Как найти решение задачи с корнем

Решение задач с корнями

Найдите значение выражения (frac{sqrt{12} cdot sqrt{540}}{sqrt{30}}).

1) (216) (;;;) 2) (sqrt{6}) (;;;) 3) (6sqrt{6}) (;;;) 4) (36)

Перепишем исходное выражение, занеся все числа под один корень:

(frac{sqrt{12} cdot sqrt{540}}{sqrt{30}} = frac{sqrt{12 cdot 540}}{sqrt{30}} = sqrt{frac{12 cdot 540}{30}} = sqrt{216}).

Разложим выражение под корнем на множители так, чтобы среди них были полные квадраты:

(sqrt{216} = sqrt{4 cdot 9 cdot 6} = 2 cdot 3 cdot sqrt{6} = 6sqrt{6}).

Ответ: 3

Найдите значение выражения (6sqrt{10} cdot sqrt{2} cdot 16sqrt{5}).

1) (960) (;;;) 2) (9600) (;;;) 3) (480) (;;;) 4) (600)

Преобразуем (sqrt{10} = sqrt{2} cdot sqrt{5}).

Найдем произведение множителей без корня, а множители с корнем сгруппируем:

(6cdot sqrt{2} cdot sqrt{5} cdot sqrt{2} cdot 16sqrt{5}=96 sqrt{5}^2 cdot sqrt{2}^2 = 96 cdot 5 cdot 2 = 960).

Ответ: 1

Найдите значение выражения (4sqrt{3} cdot sqrt{2} cdot 4sqrt{6}).

1) (16sqrt{6}) (;;;) 2) (96) (;;;) 3) (12sqrt{3}) (;;;) 4) (24)

Преобразуем (sqrt{6} = sqrt{2} cdot sqrt{3}).

Найдем произведение множителей без корня, а множители с корнем сгруппируем:

(4sqrt{3} cdot sqrt{2} cdot 4 sqrt{2} cdot sqrt{3} =16 cdot sqrt{3}^2 cdot sqrt{2}^2 = 16 cdot 3 cdot 2 = 96).

Ответ: 2

Найдите значение выражения (frac{sqrt{150} cdot sqrt{216}}{sqrt{90}}).

1) (36sqrt{10}) (;;;) 2) (6 sqrt{10}) (;;;) 3) (60) (;;;) 4) (360)

Перепишем исходное выражение, занеся все числа под один корень:

(frac{sqrt{150} cdot sqrt{216}}{sqrt{90}} = frac{sqrt{150 cdot 216}}{sqrt{90}} = sqrt{frac{150 cdot 216}{90}} = sqrt{360}).

Разложим выражение под корнем на множители так, чтобы среди них были полные квадраты:

(sqrt{360} = sqrt{36 cdot 10 } = 6 sqrt{10}).

Ответ: 2

Какое из чисел (sqrt{810}), (sqrt{8100}), (sqrt{81000}) является рациональным?

1) (sqrt{810}) (;;;) 2)(sqrt{8100}) (;;;) 3)(sqrt{81000}) (;;;) 4) ни одно из них.

Число является рациональным, если его можно записать без корня.

(sqrt{810} = sqrt{81} cdot sqrt{10} = 9 sqrt{10}) — иррациональное число.

(sqrt{8100} = sqrt{81} cdot sqrt{100} = 90) — рациональное число.

(sqrt{81000} = sqrt{81} cdot sqrt{100} cdot sqrt{10} = 90sqrt{10}) — иррациональное число.

Ответ: 2

Какое из данных чисел является значением выражения (frac{(2sqrt{7})^2}{14})?

1) (frac{1}{2}) (;;;) 2) (sqrt{7}) (;;;) 3) (frac{sqrt{7}}{2}) (;;;) 4) (2)

Преобразуем числитель: ((2sqrt{7})^2 = 2^2 cdot {sqrt{7}}^2 = 4 cdot 7 = 28).

Тогда (frac{(2sqrt{7})^2}{14}=frac{28}{14}=2).

Ответ: 4

Какое из данных чисел является значением выражения (frac{(3sqrt{5})^2}{25})?

1) (frac{9}{5}) (;;;) 2) (9) (;;;) 3) (15) (;;;) 4) (frac{3}{5})

Преобразуем числитель: ((3sqrt{5})^2 = 3^2 cdot {sqrt{5}}^2 = 9 cdot 5 = 45).

Тогда (frac{(3sqrt{5})^2}{25}=frac{45}{25}=frac{9}{5}).

Ответ: 1

Источник

Простое объяснение принципов решения задач с корнями и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения задач с корнями

Алгебраические выражения, содержащие неизвестные под знаком корня, относятся к классу выражений с корнями.

