Как найти результат многочленов

Содержание:

Многочлены

Многочлен

Выражение

Определение: Многочленом называют сумму нескольких одночленов.

Одночлены, составляющие многочлен, называют членами этого многочлена.

Например, членами многочлена являются одночлены

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Так,

— двучлены;

— трехчлены.

Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Многочлен стандартного вида

Рассмотрим многочлен Два его члена являются подобными слагаемыми, поскольку отличаются только числовыми множителями. Члены -6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена.

Приведем в многочлене его подобные члены:

Многочлен уже не имеет подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Определение:

Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов, называют многочленом стандартного вида.

Среди многочленов

только первый является многочленом стандартного вида, а два другие — нет, поскольку во втором многочлене первый член не является одночленом стандартного вида, а третий многочлен имеет подобные члены.

Степень многочлена

Многочлен имеет стандартный вид, и его членами являются одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак, — многочлен четвертой степени.

Определение:

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую степень одночленов, образующих данный многочлен.

По этому определению — многочлены первой степени; — многочлен второй степени; — многочлен шестой степени.

Члены многочлена можно записывать в произвольном порядке. Для многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, члены, как правило, записывают в порядке убывания или возрастания показателей степеней. Например:

Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения – не многочлены, поскольку они не являются суммами одночленов.

Примеры выполнения заданий:

Пример №117

Записать в стандартному виде многочлен:

Сложение и вычитание многочленов

Сложение многочленов

Сложим многочлены

.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов является многочлен

Таким же образом находят сумму трех и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Вычитание многочленов

Вычтем из многочлена многочлен

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов является многочлен

Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №118

Найти сумму многочленов:

Пример №119

Найти разность многочленов

Решение:

Пример №120

Решить уравнение

Решение:

Ответ.-1,5.

Пример №121

Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.

Решение:

Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является где — некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа — Сумма этих трех чисел

делится на 3, поскольку имеет делитель 3.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен на многочлен Используя распределительное свойство умножения, получим:

Итак, произведением одночлена и многочлена является многочлен Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например:

Произведение любого одночлена и любого многочлена всегда можно :ать в виде многочлена.

Примеры выполнения заданий:

Пример №122

Выполнить умножение:

Сокращенная запись:

Сокращенная запись:

Пример №123

Упростить выражение

Решение:

Пример №124

Решить уравнение

Решение:

Ответ. 0,5.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен на многочлен Сведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен через Тогда:

Возвращаясь к замене получаем:

Итак, произведением многочлена и многочлена является многочлен

Выражение мы получили бы сразу, если бы умножили , потом и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение можно получить, если умножить каждый член многочлена на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Приходим к такому правилу:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим по этому правилу многочлен на многочлен

Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать:

В каждом из рассмотренных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры выполнения заданий:

Пример №125

Выполнить умножение:

б) Найдем произведение первых двух многочленов, а потом полученное произведение умножим на третий многочлен:

Пример №126

Решить уравнение

Решение:

Ответ.-1,8.

Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

1. В шестом классе мы изучали разложение чисел на множители. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:

Говорят, что число 60 разложили на два множителя 12 и 5.

На множители можно разложить и многочлены. Например,

Записав многочлен в виде произведения говорят, что многочлен разложили на два множителя Каждый из этих множителей — многочлен (первый многочлен состоит только из одного члена).

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения нескольких многочленов.

Сравните

2. Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители. Выполним умножение одночлена на многочлен:

Перепишем эти равенства в обратном порядке:

Многочлен разложили на два множителя Чтобы разложить многочлен на множители, достаточно в его членах и выделить общий множитель а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов

Такой способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.

Примеры выполнения заданий:

Пример №127

Разложить на множителя многочлен 12х³у – 18х²у².

Решение:

Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и -18. Если коэффициентами являются целые числа, то в качестве общего числового множителя берут, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит а второй — , то общим множителем для степеней с основанием является (за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители и , за скобки можно вынести . Таким образом, за скобки можно вынести одночлен

Пример №128

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №129

Разложить на множители:

Решение:

Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение Вынесем этот множитель за скобки:

Пример №130

Разложить на множители:

Решение:

Слагаемые имеют множители и которые отличаются только знаками. В выражении вынесем за скобки -1, тогда второе слагаемое будет иметь вид и оба слагаемых будут иметь общий множитель .

Следовательно,

Пример №131

Найти значение выражения при

Решение:

Разложим сначала многочлен на множители:

При получим:

Пример №132

Решить уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители:

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Ответ. 0; -1,25.

