Как найти ряд маклорена для функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Идея представления функции в виде многочлена с остаточным слагаемым основана на разложении функции в степенной ряд.

Ряды Тейлора и Маклорена

Бесконечно дифференцируемую в точке x0x_0 функцию действительной переменной f(x)f(x) можно разложить в ряд по степеням двучлена (x−x0)(x-x_0):

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=f(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +dfrac{f{”}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =

=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)k=sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0, полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=f(x)=f(0)+dfrac{f{‘}( 0)}{1!} x +dfrac{f{”}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =

=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)k=sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости и приведем примеры их определения.

Показательная функция:

ex=1+x1!+x22!+x33!+…+xnn!+…=∑k=1∞xnn!,∣x∣<∞e^x=1+dfrac{x}{1!} +dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!}+ldots+dfrac{x^n}{n!}+ldots=sumlimits_{k=1}^{infty} dfrac{x^n}{n!},quad |x|<infty

Тригонометрические функции:

sin⁡x=x1!−x33!+x55!−x77!+…+(−1)n+1x2n−1(2n−1)!+…=∑k=1∞(−1)k+1x2k−1(2k−1)!,∣x∣<∞sin x=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^3}{3!} +dfrac{x^5}{5!} -dfrac{x^7}{7!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+ldots=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},quad |x|<infty

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+…+(−1)n+1x2n(2n)!+…=∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!,∣x∣<∞cos x=1 -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^4}{4!} -dfrac{x^6}{6!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+ldots=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},quad |x|<infty

arctg⁡x=x−x33+x55−x77+…+(−1)nx2n+12n+1+…=∑k=0∞(−1)kx2k+12k+1,∣x∣≤1arctg x=x-dfrac{x^3}{3} +dfrac{x^5}{5} -dfrac{x^7}{7} +ldots+dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+ldots=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{(-1)^{ k }x^{2 k +1}}{2 k +1},quad |x|le{1}

Логарифмическая функции:

ln⁡(1+x)=x1!−x22!+x33!−x44!+…+(−1)n+1xnn!+…=∑k=1∞(−1)k+1xkk!,x∈(−1;1]ln (1+x)=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!} -dfrac{x^4}{4!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+ldots=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!},quad xin (-1;1]

Степенная функции:

(1+x)α=1+α1!x+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+…+α(α−1)…(α−n+1)n!xn+…=(1+x)^alpha=1+dfrac{alpha }{1!}x+dfrac{alpha (alpha -1)}{2!}x^2 +dfrac{alpha (alpha -1)( alpha -2)}{3!} x^3 +ldots+dfrac{alpha (alpha -1) ldots ( alpha-n+1)} {n!} {x^n}+ldots=

=∑k=0∞α(α−1)…(α−k+1)k!xk=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{alpha (alpha -1) ldots ( alpha-k+1)}{ k!} {x^ k }

11−x=1+x+x2+…+xn+…=∑k=0∞xk,∣x∣<1dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+ldots+x^n+ldots =sumlimits_{ k =0}^{infty}x^{ k },quad |x|<1

Пример 1

Найдем для функции:

f(x)=sin⁡xf(x)=sin x

интервал сходимости ряда:

f(x)=sin⁡x==∑n=1∞(−1)n+1x2n−1(2n−1)!f(x)=sin x==sumlimits_{n=1}^{infty} dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}

Воспользуемся признаком Даламбера:

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣x2n+1/(2n+1)!x2n−1/(2n−1)!∣=x2lim⁡n→∞12n(2n+1)=0limlimits_{n to infty } left | dfrac {a_{n+1}}{a_n} right | = limlimits_{n to infty } left | dfrac {x^{2n+1}/{(2n+1)!}}{ x^{2n-1}/{(2n-1)!}} right | =x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {1} {2n(2n+1)}=0

Полученный результат говорит о том, что предел равен нулю для любого xx, и, следовательно, интервалом сходимости ряда является вся числовая ось.

Пример 2

Найдем интервал сходимости ряда для функции

f(x)=arctg⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1,∣x∣≤1f(x)=arctg x= sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}, quad |x|le{1}

Воспользовавшись признаком Даламбера применительно к степенному ряду, получаем:

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣x2n+1/(2n+1)x2n−1/(2n−1)∣=x2lim⁡n→∞2n−12n+1=x2lim⁡n→∞2−1n2+1n=x2limlimits_{n to infty } left | dfrac {a_{n+1}}{a_n} right | = limlimits_{n to infty } left | dfrac {x^{2n+1}/(2n+1)}{ x^{2n-1}/(2n-1)} right | =x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {2n-1} {2n+1}=x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {2-dfrac{1}{n}}{2+dfrac{1}{n}}= x^2

Условие сходимости по этому признаку имеет вид:

x2<1x^2<1

В граничных точках x=±1x=pm1 получаем знакопеременный ряд вида:

∑n=0∞anx2n+1sumlimits_{n=0}^{infty} a_n x^{2n+1},

где ∣an∣=1n+1|a_n|=dfrac {1}{n+1}

Заметим, что

lim⁡n→∞∣an∣=0limlimits_{n to infty } |a_n|=0

и, согласно признаку Лейбница, знакопеременный ряд сходится. Таким образом, интервалом сходимости исходного ряда является: ∣x∣≤1|x| le 1.