При решении задач на вычисление выражений, содержащих корни, используются свойства корней.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений задач с корнями

Задача

Упростить выражение:

$[frac{sqrt{x} + 1}{xsqrt{x} + x + sqrt{x}}:frac{1}{x^{2} - sqrt{x}}]$

Решение

ОДЗ:

$[frac{sqrt{x} + 1}{sqrt{x}(x + sqrt{x} + 1)}:frac{sqrt{x}(xsqrt{x} - 1)}{1}]$

$[frac{(sqrt{x} + 1)(sqrt{x} - 1)}{sqrt{x}(x + sqrt{x} + 1)(sqrt{x} - 1)}:frac{sqrt{x}(xsqrt{x} - 1)}{1}]$

$[frac{x - 1}{sqrt{x}(xsqrt{x} - 1)}frac{sqrt{x}(xsqrt{x} - 1)}{1} = x - 1]$

Ответ

Задача

Упростить выражение:

$[frac{(sqrt{a} + sqrt{b})^{2} - 4b}{(a - b):left(sqrt{frac{1}{b}} + 3sqrt{frac{1}{a}}right)}:frac{a + 9b + 6sqrt{ab}}{frac{1}{sqrt{b}} + frac{1}{sqrt{a}}}]$

Решение

ОДЗ: $left{ begin{array}{ll} a neq b, \ a > b, \ b > 0. end{array} right.$

$[frac{a + 2sqrt{ab} + b - 4b}{(sqrt{a} - sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b}):left(frac{1}{sqrt{b}} + frac{3}{sqrt{a}}right)}:frac{(sqrt{a} + 3sqrt{b})^{2}}{frac{sqrt{a} + sqrt{b}}{sqrt{ab}}}]$

$[frac{a + 2sqrt{ab} - 3b}{(sqrt{a} - sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b}):left(frac{sqrt{a} + 3sqrt{b}}{sqrt{ab}}right)}:frac{(sqrt{a} + 3sqrt{b})^{2}sqrt{ab}}{sqrt{a} + sqrt{b}}]$

$[frac{(a + 2sqrt{ab} - 3b)(sqrt{a} + 3sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b})}{(sqrt{a} - sqrt{b})(sqrt{a} + sqrt{b})sqrt{ab}(sqrt{a} + 3sqrt{b})^{2}sqrt{ab}}]$

$[frac{a + 2sqrt{ab} - 3b}{ab(a - sqrt{ab} + 3sqrt{ab - 3b})} = frac{1}{ab}]$

Ответ

$frac{1}{ab}$

Задача

Упростить выражение:

$[sqrt{frac{2a}{(1 + a)sqrt[3]{1 + a}}}cdotsqrt{frac{4 + frac{8}{a} + frac{4}{a^{2}}}{sqrt{2}}}]$

Решение

ОДЗ: $left{ begin{array}{ll} frac{2a}{(1 + a)sqrt[3]{1 + a}} geq 0, \ a neq 0, \ a neq -1 end{array} right.$

$[sqrt[6]{left(frac{2a}{(1 + a)sqrt[3]{1 + a}}right)^{3}}cdotsqrt[6]{left(frac{4 + frac{8}{a} + frac{4}{a^{2}}}{sqrt{2}}right)^{2}}]$

$[sqrt[6]{frac{8a^{3}}{1 + a)^{3}(1 + a)}}cdotsqrt[6]{left(frac{4a^{2} + 8a + 4}{a^{2}sqrt{2}}right)^{2}}]$

$[sqrt[6]{frac{8a^{3}}{1 + a)^{4}}}cdotsqrt[6]{frac{16(a + 1)^{4}}{2a^{4}}}]$

$[sqrt[6]{frac{8a^{3}}{1 + a)^{4}}cdot{frac{8(a + 1)^{4}}{a^{4}}}} = sqrt[6]{frac{64}{a}} = frac{2sqrt[6]{a^{5}}}{a}]$

Ответ

$frac{2sqrt[6]{a^{5}}}{a}$

Задача

Упростить выражение:

$[frac{sqrt{(x + 2)^{2} - 8x}}{sqrt{x} - frac{2}{sqrt{x}}}]$

Решение

ОДЗ:

$[frac{x^{2} + 4x + 4 - 8x}{frac{(sqrt{x})^{2} - 2}{sqrt{x}}}]$

$[frac{sqrt{x}sqrt{x^{2} - 4x - 4}}{x - 2}]$

$[frac{sqrt{x}sqrt{(x^{2} - 2)^{2}}}{x - 2}]$

$[frac{sqrt{x}cdot|x - 2|}{x - 2}]$

Ответ

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

$[sqrt[4]{6x(5 + 2sqrt{6})}cdotsqrt[4]{(sqrt{6x}(sqrt{3} - sqrt{2}))^{2}}]$

$[sqrt[4]{36x^{2}(25 - 24)} = sqrt[4]{36x^{2}} = sqrt{6x}]$

Ответ

Задача

Упростить выражение:

Решение

ОДЗ:

$[sqrt[6]{4x(11 + 4sqrt{6}}cdotsqrt[6]{(2sqrt{x}(2sqrt{2} - sqrt{3}))^{2}}]$

$[sqrt[6]{16x^{2}(121 - 96)} = sqrt[6]{400x^{2}} = sqrt[3]{20x}]$

Ответ

Задача

Упростить выражение:

$[frac{sqrt{frac{abc + 4}{a} + 4sqrt{frac{bc}{a}}}}{sqrt{abc} + 2}, a = 0,04]$

Решение

ОДЗ:

