Как найти решение задачи с корнем

Простое объяснение принципов решения задач с корнями и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Корень квадратный

Квадратный корень

Положительное число, квадрат которого равен aa.

Например, уравнение вида x2=9x^2 = 9 имеет два решения 33 и −3-3, поскольку оба числа при возведении в квадрат дают результат 9. Именно для выполнения таких арифметических операций используют понятие корня a=xsqrt a=x. Однако результатом подкоренного выражения число −3-3 являться не может

Свойства арифметического квадратного корня

1. a=x→x2=a,sqrt a=x rightarrow x^2=a, a≥0ageq0
2. a⋅a=asqrt acdotsqrt a=a
3. a2=asqrt{a^2}=a
4. ab=a⋅b,sqrt{ab}=sqrt acdotsqrt b, a≥0,ageq0, b≥0bgeq0
5. ab=ab,sqrt{frac{a}{b}}=frac{sqrt a}{sqrt b}, a≥0,ageq0, b≥0bgeq0
6. (a)n=an, a≥0left(sqrt aright)^n=sqrt{a^n}, ageq0
7. (a)−n=1anleft(sqrt aright)^{-n}=frac{1}{sqrt{a^n}}

При сравнении арифметических корней нужно знать, что чем больше подкоренное выражение, тем больше корень этого числа.

Пример 1

Вычислить выражение

98⋅12−3162:163⋅2:3frac{sqrt{98}cdot{sqrt{12}}^{-3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}

Решение

1. Преобразуем подкоренное выражение 98sqrt{98} по свойству 4 и свойству 3:

98=7⋅7⋅2=7⋅7⋅2=72⋅2=72sqrt{98}=sqrt{7cdot7cdot2}=sqrt{7cdot7}cdotsqrt2=sqrt{7^2}cdotsqrt2=7sqrt2

1. На основании свойств 7 и 4 упростим 12−3{sqrt{12}}^{-3}

12−3=1123=1(4⋅3)3=143⋅33=142⋅41⋅32⋅31=14⋅4⋅3⋅3=124⋅3{sqrt{12}}^{-3}=frac{1}{sqrt{{12}^3}}=frac{1}{sqrt{{(4cdot3)}^3}}=frac{1}{sqrt{4^3}cdotsqrt{3^3}}=frac{1}{sqrt{4^2}cdotsqrt{4^1}cdotsqrt{3^2}cdotsqrt{3^1}}=frac{1}{4cdotsqrt4cdot3cdotsqrt3}=frac{1}{24cdotsqrt3}

Получили

72⋅112cdot4⋅3162:163⋅2:3=7224⋅3162163⋅23frac{7sqrt2cdotfrac{1}{12cdotsqrt4cdotsqrt3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}=frac{frac{7sqrt2}{24cdotsqrt3}}{frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}}cdotfrac{sqrt2}{sqrt3}}

1. Преобразуем 162163frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}} по свойству 5

162163=162163=116=14frac{sqrt{{16}^2}}{sqrt{{16}^3}}=sqrt{frac{{16}^2}{{16}^3}}=sqrt{frac{1}{16}}=frac{1}{4}

Получили

7224∙314⋅23=72243243=72243⋅432frac{frac{7sqrt2}{24bulletsqrt3}}{frac{1}{4}cdotfrac{sqrt2}{sqrt3}}=frac{frac{7sqrt2}{24sqrt3}}{frac{sqrt2}{4sqrt3}}=frac{7sqrt2}{24sqrt3}cdotfrac{4sqrt3}{sqrt2}

1. Выполним сокращения

72243⋅432=7⋅46⋅4=76frac{7sqrt2}{24sqrt3}cdotfrac{4sqrt3}{sqrt2}=frac{7cdot4}{6cdot4}=frac{7}{6}

Ответ: 98⋅12−3162:163⋅2:3=76frac{sqrt{98}cdot{sqrt{12}}^{-3}}{sqrt{{16}^2}:sqrt{{16}^3}cdotsqrt2:sqrt3}=frac{7}{6}

Пример 2

Вычислить выражение при x=2x = 2
x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:(x−1)(x+1)frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{(x-1)(x+1)}}

Решение

1. Упростим знаменатель, для чего свернем выражение

(x−1)(x+1)=x2−1left(x-1right)left(x+1right)=x^2-1

Таким образом,

x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:x2−1=x2−1⋅(x+5)2⋅x2−1(x+5)⋅(x2−1)4frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{x^2-1}}=frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}cdotsqrt{x^2-1}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

1. По свойству 2

x2−1⋅x2−1=x2−1sqrt{x^2-1}cdotsqrt{x^2-1}=x^2-1

Значит,

x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4frac{x^2-1cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

1. По свойству 3

(x+5)2=(x+5)sqrt{{(x+5)}^2}=(x+5)

Получим

x2−1⋅(x+5)(x+5)⋅(x2−1)4frac{x^2-1cdot(x+5)}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}}

1. Разобьем корень на слагаемые

(x2−1)4=(x2−1)2⋅(x2−1)2=(x2−1)⋅(x2−1)sqrt{left(x^2-1right)^4}=sqrt{left(x^2-1right)^2}cdotsqrt{left(x^2-1right)^2}=left(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)

1. Упростим выражение, выполнив сокращения

x2−1⋅(x+5)(x+5)⋅(x2−1)⋅(x2−1)=x2−1(x2−1)⋅(x2−1)=1(x2−1)frac{x^2-1cdot(x+5)}{(x+5)cdotleft(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)}=frac{x^2-1}{left(x^2-1right)cdotleft(x^2-1right)}=frac{1}{left(x^2-1right)}

Заменим х известным значением

1(x2−1)=1(22−1)=13frac{1}{left(x^2-1right)}=frac{1}{left(2^2-1right)}=frac{1}{3}

Ответ: При x=2x = 2, выражение
x2−1⋅(x+5)2(x+5)⋅(x2−1)4:(x−1)(x+1)=13frac{sqrt{x^2-1}cdotsqrt{{(x+5)}^2}}{(x+5)cdotsqrt{left(x^2-1right)^4}:sqrt{(x-1)(x+1)}}=frac{1}{3}

Корень степени n

Корень произвольной степени $n$

Число, nn степень которого равна aa.