Применение формулы и рядов Маклорена

Вычисление значений функций

Идея использования рядов для приближенного вычисления примечательна тем, что можно добиться требуемой точности, т.е. фактически найти требуемое значение со сколь угодно высокой точностью.

Пример

Вычислим значение числа ee с точностью до второго знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции f(x)=exf(x)=e^x при x=1x=1, вычислив сумму до шестого члена в разложении и с остаточным членом в форме Лагранжа:

e1=1+11!+12!+13!+14!+15!+ec6!,0≤c≤1e^1=1+dfrac {1}{1!} +dfrac {1}{2!} +dfrac {1}{3!} +dfrac {1}{4!} +dfrac {1}{5!} +dfrac {e^c}{6!},quad 0le c le 1

e1=16360!+ec6!≈2.716+ec6!,0≤c≤1e^1=dfrac {163}{60!} +dfrac {e^c}{6!}approx 2.716+dfrac {e^c}{6!},quad 0le c le 1

Учитывая, что ec6!<0.0014dfrac {e^c}{6!}<0.0014 получаем результат e≈2.72e approx 2.72

Вычисление пределов функций

На практике часто встречаются такие пределы, которые нельзя найти, используя первый и второй замечательные пределы, правило Лопиталя или другие способы вычислений. В этих случаях можно воспользоваться разложением элементарных функций в степенной ряд Маклорена и уже затем найти сам предел.

Пример

Вычислим:

lim⁡x→0e2x−1−2x−2x2x−sin⁡xlimlimits_{x to 0 } dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-sin {x}}

Заменим exe^x и sin⁡xsin{x} их разложениями в степенные ряды, находим:

lim⁡x→0e2x−1−2x−2x2x−sin⁡x=lim⁡x→0(1+2x+4×22!+8×33!+…)−1−2x−2x2x−(x−x33!+x55!−…)=limlimits_{x to 0 } dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-sin {x}}=limlimits_{x to 0 } dfrac {left( 1+2x+dfrac{4x^2}{2!}+dfrac{8x^3}{3!}+ldots right)-1-2x-2x^2}{x-left( x-dfrac{x^3}{3!}+dfrac{x^5}{5!}-ldots right)}=

=lim⁡x→08×33!+16×44!+…x33!−x55!+…=lim⁡x→083!+16×4!+…13!−x25!+…=8=limlimits_{x to 0 } dfrac {dfrac{8x^3}{3!}+dfrac{16x^4}{4!}+ldots} {dfrac{x^3}{3!} -dfrac{x^5}{5!}+ldots} = limlimits_{x to 0 } dfrac {dfrac{8}{3!}+dfrac {16x}{4!} +ldots} {dfrac{1}{3!} -dfrac{x^2}{5!}+ldots}=8

Вычисление определенных интегралов

Конечно, на практике лучше всего вычислять точное значение определенного интеграла. Но очень часто соответствующие неопределенные интегралы является «неберущимися». Поэтому для приближенного вычисления определенного интеграла используется разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Пример

Вычислим с точностью до третьего знака после запятой:

∫01x3e−xdxdisplaystyle intlimits_0^1 sqrt[3] x e^{-x} dx

Для приближенного вычисления этого определенного интеграла используется разложение функции f(x)=sqrt[3]xe−xf(x)= sqrt[3] x e^{-x} в ряд Маклорена:

f(x)=sqrt[3]xe−x=x1/3−x4/3+12×7/3−16×10/3+…f(x)= sqrt[3] x e^{-x}=x^{1/3}-x^{4/3}+dfrac{1}{2}x^{7/3}-dfrac{1}{6}x^{10/3}+ldots

Интервал, заданный пределами интегрирования: 0≤x≤10 le x le 1 входит в радиус сходимости полученного ряда (−∞;+∞)(-infty;+infty).

Интегрируя почленно, получаем:

∫01f(x)=∫01×1/3dx−∫01×4/3dx+12∫01×7/3dx−16∫01×10/3dx+…=displaystyleintlimits_0^1 f(x)= intlimits_0^1 x^{1/3}dx-intlimits_0^1 x^{4/3}dx+dfrac{1}{2}intlimits_0^1 x^{7/3}dx-dfrac{1}{6}intlimits_0^1 x^{10/3}dx+ldots=

=34×4/3∣01−37×7/3∣01+32⋅10×10/3∣01−36⋅13×13/3∣01+…= dfrac{3}{4} Biggl. x^{4/3}Biggr |_0^1-dfrac{3}{7} Biggl. x^{7/3}Biggr |_0^1+dfrac{3}{2 cdot 10} Biggl. x^{10/3}Biggr |_0^1-dfrac{3}{6 cdot 13} Biggl. x^{13/3}Biggr|_0^1+ldots