$[frac{sqrt{frac{abc + 4}{a} + frac{4sqrt{bc}}{sqrt{a}}}}{sqrt{abc} + 2}]$

$[frac{sqrt{frac{abc + 4sqrt{abc} + 4}{a}}}{sqrt{abc} + 2}]$

$[frac{sqrt{frac{(sqrt{abc} + 2)^{2}}{a}}}{sqrt{abc} + 2}]$

$[frac{sqrt{abc} + 2}{sqrt{a}(sqrt{abc} + 2)} = frac{1}{sqrt{a}} = frac{1}{sqrt{0,04}} = frac{1}{0,2} = 5]$

Ответ

Задача

Упростить выражение:

$[left((frac{sqrt[3]{x + y}}{sqrt[3]{x - y}} + frac{sqrt[3]{x - y}}{sqrt[3]{x + y}} - 2right):left(frac{1}{sqrt[3]{x - y}} + frac{1}{sqrt[3]{x + y}}right)]$

Решение

ОДЗ:

$[frac{(sqrt[3]{x + y})^{2} -2(sqrt[3]{(x + y)(x - y)} + (sqrt[3]{x - y})^{2}}{sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}:frac{sqrt[3]{x + y} - sqrt[3]{x - y}}{sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}]$

$[frac{(sqrt[3]{x + y} - sqrt[3]{x - y})^{2}}{sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}cdotfrac{sqrt[3]{x^{2} - y^{2}}}{sqrt[3]{x + y} - sqrt[3]{x - y}} = sqrt[3]{x + y} - sqrt[3]{x - y}]$

Ответ

Задача

Упростить выражение:

$[left(left(frac{x^{2}}{y^{3}} + frac{1}{x}right):left(frac{x}{y^{2}} - frac{1}{y} + frac{1}{x}right)right):frac{(x - y)^{2} + 4xy}{1 + frac{y}{x}}]$

Решение

ОДЗ: $left{ begin{array}{ll} x neq 0, \ y neq 0, \ x neq -y. end{array} right.$

$[left(frac{x^{3} + y^{3}}{xy^{3}}:frac{x^{2} - xy + y^{2}}{xy^{2}}right):frac{-(x^{2} - 2xy + y^{2} + 4xy)x}{x + y}]$

$[left(frac{(x + y)(x^{2} - xy + y^{2})}{xy^{3}}cdotfrac{xy^{2}}{x^{2} - xy + y^{2}}right):frac{(x + y)^{2}x}{x + y}]$

$[frac{x + y}{y}cdotfrac{1}{(x + y)x} = frac{1}{xy}]$

Ответ

$frac{1}{xy}$

Задача

Упростить выражение:

$[sqrt{frac{(x^{2} - 3)^{2} + 12x^{2}}{x^{2}}} + sqrt{(x + 2)^{2} - 8x}]$

Решение

ОДЗ:

$[sqrt{frac{x^{4} - 6x^{2} + 9 + 12x^{2}}{x^{2}}} + sqrt{x^{2} - 4x + 4 - 8x}]$

$[sqrt{frac{x^{4} + 6x^{2} + 9}{x^{2}}} + sqrt{x^{2} - 4x + 4}]$

$[sqrt{frac{(x + 3)^{2}}{x^{2}}} + sqrt{(x - 2)^{2}} = frac{x^{2} + 3}{|x|} + |x - 2| =]$

$[= left{ begin{array}{ll} frac{x^{2} + 3}{-x} - x + 2 = frac{x^{2} + 3 + x^{2} - 2x}{-x} = frac{2x^{2} - 2x + 3}{-x}, x < 0, \ frac{x^{2} + 3}{x} - x + 2 = frac{x^{2} + 3 - x^{2} + 2x}{x} = frac{2x + 3}{x}, 0 < x < 2, \ frac{x^{2} + 3}{x} + x - 2 = frac{x^{2} + 3 + x^{2} - 2x}{x} = frac{2x^{2} - 2x + 3}{x}, x geq 2. end{array} right.]$

Ответ

$frac{-2x^{2} + 2x - 3}{x}, x in (-infty; 0)$

$frac{2x + 3}{x}, x in (0; 2)$

$frac{2x^{2} - 2x + 3}{x}, x in [2; +infty)$

Источник

Корень квадратный

Квадратный корень

Положительное число, квадрат которого равен aa.

Например, уравнение вида x2=9x^2 = 9 имеет два решения 33 и −3-3, поскольку оба числа при возведении в квадрат дают результат 9. Именно для выполнения таких арифметических операций используют понятие корня a=xsqrt a=x. Однако результатом подкоренного выражения число −3-3 являться не может

Свойства арифметического квадратного корня

a=x→x2=a,sqrt a=x rightarrow x^2=a, a≥0ageq0
a⋅a=asqrt acdotsqrt a=a
a2=asqrt{a^2}=a
ab=a⋅b,sqrt{ab}=sqrt acdotsqrt b, a≥0,ageq0, b≥0bgeq0
ab=ab,sqrt{frac{a}{b}}=frac{sqrt a}{sqrt b}, a≥0,ageq0, b≥0bgeq0
(a)n=an, a≥0left(sqrt aright)^n=sqrt{a^n}, ageq0
(a)−n=1anleft(sqrt aright)^{-n}=frac{1}{sqrt{a^n}}

При сравнении арифметических корней нужно знать, что чем больше подкоренное выражение, тем больше корень этого числа.

