среднее геометрическое ставки доходности. Вычитая 1.0 из этого результата, мы получаем 1.002455 – 1.0 = 0.002455 или примерно 0.25%.
Среднегеометрическая доходность Канадского индексного фонда RBC за период 2008-2012 годов составила 0,25 процента.
Уравнение, которое суммирует вычисление среднего геометрического доходности (или геометрической ставки доходности), ( R_G ), является слегка измененной версией Формулы 5, в которой ( X_i ) представляет собой выражение: «1 + ставка доходности в десятичной форме».
Поскольку среднее геометрическое доходности использует временные ряды, мы используем подстрочный индекс (t) для обозначения временного периода.
( begin{align}
& 1+R_G = sqrt[T]{(1+R_1)(1+R_2)dots (1+R_T)} \
& 1+R_G = left[ prod_{t=1}^{T} (1+R_t) right]^frac{1}{T}
end{align} )
Это приводит к следующей формуле.
Формула среднегеометрической доходности.
Для данного временного ряда ставок доходности ( R_t, t = 1, 2, ldots, T ) среднегеометрическая доходность (или геометрическая ставка доходности, от англ. ‘geometric mean return’ или ‘time-weighted return’) за период времени, охватывающий ставки доходности от ( R_1 ) до ( R_T ), равна:
(large displaystyle
R_G = left[ prod_{t=1}^{T} (1+R_t) right]^frac{1}{T} ) (Формула 6)
Мы можем использовать Формулу 6 для расчета среднегеометрической доходности любого ряда ставок. Среднегеометрическая доходность также называется накапливаемой [сложной] доходностью (от англ. ‘compound return’).
Например, если усредненные результаты в Формуле 6 имеют месячную периодичность, мы можем назвать полученную ставку накапливаемой или сложной месячной доходностью.
Следующий пример иллюстрирует вычисление среднего геометрического, а также сравнение среднего геометрического и среднего арифметического.
Пример (1) расчета и сравнения среднегеометрической и среднеарифметической доходности.
Как аналитик взаимных фондов, вы изучаете совокупную доходность двух инвестиционных фондов за последние 5 лет, по состоянию на начало 2013 года.
|
Год |
Фонд Selected |
Фонд T. Rowe Price |
|---|---|---|
|
2008 |
-39.44% |
-35.75% |
|
2009 |
31.64 |
25.62 |
|
2010 |
12.53 |
15.15 |
|
2011 |
-4.35 |
-0.72 |
|
2012 |
12.82 |
17.25 |
Источник: performance.morningstar.com.
Основываясь на данных из Таблицы 15, сделайте следующее:
- Рассчитайте среднегеометрическую доходность SLASX.
- Рассчитайте среднее арифметическое доходности SLASX и сопоставьте ее со среднегеометрической доходностью фонда.
- Рассчитайте среднегеометрическую доходность PRFDX.
- Рассчитайте среднее арифметическое доходности PRFDX и сопоставьте ее со среднегеометрической доходностью фонда.
Решение для части 1:
Сначала преобразуем ставки доходности SLASX в десятичную форму и добавим 1.0 к каждой ставке: 0,6056, 1,3164, 1,1253, 0,9565 и 1,1282.
Используем Формулу 6, чтобы найти среднегеометрическую доходность SLASX:
(begin{align}
R_G &= sqrt[5]{(0.6056)(1.3164)(1.1253)(0.9565)(1.1282)} – 1 \
&= sqrt[5]{0.968084} – 1 = 0.993534 – 1 = -0.006466 \
&= -0.65% end{align} )
Решение для части 2:
Для SLASX,
(begin{align}
overline R &= (-39.44 + 31.64 + 12.53 – 4.35 +12.82) / 5 \
&= 13.20/5 = 2.64%
end{align} )
Среднее арифметическое доходности SLASX превышает среднегеометрическую доходность на 2.64 – (-0.65) = 3.29% или 329 базисных пунктов.
Решение для части 3:
Преобразовав ставки доходности PRFDX в десятичную форму и прибавив 1.0 к каждой из них, мы получим: 0.6425, 1.2562, 1.1515, 0.9928 и 1.1725.
Используем Формулу 6, чтобы найти среднее геометрическое значение доходности PRFDX:
(begin{align}
R_G &= sqrt[5]{(0.6425)(1.2562)1.1515)(0.9928)(1.1725)} – 1 \
&= sqrt[5]{1.081859} – 1 = 1.015861 – 1 = 0.015861 = 1.59%
end{align} )
Решение для части 4:
Для PRFDX,
( begin{align}
overline R &= (-35.75 + 25.62 + 15.15 – 0.72 + 17.25)/5 \
&= 21.55/5 = 4.31%
end{align} )
Среднее арифметическое для PRFDX превышает среднегеометрическую доходность на 4.31 – 1.59 = 2.72% или 272 базисных пункта.
В таблице ниже обобщены полученные результаты.
|
Фонд |
Среднее |
Среднее |
|---|---|---|
|
SLASX |
2.64 |
-0.65 |
|
PRFDX |
4.31 |
1.59 |
В приведенном примере для обоих взаимных фондов среднегеометрическая доходность была меньше среднеарифметической доходности. Фактически, геометрическое среднее всегда меньше или равно среднему арифметическому.