и с учетом требуемой точности:

∫01x3e−xdx≈34−37+32⋅10−36⋅13≈928+29260≈197455≈0,433displaystyleintlimits_0^1 sqrt[3] x e^{-x} dx approx dfrac{3}{4}-dfrac{3}{7}+dfrac{3}{2 cdot 10}-dfrac{3}{6 cdot 13}approx dfrac{9}{28}+dfrac{29}{260} approx dfrac{197}{455} approx 0,433

Источник

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора^[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии^[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами.
В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение[править | править код]

1. Многочленом Тейлора функции f(x) вещественной переменной , дифференцируемой раз в точке , называется конечная сумма

${displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{k}{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+ldots +{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при

верно ${displaystyle f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)cdot h+O(h^{2})approx f(a)+f'(a)cdot h=f(a)+f'(a)cdot (x-a)}$

При записи суммы использованы обозначение ${displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)}$ и соглашение о произведении по пустому множеству: 0!=1 , ${displaystyle (x-a)^{0}=1}$ .

2. Рядом Тейлора в точке функции f(x) вещественной переменной , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки , называется формальный степенной ряд

${displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=sum _{n=0}^{+infty }varphi _{n}(x;a)}$

с общим членом ${displaystyle varphi _{n}(x;a)={frac {f^{(n)}(a)}{n!}}cdot (x-a)^{n}}$

, зависящим от параметра

Другими словами, рядом Тейлора функции f(x) в точке называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена :

${displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+ldots +{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+ldots ,}$

.^[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции f(x) в окрестности точки не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки .

3. Рядом Тейлора в точке функции f(z) комплексной переменной ,
удовлетворяющей в некоторой окрестности точки условиям Коши — Римана,
называется степенной ряд

${displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}}$

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса R>0 , что в ${displaystyle D_{R}={zin mathbb {C} :|z-z_{0}|<R}subseteq U}$ ряд сходится к функции f(z) .

4. В случае a=0 ряд

${displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}$

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция[править | править код]

1. Функция f(x) вещественной переменной называется аналитической в точке x=a , если существуют такой радиус R>0 и такие коэффициенты ${displaystyle c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f),}$ , , что f(x) может быть представлена в виде сходящегося на интервале степенного ряда:
${displaystyle sum limits _{k=0}^{+infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}},}$ ,
то есть ${displaystyle lim _{nto +infty },sum limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)}$ .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд ${displaystyle sum limits _{k=0}^{+infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}$ на любом компактном подмножестве области сходимости ${displaystyle D_{R}={zin mathbb {C} :|z-z_{0}|<R}}$ допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в -ю производную функции ${displaystyle sum limits _{k=0}^{+infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}$ подставить , то получится ${displaystyle {c_{k}}cdot k!}$ .

Таким образом, для аналитической в точке функции f(z) для некоторого R>0 всюду в ${displaystyle D_{R}={zin mathbb {C} :|z-z_{0}|<R}}$ является верным представление ${displaystyle f(z)=sum _{k=0}^{+infty }{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}}$ .

Следствие. Функция f(x) вещественной переменной является аналитической в точке тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром на некотором открытом интервале, содержащем точку .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке функции f(x) вещественного переменного её ряд Тейлора ${displaystyle sum _{k=0}^{+infty }{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$ сходиться к f(x) всюду на каком-нибудь интервале , то есть представима ли f(x) этим рядом?

Ответ: нет.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности
.

Примеры. Функции вещественной переменной ${displaystyle f_{2}(x)=left{{begin{array}{ll}{e^{-{frac {1}{x^{2}}}}},&xneq 0\0,&x=0end{array}}right.,}$ ,
${displaystyle f_{+}(x)=left{{begin{array}{ll}{e^{-{frac {1}{x}}}},&x>0\0,&xleq 0end{array}}right.,}$ ,
${displaystyle f_{rm {v}}(x)=left{{begin{array}{ll}{e^{-{frac {1}{|x|}}}},&xneq 0\0,&x=0end{array}}right.,}$
являются бесконечно дифференцируемыми в точке , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром тождественно равны нулю.
Однако, для любого R>0 в окрестности точки a=0 найдутся точки,
в которых функции отличны от .
Таким образом, эти функции не являются в точке a=0 аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции ${displaystyle f(x)=f_{2}(x)=left{{begin{array}{ll}{e^{-{frac {1}{x^{2}}}}},&xneq 0\0,&x=0end{array}}right.,}$ , предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция ${displaystyle exp left(-{frac {1}{z^{2}}}right)}$ , является аналитической функцией комплексной переменной
для всех .

Для z neq 0 очевидно, что
${displaystyle {frac {d}{dz}}exp left(-{frac {1}{z^{2}}}right)=exp left(-{frac {1}{z^{2}}}right)cdot left({frac {2}{z^{3}}}right)}$ .