Пример 1

Вычислить выражение

98⋅12−3162:163⋅2:3frac{sqrt{98}cdot{sqrt{12}}^{-3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}

Решение

Преобразуем подкоренное выражение 98sqrt{98} по свойству 4 и свойству 3:

98=7⋅7⋅2=7⋅7⋅2=72⋅2=72sqrt{98}=sqrt{7cdot7cdot2}=sqrt{7cdot7}cdotsqrt2=sqrt{7^2}cdotsqrt2=7sqrt2

На основании свойств 7 и 4 упростим 12−3{sqrt{12}}^{-3}

12−3=1123=1(4⋅3)3=143⋅33=142⋅41⋅32⋅31=14⋅4⋅3⋅3=124⋅3{sqrt{12}}^{-3}=frac{1}{sqrt{{12}^3}}=frac{1}{sqrt{{(4cdot3)}^3}}=frac{1}{sqrt{4^3}cdotsqrt{3^3}}=frac{1}{sqrt{4^2}cdotsqrt{4^1}cdotsqrt{3^2}cdotsqrt{3^1}}=frac{1}{4cdotsqrt4cdot3cdotsqrt3}=frac{1}{24cdotsqrt3}

Получили

72⋅112cdot4⋅3162:163⋅2:3=7224⋅3162163⋅23frac{7sqrt2cdotfrac{1}{12cdotsqrt4cdotsqrt3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}=frac{frac{7sqrt2}{24cdotsqrt3}}{frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}}cdotfrac{sqrt2}{sqrt3}}

Преобразуем 162163frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}} по свойству 5

162163=162163=116=14frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}}=sqrt{frac{{16}^2}{{16}^3}}=sqrt{frac{1}{16}}=frac{1}{4}

Получили

7224∙314⋅23=72243243=72243⋅432frac{frac{7sqrt2}{24bulletsqrt3}}{frac{1}{4}cdotfrac{sqrt2}{sqrt3}}=frac{frac{7sqrt2}{24sqrt3}}{frac{sqrt2}{4sqrt3}}=frac{7sqrt2}{24sqrt3}cdotfrac{4sqrt3}{sqrt2}

Выполним сокращения

72243⋅432=7⋅46⋅4=76frac{7sqrt2}{24sqrt3}cdotfrac{4sqrt3}{sqrt2}=frac{7cdot4}{6cdot4}=frac{7}{6}

Ответ: 98⋅12−3162:163⋅2:3=76frac{sqrt{98}cdot{sqrt{12}}^{-3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}=frac{7}{6}

Пример 2

Вычислить выражение при x=2x = 2
x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:(x−1)(x+1)frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{(x-1)(x+1)}}

Решение

Упростим знаменатель, для чего свернем выражение

(x−1)(x+1)=x2−1left(x-1right)left(x+1right)=x^2-1

Таким образом,

x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:x2−1=x2−1⋅(x+5)2⋅x2−1(x+5)⋅(x2−1)4frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{x^2-1}}=frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}cdotsqrt{x^2-1}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

По свойству 2

x2−1⋅x2−1=x2−1sqrt{x^2-1}cdotsqrt{x^2-1}=x^2-1

Значит,

x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4frac{x^2-1cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

По свойству 3

(x+5)2=(x+5)sqrt{{(x+5)}^2}=(x+5)

Получим

x2−1⋅(x+5)(x+5)⋅(x2−1)4frac{x^2-1cdot(x+5)}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

Разобьем корень на слагаемые

(x2−1)4=(x2−1)2⋅(x2−1)2=(x2−1)⋅(x2−1)sqrt{left(x^2-1right)^4}=sqrt{left(x^2-1right)^2}cdotsqrt{left(x^2-1right)^2}=left(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)

Упростим выражение, выполнив сокращения

x2−1⋅(x+5)(x+5)⋅(x2−1)⋅(x2−1)=x2−1(x2−1)⋅(x2−1)=1(x2−1)frac{x^2-1cdot(x+5)}{(x+5)cdotleft(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)}=frac{x^2-1}{left(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)}=frac{1}{left(x^2-1right)}

Заменим х известным значением

1(x2−1)=1(22−1)=13frac{1}{left(x^2-1right)}=frac{1}{left(2^2-1right)}=frac{1}{3}

Ответ: При x=2x = 2, выражение
x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:(x−1)(x+1)=13frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{(x-1)(x+1)}}=frac{1}{3}

Корень степени n

Корень произвольной степени $n$

Число, nn степень которого равна aa.

Корень nn степени может быть определен только в следующих случаях:

если nn – четное число (2, 4, 6 и др.), то корень извлекается только при положительном подкоренном выражении;
если nn – число нечетное (3, 5, 7 и др.), то корень извлекается при любом значении выражения под корнем.