Разложение многочленов на множители способом группировки

Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с рассмотрения примера умножения многочленов. Выполним умножение двучлена на двучлен следующим образом:

Выполняя преобразования в обратном порядке, многочлен можно разложить на два множителя

Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы — общий множитель для группы — общий множитель В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности имеем общий множитель Выносим его за скобки и получаем

Рассмотренный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. При применении этого способа нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общин множитель для всех групп, который также нужно вынести за скобки.

Многочлен можно разложить на множители, группируя его члены иначе:

Сравните

Примеры выполнения заданий:

Пример №133

Разложить на множители многочлен

Решение:

Пример №134

Разложить на множители трехчлен

Решение:

Представим второй член в виде Тогда:

Мы уже разобрали, что из себя представляют многочлены. В рамках данной статьи мы расскажем, как правильно вычитать, умножать, складывать и делить подобные выражения, а также как возводить их в натуральную степень, т.е. определим правила совершения данных действий с многочленами.

Правила сложения и вычитания многочленов

Складывать и вычитать многочлены достаточно просто. Оба эти действия рассматриваются вместе, поскольку осуществляются по одним и тем же принципам:

1. Начинаем с правильной записи суммы или разности исходных многочленов. Для этого их надо заключить в скобки и поместить между ними нужный знак.
2. Далее выполняем раскрытие скобок и получаем новый многочлен.
3. После этого нужно привести многочлен к стандартному виду (если это необходимо).

Поясним алгоритм примером.

Другие примеры вы можете найти в отдельной статье, посвященной сложению и вычитанию многочленов.

Правила умножения одного многочлена на другой

Перейдем к рассмотрению следующего действия – умножения. Основное правило его выполнения основано на распределительном свойстве умножения. С его помощью мы можем свести умножение многочленов к последовательному перемножению всех их членов друг на друга. Запишем правило:

Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо выполнить умножение каждого члена первого множителя на каждый член второго множителя, после чего провести сложение итоговых произведений.

Результатом умножения двух многочленов друг на друга будет новый многочлен.

Мы также можем выполнить умножение многочлена на одночлен. Это можно рассматривать как частный случай умножения, приведенного выше. Советуем прочесть отдельную статью об умножении многочленов, где представлены более подробные теоретические положения и приведены более сложные примеры.

Правила возведения многочлена в степень

После того, как мы разобрались с правилами умножения многочленов, можем перейти к возведению в натуральную степень. Это действие может быть приравнено к умножению имеющегося многочлена на аналогичный  столько раз, сколько написано в показателе. Так, возведению 3·x+1  в степень 4 мы можем поставить в соответствие произведение 4-х многочленов: (3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1).

Подводя итог этого пункта, отметим, что возведение в степень можно выполнять намного быстрее, если пользоваться формулами сокращенного умножения. Советуем вам изучить эту тему более подробно.

Правила деления многочлена на многочлен

Мы уже выяснили, что результатом всех рассмотренных действий является новый многочлен. Действие деления отличается от них тем, что чаще всего его результат не будет многочленом. Так, если мы разделим x·y−1  на x2+y2 , то в итоге у нас получится дробь x·y-1×2+y2.

Однако в принципе получить в результате многочлен можно, например, здесь: (x2·y+x·y2−x+x·y+y2−1):(x+1)=x·y+y2−1. В таких случаях мы можем говорить о делимости одного многочлена на другой, так же, как мы отмечали это для целых чисел. Тогда при делении нам нужно представить делимый многочлен в виде произведения двух многочленов – делителя и частного от деления. Во взятом нами примере делимое x2·y+x·y2−x+x·y+y2−1  рассматривается как произведение (x+1)·(x·y+y2−1).

Если у обоих многочленов есть только одна переменная, то тогда речь идет о делении без остатка. Сформулируем правило для многочлена, включающего в себя одну действительную переменную x. Обозначим данный многочлен P(x).

Деление многочлена P(x) на другой многочлен M(x), без остатка происходит тогда, когда есть другой многочлен Q(x) , удовлетворяющий условию P(x)=M(x)·Q(x).

Так, мы можем разделить x3+2·x2+3·x+6 на x+2 без остатка в силу существования многочлена x2+3. Тогда равенство x3+2·x2+3·x+6=(x+2)·(x2+3) будет справедливым.

А вот x2+1  поделить на x3−5  без остатка мы не сможем, поскольку нет такого Q(x), которое подошло бы для равенства x2+1=(x3−5)·Q(x).

Деление без остатка есть частный случай деления с остатком, ведь при нем мы также получаем остаток, равный 0. В общем случае можно сказать, что когда мы делим многочлен P(x) степени n, которая будет больше единицы, на другой многочлен Q(x)  степени k (причем 1≤k≤n), мы получаем в итоге новый многочлен M(x)  степени n−k и остаток в виде многочлена R(x), степень которого будет меньше, чем k. Представим данное утверждение как теорему.