Функция f(x) для — это «исправленная» функция
${displaystyle exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)}$ , ,
дополненная пределами слева ${displaystyle lim _{xto 0,x<0}exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)=0}$
и справа ${displaystyle lim _{xto 0,x>0}exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)=0}$ в точке x=0 .

Найдём производную функции f(x) в точке x=0 .
По определению:
${displaystyle f'(0)=lim _{Delta xto 0,Delta xin mathbb {R} setminus {0}}{frac {f(0+Delta x)-f(0)}{Delta x}}=lim _{hto 0,hin mathbb {R} setminus {0}}{frac {f(h)-0}{h}}={frac {0}{0}}=lim _{hto 0,hin mathbb {R} setminus {0}}{frac {f'(h)}{h'}}=lim _{hto 0,hin mathbb {R} setminus {0}}{frac {2f(h)}{{h}^{3}}}}$ .

Поскольку для выполняется
${displaystyle 0<e^{-{frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{frac {1}{x}}}}$ ,
то
докажем, что для произвольного верно ${displaystyle lim _{xto 0,x>0}{frac {e^{-{frac {1}{x}}}}{x^{alpha }}}=0}$ .

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

${displaystyle lim _{xto 0,x>0}e^{-{frac {1}{x}}}=lim _{xto 0,x>0}x^{alpha }=0}$

не приводит к результату.

Выполним замену переменной: ${displaystyle {frac {1}{x}}=t}$ :

${displaystyle lim _{xto 0,x>0}{frac {e^{-{frac {1}{x}}}}{x^{alpha }}}=lim _{tto +infty }{frac {t^{alpha }}{e^{t}}}={frac {+infty }{+infty }}=lim _{tto +infty }{frac {alpha t^{alpha -1}}{e^{t}}}}$ .

Пусть .
Применяя правило Лопиталя раз, в числителе получим либо (при ) константу , либо (при ) бесконечно малую ${displaystyle alpha (alpha -1)ldots (alpha -k+1)t^{alpha -k}}$ :

${displaystyle lim _{tto +infty }{frac {t^{alpha }}{e^{t}}}={frac {+infty }{+infty }}=ldots =lim _{tto +infty }{frac {alpha (alpha -1)ldots (alpha -k+1)t^{alpha -k}}{e^{t}}}=0}$

Таким образом,

${displaystyle f'(0)=lim _{hto 0,hin mathbb {R} setminus {0}}{frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0}$

Найдём (для xneq 0 ) несколько начальных
производных функции f(x) :

${displaystyle f'(x)={frac {2f(x)}{x^{3}}}}$

${displaystyle f''(x)=left({frac {2f(x)}{x^{3}}}right)'=2left({f'(x){frac {1}{x^{3}}}+f(x)left({frac {1}{x^{3}}}right)'}right)=2left({{frac {2f(x)}{x^{3}}}{frac {1}{x^{3}}}+f(x)left({frac {1}{x^{3}}}right)'}right)=2f(x)left({{frac {2}{x^{6}}}-{frac {3}{x^{4}}}}right)}$

${displaystyle f'''(x)=left({2f(x)left({{frac {2}{x^{6}}}-{frac {3}{x^{4}}}}right)}right)'=4f(x)left({{frac {2}{x^{9}}}-{frac {3}{x^{7}}}+{frac {6}{x^{5}}}-{frac {6}{x^{7}}}}right)}$

И так далее. Во всех случаях, очевидно,
получается произведение f(x)
на сумму целых отрицательных степеней
.
Конечная сумма
бесконечно малых является бесконечно малой.
Таким образом,
${displaystyle lim _{xto 0,xin mathbb {R} setminus {0}}f^{(k)}(x)=0}$ .

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные f(x) в точке x=0 ,
обнаруживаем, что все производные в
точке x=0 равны нулю.

Область сходимости ряда Тейлора[править | править код]

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке ) для случая комплексной переменной
и интервал (с центром в точке ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция ${displaystyle f(x)={frac {1}{1-x}}}$ может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: ${displaystyle {frac {1}{1-x}}=sum limits _{k=0}^{infty }{x^{k}}}$ (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция ${displaystyle {frac {1}{1-x}}}$ определена для всех действительных чисел, кроме точки , то ряд ${displaystyle sum limits _{k=0}^{infty }{x^{k}}}$ сходится только при условии .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

${displaystyle R=lim _{kto infty }left|{dfrac {dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}right|=lim _{kto infty }left|{{frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}right|}$

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию ${displaystyle e^{x}}$ . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен ${displaystyle R=lim _{kto infty }left|{{frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}right|=lim _{kto infty }(k+1)=infty }$ . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси для любого параметра .