Неравенство Йенсена.
Это утверждение может быть доказано с помощью неравенства Йенсена (англ. ‘Jensen’s inequality’), которое означает, что среднее значение функции меньше или равно функции, вычисленной в среднем, если функция выпуклая вниз – в случае для ( ln {X}).
Единственный момент, когда два средних значения будут равны, – это когда нет изменчивости в наблюдениях, то есть, когда все наблюдения совокупности одинаковы.
Например, предположим, что доходность за каждый год в течение 3-х лет составляет 10%. Среднее арифметическое составляет 10%. Чтобы найти среднее геометрическое, мы сначала выражаем результаты как ( 1 + R_t ), а затем находим среднее геометрическое:
( bigl[(1.10)(1.10)(1.10)bigr]^{1/3} – 1.0 = 10% ).
Два средних значения одинаковы.
В приведенном выше примере наблюдалась изменчивость в доходности фондов; таким образом, для обоих фондов среднее геометрическое должно быть непременно меньше среднего арифметического.
В целом, разница между арифметическим и геометрическим средним возрастает вместе с изменчивостью наблюдений от периода к периоду.
В следующих разделах мы рассмотрим стандартное отклонение как меру изменчивости. При постоянной средней арифметической доходности средняя геометрическая доходность уменьшается на размер увеличения стандартного отклонения.
Эта взаимосвязь также иллюстрируется в рассмотренном выше примере. Случайная проверка показывает, что доходность SLASX несколько более изменчива, чем доходность PRFDX, и, следовательно, разброс между средней арифметической и геометрической доходностью больше для SLASX (329 базисных пунктов), чем для PRFDX (272 базисных пункта).
Мы введем формальные меры изменчивости позже. Но обратите внимание, например, на 71.08% в доходности между 2008 и 2009 годами для SLASX против 61.37% для PRFDX. Аналогичным образом, обратите внимание на колебание процентной ставки в 19.11% в период между 2009 и 2010 годами для SLASX против 10.47% для PRFDX.
Значения средней арифметической и среднегеометрической доходности не всегда должны ранжировать фонды одинаково, однако в этом примере PRFDX имеет как более высокую арифметическую, так и более высокую среднюю геометрическую доходность, чем SLASX.
Однако разница между средней геометрической доходностью двух фондов (2.24%) больше, чем разница между средней арифметической доходностью (1.67%).
Как финансовый аналитик должен интерпретировать эти результаты?
Среднегеометрическая доходность представляет собой темп роста или сложную норму прибыли от инвестиций. Один доллар, вложенный в SLASX в начале 2008 года, вырос бы (или, в данном случае, снизился бы) до (0.6056)(1.3164)(1.1253)(0.9565)(1.1282) = $0.9681, что равно 1 плюс средняя геометрическая доходность, начисленная по сложной ставке процента в течение 5 периодов:
( bigl[1 + (-0.006466)bigr]^5 = (0.993534)^5 = $0.9681 )
Это подтверждает, что среднее геометрическое является сложной процентной ставкой доходности.
Для PRFDX один доллар вырос бы до большей суммы (0.6425)(1.2562)(1.1515)(0.9928)(1.1725) = $1.0819, что равно (1.015861)5.
Так как среднее геометрическое фокусирует внимание на прибыльности инвестиций в течение нескольких последовательных периодов, оно представляет ключевой интерес для инвесторов. Среднеарифметическая доходность, ориентированная на средний доход за 1 период, также представляет интерес.
Как арифметические, так и геометрические средние играют серьезную роль в управлении инвестициями, и часто используются совместно при анализе доходности.
Приведенный ниже пример подчеркивает эти моменты в простом контексте.
Пример (2) средней геометрической и арифметической доходности.
Гипотетическая инвестиция в 1 акцию изначально составляет €100. Год спустя акции торгуются на уровне €200. В конце второго года цена акций опускается до первоначальной цены покупки в €100. В течение 2-летнего периода дивиденды не выплачиваются.
Рассчитайте арифметическую и геометрическую среднегодовую доходность.
Решение:
Во-первых, нам нужно найти годовую доходность за год 1 и год 2 по Формуле 1.
Доходность за год 1 = 200/100 – 1 = 100%
Доходность за год 2 = 100/200 – 1 = -50%
Среднее арифметическое годовой доходности составляет:
(100% – 50%)/2 = 25%
Прежде чем мы найдем среднее геометрическое, мы должны преобразовать процентные ставки доходности в ( 1 + R_t ). После этой корректировки среднее геометрическое по Формуле 6 составляет:
( sqrt{2.0 times 0.50} -1 = 0% )
Средняя геометрическая доходность 0% точно отражает то, что конечная стоимость инвестиций в год 2 равна начальной стоимости в год 1. Сложная норма прибыли на инвестиции составляет 0%. Средняя арифметическая доходность отражает среднее значение за 1 год.