Мы можем представить любой многочлен P(x) степени n (n≥1) как P(x)=M(x)·Q(x)+R(x). Здесь Q(x)  будет некоторым многочленом степени k (1≤k≤n), M(x) – многочленом степени n−k и R(x) – многочленом степени, меньшей k. Это представление будет единственным.  

Под  Q(x), M(x) и R(x) в данном случае понимается любой многочлен из множества тождественно равных многочленов.

Так, если мы делим 3·x4+2·x2−1 на x2+x , то у нас получится частное 3·x2−3·x+5  с остатком −5·x−1.

Это так, потому что равенство 3·x4+2·x2−1=(x2+x)·(3·x2−3·x+5)−5·x−1 является справедливым. Его справедливость легко проверить, выполнив все нужные действия с правой стороны.

Если мы делим P(x) на Q(x), причем степень делимого будет больше степени делителя, то в итоге мы всегда получаем частное в виде нулевого многочлена и остаток, равный делимому. Так, разделив x2+1 на x3+2·x2−1, мы получим нулевое частное и остаток x2+1.

Удобно производить деление, предварительно  сделав запись уголком, так же, как мы делаем это для целых чисел. Подробнее это действие разобрано в статье, посвященной делению многочлена на многочлен.

План урока:

Многочлен, вычисление значений многочлена

Стандартный вид многочлена

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Многочлен, вычисление значений многочлена

В предыдущем уроке мы познакомились с понятием одночлена. При записи одночленов не используется операция сложения. Если же возникает необходимость сложить несколько одночленов, то в результате получается многочлен.

В качестве примера многочленов можно привести следующие выражения:

Стоит обратить внимание, что в записи многочлена может использоваться и знак минус, при этом его всё равно можно считать суммой одночленов, а не разностью. Дело в том, что можно условно считать, что знак минус относится к коэффициенту одночлена, например:

Для некоторых видов многочленов существуют особые названия. Если многочлен состоит из двух одночленов, то его называют двучленом. Многочлен, состоящий из 3 одночленов, называют трехчленом.

Иногда в литературе используются такие термины, как «моном» (синоним «одночлена»), «бином» (синоним «двучлена»), «полином» (синоним «многочлена»).

Если известно значение переменных, входящих в полином, то возможно вычисление значения многочлена.

Пример. Найдем значение полинома x³+2x²+5y+1 при значении x=2 и y = 3.

Решение.

Пример. Вычислим значение полинома v⁴– d⁴при значении переменных v = 4 и d = 3.

Решение.

Стандартный вид многочлена

Иногда некоторые мономы, входящие в состав полинома, имеют одинаковую буквенную часть. Например, в выражении

первый и третий мономы отличаются лишь своими коэффициентами. Такие слагаемые называются подобными.

У подобных слагаемых одинаковый набор переменных, и при этом они возведены в одинаковые степени. Так, подобными являются мономы:

• 7a²s³ и 2a²s³, так как совпадает буквенная часть a²s³;
• 5v⁹m⁷t⁵ и – 4v⁹m⁷t⁵, так как у них одинаковая буквенная часть – 4v⁹m⁷t⁵;
• a² и 1000a², так как есть одинаковая буквенная часть a².

Также подобными слагаемыми можно считать и числа без буквенной части, например 8 и 2.

В качестве примеров неподобных слагаемых можно привести:

• 7a²s³и 2a²s⁴ – у переменной s разные степени (3 и 4) в этих мономах;
• 4x²yи 5x²– в буквенной части первого монома есть переменная y, а у второго его нет.

У подобных слагаемых может быть изменен порядок множителей. Так, подобными являются мономы 5p²u⁴и 9u⁴p², так как у одних и тех же переменных стоят одинаковые показатели.

Подобные слагаемые можно складывать друг с другом. В этом случае буквенная часть останется неизменной, а коэффициенты сложатся друг с другом. Например:

Такое действие называется приведением подобных слагаемых.

Пример. Приведите подобные слагаемые полинома:

Решение. В данном полиноме есть три пары подобных слагаемых:

Сгруппируем подобные слагаемые друг с другом, после чего сложим их:

Если в полиноме нет подобных слагаемых, а все входящие в него мономы записаны в стандартном виде, то его называют многочленом стандартного вида.