4. От параметра — точки разложения ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного ) в ряд Тейлора функцию ${displaystyle f(x)={frac {1}{1-x}}}$ : ${displaystyle f(x)={frac {1}{1-x}}={frac {1}{1-a}}sum limits _{k=0}^{infty }{{left({frac {x-a}{1-a}}right)}^{k}}}$ .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента , при любых значениях (кроме a=1 ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

${displaystyle {frac {1}{1-a}}sum limits _{k=0}^{infty }{{left({frac {x-a}{1-a}}right)}^{k}}={frac {1}{1-a}}cdot {frac {1}{1-left({dfrac {x-a}{1-a}}right)}}={frac {1}{1-x}}}$

Область сходимости ряда может быть задана неравенством ${displaystyle left|{frac {x-a}{1-a}}right|<1}$ . И теперь эта область зависит от . Например, для a=0 ряд сходится при . Для ряд сходится при .

Формула Тейлора[править | править код]

Предположим, что функция f(x) имеет все производные до n+1 -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку x=a . Найдем многочлен ${displaystyle {P_{n}}(x)}$ степени не выше , значение которого в точке x=a равняется значению функции f(x) в этой точке, а значения его производных до -го порядка включительно в точке x=a равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид ${displaystyle {P_{n}}(x)=sum limits _{k=0}^{n}{{frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}}$ , то есть это -я частичная сумма ряда Тейлора функции f(x) . Разница между функцией f(x) и многочленом ${displaystyle {P_{n}}(x)}$ называется остаточным членом и обозначается ${displaystyle {R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)}$ . Формула ${displaystyle f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)}$ называется формулой Тейлора^[4]. Остаточный член дифференцируем n+1 раз в рассматриваемой окрестности точки . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении.
Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена[править | править код]

В форме Лагранжа:

${displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+theta (x-a)]qquad p=n+1;qquad 0<theta <1}$

В форме Коши:

${displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-theta )^{n} over n!}f^{(n+1)}[a+theta (x-a)]qquad p=1;qquad 0<theta <1}$

В интегральной форме:

${displaystyle R_{n}(x)={1 over n!}int limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t),dt}$

Ослабим предположения:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

${displaystyle R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]}$

Критерий аналитичности функции[править | править код]

Основной источник: ^[5]

Предположим, что некоторую функцию f(x) нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке x=a . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке , и её ряд Тейлора с параметром может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка x=a , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции f(x) только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку . Пусть ряд Тейлора с параметром такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех из окрестности по формуле Тейлора можно записать ${displaystyle lim _{nto infty }R_{n}(x)=lim _{nto infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-lim _{nto infty }P_{n}(x)}$ , где ${displaystyle lim _{nto infty }P_{n}(x)}$ — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция f(x) является аналитической в точке тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки существует непрерывная область такая, что для всех xin X остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом : ${displaystyle lim _{nto infty }R_{n}(x)=0}$ .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию ${displaystyle e^{x}}$ . Её ряд Тейлора сходится на всей оси для любых параметров . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид ${displaystyle {R_{n}}(x)={frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{xi _{n}}}}$ , где $xi _{n}$ — некоторое число, заключенное между и (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

${displaystyle lim _{nto infty }{R_{n}}(x)=lim _{nto infty }{frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{xi _{n}}}leq Mcdot lim _{nto infty }{frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0}$

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых и .

Ряды Маклорена некоторых функций[править | править код]

Гиперболические функции^[6]^[10]:

Обратные гиперболические функции^[6]^[11]:

Формула Тейлора для функции двух переменных[править | править код]

Пусть функция f(x,y) имеет непрерывные производные до (n+1) -го порядка включительно в некоторой окрестности точки .
Введём дифференциальный оператор

$mathrm{T}=(x-x_0)dfrac {partial} {partial x}+(y-y_0)dfrac {partial} {partial y}$

Тогда разложение (формула Тейлора) функции f(x,y) по степеням ${displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}}$ для в окрестности точки будет иметь вид

$f(x,y)=sumlimits_{k=0}^n dfrac {mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),$

где — остаточный член в форме Лагранжа:

$R_n(x,y)=dfrac {mathrm{T}^{(n+1)} f(xi,zeta)} {(n+1)!}, xi in [x_0,x], zeta in [y_0,y]$

Следует иметь в виду, что операторы ${displaystyle {dfrac {partial }{partial x}}}$ и ${displaystyle {dfrac {partial }{partial y}}}$
в ${displaystyle mathrm {T} ^{k}}$ действуют только на функцию f(x,y) , но не на (x-x_0) и/или ${displaystyle (y-y_{0})}$ .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .

В случае функции одной переменной ${displaystyle mathrm {T} =(x-x_{0}){dfrac {d}{dx}},}$ .

Формула Тейлора многих переменных[править | править код]

Для получения формулы Тейлора функции переменных , которая в некоторой окрестности точки ${displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ имеет непрерывные производные до (m+1) -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

${displaystyle mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){dfrac {partial }{partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){dfrac {partial }{partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){dfrac {partial }{partial x_{n}}}.}$

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням ${displaystyle (x_{i}-a_{i})^{k_{i}}}$ в окрестности точки ${displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ имеет вид

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=sum limits _{k=0}^{m}{dfrac {mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),}$

где — остаточный член порядка (m+1) .