Следствие

Кубический корень в отличие от квадратного существует при a≥0ageq0 и a<0a<0.

Свойства корня nn степени:

an=x →xn=asqrt[n]{a}=x rightarrow x^n=a
an∙am=an+mилиan:am=an−msqrt[n]{a}bulletsqrt[m]{a}=sqrt[n+m]{a} или sqrt[n]{a}:sqrt[m]{a}=sqrt[n-m]{a}
ann=asqrt[n]{a^n}=a
abn=an⋅bnsqrt[n]{ab}=sqrt[n]{a}cdotsqrt[n]{b}
abn=anbnsqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}
(an)m=amnleft(sqrt[n]{a}right)^m=sqrt[n]{a^m}
(an)−m=1amnleft(sqrt[n]{a}right)^{-m}=frac{1}{sqrt[n]{a^m}}
amn=amnsqrt[n]{a^m}=a^frac{m}{n}

Для удобства корни степени nn можно преобразовать к степени по свойству 8

Пример 1

Упростить выражение

253⋅75xy53⋅143⋅573⋅253xy1423⋅5frac{sqrt[3]{25}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{14}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{25}xy}{sqrt[3]{{14}^2}cdot5}

Решение

Представим подкоренные выражения в виде произведения простых множителей

5⋅53⋅75xy53⋅7⋅23⋅573⋅5⋅53(7⋅2)23⋅5xyfrac{sqrt[3]{5cdot5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7cdot2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5cdot5}}{sqrt[3]{left(7cdot2right)^2}cdot5}xy

По свойству 4 выполним следующие действия

53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅537⋅2⋅7⋅23⋅5xy=53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23⋅5xfrac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7cdot2cdot7cdot2}cdot5xy}=frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdot5}x

Сократим числитель и знаменатель

53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23⋅5xy=53⋅75xy73⋅23⋅73⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23xyfrac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdot5xy}=frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}xy

По свойству 2

7573=75−3=7253⋅72xy23⋅73⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23xfrac{sqrt[5]{7}}{sqrt[3]{7}}=sqrt[5-3]{7}=sqrt[2]{7}
frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[2]{7}xy}{sqrt[3]{2}}cdotfrac{sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}x

По свойству 8 перейдем от корней к степеням

513⋅712xy213⋅732⋅513⋅513713⋅213⋅713⋅213⋅xy=513⋅712xy213⋅732⋅523723⋅223xyfrac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{3}{2}cdot5^frac{1}{3}cdot5^frac{1}{3}}{7^frac{1}{3}cdot2^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{3}cdot2^frac{1}{3}cdot x y}=frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{3}{2}cdot5^frac{2}{3}}{7^frac{2}{3}cdot2^frac{2}{3}}xy

По свойству степеней 732:723=732+23=7567^frac{3}{2}:7^frac{2}{3}=7^{frac{3}{2}+frac{2}{3}}=7^frac{5}{6}

513⋅712xy213⋅756⋅523xy223=513⋅712xy⋅756⋅523xy213+23=533⋅743(xy)2233=52743(xy)2frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{5}{6}cdot5^frac{2}{3}xy}{2^frac{2}{3}}=frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xycdot7^frac{5}{6}cdot5^frac{2}{3}xy}{2^{frac{1}{3}+frac{2}{3}}}=frac{5^frac{3}{3}cdot7^frac{4}{3}left(xyright)^2}{2^frac{3}{3}}=frac{5}{2}7^frac{4}{3}left(xyright)^2

Ответ: 253⋅75xy53⋅143+573⋅253xy1423⋅5=52743(xy)2frac{sqrt[3]{25}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{14}}+frac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{25}xy}{sqrt[3]{{14}^2}cdot5}=frac{5}{2}7^frac{4}{3}left(xyright)^2

Тест по теме «Решение примеров с корнями»

Источник

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

Числа (целые, дробные и т.д.);
Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

1 • 2 = 2
2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

4 • 5 = 20
3 + 1 = 4
4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

Синус;
Косинус;
Котангенс;
Тангенс;
Секанс;
Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Важно: Не стоит бояться буквенных тригонометрических значений. Большинство примеров построено таким образом, чтобы функции можно было заменить более удобной для вычисления формулой. Поэтому вместо того, чтобы пытаться сразу решить пример, стоит обратить внимание на особенности функций и возможность их приведения к подходящей формуле.

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

Степени;
Скобки;
Корни;
Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.

Источник

Загрузить PDF

Хотя пугающий вид символа квадратного корня и может заставить съежиться человека, не сильного в математике, задачи с квадратным корнем не такие уж и трудные, как это может вначале показаться. Простые задачи с квадратным корнем довольно часто можно решить так же легко, как обычные задачи с умножением или делением. С другой стороны, более сложные задачи могут потребовать некоторых усилий, но с правильным подходом даже они не составят вам труда. Начните решать задачи с корнем уже сегодня, чтобы научиться этому радикально новому математическому умению!