Что такое одночлен стандартного вида, можно узнать из ранее изученного урока. Примерами полиномов стандартного вида являются:

Далее рассмотрим понятие степени многочлена. Каждый из входящих в полином мономов имеет свой показатель степени(см. урок 3). Степенью полинома стандартного вида называется наибольшая из всех степеней одночленов, входящих в его состав.

Рассмотрим пример. Дан трехчлен 2y² + x³y + 5y²x, требуется найти его степень.

Решение. Рассматриваемый трехчлен находится в стандартном виде. Он состоит из трех мономов:

Найдем степень каждого из них:

• 2y² – степень равна 2;
• x³y – степень равна 4 = (3+1);
• 5y²x – степень равна 3 = (2+1).

Получается, что максимальную степень, равную 4, имеет моном x³y. Соответственно, и степень трехчлена также равна 4.

Ответ: 4.

Если же рассматривается полином, не находящийся в стандартном виде, то для вычисления его степени сначала надо привести полином к этому виду.

Пример. Найдите степень полинома с⁶ + ac² + 9 – с⁶.

Решение. На первый взгляд может показаться, что она равна 6, так как один из его мономов, с⁶, имеет показатель, равный 6. Но это не так. Приведем полином к стандартному виду:

Оказалось, что подобные мономы c⁶ и – с⁶ сократились. Получившийся полином состоит из двух мономов, ac² и 9, чьи степени равны 3 и 0 соответственно. Значит, и степень всего двучлена равна трём.

Ответ: 3.

Определение степени полинома потребуется для решения уравнений в старших классах. Если в одной части уравнения стоит полином, например, третьей степени, в другой части – ноль, то его называют уравнением третьей степени:

Аналогично выделяют уравнения первой, второй, четвертой и любой другой степени.

В зависимости от степени уравнения используются различные методы их решения. Ранее (ссылка на урок уравнения) мы уже научились решать линейные уравнения, которые являются уравнениями 1-ой степени. Обычно чем выше степень уравнения, тем сложнее его решать. Также существует интересная зависимость – количество корней уравнения не превышает его степень (за исключением одного частного случая, при котором есть бесконечное множество решений).

Особое значение в алгебре имеют те полиномы, в которых содержится только одна переменная, например:

• m² + 4m⁴ + 5m³ +9(здесь переменная m);
• c⁶ + 1(единственная переменная – с);
• 3x + 10(запись содержит только x);
• – y⁴ + 89y¹⁰– 2,56y¹⁰⁰(используется только y).

Их называют полиномами с одной переменной. Обычно их принято записывать по мере убывания степеней одночленов. То есть впереди пишется моном с максимальной степенью, а в самом конце – число без буквенной части:

То число, которое стоит перед одночленом в наибольшей степени, называют старшим коэффициентом, а число, не имеющее буквенной части – свободным членом (реже свободным коэффициентом):

Для некоторых полиномов с одной переменной есть особое название. Так, многочлен второй степени называют квадратным трехчленом. Дело в том, вторую степень в математике часто называют квадратом, а состоит квадратный трехчлен из трех монов. В качестве примера можно привести:

Конечно, квадратный многочлен может содержать и меньше трех одночленов:

В этом случае иногда бывает удобно добавить «недостающее» слагаемое, поставив перед ним коэффициент, равный нулю:

В общем случае квадратным трехчленом называют выражение вида

где x – произвольная переменная, а, b и c являются произвольными действительными числами. При этом a не должно равняться нулю, иначе получится полином уже только 1-ой степени.

Квадратные трехчлены будут изучены подробнее в старших классах при изучении темы «Квадратные уравнения».

Сложение и вычитание многочленов

Полиномы можно складывать друг с другом, а также вычитать. При этом, возможно, придется приводить подобные слагаемые.

Пример. Произведите сложение многочленов 8z² + 3z +12 и 2z⁴ + 9z.

Решение. Запишем интересующую нас сумму:

Если перед скобками стоит знак «+», то можно просто опустить скобки:

Осталось привести полином к стандартному виду. Здесь есть лишь одна пара подобных одночленов, 3z и 9z:

При вычитании многочленов надо учитывать следующее правило:

Пример. Вычтите из полинома x⁵ + 3x³– 7y³ + 9x² + 17 трехчлен 2y⁴ + 0,4y³– 25.

Решение:

Запишем разность полиномов:

Первые скобки можно опустить, так как перед ними нет никакого знака. Перед вторыми скобками стоит минус, а потому для раскрытия скобок знаки слагаемых в них надо поменять на противоположные. Вместо 2y⁴ надо написать – 2y⁴, вместо 0,4y³ поставим – 0,4y³, а – 25 заменим на + 25:

Осталось привести подобные слагаемые:

Стоит заметить, что при сложении и вычитании полиномов их степени не могут увеличиться. Так, если складываются два полинома 5-ой и 4-ой степени, то в результате получится многочлен, чья степень будет не больше 5.