Для функции переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки ${displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ , ряд Тейлора имеет вид:

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=sum limits _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}sum limits _{i_{1}=1}^{n}sum limits _{i_{2}=1}^{n}...sum limits _{i_{k}=1}^{n}{frac {partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{partial x_{i_{1}}partial x_{i_{2}}...partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})}$ .

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=sum limits _{k=0}^{infty }overbrace {sum limits _{k_{1}=0}sum limits _{k_{2}=0}...sum limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{dfrac {partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{partial x_{1}^{k_{1}}partial x_{2}^{k_{2}}...partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}}$ .

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных[править | править код]

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных , и в окрестности точки (0,0,0) до второго порядка малости. Оператор будет иметь вид

$mathrm{T}= x dfrac {partial} {partial x}+ y dfrac {partial} {partial y}+ z dfrac {partial} {partial z}.$

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

${displaystyle f(x,y,z)=sum limits _{k=0}^{2}{dfrac {mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=}$

${displaystyle =left(1+T+{frac {T^{2}}{2}}right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);}$

Учитывая, что

$T^2 = x^2 dfrac {partial^2} {partial x^2}+ y^2 dfrac {partial^2} {partial y^2}+ z^2 dfrac {partial^2} {partial z^2} + 2xy dfrac {partial^2} {partial x partial y} + 2xz dfrac {partial^2} {partial x partial z}+ 2yz dfrac {partial^2} {partial y partial z},$

получим

${displaystyle f(x,y,z)=f_{0}+x{dfrac {partial f_{0}}{partial x}}+y{dfrac {partial f_{0}}{partial y}}+z{dfrac {partial f_{0}}{partial z}}+{frac {x^{2}}{2}}{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial x^{2}}}+{frac {y^{2}}{2}}{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial y^{2}}}+{frac {z^{2}}{2}}{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial z^{2}}}+}$

${displaystyle +xy{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial xpartial y}}+xz{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial xpartial z}}+yz{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial ypartial z}}+R_{2}(x,y,z).}$

Например, при $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$ ,

${displaystyle f(x,y,z)=1+x+y+z+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {y^{2}}{2}}+{frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).}$

Примечания[править | править код]

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
↑ Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
↑ Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.
↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА “НАУКА”, 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
↑ Цукер Р. Тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 37—43. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ Цукер Р. Обратные тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 44—47. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула сходится медленно, т.е. даёт большую погрешность при приближении функции суммой первых нескольких членов ряда. Поэтому можно воспользоваться формулой $arcsin x = arccos sqrt{1-x^2},$ где
↑ Цукер Р. Гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 48—49. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ Цукер Р. Обратные гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 50—53. — 832 с. — 50 000 экз.

Литература[править | править код]

Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — Т. 1: Начала теории. — 486 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10—24.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — 432 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 2. — 560 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. — Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0.

Источник

Лекция 16. Ряды Тейлора и Маклорена

16.1. Разложение элементарных
функций в ряды Тейлора и

Маклорена

Покажем,
что если произвольная функция

задана на множестве

, в окрестности точки

имеет множество производных и является
суммой степенного ряда:

то
можно найти коэффициенты этого ряда.

Подставим
в степенной ряд
.
Тогда
.

Найдем
первую производную функции
:

При
:
.

Для
второй производной получим:

При
:
.

Продолжая
эту процедуру n
раз получим:
.

Таким
образом, получили степенной ряд вида:

который
называется рядом Тейлора
для функции

в окресности точки
.

Частным
случаем ряда Тейлора является ряд
Маклорена
при
:

Остаток
ряда Тейлора (Маклорена) получается
отбрасыванием от основных рядов n
первых членов и обозначается как
.
Тогда функцию

можно записать как сумму n
первых членов ряда

и остатка
:,

то
есть

Остаток
обычно

выражают разными формулами.

Одна
из них в форме Лагранжа:

,
где
.

Заметим,
что на практике чаще используется
ряд Маклорена. Таким
образом, для того, чтобы записать функцию

в виде суммы степенного ряда
необходимо:

1)
найти коэффициенты ряда Маклорена
(Тейлора);

2)
найти область сходимости полученного
степенного ряда;

3)
доказать, что данный ряд сходится
к функции
.

Теорема
1
(необходимое и достаточное условие
сходимости ряда Маклорена). Пусть радиус
сходимости ряда
.
Для того, чтобы этот ряд сходился
в интервале

к функции
,
необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие:
в указанном интервале.

Теорема
2. Если производные любого порядка
функции

в некотором промежутке

ограниченны по абсолютной величине
одним и тем же числом M,
то есть
,
то в этом промежутке функцию

можно разложить в ряд
Маклорена.

Пример
1. Разложить в
ряд Тейлора в окрестности
точки

функцию
.

Решение.

Находим
значение функции и ее производных при
.