1
Возведите число в квадрат, умножив его само на себя. Для того чтобы понять квадратные корни, лучше начать с квадратов чисел. Квадраты чисел довольно просты: возведение числа в квадрат означает умножение его само на себя. Например, 3 в квадрате это то же самое, что и 3 × 3 = 9, а 9 в квадрате это то же самое, что и 9 × 9 = 81. Квадраты помечаются написанием небольшой цифры «2» справа над возводящим в квадрат числом. Пример: 3², 9², 100² и так далее.
- Попробуйте сами возвести в квадрат еще несколько чисел, чтобы опробовать эту концепцию. Помните, возведение числа в квадрат означает, что это число следует умножить само на себя. Это можно сделать даже для отрицательных чисел. В таком случае результат всегда будет положительным. Например: -8² = -8 × -8 = 64.
2
Когда речь идет о квадратных корнях, то здесь идет обратный процесс возведению в квадрат. Символ корня (√, его также называют радикалом) по существу означает противоположность символа ². Когда вы видите радикал, вы должны спросить себя: «Какое число может умножиться само на себя, чтобы получилось число под корнем?». Например, если вы видите √(9), тогда вы должны найти число, которое при возведении в квадрат давало бы число девять. В нашем случае этим числом будет три, потому что 3² = 9.
- Рассмотрим еще один пример и найдем корень из 25 (√(25)). Это означает, что нам необходимо найти число, которое бы в квадрате давало нам 25. Так как 5² = 5 × 5 = 25, можно сказать, что √(25) = 5.
- Вы также может думать об этом, как об «аннулировании» возведения в квадрат. Например, если нам необходимо найти √(64), квадратный корень 64, то давайте думать об этом числе, как о 8². Так как символ корня «отменяет» возведение в квадрат, то мы можем сказать, что √(64) = √(8²) = 8.
3
Знайте разницу между идеальным и не идеальным возведением в квадрат. До этих пор ответами на наши задачи с корнем были хорошие и круглые числа, но это не всегда так. Ответами задач с квадратным корнем могут быть очень длинные и неудобные числа с десятичной дробью. Числа, корень которых представляет собой целые числа (другими словами, числа которые не являются дробью) называются полными квадратами. Все вышеупомянутые примеры (9, 25 и 64) являются полными квадратами, потому что их корнем будет целое число (3,5 и 8).
- С другой стороны, числа, которые при возведении под корень не дают целого числа, называются неполными квадратами. Если поставить одно из этих чисел под корень, то вы получите число с десятичной дробью. Иногда такое число может оказаться весьма длинным. Например, √(13) = 3,605551275464…
4
Запомните первые 1-12 полных квадратов. Как вы, вероятно, уже заметили, найти корень полного квадрата довольно легко! Из-за того, что эти задачи такие простые, стоит запомнить корни первой дюжины полных квадратов. Вы не раз столкнетесь с этими числами, так что потратьте немного времени, чтобы запомнить их пораньше и сэкономить время в будущем.
- 1² = 1 × 1 = 1
- 2² = 2 × 2 = 4
- 3² = 3 × 3 = 9
- 4² = 4 × 4 = 16
- 5² = 5 × 5 = 25
- 6² = 6 × 6 = 36
- 7² = 7 × 7 = 49
- 8² = 8 × 8 = 64
- 9² = 9 × 9 = 81
- 10² = 10 × 10 = 100
- 11² = 11 × 11 = 121
- 12² = 12 × 12 = 144
5
Упростите корни, убрав из него полные квадраты, если это возможно. Найти корень неполного квадрата иногда может оказаться нелегко, особенно если вы не используете калькулятор (в разделе ниже вы найдете несколько трюков, как сделать этот процесс легче). Однако зачастую можно упростить число под корнем, чтобы с ним было легче работать. Чтобы сделать это, вам просто необходимо разделить число под корнем на множители, а затем найти корень множителя, который является полным квадратом, и записать его снаружи корня. Это проще, чем кажется. Читайте далее, чтобы получить больше информации.^[1]
- Давайте предположим, что нам необходимо найти квадратный корень 900. На первый взгляд это кажется довольно тяжелой задачей! Однако это не будет так тяжело, если мы разделим число 900 на множители. Множители – это числа, которые умножаются друг на друга для того, чтобы дать новое число. Например, число 6 можно получить, умножив 1 × 6 и 2 × 3, его множителями будут числа 1, 2, 3 и 6.
- Вместо того чтобы искать корень числа 900, что немного затруднительно, давайте запишем 900, как умножение 9 × 100. Теперь, когда число 9, которое является полным квадратом, отделено от 100, мы можем найти его корень. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Другими словами, √(900) = 3√(100).
- Мы даже можем пойти еще дальше, разделив 100 на два множителя, 25 и 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Поэтому мы можем сказать, что √(900) = 3(10) = 30
6
Используйте мнимые числа, чтобы найти корень отрицательного числа. Спросите себя, какое число при умножении само на себя даст -16? Это не 4 и не -4, так как возведение этих чисел в квадрат даст нам положительное число 16. Сдались? На самом деле не существует способа записать корень -16 или любого другого отрицательного числа обычными числами. В таком случае мы должны подставить мнимые числа (обычно в форме букв или символов), чтобы они оказались вместо корня отрицательного числа. Например, переменная «i» обычно используется для возведения под корень числа -1. Как правило, корнем отрицательного числа всегда будет мнимое число (или включенное в него).
- Знайте, что хотя мнимые числа и не могут быть представлены обычными цифрами, к ним все равно можно относиться, как к таковым. Например, квадратный корень отрицательного числа можно возвести в квадрат, чтобы придать этим отрицательным числам, как и любым другим, квадратный корень. Например, i² = -1
Реклама