Корень nn степени может быть определен только в следующих случаях:

• если nn – четное число (2, 4, 6 и др.), то корень извлекается только при положительном подкоренном выражении;
• если nn – число нечетное (3, 5, 7 и др.), то корень извлекается при любом значении выражения под корнем.

Следствие

Кубический корень в отличие от квадратного существует при a≥0ageq0 и a<0a<0.

Свойства корня nn степени:

1. an=x →xn=asqrt[n]{a}=x rightarrow x^n=a
2. an∙am=an+mилиan:am=an−msqrt[n]{a}bulletsqrt[m]{a}=sqrt[n+m]{a} или sqrt[n]{a}:sqrt[m]{a}=sqrt[n-m]{a}
3. ann=asqrt[n]{a^n}=a
4. abn=an⋅bnsqrt[n]{ab}=sqrt[n]{a}cdotsqrt[n]{b}
5. abn=anbnsqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}
6. (an)m=amnleft(sqrt[n]{a}right)^m=sqrt[n]{a^m}
7. (an)−m=1amnleft(sqrt[n]{a}right)^{-m}=frac{1}{sqrt[n]{a^m}}
8. amn=amnsqrt[n]{a^m}=a^frac{m}{n}

Для удобства корни степени nn можно преобразовать к степени по свойству 8

Пример 1

Упростить выражение

253⋅75xy53⋅143⋅573⋅253xy1423⋅5frac{sqrt[3]{25}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{14}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{25}xy}{sqrt[3]{{14}^2}cdot5}

Решение

1. Представим подкоренные выражения в виде произведения простых множителей

5⋅53⋅75xy53⋅7⋅23⋅573⋅5⋅53(7⋅2)23⋅5xyfrac{sqrt[3]{5cdot5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7cdot2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5cdot5}}{sqrt[3]{left(7cdot2right)^2}cdot5}xy

1. По свойству 4 выполним следующие действия

53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅537⋅2⋅7⋅23⋅5xy=53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23⋅5xfrac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7cdot2cdot7cdot2}cdot5xy}=frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdot5}x

1. Сократим числитель и знаменатель

53⋅53⋅75xy53⋅73⋅23⋅573⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23⋅5xy=53⋅75xy73⋅23⋅73⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23xyfrac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdot5xy}=frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}cdotfrac{sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}xy

По свойству 2

7573=75−3=7253⋅72xy23⋅73⋅53⋅5373⋅23⋅73⋅23xfrac{sqrt[5]{7}}{sqrt[3]{7}}=sqrt[5-3]{7}=sqrt[2]{7}
frac{sqrt[3]{5}cdotsqrt[2]{7}xy}{sqrt[3]{2}}cdotfrac{sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{5}}{sqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}cdotsqrt[3]{7}cdotsqrt[3]{2}}x

1. По свойству 8 перейдем от корней к степеням

513⋅712xy213⋅732⋅513⋅513713⋅213⋅713⋅213⋅xy=513⋅712xy213⋅732⋅523723⋅223xyfrac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{3}{2}cdot5^frac{1}{3}cdot5^frac{1}{3}}{7^frac{1}{3}cdot2^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{3}cdot2^frac{1}{3}cdot x y}=frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{3}{2}cdot5^frac{2}{3}}{7^frac{2}{3}cdot2^frac{2}{3}}xy

1. По свойству степеней 732:723=732+23=7567^frac{3}{2}:7^frac{2}{3}=7^{frac{3}{2}+frac{2}{3}}=7^frac{5}{6}

513⋅712xy213⋅756⋅523xy223=513⋅712xy⋅756⋅523xy213+23=533⋅743(xy)2233=52743(xy)2frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xy}{2^frac{1}{3}}cdotfrac{7^frac{5}{6}cdot5^frac{2}{3}xy}{2^frac{2}{3}}=frac{5^frac{1}{3}cdot7^frac{1}{2}xycdot7^frac{5}{6}cdot5^frac{2}{3}xy}{2^{frac{1}{3}+frac{2}{3}}}=frac{5^frac{3}{3}cdot7^frac{4}{3}left(xyright)^2}{2^frac{3}{3}}=frac{5}{2}7^frac{4}{3}left(xyright)^2

Ответ: 253⋅75xy53⋅143+573⋅253xy1423⋅5=52743(xy)2frac{sqrt[3]{25}cdotsqrt[5]{7}xy}{sqrt[3]{5}cdotsqrt[3]{14}}+frac{5sqrt{7^3}cdotsqrt[3]{25}xy}{sqrt[3]{{14}^2}cdot5}=frac{5}{2}7^frac{4}{3}left(xyright)^2

Тест по теме «Решение примеров с корнями»

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

• Числа (целые, дробные и т.д.);
• Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

• 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
• 6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

• 1 • 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

• 4 • 5 = 20
• 3 + 1 = 4
• 4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

• Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
• Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение  [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

• Синус;
• Косинус;
• Котангенс;
• Тангенс;
• Секанс;
• Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

• Степени;
• Скобки;
• Корни;
• Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

• Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
• Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
• Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
• Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.