, ;

………………………………………………………………………………………………………………………

, ;

Подставляем
эти значения в ряд. Получаем:

или

Область сходимости
.

Пример
2. Разложить
функцию

в ряд Тейлора в окрестности
точки
.

Решение:

Находим
значение функции и ее производных при
.

, ;

………..……………………………

, .

Подставляем
эти значения в ряд. Получаем:

или

Найдем
область сходимости этого ряда. По
признаку Даламбера ряд сходится,
если

Следовательно,
при любом

этот предел менее 1, а
потому область сходимости ряда будет:
.

Рассмотрим
несколько примеров разложения
в ряд Маклорена основных элементарных
функций. Напомним, что ряд Маклорена:

сходится
на интервале

к функции
.

Отметим,
что для разложения функции
в ряд необходимо:

а)
найти коэффициенты ряда Маклорена для
данной функции;

б)
вычислить радиус сходимости
для полученного ряда;

в)
доказать, что полученный ряд сходится
к функции
.

Пример
3. Рассмотрим функцию

Решение.

Вычислим
значение функции и ее производных при
.

Тогда числовые коэффициенты ряда
имеют вид:

для
любого n. Подставим найденные
коэффициенты в ряд Маклорена и получим:

Найдем
радиус сходимости полученного ряда, а
именно:

Следовательно,
ряд сходится на
интервале
.

Этот
ряд сходится к функции

при любых значениях
,
потому что на любом
промежутке

функция

и ее производные по
абсолютной величине
ограничены числом
.

Пример
4. Рассмотрим
функцию
.

Решение.

Найдем
значение функции и ее производных при

Нетрудно
заметить, что производные четного
порядка,
а производные нечетного
порядка
.
Подставим найденные коэффициенты в ряд
Маклорена и получим
разложение:

Найдем
интервал сходимости данного ряда. По
признаку Даламбера:

для
любого
.
Следовательно, ряд сходится
на интервале
.

Этот
ряд сходится к функции

,
потому что все ее производные
ограничены единицей.

Пример
5.
.

Решение.

Найдем
значение функции и ее производных при

Таким
образом, коэффициенты данного ряда:

и
,
следовательно:

Аналогично
с предыдущим рядом область сходимости

.
Ряд сходится к функции

,
потому что все ее
производные ограничены единицей.

Обратим
внимание, что функция

нечетная и разложение
в ряд по нечетным
степеням, функция

– четная и разложение в ряд по четным
степеням.

Пример
6. Биномиальный
ряд :.

Решение.

Найдем
значение функции и ее производных при

Отсюда
видно, что:

Подставим
эти значения коэффициентов в ряд
Маклорена и получим разложение данной
функции в степенной ряд:

Найдем
радиус сходимости этого ряда:

Следовательно,
ряд сходится на интервале
.
В предельных точках при

и

ряд может сходится или нет в зависимости
от показателя степени
.

Исследованный
ряд сходится на интервале

к функции
,
то есть сумма ряда

при
.

Пример
7. Разложим в
ряд Маклорена функцию
.

Решение.

Для
разложения в ряд этой
функции используем биномиальный ряд
при
.
Получим:

На
основе свойства степенных рядов
(степенной ряд можно интегрировать в
области его сходимости) найдем интеграл
от левой и правой частей данного ряда:

Найдем
область сходимости данного ряда:
,

то
есть областью сходимости данного ряда
является интервал
.
Определим сходимость ряда на концах
интервала. При

получим числовой ряд с общим членом
.
Этот ряд является гармоничным рядом,
то есть расходится. При

получим числовой ряд с общим членом
.

Ряд
по признаку Лейбница сходится. Таким
образом, областью сходимости данного
ряда является промежуток
.

16.2. Применение
степенных рядов степеней в приближенных
вычислениях

В
приближенных вычислениях степенные
ряды играют исключительно большую роль.
С их помощью составлены таблицы
тригонометрических функций, таблицы
логарифмов, таблицы значений других
функций, которые используют в разных
областях знаний, например в теории
вероятностей и математической статистике.
Кроме того, разложение
функций в степенной ряд полезно для их
теоретического исследования. Главным
вопросом при использовании степенных
рядов в приближенных вычислениях
является вопрос оценки погрешности при
замене суммы ряда суммой его первых n
членов.

Рассмотрим
два случая:

функция
разложена в знакочередующийся ряд;
функция
разложена в знакопостоянный ряд.

Вычисление с помощью знакочередующихся
рядов

Пусть
функция

разложена в знакочередующийся степенной
ряд. Тогда при вычислении этой функции
для конкретного значения

получаем числовой ряд, к которому можно
применить признак Лейбница. В соответствии
с этим признаком, если сумму ряда заменить
суммой его первых n членов, то
абсолютная погрешность не превышает
первого члена остатка этого ряда, то
есть:.

Пример
8. Вычислить

с точностью до 0,0001.

Решение.

Будем
использовать ряд Маклорена для
,
подставив значение угла в радианах:

Если
сравнить первый и второй члены ряда с
заданной точностью, то:
.