1
Запишите задачу с корнем, как задачу деления столбиком. Хотя это может отнять довольно много времени, таким образом, вы сможете решить задачу с корнем неполных квадратов, не прибегая к помощи калькулятора. Для этого мы воспользуемся методом решения (или алгоритмом), который похож (но не точно такой же) на обычное деление столбиком. ^[2]
- Для начала запишите задачу с корнем в такую же форму, что и при делении столбиком. Предположим, что мы хотим найти квадратный корень числа 6,45, которое точно не является полным квадратом. Сперва мы напишем обычный символ квадрата, а затем под ним мы напишем число. Далее над числом мы нарисуем линию, чтобы оно оказалось в небольшой «коробочке», так же как и при делении столбиком. После этого у нас получится корень с длинным хвостом и числом 6,45 под ним.
- Над корнем мы будем писать числа, так что обязательно оставьте там место.
2
Сгруппируйте цифры по парам. Для того чтобы начать решать задачу, необходимо сгруппировать цифры числа под радикалом по парам, начав с точки в десятичной дроби. Если хотите, можете делать небольшие отметки (вроде точек, косой линии, запятых и прочего) между парами, чтобы не запутаться.
- В нашем примере, мы должны разделить на пары число 6,45 следующим образом: 6-,45-00. Обратите внимание, что слева присутствует «оставшаяся» цифра – это нормально.
3
Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен первой «группе». Начните с первого числа или пары слева. Выберите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен оставшейся «группе». Например, если бы группа была равна 37, вы бы выбрали число 6, потому что 6² = 36 < 37, а 7² = 49 > 37. Запишите это число над первой группой. Это будет первой цифрой вашего ответа.
- В нашем примере, первой группой в 6-,45-00 будет цифра 6. Наибольшее число, которое в квадрате будет меньше или равно 6 это 2² = 4. Напишите цифру 2 над цифрой 6, которая стоит под корнем.
4
Удвойте только что написанное число, затем опустите его под корень и отнимите. Возьмите первую цифру вашего ответа (число, которое вы только что нашли) и удвойте ее. Запишите результат под первой своей группой и отнимите, чтобы найти разницу. Опустите следующую пару чисел рядом с ответом. И наконец, напишите слева последнюю цифру удвоения первой цифры своего ответа, а рядом оставьте пробел.
- В нашем примере, мы начнем с удвоения цифры 2, которая является первой цифрой нашего ответа. 2 × 2 = 4. Затем мы отнимем 4 от 6 (нашей первой «группы»), получив при этом 2. Далее мы опустим следующую группу (45), чтобы получить 245. И наконец, слева мы еще раз напишем цифру 4, оставив в конце небольшой пробел, вот так: 4_
5
Заполните пробел. Затем вы должны прибавить цифру к правой части записанного числа, которое находится слева. Выберите цифру, перемножив которую с вашим новым числом, вы получили бы максимально большой результат, но который бы был меньше или равен «опущенному «числу». Например, если ваше «опущенное» число равно 1700, а ваше число слева это 40_, в пробел необходимо написать цифру 4, так как 404 × 4 = 1616 < 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.
- В нашем примере, мы должны найти число и записать его в пробелы 4_ × _, что сделает ответ как можно большим, но все же меньшим или равным 245. В нашем случае это цифра 5. 45 × 5 = 225, в то время как 46 × 6 = 276
6
Продолжайте использовать «пустые» числа, чтобы найти ответ. Продолжайте решать это измененное деление столбиком, пока не начнете получать нули при вычитании «опущенного» числа или пока не получите желаемый уровень точности ответа. Когда вы закончите, числа, которые вы использовали, чтобы заполнить пробелы в каждом шаге (плюс самое первое число) будут составлять число вашего ответа.
- Продолжая наш пример, мы отнимем 225 от 245, чтобы получить 20. Затем, мы опустим следующую пару чисел, 00, чтобы получить 2000. Удвоим число над знаком корня. Мы получим 25 × 2 = 50. Решив пример с пробелами, 50_ × _ =/< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.
7
Передвиньте точку десятичной дроби вперед от изначального «делимого» числа. Чтобы завершить свой ответ, вы должны поставить точку десятичной дроби в правильное место. К счастью, сделать это довольно легко. Все, что вам необходимо сделать, это выровнять ее относительно точки изначального числа. Например, если под корнем будет стоять число 49,8, вы должны будете поставить точку между двумя цифрами над девяткой и восьмеркой.
- В нашем примере под радикалом стоит число 6,45, так что мы просто переместим точку и поставим ее между цифрами 2 и 5 в нашем ответе, получив при этом ответ равный 2,539.
Реклама