Рассмотрим более сложный пример с вложенными (внутренними) скобками. Необходимо упростить выражение

Решение. Раскроем первые скобки. Перед ними стоит минус, поэтому знаки слагаемых должны поменяться на противоположные. Однако обратите внимание, что здесь есть вложенные скобки (2a²b – ab) и (ab² + 2a²b). Менять следует только знак перед ними, а знаки внутри вложенных скобок не меняются! Они рассматриваются как единые, неизменяемые слагаемые:

Теперь раскроем оставшиеся две скобки:

Приведем подобные слагаемые. Для наглядности пары подобных мономов подчеркнуты. Одной чертой подчеркнуты мономы с буквенной частью ab², двумя чертами – мономы с a²b, а штриховой линией выделены мономы с буквенной частью ab:

Умножение одночлена на многочлен

Напомним распределительный закон умножения:

Используя этот закон, можно производить умножение одночлена на многочлен.

Пример. Перемножьте выражения 5v² и 9v³ + 2t⁴.

Решение: Запишем произведение выражений:

Такое раскрытие скобок можно объяснить с помощью «метода фонтанчика»:

От множителя 5v² строят линии (синего цвета к) КАЖДОМУ слагаемому в скобке. Каждой такой линии соответствует отдельное произведение в получаемом полиноме.

После раскрытия скобок получили два произведения одночлена на одночлен, которые считаем по отдельности (см. урок 3):

Можно сформулировать следующее правило умножения многочлена на одночлен:

Ещё один пример. Перемножьте полином 2x²y + 4xy² – 1 и моном – 3ху.

Решение:

Здесь метод «фонтанчика» будет выглядеть так:

Можно заметить, что после умножения монома на полином получится столько одночленов, сколько их было в исходном полиноме. Это правило можно использовать для самоконтроля.

Умножение многочлена на многочлен

Пусть нам надо перемножить два полинома, a+bи c+d. Запишем их произведение:

Заменим выражение a + b переменной k:

Теперь исходное произведение можно выразить как произведение монома и полинома:

Проведем обратное преобразование, заменив k на a + b:

Наконец, раскроем скобки в этом выражении:

Эту формулу можно проиллюстрировать геометрически. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a + b и c + d:

Площадь этого прямоугольника, как и любого другого, равна произведению его сторон, то есть(a + b)(c + d).С другой стороны, она состоит из 4 прямоугольников, чьи площади также вычисляются как произведения их сторон, и составляют ac, bc, ad и bd. Поэтому можно записать равенство

Получается, что для умножения многочлена на многочлен нужно перемножать попарно все мономы, входящие в их состав, после чего сложить их.

Если в одном полиноме содержится m слагаемых, а в другом n, то результатом их перемножения окажется новый полином, содержащий m•n мономов (до приведения подобных слагаемых). Для перемножения многочленов также используется метод «фонтанчика».

Пример. Найдем произведение выражений 3a² – 4ab + b²и 2a– b.

Решение: В первом полиноме содержится 3 монома, а во втором – 2, поэтому после их перемножения мы получим сумму 3•2 = 6 одночленов:

Раскрытие скобок «фонтанчиком» будет выглядеть так:

В результате действительно получилась сумма 6 мономов. Осталось вычислить каждый из них, после чего привести подобные слагаемые:

Заметим, что при перемножении полиномов происходит сложение степеней многочленов. Действительно, в рассмотренном выше примере мы умножили полином второй степени 3a² – 4ab + b² на полином первой степени 2a– b, и получили в результате многочлен 3-ей (2+1) степени.

Также возможно умножение многочленов в столбик. Особенно это удобно делать в случае с полиномами с одной переменной.

Пример. Найдите произведение выражений 2x³ + 3x² +5x + 9 и x² + 4x + 7.

Решение: Запишем полиномы в столбик, один под другим:

Далее умножим самый правый моном второго многочлена, то есть число 7, на первый полином, и запишем его ниже:

Далее умножим следующий моном, 4х, на первый полином, и запишем результат ещё ниже, причем сместим запись чуть влево, чтобы подобные члены оказались друг под другом:

Также умножим последний одночлен, x², на первый полином:

Осталось сложить подобные слагаемые (то есть переменные х с одинаковыми степенями), которые записаны друг под другом:

Ещё раз цветом выделим подобные слагаемые и результаты их суммирования:

Ответ: 2х⁵ + 11х⁴ + 31х³ + 50х² + 71х +63.