Третий
член разложения:

меньше
заданной точности вычисления.
Следовательно, для вычисления

достаточно оставить два члена ряда, то
есть

Таким
образом
.

Пример
9. Вычислить

с точностью 0,001.

Решение.

Будем
использовать формулу биномиального
ряда. Для этого запишем

в виде:
.

В
этом выражении
,

Сравним
каждый из членов ряда с точностью,
которая задана. Видно, что
.
Следовательно, для вычисления

достаточно оставить три члена ряда.

или

Вычисление с помощью
знакоположительных
рядов

Пример
10. Вычислить
число

с точностью до 0,001.

Решение.

В
ряд для функцїї
подставим
.
Получим:

Оценим
погрешность, которая возникает при
замене суммы ряда суммой первых

членов. Запишем очевидное неравенство:

то
есть 2<<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,

По
условию задачи нужно найти n
такое, чтобы выполнялось неравенство:

или
.

Легко
проверить, что при n
= 6:
.

Следовательно,

Отсюда

Пример
11. Вычислить

с точностью 0,0001.

Решение.

Заметим,
что для вычисления логарифмов можно
было бы применить ряд для функции
,
но этот ряд очень медленно сходится и
для достижения заданной точности нужно
было бы взять 9999 членов! Поэтому для
вычисления логарифмов, как правило,
используется ряд для функции
,
который сходится на интервале
.

Вычислим

с помощью этого ряда. Пусть
,
тогда
.

Следовательно,

или

Для
того, чтобы вычислить

с заданной точностью, возьмем сумму
первых четырех членов:
.

Остаток
ряда

отбросим. Оценим погрешность. Очевидно,
что

или .

Отсюда

Таким
образом, в ряду, который был использован
для вычисления, достаточно было взять
только четыре первые
слагаемые вместо 9999 в ряду для функции

Вопросы для самодиагностики

1.
Что такое ряд Тейлора?

2.
какой вид имеел ряд Маклорена?

3.
Сформулировать теорему о разложении
функции в ряд Тейлора.

4.
Записать разложение в ряд Маклорена
основных функций.

5.
Указать области сходимости рассмотренных
рядов.

6.
Как выполнить оценку погрешности в
приближенных вычислениях с помощью
степенных рядов?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Эта статья будет полезна студентам младших курсов технических направлений и учащимся старших классов, которые собираются принять участие в различных олимпиадах.

В математике часто используется декомпозиция объекта для представления его в другой вид. Например, разложение дробей на рациональные для их интегрирования, разложение матрицы и др. Но в математике также существует разложение многочлена (или функции) в некоторый ряд. Этот ряд называется рядом Тейлора. Что же такое ряд Тейлора? Ряд Тейлора – это представление многочлена (функции) в виде бесконечной суммы степенных функций. В общем виде теорема Тейлора звучит так: если функция f(x) определена и дифференцируема в окрестности некоторой точки x, находящейся на отрезке (a;b), и на этом отрезке функция имеет производную до (n+1)-ого порядка, тогда выполняется бесконечный ряд Тейлора:

Общий вид ряда Тейлора

Теперь разберемся, что такое ряд Маклорена. Ряд Маклорена – это частный случай ряда Тейлора, при котором x₀ = 0. Давайте разберем для примера некоторую функцию. Пусть эта функция f(x) = 4^x

Теперь вместо x₀ надо подставить 0 и найти R, после чего мы окончательно разложим функцию в ряд Маклорена. R – это остаточный член многочлена (функции). Он может быть представлен в форме Коши, Лагранжа или Пеано

Вот разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена:

Источник

Содержание:

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
Рассмотрим геометрический ряд
Пример с решением

Предположим, что функция , определенная и раз дифференцируемая в окрестности точки может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Выразим коэффициенты ряда через Найдем производные функции почленно дифференцируя ряд раз:

Полагая в полученных равенствах х=0. получим

Подставляя значения коэффициентов получим ряд

называемый рядом Маклорена.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в рад Маклорена- Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся либо сходящимся не к функции .

Так же как и для числовых рядов, сумму ряда Маклорена можно представить в виде (13.9)

где частичная сумма ряда; остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (см. §13.1) можно сформулировать теорему.

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции необходимо и достаточно, чтобы при остаток рядо стремился к нулю, т.е. для всех значений х из интервала сходимости рядо.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Макларена, то зто разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем рядо Тейлора

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:

где — остаточный член формулы Тейлора:

записанный в форме Лагранжа.

Очевидно, что при выполнении условия (14.7) остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

Имеем

По формуле (13.6)

Область сходимости ряда (см. пример 14.3а).

Имеем откуда и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка а нечетного порядка По формуле (14.6) Область сходимости ряда

3. Рассматривая аналогично, получим Область сходимости ряда

4. , где — любое действительное число. Имеем

Интервал сходимости ряда (-1; 1) (на концах интервала при сходимость ряда зависит от конкретных значений ).

Рад (14.11) называется биномиальным. Если — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при член рада и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.