1
Найдите неполные квадраты, подсчитав их. Когда вы запомните полные квадраты, поиск корня неполных квадратов станет намного проще. Так как вы уже знаете дюжину полных квадратов, любое число, которое попадает в область между этими двумя полными квадратами можно найти, сведя все к приблизительному подсчету между этих значений. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится ваше число. Затем определите, к которому из этих чисел ваше число находится ближе.
- Например, предположим, что нам необходимо найти квадратный корень числа 40. Так как мы запомнили полные квадраты, мы можем сказать, что число 40 находится между 6² и 7²или числам 36 и 49. Так как 40 больше 6², его корень будет больше 6, а так как оно меньше 7², его корень также будет и меньше 7. 40 немного ближе к 36, чем к 49, так что ответ, скорее всего, будет немного ближе к 6. В следующих нескольких шагах мы сузим наш ответ.
2
Подсчитайте квадратный корень до первого знака после десятичной точки. После того как вы выберите два полных квадрата, между которых находится ваше число, все сводится к вашему подсчету, пока вы не получите желаемый ответ. Чем больше вы подсчитаете, тем более точным будет ваш ответ. Начните с того, что выберите, куда поставить точку десятичной дроби в свой ответ. Она не должна обязательно быть верной, но зато вы сэкономите время, если воспользуетесь логикой и поставите точку как можно ближе к правильному ответу.
- В нашем примере, разумной оценкой квадратного корня числа 40 может быть 6,4, так как, исходя из вышеупомянутой информации, мы знаем, что ответ ближе к 6, чем к 7.
3
Умножьте приблизительное число само на себя. Следующее, что вы должны сделать, это возвести приблизительное число в квадрат. Вам, скорее всего, не повезет и вы не получите изначальное число. Оно будет или немного большим, или немного меньшим. Если ваш результат слишком большой, тогда попробуйте снова, но с немного меньшим приблизительным числом (и наоборот, если результат слишком низкий).
- Умножьте 6,4 само на себя, и вы получите 6,4 × 6,4 = 40,96, что немного больше за изначальное число.
- Так как наш ответ оказался больше, мы должны умножит число на одну десятую меньше за приблизительное и получить следующее: 6,3 × 6,3 = 39,69. Это немного меньше за изначальное число. Это значит, что квадратный корень 40 находится между 6,3 и 6,4. И снова, так как 39,69 ближе к 40, чем 40,96, мы знаем, что квадратный корень будет ближе к 6,3, чем к 6,4.
4
Продолжайте расчет. На этом этапе, если вы довольны своим ответом, вы можете просто взять первое угаданное приблизительное значение. Однако если вы хотите получить более точный ответ, все что вам необходимо сделать, это выбрать приблизительное значение с двумя знаками десятичной дроби, которое ставит это приблизительное значение между первыми двумя числами. Продолжив этот подсчет, вы сможете получить для своего ответа три, четыре и больше знаков после запятой. Все зависит от того, насколько далеко вы захотите зайти.
- В нашем примере давайте выберем 6,33 в качестве приблизительного значения с двумя знаками после запятой. Умножьте 6,33 само на себя, чтобы получить 6,33 × 6,33 = 40,0689. так как это немного больше нашего числа, мы возьмем число поменьше, например, 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Этот ответ немного меньше нашего числа, так что мы знаем, что точный квадратный корень находится между 6,32 и 6,33. Если бы мы захотели продолжить, мы бы продолжали использовать тот же подход, чтобы получить ответ, который становился бы все точнее и точнее.
Реклама

Советы

Для быстрого поиска решения, воспользуйтесь калькулятором. Большинство современных калькуляторов могут мгновенно найти квадратный корень числа. Все что вам необходимо сделать, это ввести свое число, а затем нажать на кнопку со знаком корня. Например, для того чтобы найти корень 841, вы должны будет нажать 8, 4, 1 и (√). В результате чего вы получите ответ 39.

Решение задач с корнями

Алгоритм решения задач с корнями

Примеры решений задач с корнями

Корень квадратный

Пример 1

Пример 2

Корень степени n

Пример 1

Тест по теме «Решение примеров с корнями»

Поиск значения числовых выражений

Значение числового выражения со скобками

Поиск значения выражения с корнями

Значение числового выражения с корнями

Находим значение числовых выражений со степенями

Выражения с дробями

Выражения с логарифмами

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Решение примеров с переменными

Советы

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Добавить комментарий Отменить ответ

Решение задач с корнями

Алгоритм решения задач с корнями

Примеры решений задач с корнями

Корень квадратный

Пример 1

Пример 2

Корень степени n

Пример 1

Тест по теме «Решение примеров с корнями»

Поиск значения числовых выражений

Значение числового выражения со скобками

Поиск значения выражения с корнями

Значение числового выражения с корнями

Находим значение числовых выражений со степенями

Выражения с дробями

Выражения с логарифмами

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Решение примеров с переменными

Советы

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Вам также может понравиться

Как составить обзор по качеству

Как найти гранд прайм

Как найти тнт в майнкрафт

Добавить комментарий Отменить ответ